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2015普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学理

2016-08-08 16:04:29 编辑:chenghuijun 来源:http://www.chinazhaokao.com 成考报名 浏览:

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  适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏,下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的2015普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学理希望能帮助到大家!

  2015普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学理(一)

  一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

  1.复数

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A.
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B.
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C.
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D.
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  2.若

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满足
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的最大值为

 

  A.0 B.1 C.

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D.2

 

  3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为

  A.

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B.
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C.
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D.
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  4.设

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是两个不同的平面,
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是直线且
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.“
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”是“
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”的

 

  A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

  C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

  5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是

  A.

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B.
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C.
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D.5

 

  

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  6.设

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是等差数列. 下列结论中正确的是

 

  A.若

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,则
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  B.若

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,则
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  C.若

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,则
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  D.若

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,则
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  7.如图,函数

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的图象为折线
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,则不等式
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的解集是

 

  

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A.
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B.
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  C.

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D.
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  8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述

  了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确

  的是

  

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  A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

  B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

  C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

  D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

  第二部分(非选择题 共110分)

  二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.

  9.在

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的展开式中,
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的系数为 .(用数字作答)

 

  10.已知双曲线

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的一条渐近线为
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,则
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.

 

  11.在极坐标系中,点

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到直线
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的距离为 .

 

  12.在

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中,
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,则
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.

 

  13.在

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中,点
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满足
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.若
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,则
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;
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.

 

  14.设函数

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  ①若

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,则
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的最小值为 ;②若
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恰有2个零点,则实数
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的取值范围是 .

 

  三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)

  15.(本小题13分)已知函数

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.

 

  (Ⅰ) 求

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的最小正周期;

 

  (Ⅱ) 求

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在区间
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上的最小值.

 

  16.(本小题13分)

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两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:

 

  

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组:10,11,12,13,14,15,16

 

  

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组:12,13,15,16,17,14,
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  假设所有病人的康复时间互相独立,从

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两组随机各选1人,
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组选出的人记为甲,
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组选出的人记为乙.

 

  (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率;

  (Ⅱ) 如果

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,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;

 

  (Ⅲ) 当

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为何值时,
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两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

 

  17.(本小题14分)如图,在四棱锥

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中,
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为等边三角形,平面
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平面
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的中点.

 

  (Ⅰ) 求证:

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;

 

  

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(Ⅱ) 求二面角
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的余弦值;

 

  (Ⅲ) 若

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平面
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,求
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的值.

 

  2015普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学理(二)

  一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)

  (1)A (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7)C (8)D

  二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)

  (9)40 (10)

(11)1 (12)1 (13)

 

  (14)

 

  三、解答题(共6小题,共80分)

  15. 解:(Ⅰ)

 

  

 

  

 

  所以

的最小正周期

 

  (Ⅱ)

 

  当

,即
时,
取得极小值。

 

  

 

  所以

的最小值

 

  16. 解:(Ⅰ) 设甲的康复时间不少于14天记为事件A

  

 

  所以甲的康复时间不少于14天的概率为

 

  (Ⅱ) 因为

,假设乙康复的时间为12天,则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天,共4人。

 

  若乙的康复时间为13天,则符合题意的甲有14天、15天、16天,共3人。

  若乙的康复时间为14天,则符合题意的甲有15天、16天,共2人。

  若乙的康复时间为15天,则符合题意的甲有16天,共1人。

  当乙的康复时间为其它值时,由于甲的康复时间为16天,均不符合题意。

  所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种

  而所有甲、乙组合情况共

 

  因为所有情况都是等可能的,所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率

 

  (Ⅲ)

 

  17. (Ⅰ) 证明:

是等边三角形,
的中点。

 

  

平面
平面
,

 

  平面

平面
平面

 

  

平面
平面

 

  

 

  (Ⅱ) 取

得中点
,连接

 

  如图分别以

轴建立空间直角坐标系

 

  

 

  易见平面

的法向量为

 

  设平面

的法向量为

 

  

 

  所以

 

  

 

  因为二面角

为钝角,所以它的余弦值为
.

 

  (Ⅲ) 由(Ⅰ)知

平面

 

  若

平面
, 仅需

 

  由(Ⅱ)得

 

  

 

  

, 解得
(舍)或
.

 

  18.解:

  (Ⅰ)

 

  

 

  所以切线方程为

.

 

  (Ⅱ)原命题

 

  设

 

  

 

  当

时,

 

  函数

上单调递增。

 

  

, 因此

 

  (Ⅲ)

 

  

 

  所以当

函数
上单调递增,

 

  

 

  当

时,令
解得

 

  x

 

  

0

 

  

减极小值增

 

  

显然不成立。

 

  综上可知:

的最大值为2.

 

  19.解:(Ⅰ)由题知:

解得

 

  

所求的椭圆的方程为
.

 

  

 

  

直线
的方程为

 

  

直线
轴交于

 

  令

,则

 

  (Ⅱ)

 

  

直线
的方程为
, 直线
轴交于

 

  令

, 则

 

  设

 

  

 

  

 

  

 

  又

在椭圆上,

 

  

 

  

轴存在点
使

 

  20. 解:(Ⅰ)

 

  (Ⅱ)因为集合

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存在一个元素是3的倍数,所以不妨设
是3的倍数。

 

  由

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  当

时,
都是3的倍数。

 

  如果

,则集合
的所有元素都是3的倍数。

 

  如果

,因为
, 所以
是3的倍数, 于是
是3的倍数。

 

  类似可得,

都是3的倍数。

 

  综上,若集合

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存在一个元素是3的倍数,则
的所有元素都是3的倍数。

 

  (Ⅲ)若

,由
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  可归纳证明

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  因为

是正整数,由
, 所以
是2的倍数。

 

  从而当

时,
时4的倍数。

 

  如果

是3的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数
是3的倍数。

 

  因此当

时,
.这时
的元素个数不超过5.

 

  如果

不是3的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数
不是3的倍数。

 

  因此当

时,
这时
的元素个数不超过8.

 

  当

时,
由8个元素。

 

  综上可知:集合

的元素个数的最大值为8.

 

  2015普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学理(三)

  1、自主命题,“北京卷”命题原则不变;

  2016年北京高考总体变化不会很大,不会出现英语考试只要100分,或取消英语考试的现象,也不会使用统一命题的试卷,2016年北京高考依然使用自主命题的“北京卷”。根据2015年北京高考改革基本原则,“育人为本”“公平公正”“科学高效”可能进一步深化,而“稳步实施”原则则会充分考虑社会的接受程度和可操作性制定改革方案,2016年的高考很有可能会根据2015年的高考反馈做出相应调整,但命题原则应该不变。

  2、2016年高考变化不大;

  2015年北京高考改革脚步加快,相较于来说,不管是知识点考察方向,还是题型设置,变化都很明显,如试卷整体难度下调,区分度降低,各科根据学科特点和考核目标,积极融入中华优秀传统文化等具有中国特色的内容,阅读量增加,着重考核学生的思维能力和日常积累。根据国务院高考改革指导和市教委高考改革的“稳步实施”原则,2016年的高考相较于2015年来说应该变化不大。2015年的考试大纲(附于考试说明前部分)仍具有较高的参考价值。

  3、参考人数下降,高考形势较好。

  2013北京市中考报名确认考生人数达92699人,其中,普通高中招收约5.28万人,因此,相较2015年67816的高考参考人数,2016年高考参考人数可能会较上一年减少10000~15000人,不管是应届生还是复读生,都遇到了一个较好的高考形势


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