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2017世纪金榜数学第四章

2016-08-15 10:08:04 编辑:chenghuijun 来源:http://www.chinazhaokao.com 成考报名 浏览:

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  适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏,下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的2017世纪金榜数学第四章希望能帮助到大家!

  2017世纪金榜数学第四章(1)

  一、选择题(每小题5分,共35分)

  1.(2015·泰安模拟)点P(m-n,-m)到直线

=1的距离等于(  )

 

  A.

B.

 

  C.

D.

 

  【解析】选A.把直线方程化为nx+my-mn=0,根据点到直线的距离公式得d=

 

  【方法技巧】利用点到直线距离公式的方法

  在利用点到直线距离公式时,一定要将直线方程化为一般形式,且尽量不要出现系数为分数(或小数)的情况,然后利用公式求解.

  2.(2015·太原模拟)过两直线x-

y+1=0和
x+y-
=0的交点,并与原点的距离等于1的直线有(  )

 

  A.0条 B.1条 C.2条 D.3条

  【解析】选B.由题意得两直线的交点坐标为

故该点与原点的距离为1,则符合题意的直线只有1条.

 

  3.不论m为何值时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点(  )

  A.(1,-

) B.(-2,0) C.(2,3) D.(9,-4)

 

  【解题提示】先化成关于参数m的方程,再令其系数及常数均为0求解.

  【解析】选D.由(m-1)x+(2m-1)y=m-5,得

  (x+2y-1)m-(x+y-5)=0,所以

 

  得定点坐标为(9,-4).

  【加固训练】已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(  )

  A.(-

,
) B.(
,
)

 

  C.(

,-
) D.(
,-
)

 

  【解析】选C.由a+2b=1,知ax+3y+b=0等价于

  (1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.

  由

 

  即定点坐标为(

,-
).

 

  4.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是

则满足条件的直线l的条数为(  )

 

  A.1 B.2 C.3 D.4

  【解析】选C.由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条,又因为|AB|=

,所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.

 

  5.(2015·兰州模拟)一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是(  )

  A.

B.2 C.3 D.4

 

  【解题提示】两点之间,线段最短,故可求出点(0,0)关于直线l的对称点,然后转化为两点间的距离求解.

  【解析】选B.点(0,0)关于直线l:x-y+1=0的对称点为(-1,1),则最短路程为

=2.

 

  【加固训练】(2015·成都模拟)直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为

  (  )

  A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0

  C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

  【解析】选A.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.

  6.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(  )

  A.(-2,4) B.(-2,-4)

  C.(2,4) D.(2,-4)

  【解析】选C.点A关于直线y=2x对称的点为(4,-2),且点A关于y=2x对称的点在BC上,于是BC所在的直线方程为3x+y-10=0,由

得点C的坐标为(2,4).

 

  7.若点(s,t)在直线4x+3y-10=0上,则s2+t2的最小值是(  )

  A.2 B.2

C.4 D.2

 

  【解析】选C.因为点(s,t)在直线4x+3y-10=0上,所以4s+3t-10=0,而s2+t2表示原点与直线4x+3y-10=0上的点的距离的平方,此最小值等于原点到直线4x+3y-10=0的距离的平方.其值等于4.

  【误区警示】本题易出现选A的错误,错误原因是将s2+t2误认为点(s,t)到原点的距离.

  二、填空题(每小题5分,共15分)

  8.(2015·淄博模拟)点P为x轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是    .

  【解析】点A(1,1)关于x轴的对称点A′(1,-1),

  则|PA|+|PB|的最小值是线段A′B的长

.

 

  答案:

 

  9.(2015·银川模拟)若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为    .

  【解析】由两直线平行的条件得3m=4×6,解得m=8,

  此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0,

  所以两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为d=

=2.

 

  答案:2

  【误区警示】本题求解时易不将6x+8y+14=0化简,直接求两平行线间的距离,得到d=

的错误,根本原因是没能掌握好两平行线间距离公式的应用条件.

 

  10.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2

,则m的倾斜角可以是:

 

  ①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.

  其中正确答案的序号是    .

  【解析】很明显直线l1∥l2,直线l1,l2间的距离为d=

,设直线m与直线l1,l2分别相交于点B,A,则|AB|=
过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则|AC|=d=
,则在Rt△ABC中,sin∠ABC=
所以∠ABC=30°,又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.

 

  答案:①⑤

  2017世纪金榜数学第四章(2)

  1.(5分)已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P(0,

),则线段AB的长为(  )

 

  A.8 B.9 C.10 D.11

  【解析】选C.由已知两直线互相垂直得a=2,所以线段AB中点为P(0,5),且AB为直角三角形AOB的斜边(O为两直线的交点),由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10.

  2.(5分)若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么

的最小值等于    .

 

  【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标,代入直线方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求

的最小值.

 

  【解析】由题意知(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m).

  则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.

  于是

=
(m+n)(
)=
×
×(5+2×2)=
,当且仅当n=2m时,等号成立.

 

  答案:

 

  【加固训练】(2015·太原模拟)设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(  )

  A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0

  C.x-2y+4=0 D. x+y-7=0

  【解析】选D.由|PA|=|PB|知点P在AB的垂直平分线上.由点P的横坐标为3,且PA的方程为x-y+1=0,得P(3,4).直线PA,PB关于直线x=3对称,直线PA上的点(0,1)关于直线x=3的对称点(6,1)在直线PB上,所以直线PB的方程为x+y-7=0.

  3.(5分)(2015·杭州模拟)已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD斜率的取值范围为      .

  

 

  【解析】从特殊位置考虑.

  

 

  因为点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为

  A1(2,4),所以

=4.

 

  因为点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为

  E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,

  所以

<kFD,即kFD∈(4,+∞).

 

  答案:(4,+∞)

  4.(12分)(2015·厦门模拟)已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2),求:

  

 

  (1)BC边上的高所在直线方程的一般式.

  (2)求△ABC的面积.

  【解析】(1)因为kBC=5,所以BC边上的高AD所在直线斜率k=-

.

 

  所以AD所在直线方程为y+1=-

(x-2).

 

  即x+5y+3=0.

  (2)求得BC直线方程为:5x-y-17=0.

  点A到直线BC的距离为

 

  |BC|=

.S△ABC=3.

 

  【加固训练】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此时点C(7,3)与点D(m,n)重合,求m+n的值.

  【解析】直线AB的斜率为k=

 

  则线段AB的垂直平分线的斜率为k′=2.

  又线段AB的中点坐标为(2,1),

  故线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),

  即2x-y-3=0.

  由已知得点C,D关于线段AB的垂直平分线对称,

  

 

  5.(13分)(能力挑战题)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:

  (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.

  (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.

  【解析】(1)设B关于l的对称点为B′,AB′的延长线交l于P0,在l上任取一点P(与P0不重合),则|PA|-|PB|=|PA|-|PB′|<|AB′|=|P0A|-|P0B′|=|P0A|-|P0B|,则P0即为所求.易求得直线BB′的方程为x+3y-12=0,

  

 

  设B′(a,b),则a+3b-12=0, ①

  又线段BB′的中点

在l上,

 

  故3a-b-6=0. ②

  由①②解得a=3,b=3,所以B′(3,3).

  所以AB′所在直线的方程为2x+y-9=0.

  由

可得P0(2,5).

 

  (2)设C关于l的对称点为C′,与(1)同理可得C′

 

  连接AC′交l于P1,在l上任取一点P(异于P1),有|PA|+|PC|=|PA|+|PC′|>

  |AC′|=|P1C′|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即为所求.

  又AC′:19x+17y-93=0,

  联立

得P1

 

  2017世纪金榜数学第四章(3)

  一、选择题(每小题5分,共25分)

  1.(2015·厦门模拟)函数f(x)=xln x,则(  )

  A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减

  C.在(0,

)上递增 D.在(0,
)上递减

 

  【解析】选D.因为函数f(x)=x ln x,所以f′(x)=ln x+1,f′(x)>0,解得x>

,则函数的单调递增区间为(
,+∞),又f′(x)<0,解得0<x<
,则函数的单调递减区间为(0,
),故选D.

 

  2.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值,则a的取值范围为(  )

  A.a<-1或a>2 B.-3<a<6

  C.-1<a<2 D.a<-3或a>6

  【解题提示】求导,令导数等于零,转化为方程在R上的实数根的情况求解.

  【解析】选D.由已知得:f′(x)=3x2+2ax+a+6=0在R上有两个不相等的实根,所以Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得:a<-3或a>6,故选D.

  【加固训练】设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m≤2时,f(x)=

x3-
mx2+x在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上(  )

 

  A.既有极大值,也有极小值

  B.既有极大值,也有最小值

  C.有极大值,没有极小值

  D.没有极大值,也没有极小值

  【解析】选C.由题设可知:f″(x)<0在(-1,2)上恒成立,由于f′(x)=

x2-mx+1,从而f″(x)=x-m,所以有x-m<0在(-1,2)上恒成立,故知m≥2,又因为m≤2,所以m=2;从而f(x)=
x3-x2+x,令f′(x)=
x2-2x+1=0得x1=2-
∈(-1,2),x2=2+
∉(-1,2);且当x∈(-1,2-
)时f′(x)>0,当x∈(2-
,2)时f′(x)<0,所以在(-1,2)上f(x)在x=2-
处取得极大值,没有极小值.

 

  3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(  )

  A.-2 B.0 C.2 D.4

  【解析】选C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),因为-1≤x≤1,所以令f′(x)>0得-1≤x<0,令f′(x)<0得0<x≤1,所以函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.所以x=0时函数f(x)取得极大值同时也是最大值,即f(x)max=f(0)=2,故C正确.

  4.若函数f(x)=x2+ax+

在(
,+∞)上是增函数,则a的取值范围是(  )

 

  A.[-1,0] B.[-1,+∞)

  C.[0,3] D.[3,+∞)

  【解题提示】由函数f(x)=x2+ax+

在(
,+∞)上是增函数,可得f′(x)

 

  =2x+a-

≥0在(
,+∞)上恒成立,进而可转化为a≥
-2x在(
,+∞)上恒成立,构造函数求解.

 

  【解析】选D.因为f(x)=x2+ax+

在(
,+∞)上是增函数,

 

  故f′(x)=2x+a-

≥0在(
,+∞)上恒成立,即a≥
-2x在(
,+∞)上恒成立,令h(x)=
-2x,则h′(x)=
-2.

 

  当x∈(

,+∞)时,h′(x)<0,则h(x)为减函数,

 

  所以h(x)<h

=3,所以a≥3,故选D.

 

  

5.(2015·兰州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(  )

 

  A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

  B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

  C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

  D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

  【解析】选D.由图象知,f′(-2)=f′(2)=0,且当x<-2时,f′(x)>0,-2<x<1,

  1<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,故f(-2)是极大值,f(2)是极小值.

  二、填空题(每小题5分,共15分)

  6.已知函数f(x)=(ax2+x)-xln x在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是      .

  【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题,再构造函数求解.

  【解析】由题意知:f′(x)=2ax+1-(ln x+1)≥0,即a≥

在x∈[1,+∞)上恒成立;

 

  设g(x)=

,令g′(x)=
=0,解得x=e,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,当x∈[1,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,故g(x)的最大值为g(e)=
,即a≥
.

 

  答案:a≥

 

  7.(2015·银川模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=    .

  【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.

  当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),

  1<x<3时,f′(x)<0;x<1或x>3时,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.

  答案:1

  【误区警示】本题易出现求出m值后不进行验证能否在x=1处取得极小值,导致解题错误.

  8.(2015·湖南十二校联考)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表:

  x-10245

  f(x)12021

  f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值为      .

  

 

  【解析】由y=f′(x)的图象可知,f′(x)与f(x)随x的变化情况如表:

  x(-1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)

  f′(x)+0-0+0-

  f(x)↗极大值↘极小值↗极大值↘

  所以f(2)为f(x)的极小值,f(2)=0.

  答案:0

  三、解答题(每小题10分,共20分)

  9.(2015·东北三省四市联考)已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x-a)2+(ln x-a)2.

  (1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程.

  (2)若g′(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.

  【解析】(1)因为f′(x)=

,所以f′(1)=1,

 

  故切线方程为y=x-1.

  (2)g′(x)=

,

 

  令F(x)=x-

-a,则y=F(x)在[1,+∞)上单调递增,F′(x)=
,则当x≥1时,x2-ln x+a+1≥0恒成立,

 

  即当x≥1时,a≥-x2+ln x-1恒成立.

  令G(x)=-x2+ln x-1,则当x≥1时,G′(x)=

<0,故G(x)=-x2+ln x-1在

 

  [1,+∞)上单调递减,

  从而G(x)max=G(1)=-2,故a≥G(x)max=-2,

  即a的取值范围为a≥-2.

  10.(2014·安徽高考)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.

  (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.

  (2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时x的值.

  【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),

  f′(x)=1+a-2x-3x2,

  令f′(x)=0得x1=

,

 

  x2=

,x1<x2,

 

  所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2),

  当x<x1或x>x2时f′(x)<0;

  当x1<x<x2时f′(x)>0.

  所以f(x)在

内单调递减,

 

  在

内单调递增.

 

  (2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.

  ①当a≥4时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,

  所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.

  ②当0<a<4时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.

  所以f(x)在x=x2=

处取得最大值.

 

  又f(0)=1,f(1)=a,

  所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;

  当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;

  当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.

  【加固训练】(2014·马鞍山模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x.

  (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值.

  (2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.


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