坐标系与参数方程

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　　坐标系与参数方程(1)

　　1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

　　设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

的作用下,点P(x,y)对应到点 ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

 

　　2.极坐标系的概念

　　(1)极坐标系

　　如图所示

,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

 

　　注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

　　(2)极坐标

　　设M是平面内一点,极点

与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ;以极轴 为始边,射线 为终边的角 叫做点M的极角,记为 .有序数对 叫做点M的极坐标,记作 .

 

　　一般地,不作特殊说明时,我们认为

可取任意实数.

 

　　特别地,当点

在极点时,它的极坐标为(0, )( ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

 

　　如果规定

,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标 表示的点也是唯一确定的.

 

　　3.极坐标和直角坐标的互化

　　(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

　　

 

　　(2)互化公式:设

是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐标是 ( ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

 

　　点

直角坐标 极坐标

 

　　互化公式

 

　　在一般情况下,由

确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.

 

　　坐标系与参数方程(2)

　　1.参数方程的概念

　　一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标

都是某个变数 的函数 ①,并且对于 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

 

　　2.参数方程和普通方程的互化

　　(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

　　(2)如果知道变数

中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使 的取值范围保持一致.

 

　　注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

　　3.圆的参数

　　如图所示，设圆

的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，设 ，则 。

 

　　这就是圆心在原点

，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度。

 

　　圆心为

，半径为 的圆的普通方程是 ，

 

　　它的参数方程为：

 

　　

与参数方程(3)

　　以坐标原点

为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为 ，其中参数 称为离心角;焦点在 轴上的椭圆的标准方程是 其参数方程为 其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为 ∈[0，2 )。

 

　　注：椭圆的参数方程中，参数

的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外(即在 到 的范围内)，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有 ，在其他象限内类似。

 

　　5.双曲线的参数方程

　　以坐标原点

为中心，焦点在 轴上的双曲线的标准议程为 其参数方程为 ，其中

 

　　焦点在

轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为

 

　　以上参数

都是双曲线上任意一点的离心角。

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