导读: 适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏,下面是中国招生考试网www chinazhaokao com 小编为大家带来的定义:若两个二次曲线的离心率相 ...
定义:若两个二次曲线的离心率相等(1)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知U=R,集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},则A∩(∁UB)=( )
A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0<x≤2或x≥4} D.{x|0≤x<2或x>4}
2.已知a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则下列关系中正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
3.函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B. C. D.
4.若(1﹣2x)5=a0+a1x+…+a5x5(x∈R),则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=( )
A.243 B.﹣243 C.81 D.﹣81
5.已知离散型随机变量ξ~B(n,p),且E(2ξ+1)=5.8,D(ξ)=1.44,那么n,p的值分别为( )
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
6.设函数f(x)= ,记f1(x)=f(f(x)),f2(x)=f(f1(x)),…,fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,那么下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=0
B.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=0
C.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=1
D.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=1
7.把7个字符1,1,1,A,A,α,β排成一排,要求三个“1”两两不相邻,且两个“A“也不相邻,则这样的排法共有( )
A.12种 B.30种 C.96种 D.144种
8.已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)= 给出下列结论:
①函数f(x)的值域为(0,8];
②对任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( , ),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有5个公共点;
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)⊆(2n,2n+1)”
其中正确命题的序号是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分
9.计算:
(1)( ) ﹣160.25= ;
(2)log93+lg3•log310= .
10.若二项式( ﹣ )n的展开式共有7项,则n= ;展开式中的第三项的系数为 .(用数字作答)
11.已知定义在R上的奇函数f(x)= ,则f(1)= ;不等式f(f(x))≤7的解集为 .
12.我省新高考采用“7选3”的选考模式,即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目,那么所有可能的选考类型共有 种;甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课,甲必选物理和政治,乙不选技术,则两人至少有一门科目相同的选法共有 种(用数学作答)
13.掷两颗质地均匀的骰子,在已知它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率是 .
14.已知a为实数,若函数f(x)=|x2+ax+2|﹣x2在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 .
15.设函数f(x)=ex(x3﹣3x+2﹣c)+x(x≥﹣2),若不等式f(x)≥0恒成立,则实数c的最大值是 .
三、解答题(本大题共5小题,共74分)
16.已知对任意的n∈N*,存在a,b∈R,使得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b)
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)用数学归纳法证明上述恒等式.
17.一个口袋装有大小相同的小球9个,其中红球2个、黑球3个、白球4个,现从中抽取2次,每次抽取一个球.
(Ⅰ)若有放回地抽取2次,求两次所取的球的颜色不同的概率;
(Ⅱ)若不放回地抽取2次,取得红球记2分,取得黑球记1分,取得白球记0分,记两次取球的得分之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
18.已知函数f(x)=x2﹣2x﹣t(t为常数)有两个零点,g(x)= .
(Ⅰ)求g(x)的值域(用t表示);
(Ⅱ)当t变化时,平行于x轴的一条直线与y=|f(x)|的图象恰有三个交点,该直线与y=g(x)的图象的交点横坐标的取值集合为M,求M.
19.定义:若两个二次曲线的离心率相等,则称这两个二次曲线相似.如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,右顶点为A,以其短轴的两个端点B1,B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形,M是C上异于B1,B2的一个动点,△MB1B2的重心为G,G点的轨迹记为C1.
(Ⅰ)(i)求C的方程;
(ii)求证:C1与C相似;
(Ⅱ)过B1点任作一直线,自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P,Q,R,S,求 的取值范围.
20.已知函数f(x)=lnx﹣ ax2+(1﹣a)x,其中a∈R,f(x)的导函数是f′(x).
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)在曲线y=f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),使得直线AB的斜率k=f′( )?若存在,求出x1与x2的关系;若不存在,请说明理由.
定义:若两个二次曲线的离心率相等(2)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知U=R,集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},则A∩(∁UB)=( )
A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0<x≤2或x≥4} D.{x|0≤x<2或x>4}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先求出补集∁UB,再根据并集的定义求出A∪(∁UB).
【解答】解:∵B={x|2≤x≤4},
∴∁UB={x|x<1或x>4},
∵A={x|x≥0},
∴A∪(∁UB)={x|0≤x<1或x>4},
故选:D.
2.已知a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则下列关系中正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵ ,
∴b=( ) >c=( ) ,
∵ ,
∴a=( ) >b=( ) ,
∴a>b>c.
故选:A.
3.函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】直接根据幂函数和对数函数的单调性即可判断.
【解答】解:函数y=x3为单调递增函数,且过定点(1,1),y=log2x为单调递增函数,且过定点(1,0),
故选:A.
4.若(1﹣2x)5=a0+a1x+…+a5x5(x∈R),则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=( )
A.243 B.﹣243 C.81 D.﹣81
【考点】二项式系数的性质.
【分析】可令x=1,求得a0+a1+…+a5=﹣1,再令x=﹣1求得a0﹣a1+…﹣a5=243,而(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=(a0+a2+a4+a1+a3+a5)(a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5),问题得以解决.
【解答】解:∵(1﹣2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
∴令x=1,有a0+a1+…+a5=﹣1
再令x=﹣1,有a0﹣a1+…﹣a5=35…=243,
∴(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3+a5)2=(a0+a2+a4+a1+a3+a5)(a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5)=﹣243.
故选:B.
5.已知离散型随机变量ξ~B(n,p),且E(2ξ+1)=5.8,D(ξ)=1.44,那么n,p的值分别为( )
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
【考点】离散型随机变量的期望与方差.
【分析】由已知求出E(ξ)=2.4,D(ξ)=1.44,利用二项分布的性质列出方程组,能求出n,p的值.
【解答】解:∵离散型随机变量ξ~B(n,p),且E(2ξ+1)=5.8,D(ξ)=1.44,
∴2E(ξ)+1=5.8,∴E(ξ)=2.4,
∴ ,
解得n=6,p=0.4.
故选:B.
6.设函数f(x)= ,记f1(x)=f(f(x)),f2(x)=f(f1(x)),…,fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,那么下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=0
B.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=0
C.f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,f2016(0)=1
D.f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,f2016(0)=1
【考点】函数的值.
【分析】根据函数f(x),求出f1(x)、f2(x),…,fn+1(x)的解析式,即可得出结论.
【解答】解:∵函数f(x)= ,
∴f1(x)=f(f(x))=x,
f2(x)=f(f1(x))= ,
…,
fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*;
又f(x)= =﹣1+ ,
所以f(x)的图象关于点(﹣1,﹣1)对称,且f2016(0)= =1.
故选:D.
7.把7个字符1,1,1,A,A,α,β排成一排,要求三个“1”两两不相邻,且两个“A“也不相邻,则这样的排法共有( )
A.12种 B.30种 C.96种 D.144种
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】先求出两个“A“没有限制的排列,再排除若A,A相邻时的排列,问题得以解决.
【解答】解:先排列A,A,α,β,若A,B不相邻,有A22C32=6种,若A,B相邻,有A33=6种,共有6+6=12种,
从所形成了5个空中选3个插入1,1,1,共有12C53=120,
若A,A相邻时,从所形成了4个空中选3个插入1,1,1,共有6C43=24,
故三个“1”两两不相邻,且两个“A“也不相邻,则这样的排法共有120﹣24=96种,
故选:C.
8.已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)= 给出下列结论:
①函数f(x)的值域为(0,8];
②对任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( , ),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有5个公共点;
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)⊆(2n,2n+1)”
其中正确命题的序号是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①根据分段函数的表达式结合函数的最值进行求解判断,
②利用f(2n)= f(1)进行求解判断,
③作出函数f(x)和y=kx的图象,利用数形结合进行判断,
④根据分段函数的单调性进行判断.
【解答】解:①当1≤x<2时,f(x)=﹣8x(x﹣2)=﹣8(x﹣1)2+8∈(0,8],
②∵f(1)=8,
∴f(2n)= f(2n﹣1)= f(2n﹣2)= f(2n﹣3)=…= f(20)= f(1)= ×8=23﹣n,故②正确,
③当x≥2时,f(x)= f( )∈0,4],故函数f(x)的值域为(0,8];故①正确,
当2≤x<4时,1≤ <2,则f(x)= f( )= [﹣8( ﹣1)2+8]=﹣4( ﹣1)2+4,
当4≤x<8时,2≤ <4,则f(x)= f( )= [﹣4( ﹣1)2+4]=﹣2( ﹣1)2+2,
作出函数f(x)的图象如图:
作出y= x和y= x的图象如图,
当k∈( , ),使得直线y=kx与函数y=f(x)的图象有3个公共点;故③错误,
④由分段函数的表达式得当x∈(2n,2n+1)时,函数f(x)在(2n,2n+1)上为单调递减函数,
则函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在n∈N,使得(a,b)⊆(2n,2n+1)”为真命题.,故④正确,
故选:C
定义:若两个二次曲线的离心率相等(3)
(1)( ) ﹣160.25= ;
(2)log93+lg3•log310= 3 .
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可.
【解答】解:(1)( ) ﹣160.25= ﹣24×0.25= ﹣1= ;
(2)log93+lg3•log310= +lg3 =2+1=3
10.若二项式( ﹣ )n的展开式共有7项,则n= 6 ;展开式中的第三项的系数为 60 .(用数字作答)
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据展开式中的项数共有7项可求出n的值是6,利用二项展开式的通项公式求出通项,令r的指数为2,将r的值代入通项求出展开式中的第三项的系数.
【解答】解:∵二项式( ﹣ )n的展开式共有7项,
∴n=6
展开式的通项为Tr+1=(﹣2)rC6r ,
展开式中的第三项即r=2时,
所以展开式中的第三项的系数为4C62=60
故答案为:6,60
11.已知定义在R上的奇函数f(x)= ,则f(1)= ﹣1 ;不等式f(f(x))≤7的解集为 (﹣∞,2] .
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】由奇函数关于原点对称的性质,即可求得f(1);不等式f(f(x))≤7的解集等价于f(x)≥﹣3的解集,即可求得答案.
【解答】解:∵R上的奇函数f(x)= ,
∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣[( )﹣1﹣1]=﹣1,
∵不等式f(f(x))≤7,f(﹣3)=7,
∴f(x)≥﹣3,
∵R上的奇函数f(x)= ,
∴g(x)=1﹣2x,
∴f(x)≥﹣3等价于 或 ,
可以解得x≤2,
即不等式f(f(x))≤7的解集为(﹣∞,2].
故答案为:﹣1;(﹣∞,2].
12.我省新高考采用“7选3”的选考模式,即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目,那么所有可能的选考类型共有 35 种;甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课,甲必选物理和政治,乙不选技术,则两人至少有一门科目相同的选法共有 92 种(用数学作答)
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】①直接根据组合定义即可求出,
②利用间接法,先求出甲必选物理和政治,乙不选技术的种数,再排除两人没有科目相同的选法,问题得以解决.
【解答】解:①从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目,那么所有可能的选考类型共有C73=35种,
②甲必选物理和政治,乙不选技术,则甲乙的选法为C51C63=100种,
其中没有相同的科目,若甲选技术,则乙有C43=4种,若甲不选技术,甲有4种,乙只有1种,故有4×1=4种,
则其中没有相同的科目的为4+4=8种,
故两人至少有一门科目相同的选法共有100﹣8=92,
故答案为:35,92
13.掷两颗质地均匀的骰子,在已知它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率是 .
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】掷两颗质地均匀的骰子,它们的点数不同,列举出所有的基本事件和其中有一颗是6点包含的基本事件个数,由此能求出它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率.
【解答】解:掷两颗质地均匀的骰子,它们的点数不同,
所有的基本事件为:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
共有30个,
其中有一颗是6点包含的基本事件个数有10个,
∴它们的点数不同的条件下,有一颗是6点的概率p= = .
故答案为: .
14.已知a为实数,若函数f(x)=|x2+ax+2|﹣x2在区间(﹣∞,﹣1)和(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 [﹣8,0) .
【考点】分段函数的应用;函数的单调性及单调区间.
【分析】将函数表示为分段函数形式,结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可.
【解答】解:f(x)=|x2+ax+2|﹣x2= ,
设x2+ax+2=0的两个根分别为x1,x2,(x1<x2),
则f(x)= ,
∵当x≥x2时,函数f(x)=ax+2,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,
∴a<0,
当x1<x<x2时,抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ .
若函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,则﹣ ≤2,得﹣8≤a<0.
若f(x)在区间(﹣∞,﹣1)递减,
则x1= ≥﹣1,
即﹣a﹣ ≥﹣2,
则 ≥a﹣2,
∵﹣8≤a<0,
∴ ≥a﹣2恒成立,
综上﹣8≤a<0,
故答案为:[﹣8,0)
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