第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式

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　　适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏，下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式，希望能帮助到大家!

　　第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式(一)

　　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，cos α(sin α)=tan α.

　　2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2(π)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

　　知识梳理

　　1.同角三角函数的基本关系

　　(1)平方关系：sin2α+cos2α=1.

　　(2)商数关系：cos α(sin α)=tan α.

　　2.三角函数的诱导公式

　　

一二三四五六

 

　　角2kπ+α

　　(k∈Z)π+α-απ-α2(π)-α2(π)+α

　　正弦sin α-sinα-sinαsinαcosαcosα

　　余弦cos α-cosα cosα -cosα sinα-sinα

　　正切tan αtanα-tanα-tanα

　　口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

　　3.特殊角的三角函数值

　　角α0°30°45°60°90°120°150°180°

　　角α的弧度数06(π)4(π)3(π)2(π)3(2π)6(5π)π

　　sin α02(1)2(2)2(3)12(3)2(1)0

　　cos α12(3)2(2)2(1)0-2(1)-2(3)-1

　　tan α03(3)1 --3(3)0

　　辨析感悟

　　1.对三角函数关系式的理解

　　(1)若α，β为锐角，sin2 α+cos2β=1. (×)

　　(2)若α∈R，则tan α=cos α(sin α)恒成立. (×)

　　(3)已知sin α=5(4)，α∈，π(π)，则cos α=5(3).(×)

　　2.对诱导公式的认识

　　(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(√)

　　(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2(π)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. (√)

　　(6)角π+α和α终边关于y轴对称.(×)

　　3.诱导公式的应用

　　(7)若cos(nπ-θ)=3(1)(n∈Z)，则cos θ=3(1). (×)

　　(8)(2013·广东卷改编)已知sin+α(5π)=5(1)，则cos α=-5(1).(×)

　　[感悟·提升]

　　1.一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠2(π)+kπ，k∈Z，如(1)、(2).

　　2.两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3);二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定.

　　第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式(二)

　　【例1】(1)已知tan α=2，则4sin α-9cos α(2sin α-3cos α)=___________，

　　4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________.

　　解析 4sin α-9cos α(2sin α-3cos α)=4tan α-9(2tan α-3)=4×2-9(2×2-3)=-1，

　　4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=sin2 α+cos2α(4sin2α-3sin αcos α-5cos2α)

　　=tan2α+1(4tan2α-3tan α-5)=4+1(4×4-3×2-5)=1.

　　答案 -1 1

　　(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ=8(1)，且4(π)<θ<2(π)，则cos θ-sin θ的值为________.

　　解析 当4(π)<θ<2(π)时，sin θ>cos θ，

　　∴cos θ-sin θ<0，

　　又(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1-4(1)=4(3)，

　　∴cos θ-sin θ=-2(3).

　　答案 -2(3)

　　规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α可以知一求二.

　　(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子.

　　【训练1】 (1)已知sin α+cos α=5(1)，0<α<π，则tan α=______.

　　解析 法一 联立方程

　　sin2α+cos2α=1， ②(，　　　　　　　　　　 　　①)

　　由①得cos α=5(1)-sin α，将其代入②，

　　整理得25sin2α-5sin α-12=0.

　　又0<α<π，∴，(3)∴tan α=-3(4).

　　法二 ∵sin α+cos α=5(1)，∴(sin α+cos α)2=5(1)2，

　　即1+2sin αcos α=25(1)，∴2sin αcos α=-25(24)，

　　∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+25(24)=25(49).

　　∵sin αcos α=-25(12)<0且0<α<π，

　　∴sin α>0，cos α<0，∴sin α-cos α>0，

　　∴sin α-cos α=5(7)，

　　由，(7)得，(3)∴tan α=-3(4).

　　答案 -3(4)

　　(2)已知sin α=2sin β，tan α=3tan β，求cos α=________.

　　解析 ∵sin α=2sin β，tan α=3tan β，

　　∴sin2α=4sin2β，①

　　tan2α=9tan2β，②

　　由①÷②得：9cos2α=4cos2β，③

　　①+③得：sin2α+9cos2α=4，

　　∵cos2α+sin2α=1，∴cos2α=8(3)，即cos α=±4(6).

　　答案 ±4(6)

　　考点二 利用诱导公式化简三角函数式

　　【例2】(1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)=________.

　　解析 原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin1 050°

　　=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)

　　=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°

　　=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)

　　=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=2(3)×2(3)+2(1)×2(1)=1.

　　答案 1

　　(2)设f(α)=+α(π)(1+2sin α≠0)，则f6(23π)=________.

　　解析 ∵f(α)=1+sin2α+sin α-cos2α((-2sin α)(-cos α)+cos α)

　　=2sin2α+sin α(2sin αcos α+cos α)=sin α(1+2sin α)(cos α(1+2sin α))=tan α(1)，

　　∴f6(23π)=6(23π)=6(π)

　　=6(π)=.

　　答案

　　规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.

　　(2)诱导公式应用的步骤：

　　任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→

　　0～2π的角的三角函数→锐角三角函数

　　注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.

　　【训练2】(1)sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)+tan(-1 089°)tan(-540°)=________.

　　解析 原式=(-sin 1 071°)·sin 99°+sin 171°·

　　sin 261°+tan 1 089°·tan 540°

　　=-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)·

　　sin(270°-9°)+tan(3×360°+9°)·tan(360°+180°)

　　=sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°+tan 9°·tan 180°

　　=0+0=0.

　　答案 0

　　(2)化简：2()=________.

　　解析 原式=2()

　　=+α()=(-cos α)sin α(tan αcos αcos α)

　　=-sin α(tan αcos α)=-cos α(sin α)·sin α(cos α)=-1.

　　答案 -1

　　考点三 利用诱导公式求值

　　【例3】(1)已知sin-α(π)=2(1)，则cos+α(π)=______;

　　解析 ∵-α(π)++α(π)=2(π)，

　　∴cos+α(π)=cos-α(π)=sin-α(π)=2(1).

　　答案 2(1)

　　(2)已知tan-α(π)=3(3)，则tanπ+α(5)=________.

　　解析 ∵-α(π)++α(5π)=π，∴tanπ+α(5)=

　　-tanπ+α(5)=-tan-α(π)=-3(3).

　　答案 -3(3)

　　规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有3(π)-α与6(π)+α;3(π)+α与6(π)-α;4(π)+α与4(π)-α等，常见的互补关系有3(π)+θ与3(2π)-θ;4(π)+θ与4(3π)-θ等.

　　第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式(三)

　　【训练3】(1)已知sin+α(7π)=3(2)，则cos12(11π)=________;

　　解析 cos12(11π)=cos-α(11π)=cos+α(π)

　　=-cos+α(π)，

　　而sin+α(7π)=sin+α(π)=cos+α(π)=3(2)，

　　所以cos12(11π)=-3(2).

　　答案 -3(2)

　　(2)若tan(π+α)=-2(1)，则tan(3π-α)=________.

　　解析 因为tan(π+α)=tan α=-2(1)，

　　所以tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=2(1).

　　答案 2(1)

　　课堂小结

　　1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.

　　2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x=cos x(sin x)化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换：1=sin2 θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2 θ)=tan 4(π)=….

　　方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值

　　【典例】(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α+2cos α=2(10)，则tan 2α=( ).

　　A.3(4) B.4(3) C.-4(3) D.-3(4)

　　[一般解法] 由sin α+2cos α=2(10)，得sin α=2(10)-2cos α，①

　　又sin2α+cos2α=1，②

　　联立①②，解得10()或10()

　　所以tan α=cos α(sin α)=3或-3(1).

　　当tan α=3时，tan 2α=1-tan2α(2tan α)=1-32(2×3)=-4(3);

　　当tan α=-3(1)时，tan 2α=1-tan2 α(2tan α)=2(1)=-4(3).

　　综上，tan 2α=-4(3).故选C.

　　[优美解法] 法一 (直接法)两边平方，再同时除以

　　cos2 α，得3tan2 α-8tan α-3=0，tan α=3或tan α=-3(1)，代入tan 2α=1-tan2 α(2tan α)，得到tan 2α=-4(3).

　　法二 (猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α=10(3)，cos α=10(1)，这时sin α+2cos α=2(10)符合要求，此时tan α=3，代入二倍角公式得到答案C.

　　[答案] C

　　[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题;

　　(2)注意公式的变形应用，如sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α，1=sin2α+cos2α及sin α=tan α·cos α等.这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在.

　　【自主体验】

　　(2013·东北三校模拟)已知sin θ+cos θ=3(4)4(π)，则sin θ-cos θ的值为( ).

　　A.3(2) B.-3(2) C.3(1) D.-3(1)

　　解析 法一 ∵0<θ<4(π)，∴cos θ>sin θ，

　　又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=9(16)，

　　∴2sin θcos θ=9(7)，

　　∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-9(7)=9(2)，

　　∴sin θ-cos θ=-3(2).

　　法二 ∵sin θ+cos θ=3(4)，且θ∈4(π).

　　∴θ+4(π)∈2(π)，sin θ+cos θ=sin 4(π)=3(4)，

　　即sin4(π)=3(2)，又cos4(π)=4(π)=2(2)=3(1)，

　　∴sin θ-cos θ=-(cos θ-sin θ)=-cos4(π)=-3(2).

　　答案 B

　　针对训练

　　一、选择题

　　1.已知α和β的终边关于直线y=x对称，且β=-3(π)，则sin α等于( ).

　　A.-2(3) B.2(3) C.-2(1) D.2(1)

　　解析 因为α和β的终边关于直线y=x对称，所以α+β=2kπ+2(π)(k∈Z).又β=-3(π)，所以α=2kπ+6(5π)(k∈Z)，即得sin α=2(1).

　　答案 D

　　2.(2014·临川一中一调)sin6(29π)+cos3(29π)-tan4(25π)=( ).

　　A.0 B.2(1) C.1 D.-2(1)

　　解析 原式=sin(4π+6(5π))+cos(-10π+3(π))-tan(6π+4(π))

　　=sin6(5π)+cos3(π)-tan4(π)

　　=2(1)+2(1)-1=0.

　　答案 A

　　3.(2014·郑州模拟)=( ).

　　A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2

　　C.±(sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2

　　解析 =

　　==|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.

　　答案 A

　　4.(2014·石家庄模拟)已知3cos α-sin α(sin α+3cos α)=5，则sin2 α-sin αcos α的值是( ).

　　A.5(2) B.-5(2) C.-2 D.2

　　解析 由3cos α-sin α(sin α+3cos α)=5得3-tan α(tan α+3)=5

　　即tan α=2，所以sin2 α-sin αcos α=sin2 α+cos2 α(sin2 α-sin αcos α)=tan2 α+1(tan2 α-tan α)=5(2).

　　答案 A

　　5.若sin α是5x2-7x-6=0的根，则

　　sin(π+α)(π)=( ).

　　A.5(3) B.3(5) C.5(4) D.4(5)

　　解析 由5x2-7x-6=0，得x=-5(3)或2.∴sin α=-5(3).∴原式=sin α·(-sin α)·(-sin α)(cos α(-cos α)·tan2α)=-sin α(1)=3(5).

　　答案 B

　　二、填空题

　　6.(2014·杭州模拟)如果sin(π+A)=2(1)，那么cosπ-A(3)的值是________.

　　解析 ∵sin(π+A)=2(1)，∴-sin A=2(1).

　　∴cosπ-A(3)=-sin A=2(1).

　　答案 2(1)

　　7.已知sin12(π)=3(1)，则cos12(7π)的值为________.

　　解析 cos12(7π)=cos2(π)

　　=-sin12(π)=-3(1).

　　答案 -3(1)

　　8.(2013·江南十校第一次考试)已知sin-α(π)=3(1)，且-π<α<-2(π)，则cos-α(π)=________.

　　解析 ∵sin-α(π)=3(1)，

　　又-π<α<-2(π)，

　　∴12(7π)<12(π)-α<12(13π)，

　　∴cos-α(π)=--α(π)=-3(2).

　　答案 -3(2)

　　三、解答题

　　9.化简：sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)(sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α])(k∈Z).

　　解 当k=2n(n∈Z)时，

　　原式=sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)(sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α])

　　=sin(π+α)·cos α(sin(-α)·cos(-π-α))=-sin α·cos α(-sin α(-cos α))=-1;

　　当k=2n+1(n∈Z)时，

　　原式=sin[(2n+1+1)π+α]·cos[(2n+1)π+α](sin[(2n+1)π-α]·cos[(2n+1-1)π-α])

　　=sin α·cos(π+α)(sin(π-α)·cos α)=sin α(-cos α)(sin α·cos α)=-1.

　　综上，原式=-1.

　　10.已知在△ABC中，sin A+cos A=5(1).

　　(1)求sin Acos A的值;

　　(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;

　　(3)求tan A的值.

　　解 (1)∵sin A+cos A=5(1)，①

　　∴两边平方得1+2sin Acos A=25(1)，

　　∴sin Acos A=-25(12)，

　　(2)由sin Acos A=-25(12)<0，且0<A<π，1

　　可知cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形.

　　(3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25(24)=25(49)，

　　又sin A>0，cos A<0，∴sin A-cos A>0，

　　∴sin A-cos A=5(7)，②

　　∴由①，②可得sin A=5(4)，cos A=-5(3)，

　　∴tan A=cos A(sin A)=5(3)=-3(4).

　　提升训练

　　一、选择题

　　1.(2012·辽宁卷)已知sin α-cos α=，α∈(0，π)，则tan α=( ).

　　A.-1 B.-2(2) C.2(2) D.1

　　解析 法一 因为sin α-cos α=，

　　所以sin4(π)=，所以sin4(π)=1.

　　因为α∈(0，π)，所以α=4(3π)，所以tan α=-1.

　　法二 因为sin α-cos α=，所以(sin α-cos α)2=2，所以sin 2α=-1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α=2(3π)，所以α=4(3π)，所以tan α=-1.

　　答案 A

　　2.(2014·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π-α)-3cos+β(π)+5=0，tan(π+α)+6sin(π+β)=1, 则sin α的值是( ).

　　A.5(5) B.7(7) C.10(10) D.3(1)

　　解析 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0，tan α-6sin β=1，解得tan α=3，又sin2α+cos2α=1，α为锐角.

　　故sin α=10(10).

　　答案 C

　　二、填空题

　　3.sin21°+sin22°+…+sin290°=________.

　　解析 sin21°+sin22°+…+sin290°=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°+sin290°=45+2(1)=2(91).

　　答案 2(91)

　　三、解答题

　　4.是否存在α∈2(π)，β∈(0，π)，使等式sin(3π-α)=cos-β(π)，cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在，求出α，β的值;若不存在，请说明理由.

　　解 假设存在角α，β满足条件，

　　则由已知条件可得cos β，(2sin β，)②(①)

　　由①2+②2，得sin2α+3cos2α=2.

　　∴sin2α=2(1)，∴sin α=±2(2).

　　∵α∈2(π)，∴α=±4(π).

　　当α=4(π)时，由②式知cos β=2(3)，

　　又β∈(0，π)，

　　∴β=6(π)，此时①式成立;

　　当α=-4(π)时，由②式知cos β=2(3)，

　　又β∈(0，π)，

　　∴β=6(π)，此时①式不成立，故舍去.

　　∴存在α=4(π)，β=6(π)满足条件.

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