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随机变量及其分布高考题

2016-08-19 13:52:30 编辑:chenghuijun 来源:http://www.chinazhaokao.com 成考报名 浏览:

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  适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏,下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的随机变量及其分布高考题,希望能帮助到大家!

  随机变量及其分布高考题(1)

  设

分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量
表示方程
实根的个数(重根按一个计).

 

  (Ⅰ)求方程

有实根的概率;

 

  (Ⅱ)求

的分布列和数学期望;

 

  (Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程

有实根的概率.

 

  (18)(本小题满分12分)

  解:(Ⅰ)由题意知:设基本事件空间为

,记“方程
没有实根”为事件
,“方程
有且仅有一个实根”为事件
,“方程
有两个相异实数”为事件
,则

 

  

 

  

 

  

 

  所以

是的基本事件总数为36个,
中的基本事件总数为17个,
中的基本事件总数为
个,
中的基本事件总数为17个.

 

  又因为

是互斥事件,

 

  故所求概率

.

 

  (Ⅱ)由题意,

的可能取值为
,则

 

  

 

  

 

  

 

  故

的分布列为:

 

  

 

  

 

  所以

的数学期望
.

 

  (Ⅲ)记“先后两次出现的点数有中5”为事件

,“方程
有实数”为事件
,由上面分析得

 

  

 

  

 

  随机变量及其分布高考题(2)

  (18)(本小题满分12分)

  甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,

  答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为

,乙队中3人答对的概率分别为
且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.

 

  (Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望;

  (Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).

  (Ⅰ)解法一:由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且

  

 

  所以ε的分布列为

  ε0123

  P

 

  ε的数学期望为

  Eε=

 

  解法二:根据题设可知

 

  因此ε的分布列为

  

 

  (Ⅱ)解法一:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、D互斥,又

  

 

  由互斥事件的概率公式得

  

 

  

解法二:用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“已队得k分”这一事件,k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故事

 

  P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

  =

 

  2009年山东高考数学理科

  (19)(本小题满分12分)

  在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q

为0.25,在B处的命中率为q
,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用
表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

 

  

0 2 3 4 5

 

  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

p 0.03 P1 P2 P3 P4

 

  (1) 求q

的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

 

  (2) 求随机变量

的数学期望E
;

 

  (3) 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

  解:(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,

, P(B)= q
,
.

 

  根据分布列知:

=0时
=0.03,所以
,q
=0.8.

 

  (2)当

=2时, P1=
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

 

  

=0.75 q
(
)×2=1.5 q
(
)=0.24

 

  当

=3时, P2 =
=0.01,

 

  当

=4时, P3=
=0.48,

 

  当

=5时, P4=

 

  

=0.24

 

  所以随机变量

的分布列为

 

  

0 2 3 4 5

 

  p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24

  随机变量

的数学期望

 

  (3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

 

  

;

 

  该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

  由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

  【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

  2010年山东高考数

  某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下:

  ①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分 6分,答错任一题减2分;

  ②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;

  ③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.

  假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为

,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

 

  (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;

  (Ⅱ)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ。

  解:设A,B,C,D分别是第一、二、三、四个问题,用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确,

  用Ni(i=1,2,3,4)表示第i个问题回答错误,则Mi与Ni(i=1,2,3,4)是对立事件.由题意得,

  P(M1)=3/4 P(M2)=1/2 P(M3)=1/3 P(M4)=1/4;

  则P(N1)=1/4 P(N2)=1/2 P(N3)=2/3 P(N4)=3/4;

  (Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,

  则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4

  由于每题答题结果相互独立,

  ∴P(Q)=P(M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4)

  =P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4)=1/4

  (Ⅱ)由题意可知随机变量ξ可能的取值为2,3,4,

  由于每题的答题结果都是相对独立的,

  ∵P(ξ=2)=P(N1N2)=1/8

  P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(N1N2N3)=3/8

  P(ξ=4)=1﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3)=1/2

  ∴Eξ=2*1/8+3*3/8+4*1/2=27/8

  (答案二)解:设A、B、C、D分别为第一、二、三、四个问题,

  用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确,

  用Ni(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误,则Mi与Ni是对立事件(i=1,2,3,4),

  由题意得,

 

  所以

 

  (Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,

  则

 

  由于每题答题结果相互独立,因此

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

;

 

  (Ⅱ)由题意,随机变量ξ的可能取值为2,3,4,

  由于每题答题结果相互独立,

  所以

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  因此随机变量ξ的分布列为

  

 

  所以

 

  2011年山东高考数学理科

  18.(本小题满分12分)

  红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。

  (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;

  (Ⅱ)用

表示红队队员获胜的总盘数,求
的分布列和数学期望
.

 

  18.解:(I)设甲胜A的事件为D,

  乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,

  则

分别表示甲不胜A、乙不胜B,丙不胜C的事件。

 

  因为

 

  由对立事件的概率公式知

  

 

  红队至少两人获胜的事件有:

  

 

  由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,

  因此红队至少两人获胜的概率为

  随机变量及其分布高考题(3)

  2012年山东高考数学理科

  (19)(本小题满分12分)

  现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为

,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为
,每命中一次得2分,没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。

 

  (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;

  (Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX

  解析:(Ⅰ)

;

 

  (Ⅱ)

 

  

,

 

  

 

  X012345

  P

 

  E

X=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=
.

 

  2013年山东高考数学理科

  19、(本小题满分12分)

  甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是

外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是
.假设每局比赛结果互相独立。

 

  (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;

  (Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分

的分布列及数学期望。

 

  19、解:(1)设“甲队以3:0胜利”为事件A;“甲队以3:1胜利”为事件B

  “甲队以3:2胜利”为事件C

  

 

  (2)根据题意可知

的可能取值为:“0,1,2,3”

 

  

 

  乙队得分的

的分布列如图所示::

 

  

0123

 

  

 

  数学期望:

  

.

 

  2014年山东高考数学理科

  (18)(本小题满分12分)

  乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,

  

甲上有两个不相交的区域
,乙被划分为两个不相交的区域
.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在
上记3分,在
上记1分,其它情况记0分.对落点在
上的来球,小明回球的落点在
上的概率为
,在
上的概率为
;对落点在
上的来球,小明回球的落点在
上的概率为
,在
上的概率为
.假设共有两次来球且落在
上各一次,小明的两次回球互不影响.求:

 

  (Ⅰ)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;

  (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和

的分布列与数学期望.

 

  18、解:(Ⅰ)设恰有一次的落点在乙上为事件

 

  

 

  (Ⅱ)

的可能取值为

 

  

 

  

 

  

 

  

的分布列为

 

  

012346

 

  P

 

  

其数学期望为

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