导读: 高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(共5篇)高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(含详解)高考资源网(),您身边的高考专家高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线1 已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y12x的焦点,离心率为4(1)求椭圆C的方程;(2)设A、B为椭圆上的两个动点,OAOB0,过原点...
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高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(一)
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(含详解)
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高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线
1. 已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y
12x的焦点,离心率为4
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B为椭圆上的两个动点,OAOB0,过原点O作直线AB的垂线OD,垂
足为D,求点D的轨迹方程.
2. 设直线l:yax1与双曲线C:3x2y21相交于A,B两点,O为坐标原点. (I)a为何值时,以AB为直径的圆过原点.
(II)是否存在实数a,使OAOB且OAOB(2,1),若存在,求a的值,若不存
在,说明理由.
x2y2
3. (理)设双曲线C:221(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线ab
相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
b2e2
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程. a
(文)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求|EF|的最大值.并求出此时b的值. d
欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。
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1y2
1于A、4. 已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线xB两点,且() 222
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点,且0,那么A、B、C、D四点是
否共圆?为什么?
5. 设f(x)x1x(b,c为常数),若f(2),且f(x)0只有唯一实数根 bxc22
(1)求f(x)的解析式
(2)令a11,anf(an1)求数列an的通项公式。
6. 已知点C(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足PM0,PM1 2
(1)当点P在y轴上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由。
7. 设x,yR,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量
axi(y2)j,bxi(y2)j,且ab8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C 的交于A、B两点,设,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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8. 已知倾斜角为45的直线l过点A1,2和点B,点B
在第一象限,AB
(1)求点B的坐标;
x2
2(2)若直线l与双曲线C:2y1a0相交于E,F两点,且线段EF的中点坐标为a
4,1,求a的值;
(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称PQ的最小值为P与线段AB的距离。已知P在x轴上运动,写出点Pt,0到线段AB的距离h关于t的函数关系式。
9. 如图,已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PMPF交x轴于点M,延长MP到N,使PNPM.
⑴求动点N的轨迹C的方程; lOAOB4.若线段AB的长度满足:
⑵设直线与动点N的轨迹C交于A,B两点,若
ABl的斜率的取值范围。
10. 在OAB中,|OA||OB|4,点P分线段AB所成的比为3,以OA、OB所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M恰好经过点P.
⑴求双曲线M的标准方程;
⑵若直线ykxm(mk0)与双曲线M交
于不同的两点E、F,且E、F两点都在以点
Q(0,3)为圆心的同一圆上,求实数m的取值范围.
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11. 经过抛物线y24x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.
(1) 若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程;
(2) 若直线的斜率k>2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为
12. 一束光线从点F1(1,0)出发,经直线l:2xy30上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(Ⅰ)求点F1关于直线l的对称点F1的坐标;
(Ⅱ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程;
(Ⅲ)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点,点Q为线段AB上的动点,求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q的坐标.
1,试确定m的取值范围。 5
x2y2
1,点P(x,y)是椭圆上一点。 13. 已知椭圆E:2516
(1)求xy的最值。
(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积的最大值。
14. 已知椭圆的一个焦点F对应的准线方程为y1(0,22),22292,且离心率e满足,434e,成等比数列. 3
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x平分?若存在,求出l的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
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12
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15.
已知向量a(x),b(1,0),且(a)(a).
(Ⅰ)求点Q(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N,又点A(0,1),当AM时,求实数m的取值范围。
16. 设直线l:yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点. A3k2
(I)证明:a; 13k22
(II)若2,求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
17. 如图,已知⊙O:x2y28及点A2,0,在 ⊙O
上任取一点A′,连AA′并作AA′的中垂线l,设l与直线OA′
交于点P,若点A′取遍⊙O上的点.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若过点O的直线m与曲线C交于M、N两点,且【高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线】
ONOM,则当[6,)时,求直线m的斜率k的取值范
围.
2
2y4mm018. 如图,已知⊙O
:x2及点 ,在 ⊙O上任取M
一点M′,连MM′,并作MM′的中垂线l,设l与OM′交于点P, 若点M′取遍⊙O上的点.
(1)求点P的轨迹C的方程;
2
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高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(二)
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(含详解) (2)
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线
1. 已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y
12
x的焦点,离心率为4
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B为椭圆上的两个动点,OAOB0,过原点O作直线AB的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.
2. 设直线l:yax1与双曲线C:3x2y21相交于A,B两点,O为坐标原点. (I)a为何值时,以AB为直径的圆过原点.
(II)是否存在实数a,使OAOB且OAOB(2,1),若存在,求a的值,若不存在,说明理由.
x2y2
3. (理)设双曲线C:221(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线
ab
相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
b2e2
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程.
a
(文)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求
|EF|
的最大值.并求出此时b的值. d
1y2
1于A、4. 已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线xB两点,且()
22
2
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点,且0,那么A、B、C、D四点是
否共圆?为什么?
5. 设f(x)
x1x
(b,c为常数),若f(2),且f(x)0只有唯一实数根 bxc22
(1)求f(x)的解析式
(2)令a11,anf(an1)求数列an的通项公式。
6. 已知点C(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
PM0,PM
1
2
(1)当点P在y轴上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由。
7. 设x,yR,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量
axi(y2)j,bxi(y2)j,且ab8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C 的交于A、B两点,设,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
8. 已知倾斜角为45的直线l过点A1,2和点B,点B
在第一象限,AB (1)求点B的坐标;
x22
(2)若直线l与双曲线C:2y1a0相交于E,F两点,且线段EF的中点坐标为
a
4,1,求a的值;
(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称PQ的最小值为P与线段AB的距离。已知P在x轴上运动,写出点Pt,0到线段AB的距离h关于t的函数关系式。
9. 如图,已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PMPF交x轴于点M,延长MP到N,使PNPM. ⑴求动点N的轨迹C的方程;
⑵设直线l与动点N的轨迹C交于A,B两点,若OAOB4.若线段AB的长度满足:【高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线】
ABl的斜率的取值范围。
10. 在OAB中,|OA||OB|4,点P分线段AB所成的比为3,以OA、OB所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M恰好经过点P. ⑴求双曲线M的标准方程;
⑵若直线ykxm(mk0)与双曲线M交 于不同的两点E、F,且E、F两点都在以点
Q(0,3)为圆心的同一圆上,求实数m的取值范围.
11. 经过抛物线y24x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点. (1) 若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程; (2) 若直线的斜率k>2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为
12. 一束光线从点F1(1,0)出发,经直线l:2xy30上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(Ⅰ)求点F1关于直线l的对称点F1的坐标; (Ⅱ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程;
(Ⅲ)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点,点Q为线段AB上的动点,求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q的坐标.
1
,试确定m的取值范围。 5
x2y2
1,点P(x,y)是椭圆上一点。 13. 已知椭圆E:
2516
(1)求xy的最值。
(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积的最大值。
14. 已知椭圆的一个焦点F对应的准线方程为y1(0,22),
2
2
29
2,且离心率e满足,43
4
e,成等比数列.
3
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x平分?若存在,求出l的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
1
2
15.
已知向量a(x),b(1,0),且(a)(a). (Ⅰ)求点Q(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N,又点A(0,1),当AM时,求实数m的取值范围。
16. 设直线l:yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、B两个不同的点,与x
轴相交于点C,记O为坐标原点.
A3k2
(I)证明:a;
13k2
2
(II)若2,求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
17. 如图,已知⊙O:x2y28及点A2,0,在 ⊙O上任取一点A′,连AA′并作AA′的中垂线l,设l与直线OA′交于点P,若点A′取遍⊙O上的点. (1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若过点O的直线m与曲线C交于M、N两点,且
2
ONOM,则当
[6,)时,求直线m的斜率k的取值范
围.
2y4mm018. 如图,已知⊙O:x
2及点 ,在 ⊙O上任取M
一点M′,连MM′,并作MM′的中垂线l,设l
与OM′交于点P, 若点M′取
遍⊙O上的点.
(1)求点P的轨迹C的方程;
2
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(三)
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(含详解)
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线
1. 已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y
12
x的焦点,离心率为4
。 (1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B为椭圆上的两个动点,OAOB0,过原点O作直线AB的垂线OD,垂
足为D,求点D的轨迹方程.
2. 设直线l:yax1与双曲线C:3x2y21相交于A,B两点,O为坐标原点. (I)a为何值时,以AB为直径的圆过原点.
(II)是否存在实数a,使OAOB且OAOB(2,1),若存在,求a的值,若不存
在,说明理由.
x2y2
3. (理)设双曲线C:221(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线
ab
相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
b2e2
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程.
a
(文)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求
|EF|
的最大值.并求出此时b的值. d
1y2
1于A、4. 已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线xB两点,且()
22
2
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点,且0,那么A、B、C、D四点是
否共圆?为什么?
5. 设f(x)
x1x
(b,c为常数),若f(2),且f(x)0只有唯一实数根 bxc22
(1)求f(x)的解析式
(2)令a11,anf(an1)求数列an的通项公式。
6. 已知点C(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足PM0,PM
1
2
(1)当点P在y轴上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由。
7. 设x,yR,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量
axi(y2)j,bxi(y2)j,且ab8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C 的交于A、B两点,设,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
8. 已知倾斜角为45的直线l过点A1,2和点B,点B
在第一象限,AB
(1)求点B的坐标;
x22
(2)若直线l与双曲线C:2y1a0相交于E,F两点,且线段EF的中点坐标为
a
4,1,求a的值;
(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称PQ的最小值为P与线段AB的距离。已知P在x轴上运动,写出点Pt,0到线段AB的距离h关于t的函数关系式。
9. 如图,已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PMPF交x轴于点M,延长MP到N,使PNPM.
⑴求动点N的轨迹C的方程;
⑵设直线l与动点N的轨迹C交于A,B两点,若OAOB4.若线段AB的长度满足:
AB,求直线l的斜率的取值范围。
10. 在OAB中,|OA||OB|4,点P分线段AB所成的比为3,以OA、OB所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M恰好经过点P. ⑴求双曲线M的标准方程;
⑵若直线ykxm(mk0)与双曲线M交 于不同的两点E、F,且E、F两点都在以点
Q(0,3)为圆心的同一圆上,求实数m的取值范围.
11. 经过抛物线y24x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点. (1) 若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程; (2) 若直线的斜率k>2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为
12. 一束光线从点F1(1,0)出发,经直线l:2xy30上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(Ⅰ)求点F1关于直线l的对称点F1的坐标; (Ⅱ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程;
(Ⅲ)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点,点Q为线段AB上的动点,求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q的坐标.
1
,试确定m的取值范围。 5
x2y2
1,点P(x,y)是椭圆上一点。 13. 已知椭圆E:
2516
(1)求xy的最值。
(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积的最大值。
29
14. 已知椭圆的一个焦点F,对应的准线方程为,且离心率满足,(0,22)ey21
43
2
2
4
e,成等比数列.
3
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x平分?若存在,求出l的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
1
2
15.
已知向量a(x),b(1,0),且(a)(a).
(Ⅰ)求点Q(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N,又点A(0,1),当AM时,求实数m的取值范围。
16. 设直线l:yk(x1)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、B两个不同的点,与x
轴相交于点C,记O为坐标原点.
A3k2
(I)证明:a;
13k2
2
(II)若2,求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
17. 如图,已知⊙O:x2y28及点A2,0,在 ⊙O上任取一点A′,连AA′并作AA′的中垂线l,设l与直线OA′交于点P,若点A′取遍⊙O上的点. (1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若过点O的直线m与曲线C交于M、N两点,且
ONOM,则当[6,)时,求直线m的斜率k的取值范围.
2
2y4mm018. 如图,已知⊙O
:x2及点 ,在 ⊙O上任取M
一点M′,连MM′,并作MM′的中垂线l,设l与OM′交于点P, 若点M′取
遍⊙O上的点.
(1)求点P的轨迹C的方程;
2
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(四)
高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(含详解)
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高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线
1. 已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y
12
x的焦点,离心率为4
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B为椭圆上的两个动点,OAOB0,过原点O作直线AB的垂线OD,垂
足为D,求点D的轨迹方程.
2. 设直线l:yax1与双曲线C:3xy1相交于A,B两点,O为坐标原点. (I)a为何值时,以AB为直径的圆过原点.
2
2
(II)是否存在实数a,使OAOB且OAOB(2,1),若存在,求a的值,若不存
在,说明理由.
x2y2
3. (理)设双曲线C:221(a>0,b>0)的离心率为e,若准线l与两条渐近线
ab
相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形.
(1)求双曲线C的离心率e的值;
b2e2
(2)若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程.
a
(文)在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BC在y轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E,F两点,原点到直线l的距离为d,求
|EF|
的最大值.并求出此时b的值. d
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1y24. 已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线xB两点,且() 1于A、
22
(1)求直线AB的方程;
2
(2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点,且0,那么A、B、C、D四点是
否共圆?为什么?
5. 设f(x)
x1x
(b,c为常数),若f(2),且f(x)0只有唯一实数根 bxc22
(1)求f(x)的解析式
(2)令a11,anf(an1)求数列an的通项公式。
6. 已知点C(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
0,
1
2
(1)当点P在y轴上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由。
7. 设x,yR,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量
axi(y2)j,bxi(y2)j,且ab8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C 的交于A、B两点,设,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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8. 已知倾斜角为45的直线l过点A1,2和点B,点B
在第一象限,AB
(1)求点B的坐标;
x22
(2)若直线l与双曲线C:2y1a0相交于E,F两点,且线段EF的中点坐标为
a
4,1,求a的值;
(3)对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称PQ的最小值为P与线段AB的距离。已知P在x轴上运动,写出点Pt,0到线段AB的距离h关于t的函数关系式。
9. 如图,已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PMPF交x轴于点M,延长MP到N,使PNPM. ⑴求动点N的轨迹C的方程;
⑵设直线l与动点N的轨迹C交于A,B两点,若OAOB4.若线段AB的长度满足:
ABl的斜率的取值范围。
10. 在OAB中,|OA||OB|4,点P分线段AB所成的比为3,以OA、OB所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M恰好经过点P. ⑴求双曲线M的标准方程;
⑵若直线ykxm(mk0)与双曲线M交 于不同的两点E、F,且E、F两点都在以点
Q(0,3)为圆心的同一圆上,求实数m的取值范围.
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11. 经过抛物线y24x的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点. (1) 若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程; (2) 若直线的斜率k>2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为
12. 一束光线从点F1(1,0)出发,经直线l:2xy30上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(Ⅰ)求点F1关于直线l的对称点F1的坐标; (Ⅱ)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程;
(Ⅲ)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点,点Q为线段AB上的动点,求点Q 到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q的坐标.
1
,试确定m的取值范围。 5
x2y2
1,点P(x,y)是椭圆上一点。 13. 已知椭圆E:
2516
(1)求xy的最值。
(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积的最大值。
14. 已知椭圆的一个焦点F1(0,22),对应的准线方程为y
2
2
29
2,且离心率e满足,43
4
e,成等比数列.
3
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x平分?若存在,求出l的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
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1
2
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15.
已知向量a(x),b(1,0),且(a)(a).
(Ⅰ)求点Q(x,y)的轨迹C的方程;
M(Ⅱ)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N,又点A(0,1),当A
时,求实数m的取值范围。
A16. 设直线l:yk(x1)与椭圆x3ya(a0)相交于A、B两个不同的点,与x
轴相交于点C,记O为坐标原点.
222
3k2
(I)证明:a;
13k2
2
(II)若2,求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.
17. 如图,已知⊙O:x2y28及点A2,0,在 ⊙O上任取一点A′,连AA′并作AA′的中垂线l,设l与直线OA′交于点P,若点A′取遍⊙O上的点. (1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若过点O的直线m与曲线C交于M、N两点,且
ONOM,则当[6,)时,求直线m的斜率k的取值范围.
2
2y4m18. 如图,已知⊙O
:x2m0及点M
2
,在 ⊙O上任取
一点M′,连MM′,并作MM′的中垂线l,设l与OM′交于点P, 若点M′取
遍⊙O上的点.
(1)求点P的轨迹C的方程;
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高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(五)
高考数学140分难点突破训练——立体几何(含详解)
高考数学难点突破训练——立体几何
1. 将两块三角板按图甲方式拼好,其中BD90,ACD30,ACB45,AC2,现将三角板ACD沿AC折起,使D在平面ABC上的射影恰好在AB上,如图乙.
(1)求证:AD平面BDC;
(2)求二面角DACB的大小;
(3)求异面直线AC与BD所成角的大小.
1. (1)设D在AB的射影为O,则DO平面ABC,
DOBC, 又BCBA,BC平面ADB
BCAD,又ADCD,AD平面BDC
(2)由(1)AD
BD,又AD1,ABBD1 O为AB中点
以OB为x轴,OD为z轴,过O且与BC平行的直线为y轴建系,则
A(BCD 设n1(x,y,z)为平面ACD的法向量,由n1AC0,n1AD0,可得n1(1,1,1) 易知n2(0,0,1)为平面ABC
的法向量,cosn1,n2n1n2n1n2
所以所求二面角为arc(3)cosAC,AD ACAD
ACAD1,所以所求角为60 2
2. 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长都等于a,D、E
分别是AC1、BB1的中点,
(1)求证:DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求
其长度;
(2)求二面角EAC1C的大小;
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(3)求点C1到平面AEC的距离.
(1)取AC中点F,连接DF.因为D是AC1的中点,所以DF∥CC1,且DF1CC1.又2BB1//CC1,E是BB1的中点,所以DF∥BE,DF=BE,所以四边形BEDF是平行四边形,所以DE∥BF,DE=BF.因为BB1⊥面ABC,BF面ABC,所以BB1⊥BF.又因为F是AC的中点,△ABC是正三角形,所以BF⊥AC,BFa.因为BB1⊥BF,BB1∥CC1,2
所以BF⊥CC1,所以BF⊥面ACC1A1,又因为AC1面ACC1A1,所以BF⊥AC1,因为DE∥BF,所以DE⊥AC1,DE⊥BB1,所以DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,且DE3a. (2)因为BB1//CC1,DE⊥BB1,所以DE⊥CC1,又因为DE⊥AC1,2
所以DE⊥面ACC1A1.又DE面AEC1,所以面AEC1⊥面ACC1,所以二面角
. (3)连接CE,则三棱锥ACEC1的底面面积为SCEC1EAC1C的大小为90°a2
,2
1a233高ha.所以VACEC1aa.在三棱锥C1AEC中,底面△AEC232212
a25中,AECEa,则其高为a,所以SAEC.设点C1到平面AEC的距离为d,22
由VACEC11a23a,所以da,即点C1到平面AEC的距离为VC1AEC得d32122
3a 2
3. 如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和BC的中点,EF交BD于H.
(1)求二面角1EFB的正切值;
(2)试在棱B1B上找一点M,使D1M平面EFB1,并证明你
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的结论;
(3)求点D1到平面EFB1的距离.【高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线】
(1)连AC,B1H,则EF∥AC,因为AC⊥BD,所以BD⊥EF.因为B1B⊥平面ABCD,所以B1H⊥EF,所以∠B1HB为二面角B1EFB的平面角.在Rt△B1BH中,B1Ba,BHBB2a.所以tanB1HB12. (2)在棱B1B上取中点M,连D1M,BH4
因为EF⊥平面B1BDD1,所以EF⊥D1M.在正方形BB1C1C中,因为M,F分别为BB1,BC的中点,所以B1F⊥C1M.又因为D1C1⊥平面BCC1B1,所以B1F⊥D1C1,所以B1F⊥D1M,所以D1M⊥平面EFB1. (3)设D1M与平面EFB1交于点N,则D1N为点D1到平面EFB1的距离.在Rt△MB1D1中,D1B12D1ND1M.因为D1B12a,
34D1B124D1Ma,所以D1Na,故点D1到平面EFB1的距离为a 32D1M3
4. 如图,斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形,AC⊥CB,∠ABC=45°,侧面 A1ABB1是边长为a的菱形,且垂直于底面ABC,∠A1AB=60°,E、F分别是AB1、 BC的中点.
(1)求证EF//平面A1ACC1;
(2)求EF与侧面A1ABB1所成的角;
(3)求三棱锥A—BCE的体积.
(1)∵A1ABB1是菱形,E是AB1中点, ∴E是A1B中点,
连A1C ∵F是BC中点, ∴EF∥A1C
∵A1C平面A1ACC1,EF平面A1ACC1, ∴EF//平面A1ACC1
(2)作FG⊥AB交AB于G,连EG ∵侧面A1ABB1⊥平面ABC且交线是AB ∴FG⊥平面A1ABB1,∴∠FEG 是EF与平面A1ABB1所成的角
由AB=a,AC⊥BC,∠ABC=45°,得FG2FBaBG 24
由AA1=AB=a,∠A1AB=60°, 得EG3,a tanFEG43FEG30
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(3)VA—BCE=VE—ABC 由②EG⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC,∴EG⊥平面ABC VEABC11a3 ACBCEG3248
5. 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,
D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点。
(I)求证:DE∥平面ABC;
(II)求证:B1F⊥平面AEF;
(III)求二面角B1—AE—F的大小(用反三角函数表示)。 解法一:
(I)连接A1B、A1E,并延长A1E交AC的延长线于
点P,连接BP。
由E为C1C的中点,A1C1∥CP
可证A1E=EP
∵D、E是A1B、A1P的中点,∴DE∥BP
又∵BP平面ABC,DE平面ABC,
∴DE∥平面ABC 4分
(II)∵△ABC为等腰直角三角形,F为BC的中点
∴BC⊥AF,又∵B1B⊥平面ABC,
由三垂线定理可证B1F⊥AF
设AB=A1A=a
aE,FaB,Ea 则B 112322232
4292
4
FEFBE,∴BF⊥FE ∴B 111
∵A 9分 FFEF,∴BF⊥平面AEF1
(III)过F做FM⊥AE于点M,连接B1M
∵B1F⊥平面AEF,
由三垂线定理可证B1M⊥AE
∴∠B1MF为二面角B1—AE—F的平面角
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222
C1C⊥平面ABC,AF⊥FC,由三垂线定理可证EF⊥AF
在Rt△AEF中,可求FM30a 10
在Rt△B1FM中,∠B1FM=90°,
∴t an∠BMF151
∴∠ BMFarct1
∴二面角B1—AE—F的大小为arctan 14分
解法二:
如图建立空间直角坐标系O—xyz
令AB=AA1=4,
则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),
B(4,0,0),B1(4,0,4) 2分
(I)同解法一 6分
(II)BFFM
B1F(2,2,4),EF(2,2,2)
A F(2,2,0)
BF·EF(2)×22××(242)()()01
∴B F⊥EF,∴BF⊥EF11
B F·AF(2)×22×2(4)×001
∴B F⊥AF,∴BF⊥AF11
∵A 10分 FFEF,∴BF⊥平面AEF1
(III)(★有个别学生按超出课本要求的方法求解,按此标准给分)
F(2,2,4) 平面AEF的法向量为B,设平面B1AE的法向量为 1
n·AE0 n(x,y,z),∴ n·BA01
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