新人教版九年级数学圆的小结教学设计

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新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇一：九年级数学圆的教学设计

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇二：新人教版九年级数学上册第二十四章圆的小结课件

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇三：新人教版九年级数学上册圆教案24-1-1

第一课时：圆（一）

教学目标：

1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；

2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；

3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；

4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.

教学重点：点和圆的关系

教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件

教学方法：自主探讨式

教学过程设计(总框架)：

一、 创设情境，开展学习活动

1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：

定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.

2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义. 从旧知识中发现新问题

观察：

共性：这些点到O点的距离相等

想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？ （1） 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）； （2） 到定点距离等于定长的点都在圆上. 定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合. 3、点和圆的位置关系 问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：“数”“形”

点在圆上d=r； 点在圆内d<r； 点在圆外d>r.

二、 例题分析，变式练习

练习： 已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP=10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________. 例1 求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.

已知（略）

求证（略）分析：四边形ABCD是矩形

OA=OC，OB=OD；AC=BDOA=OC=OB=OD要证A、B、C、D 4个点在以O为圆心的圆上

证明：∵ 四边形ABCD是矩形

∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD

∴ OA=OC=OB=OD

∴ A、B、C、D 4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.

符号“”的应用（要求学生了解）

证明：四边形ABCD是矩形

OA=OC=OB=OD

A、B、C、D 4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.

小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等. 问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）

练习1 求证：菱形各边的中点在同一个圆上.

（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成）

练习2 设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.

(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；

(2)和点B的距离等于2cm的点的集合；

(3)和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；

(4)和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；（A层自主完成）

三、 课堂小结

问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：

(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；

(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；

(3)注重对数学能力的培养

作业:练习册.

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇四：新人教版九年级数学上册圆教案24-1-9

圆周角

第一课时

教学目标：

（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；

（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；

（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．

教学重点：圆周角的概念和圆周角定理

教学难点：

圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．

教学活动设计：（在教师指导下完成）

（一）圆周角的概念

1、复习提问：

（1）什么是圆心角？

答：顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）圆心角的度数定理是什么？

答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如右图）

2、引题圆周角：

如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如右图）（演示图形，提出圆周角的定义）

定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

3、概念辨析：

1判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．

学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.

（二）圆周角的定理

1、提出圆周角的度数问题

问题：圆周角的度数与什么有关系？

经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周

角与圆心角，猜想它们有无关系．引导学生在建立关系

时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一

边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部．

（在教师引导下完成）

（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半

.

提出必须用严格的数学方法去证明.

证明:(圆心在圆周角上)

（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：

当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成

圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应

的圆心角的结论.

证明：作出过C的直径（略）

可以发现同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度

数恰好等于这条弧所对等于它所对圆心角的一半.

说明：这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都

化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.（对A层学生

渗透完全归纳法）

2、巩固练习:

（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个．

课堂小结

知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容．

思想方法：一种方法和一种思想：

在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题．

作业:课后练习

板书设计：

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇五：新人教版九年级数学上册圆教案24-4-1

24.4 弧长和扇形面积(第1课时)

教学内容

1．n°的圆心角所对的弧长L= 2．扇形的概念；

3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=

nR360

2

nR180

；

4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标

了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=

nR360

2

nR180

2

和扇形面

积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．

重难点、关键

1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=

nR180

，扇形面积S扇=

nR360

2

及其它们的应用．

2．难点：两个公式的应用．

3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备

小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程

一、复习引入

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？

老师点评：（1）圆的周长C=2R

2

（2）圆的面积S图=R

（3）弧长就是圆的一部分． 二、探索新知

（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． „„

5．n°的圆心角所对的弧长是_______．

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n°的圆心角所对的弧长为

nR360

例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示

AB的长（结果精确到0.1mm）

的管道的展直长度，即

AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 分析：要求

解：R=40mm，n=110

AB的长= ∴

nR180

=

11040180

≈76.8（mm）

因此，管道的展直长度约为76.8mm．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

n

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题： 1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______． 3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______． 4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______． „„

5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______． 老师检察学生练习情况并点评

1．360 2．S扇形=

1360

R 3．S扇形=

2

2360

R 4．S扇形=

2

5R360

2

5．S扇形=

nR360

2

因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形

AB的长例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求（•结果精确到0．1）

和扇形AOB的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

AB的长= 解：

60180

2

×10=1006

103

≈10.5

S扇形=

60360

×10=≈52.3

2

AB的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm． 因此，

巩固练习：课本P122练习．

归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：

1．n°的圆心角所对的弧长L=

nR180

2．扇形的概念．

nR360

2

3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形= 4．运用以上内容，解决具体问题．

布置作业

1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用

5、6

、7． 后记：

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇六：新人教版九年级数学上册圆》小结 公开课课件

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇七：九年级数学 第二十四章圆全章教案 人教新课标版

第二十四章 圆

单元要点分析

教学内容

1．本单元数学的主要内容．

（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．

（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．

（3）正多边形和圆．

（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．

2．本单元在教材中的地位与作用．

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．

教学目标

1．知识与技能

（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．

2．过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

用心 爱心 专心 1

（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．

（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．

3．情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

教学重点

1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．

2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．

3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．

5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

6．直线L和⊙O相交d<r；直线L和圆相切d=r；直线L和⊙O相离d>r及其运用．

7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．

8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│<d<r1+r2；内切d=│r1-r2│；内含d<│r2-r1│．

11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．

nR 12．n°的圆心角所对的弧长为L=，n°的圆心角的扇形面积是S180

其运用这两个公式进行计算．

13．圆锥的侧面积和全面积的计算．

教学难点

1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．

用心 爱心 专心 nR2及扇形=3602

2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．

3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．

4．点与圆的位置关系的应用．

5．三点确定一个圆的探索及应用．

6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．

7．切线的判定定理与性质定理的运用．

8．切线长定理的探索与运用．

9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．

10．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ的关系的应用．

11．n的圆心角所对的弧长L=nR

180及SnR2

扇形＝360的公式的应用．

12．圆锥侧面展开图的理解．

教学关键

1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、“三个”位置关系并推理证明等活动．

2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．

3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，生有条理的思考能力及语言表达能力．

单元课时划分

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

24．1 圆 3课时

24．2 与圆有关的位置关系 4课时

24．3 正多边形和圆 1课时

24．4 弧长和扇形面积 2课时

教学活动、习题课、小结 3课时

用心 爱心 专心 性质、发展学3 ••

24．1 圆

第一课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．

重难点、关键

1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1．举出生活中的圆三、四个．

2．你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结．

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

用心 爱心 专心 4

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

AC”，读 ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作

AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧作“圆弧

叫做劣弧．

AC或BC（如图所示）

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（学生活动）请同学们回答下面两个问题．

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？

2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径．

3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

因此，我们可以得到：

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

用心 爱心 专心 5

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇八：人教版九年级第二十四章《圆》整章教案

24.1.1 圆

【教学过程】

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点．

图1

学生活动设计：

学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．

教师活动设计：

让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情．

二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神

活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆）

图2

学生活动设计：

学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．

教师活动设计：

在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：

圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，

另一个端点A所形成的图形叫作圆；

圆心：固定的端点叫作圆心；

半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径．

圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 图3

同时从圆的定义中归纳：

（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

于是得到圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．

活动3：讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 学生活动设计：

学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果． 教师活动设计：

在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决．

弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径；

弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；

弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作

，读作“圆弧AB”或“弧AB”； AB

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．

优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的

BCABC； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的．

活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？

学生活动设计：

学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流．

教师活动设计：

引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．

图4 图5

三、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力

活动5：如何在操场上画一个半径是5 m的圆？说出你的理由

师生活动设计：

教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆．

活动6：从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？

师生活动设计：

首先求出半径，然后除以20即可．

〔解答〕树干的半径是23÷2＝11．5（cm）．平均每年半径增加11．5÷20＝0．575（cm）．

四、归纳小结、布置作业

1、小结：圆的两种定义以及相关概念．

2、作业：请做一个正方形的车轮，体会在车轮滚动的过程中车身的情况．

五、课后记：

24．1．2 垂直于弦的直径

教学过程

一、 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）

学生活动设计：

学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

教师活动设计：

在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．

二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神

活动2：按下面的步骤做一做：

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；

第二步，得到一条折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；

第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．

图1 图2

在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？

学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，

重合．因此AM=BM，，同理得到． 点A与点B重合，AC与BCAC=BCADBD

在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

活动3：如图3，AB所在圆的圆心是点O，过O作OC

⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．

学生活动设计：

学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条

件，发现若OC⊥AB，且△ADO是直角三角形，则有AD=BD，

在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．

教师活动设计：

在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．

〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8，

在Rt△ADO中AO2OD2AD2，

即R2(R4)282． A图3

解得 R＝10（m）．

答：此圆的半径是10 m． 图4

B

AB，请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法． 活动4：如图4，已知

师生活动设计：

根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．

〔解答〕1．连接AB；

2．作AB的中垂线，交 AB 于点C，点C就是所求的点．

三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．

活动5 解决下列问题

1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．

ABA

B O

图5 图6

学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．

〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF，

根据勾股定理容易计算

OE=1．5米，

OM=3．6米．

所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．

2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道

?

图7 图8

师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．

〔解答〕

如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，

1则AE=AB = 30 cm．令⊙O的半径为R， 2

则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．

解得R =50 cm．

修理人员应准备内径为100 cm的管道．

四、归纳小结、布置作业

1、小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．

2、作业：第88页练习，习题24．1 第1题，第8题，第9题．

五、课后记：

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇九：新人教版九年级数学上册圆教案24-1-10

圆周角 第二课时

教学目标：

（1）掌握圆周角定理的推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；

（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；

（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性．

教学重点：圆周角定理的推论的应用．

教学难点：推论的灵活应用以及辅助线的添加

教学活动设计：

（一）创设学习情境

问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？

问题2：在⊙O中，若

= ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到 = 呢？

（二）分析、研究、交流、归纳

让学生分析、研究，并充分交流．

注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若

，则∠C=∠G；但反之不成=

立．

老师组织学生归纳：

1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”．

问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识） 问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?

学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．

指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握．

（三）应用、反思

交流：①分析解题思路；②作辅助线的方法；③解题推理过程（要规范）．

例2：如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D； 求BC，AD和BD的长．

说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形．

课堂小结（指导学生共同小结）

知识：本节课主要学习了圆周角定理的几及其及推论．

推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握．

能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握．

作业：教材P 习题24.1

板书设计：

教学反思:

新人教版九年级数学圆的小结教学设计篇十：新人教版九年级数学上册圆教案24-1-3

垂直于弦的直径（一）

教学内容：垂直于弦的直径

教学目标：

1、使学生理解圆的轴对称性。

2、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

3、激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力。

教学重点：垂径定理及其应用。

教学难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。

教学过程：

一、复习提问

⒈叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？(根据学生画图的情况，教师进行修正和说明)

⒉教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做

_____________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。

二、动手实践，发现新知

⒈(教师拿出一张圆形纸片)同学们能不能找到这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同

学请举手。 ⒉(请一名学生到前面做演示，教师图示并有目的地引导，提问；)

问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆__________

②回忆一下，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分互相 重合，那么这个图形叫做________，这条直线叫做_________ ③问答式指出：刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经

条

_________。

板书：“1.圆的轴对称性”

说明：圆的对称轴有无数多条，圆的对称轴就是“直径所在的直线”

，但不能说成是圆的

直径。

三、创设情境，探索垂径定理

⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？(斜交，垂直

)

︵ ︵ ︵ ︵

(AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD)

D D

⒉若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？ (AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD)

⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠,实验后提出猜想。

⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。然后让学生阅读课本61面的证明，并回答下列问题：

①书中证明利用了圆的什么性质？

②若只证AE=BE，还有什么方法？

⒌猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做______________

板书：“⒉定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”

指出：该定理反映了圆中垂直于弦的直径的性质，故名“垂径定理”

板书：“7.3垂径定理”

⒍给出定理的推理格式

CD是直径

AE=BE

弧AC=弧BC CD⊥AE 弧AE=弧BD ⒎辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？

D D

⒏垂径定理还可表达为：

一条直线 ① 过圆心 ③ 平分弦 若满足 ④ 平分弦所对的优弧 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧 强调两个条件缺一不可。

四、定理的应用

例1、已知：在圆O中，⑴弦AB=8，O到AB的距离等于3，求圆O的半径。

⑵若OA=10，OE=6，求弦AB的长。

小结：①辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的半径为

r,圆心到弦的距离为d，弦长为a，则r,a,d间有什么关系？根据什么？

(由学生归纳出 r2 = d2 +(a/2)2 ，因此已知r,a,d中的两个量就可求出第三个量。)

变式训练：

问题1：如图1，AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，

AB交小圆交于C、D两点，求证：AC=BD

问题2：把圆中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB，如图2，

是否仍有AC=BD呢？

分析：从已知的图形观察，AB是大圆的弦，若有一条直径垂直于它，则一定平分AB

且又将CD垂直平分，从而得出AC=BD，要求学生自己写出证明过程，并指出该题就是书中的例2，然后让学生对照课本的证明过程校对。

问题3：将图2变成图3，则有①EA=_____，②EC=______。试证明。

分析：将图3中的小圆隐去，等式①的证明只与大圆、中圆有关，与小圆无关。问题转化为与图2情况一样。将图3中的中圆隐去，等式②的证明只与大圆、小圆有关，与中圆无关。问题转化为与图2情况一样。

问题4：在圆2中连结OC，OD，将小圆隐去，得图4，设OC=OD，

求证：AC=BD

问题5：在图2中，连结OA、OB，将大圆隐，得图5，设AO=BO，

求证：AC=BD

问题6：在图5中，已知AC=BD，求证：OA=OB

指出：在圆中解有关弦的问题时，常要作一条辅助线，

它是圆心到弦的垂线段。

课堂小结

师生共同小结本节课所学知识点，常用辅助线方法，蕴含的数学思想。

作业：课本P68 11、12、13

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