一元二次不等式解法

导读：　　　含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。下面是中国招生考试网小编分享的一元二次不等式解法，供你参考。　 ...

　　含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。下面是中国招生考试网小编分享的一元二次不等式解法，供你参考。

　　“三步法”解一元二次不等式

　　利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，三步可求出一元二次不等式的解集，且简便快捷。第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根，第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象，第三步根据图象写出不等式的解集。

　　例1 解不等式

　　

 

　　。

　　解析：方程

　　

 

　　的解为

　　

 

　　。函数

　　

 

　　的图象如图1。因不等式

　　

 

　　的解为抛物线

　　

 

　　在x轴下方对应点的横坐标，所以可得不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　点评：作相关二次函数的图象时，可不必作出y轴，因为求解一元二次不等式，只需找出抛物线在x轴上(或下)方对应点的横坐标，与y轴的位置并无关系。

　　例2 解不等式

　　

 

　　。

　　解析：显然方程

　　

 

　　无解。函数

　　

 

　　的图象如图2。因不等式

　　

 

　　的解为抛物线

　　

 

　　在x轴上方对应点的横坐标，所以不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　点评：对于二次项系数为负的不等式可转化为正系数的情况研究，作二次函数图象时必须弄清楚抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点坐标。

　　例3 解关于x的不等式

　　

 

　　。

　　解析：原不等式等价于

　　

 

　　。方程

　　

 

　　的根为x=a或

　　

 

　　，抛物线

　　

 

　　开口向上。

　　当a=0或a=1时，

　　

 

　　，如图3，原不等式的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　当

　　

 

　　时，

　　

 

　　，如图4，原不等式的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　当a>1或a<0时，

　　

 

　　，如图5，原不等式的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　点评：熟练后只需在大脑中想象出二次函数图象，不必真正画出来。

　　例4 解关于x的不等式

　　

 

　　。

　　解析：原不等式变形为

　　

 

　　当a=0时，原不等式的解为x<1

　　当a<0时，方程

　　

 

　　的两根为1、

　　

 

　　，抛物线开口向下，原不等式的解为

　　

 

　　。

　　当a>0时，

　　

 

　　，抛物线开口向上，原不等式的解为

　　

 

　　。

　　点评：解含参数的一元二次不等式问题需要讨论，运用“三步法”解一元二次不等式，分类标准的确定变得轻松自然，容易理解。

　　例5 已知不等式

　　

 

　　的解集是

　　

 

　　，求不等式

　　

 

　　的解集。

　　解析：不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　，由函数性质知a<0.2、

　　

 

　　为方程

　　

 

　　的两个根。则

　　

 

　　，可得

　　

 

　　不等式

　　

 

　　变为

　　

 

　　，由a<0，得

　　

 

　　，所以其解集为

　　

 

　　。

　　点评：若能发现方程

　　

 

　　与方程

　　

 

　　的根互为倒数，a<0，c>0，想象图象，求解更快捷。有兴趣的同学不妨试一试。

　　例6 已知a≠0，二次函数

　　

 

　　。设

　　

 

　　的解集为A，又已知

　　

 

　　，若

　　

 

　　，求实数a的取值范围。

　　解析：由

　　

 

　　，知二次函数

　　

 

　　的图象必与x轴相交，其开口方向不确定，需要讨论。

　　当a>0时，二次函数

　　

 

　　的图象开口向上，对称轴

　　

 

　　，由

　　

 

　　，如图6知

　　

 

　　从而

　　

 

　　，可得

　　

 

　　。

　　

 

　　当a<0时，二次函数

　　

 

　　的图象开口向下，对称轴

　　

 

　　，由

　　

 

　　，如图7知

　　

 

　　，从而

　　

 

　　，可得a<-2。

　　

 

　　综上，使

　　

 

　　成立的实数a的取值范围为(-∞，-2)

　　

 

　　(

　　

 

　　)。

　　点评：若求出方程

　　

 

　　的根，将得到无理不等式，情况复杂难解。

　　例7 若函数

　　

 

　　的值域为[1，7]，试确定x的取值范围。

　　解析：设

　　

 

　　，由函数

　　

 

　　的值域为[1，7]，得

　　

 

　　。作出

　　

 

　　的图象，如图8。

　　

 

　　由题设知

　　

 

　　，得

　　

 

　　，所以x的取值范围是

　　

 

　　。

　　点评：对于不等式

　　

 

　　，也可以转化为解不等式组

　　

 

　　，但不如上述解法直观明了。

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