人教版九年级数学,,圆的教学设计

导读：　人教版九年级数学,,圆的教学设计(共5篇)...

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人教版九年级数学,,圆的教学设计(一)
人教版九年级上册数学教案-24.1圆

人教版九年级上册数学教案

24.1圆

教学目的：理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系，培养学生用数形结合思想方法分析解决

问题的能力

教学重点、难点：圆的定义的理解

教学关键：理解两点：①在圆上的点，都满足到定点（圆心）的距离等于定长（半径）；

②满足到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点，在以定点为

圆心，定长为半径的圆上。

教学过程： 一、复习旧知：

1、 角平分线及中垂线的定义（用集合的观点解释）

2、 在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较（分别对应重合）。并回答：这些圆为什么能够分别重合？并体会圆是怎样形成的？

二、讲授新课：

1、 让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。 分析归纳圆定义：

在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。

注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O

2、 进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出：

① 圆上各点到定点（圆心）的距离等于定长（半径）

② 到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心，

定长为半径的圆上。由此得出圆的定义：

圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。

3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于

半径的点都在圆内。

圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。同样有：

圆的外部是到圆心的距离

大于半径的点的集合。

4、初步掌握圆与一个集合之间的关系： ⑴已知图形，找点的集合

例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，

则是以点O为圆心，2cm长为半径的点的集合；

以O为圆心，半径为2cm的圆的内部是到

圆心O的距离小于2cm的所有点的集合；

以O为圆心，半径为2cm的圆的外部是到

圆心O的距离大于2cm的点的集合。 ⑵已知点的集合，找图形

例如，和已知点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm长为半径的圆。

5、点与圆的位置关系：

点在圆上，点在圆内，点在圆外。

点与圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系如下：

设圆心为O，半径为r，点P到点O的距离为d，则有

点P在圆内OP＞r

点P在圆上OP＝r

点P在圆外OP＜r

例1：求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。

〈分析〉证明多点共圆，由圆的定义知道，即要证明点A、B、C、D到点O等距离。

三、巩固练习：

1、已知△ABC中，∠C = 90，AC = 2cm，BC = 4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm长为半径画圆，则A、B、C

、M四点中在圆外的有 0

在圆上的有 ，在圆的内部有 。

2、课本P50

3、我们学过的所有顶点共圆的图形还有那些？

四、课后小结：

1、圆的两种定义

2、圆的内部，圆的外部的定义

3、点与圆的位置关系

4、点与圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系

5、多点共圆的证法

五、布置作业：

课本1、（1，2）、2、3、4

教学设计说明

本节课主要是通过圆的概念的探讨，深入地了解圆的形成，从而使学生脱离在小学时的对圆的肤浅认识，掌握圆在初中的知识里更完整的定义。

在教学重点上关键让学生了解圆的两点，简单的说，到圆心距离等于半径的点在圆上，圆上的点到圆心的距离等于半径，在圆的概念的引入时，首先利用集合的语言去解释圆，例如像前面学过的角平分线及中垂线的集合定义，然后利用图形的画法理解圆的定义，这样设计的目的是为了培养学生数形结合的思想。 在教学的讲授中，先让学生自己动手去演示圆的形成，要了解画一个圆的两个必需条件：定点和定长；让学生自己去体会圆的概念，同时，还会体会到圆的内部和外部的意义，并能等同的用集合的定义解释内部和外部，从而又能引出一个点和圆的位置关系，那么，学生会在一系列的过程中更清楚的认识圆的定义，更完整的了解圆。例题的设计是为了使学生掌握多点共圆必须要以定义为依据，并能探索其他的所有顶点共圆的图形。

总之，本节课主要是以教师的引导和讲授为主,通过学生的自我演示去了解圆的形成,培养学生总结归纳的能力,提高探索解决问题的能力,设计上总的框架先探索研究后理解应用.

人教版九年级数学,,圆的教学设计(二)
九年级数学圆教案

圆

第一课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键

1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个．

2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结．

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

AC” ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作，读作“圆AC”或“弧AC”ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）弧．大于半圆的弧（如图所示叫做劣弧． AC或BC

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题．

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为

M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

，，即直径CD平分弦AB，并且平分ACBC （2）AM=BM， ADBDAB及ADB．

这样，我们就得到下面的定理：

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

，. ACBC 求证：AM=BM，ADBD

分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、

•OB或AC、BC即可．

证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中

OAOB



OMOM

∴Rt△OAM

≌Rt△OBM

∴AM=BM

∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直径CD对称

重合，重合． ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BCAD与BD， ∴ACBCADBD

进一步，我们还可以得到结论：

（本题的证明作为课后练习）

D，点O是CD的圆心，•其中 例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中C

D上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径． CD=600m，E为C

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC

设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m ∵OE⊥CD ∴CF=

12

CD=

12

×600=300（m）

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m． 三、巩固练习

教材P86 练习 P88 练习．

四、应用拓展

例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R． 解：不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18 R=30+（R-18） R=900+R-36R+324 解得R=34（m）

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16 342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4

∴不需采取紧急措施．

五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的有关概念；

2

2

2

2

2

B

2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业

1．教材P94 复习巩固1、2、3． 2．车轮为什么是圆的呢？ 3．垂径定理推论的证明． 4．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题． 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（ ）．

BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD

A．CE=DE B．BC

C

(1) (2) (3)

2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）

A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）

 D．PO=PD A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．ADBD

二、填空题

中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．1．如图4，AB为⊙O直径，E是BC

A

B【人教版九年级数学,,圆的教学设计】

(4) (5)

2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

三、综合提高题

1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

2．如图，⊙O直径AB

和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

3．（开放题）

AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC的度数．

答案:

一、1．D 2．D 3．D

二、1．8 2．8 10 3．AB=CD

三、1．AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM． ∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，

∴AN=BM． 2．过O作OF⊥CD于F，如右图所示

∵AE=2，EB=6，∴OE=2，

∴OF=1，连结OD，

在Rt△ODF中，42=12+DF2，． 3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

∵AB=16，AC=8，AD=8

人教版九年级数学,,圆的教学设计(三)
人教版初三圆的教案

个性化教学辅导方案

人教版九年级数学,,圆的教学设计(四)
九年级数学 第二十四章圆全章教案 人教新课标版

第二十四章 圆

单元要点分析

教学内容

1．本单元数学的主要内容．

（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．

（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．

（3）正多边形和圆．

（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．

2．本单元在教材中的地位与作用．

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．

教学目标

1．知识与技能

（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．

2．过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

用心 爱心 专心 1

（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．

（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．

3．情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

教学重点

1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．

2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．

3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．

5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

6．直线L和⊙O相交d<r；直线L和圆相切d=r；直线L和⊙O相离d>r及其运用．

7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．

8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│<d<r1+r2；内切d=│r1-r2│；内含d<│r2-r1│．

11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．

nR 12．n°的圆心角所对的弧长为L=，n°的圆心角的扇形面积是S180

其运用这两个公式进行计算．

13．圆锥的侧面积和全面积的计算．

教学难点

1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．

用心 爱心 专心 nR2及扇形=3602

2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．

3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．

4．点与圆的位置关系的应用．

5．三点确定一个圆的探索及应用．

6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．

7．切线的判定定理与性质定理的运用．

8．切线长定理的探索与运用．

9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．

10．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ的关系的应用．

11．n的圆心角所对的弧长L=nR

180及SnR2

扇形＝360的公式的应用．

12．圆锥侧面展开图的理解．

教学关键

1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、“三个”位置关系并推理证明等活动．

2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．

3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，生有条理的思考能力及语言表达能力．

单元课时划分

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

24．1 圆 3课时

24．2 与圆有关的位置关系 4课时

24．3 正多边形和圆 1课时

24．4 弧长和扇形面积 2课时

教学活动、习题课、小结 3课时

用心 爱心 专心 性质、发展学3 ••

24．1 圆

第一课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．

重难点、关键

1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1．举出生活中的圆三、四个．

2．你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结．

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

用心 爱心 专心 4

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

AC”，读 ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作

AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧作“圆弧

叫做劣弧．

AC或BC（如图所示）

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（学生活动）请同学们回答下面两个问题．

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？

2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径．

3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

因此，我们可以得到：

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

用心 爱心 专心 5

人教版九年级数学,,圆的教学设计(五)
2014-2015学年新人教版九年级上数学教案【24 圆】

九年级数学上册教案

第二十四章 圆

24。1 圆 第一课时

教学内容

1。圆的有关概念。

2。垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用。 教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题。

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念。利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴。通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解。 重难点、关键

1。重点：垂径定理及其运用。

2。难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1。举出生活中的圆三、四个。

2。你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等。（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆。 二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结。

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。 同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”。大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）

AC或BC叫做劣弧。

1

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （学生活动）请同学们回答下面两个问题。

1。圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2。你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流。

（老师点评）1。圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径。 3。我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的。

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由。 （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD。

（2）AM=BM，ACBC，ADBD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ADB。【人教版九年级数学,,圆的教学设计】

已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

求证：AM=BM，ACBC，ADBD.

分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等。因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可。

证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中 OAOB

【人教版九年级数学,,圆的教学设计】

OMOM

∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM

∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直径CD对称

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合。 ∴ACBC，ADBD

例1． 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点例2． O是CD的圆心，•其中CD=600m，E为CD上一点， 例3． 且OE⊥CD，垂足为F

，EF=90m，求这段弯路的半径。

2

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，

这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握。 解：如图，连接OC

设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m

11

∵OE⊥CD ∴CF=CD=×600=300（m）

222

根据勾股定理，得：OC=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m。 三、巩固练习

教材P81P83 练习 四、应用拓展

例2。有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由。

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R。 解：不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18

R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324

解得R=34（m）

B

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

342=162+（34-x）2

22222

16+34-68x+x=34 x-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4

∴不需采取紧急措施。

五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1。圆的有关概念；

2。圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 3。垂径定理及其推论以及它们的应用。 六、布置作业

1。教材P89 复习巩固1、2、3。

24.1 圆(第2课时)

教学内容

1。圆心角的概念。

2。有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

3。定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用。

3

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题。 重难点、关键

1。重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用。

2。难点：探索定理和推导及其应用。 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下题。

已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图

A

形。

老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转

B角∠BOB′=30°。

二、探索新知 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ AB=A'B'，AB=A′B′

理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径OB与OB′重合

∵点A与点A′重合，点B与点B′重合 ∴AB与A'B'重合，弦AB与弦A′B′重合

B' ∴AB=A'B'，AB=A′B′

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作。

（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合。

'B

A'

(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB=A'B'

，AB=A/B/。

4

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等。 （学生活动）请同学们现在给予说明一下。

请三位同学到黑板板书，老师点评。 例1。如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF。 D （1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为

什么？ （2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD呢？

分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可。

（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中， 又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到AB=CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD

11

∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=AB，CF=CD ∴AE=CF

22

又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD 理由是：

∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF

又∵OE⊥AB，OF⊥CD

11

∴AE=AB，CF=CD

22

∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD

∴AB=CD，∠AOB=∠COD 三、巩固练习

教材P85 练习：1 四、应用拓展

例2。如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM。

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由。

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。

5

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