数学三考研2009年答案最后一题

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数学三考研2009年答案最后一题篇一：2009年考研数学三答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

xx3

（1）函数f(x)的可去间断点的个数为：（ ）

sinx

A.

1

B. 2 C.

3

D.无穷多个

【答案】C 【解析】

xx3

fx

sinx

则当x取任何整数时，fx均无意义

故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xx0的解

3

x1,2,30,1

xx313x21

limlimx0sinxx0cosxxx313x22limlim x1sinxx1cosx

xx313x22limlimx1sinxx1cosx

故可去间断点为3个，即0,1

2

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则（ ）

A.a1，b6 B. a1，b6

1

a1b.， C6

【答案】 A

D.a1，b

11

1 6

【解析】f(x)xsinax,g(x)xln(1bx)为等价无穷小，则

2

f(x)xsinaxxsinax1acosaxa2sinaxlimlim2lim2洛lim洛lim2x0g(x)x0xln(1bx)x0x(bx)x0x03bx6bx

第 1 页 共 14 页

a2sinaxa3

lim1 a36b 故排除B,C。 x06b6bax

a

另外lim

1acosax

存在，蕴含了1acosax0x0故a1.排

x03bx2

D。

所以本题选A。 （3）使不等式



x

1

sint

dtlnx成立的x的范围是（ ） t

A.

(0,1)

(1,)(. .BC22,)

D.(,)

【答案】A

【解析】原问题可转化为求

f(x)

xsintx1xsint111sintsint

lnxdtdt0成立时x的1111xttttt

1sint

0，t0,1时，知当x0,1时，f(x)0。故应选A. 取值范围，由tx

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为：

x

则函数Fx

ftdt的图形为（ ）

B.

A.

第 2 页 共 14 页

C.

【答案】D

D.

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由yf(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、

xx0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：

①x0,1时，F(x)0，且单调递减。 ②x1,2时，F(x)单调递增。 ③x2,3时，F(x)为常函数。

④x1,0时，F(x)0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为D。

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3则分块矩阵



*

0BA

的伴随矩阵为（ ） 0

03B*A.*

2A003A*C.*

02B



02B*

B. *

3A0

02A*D.*

03B



1

1

【解析】根据CCCE，若CCC,C

1

C C

分块矩阵

0BA0的行列式0B

A22

（1）AB236，即分块矩阵可逆

第 3 页 共 14 页

0BA0

0B



A0

0BA0

610A

1



01

B610

AA1BB

 0



061A2

故答案为（B）

1B

30



3A

0

2B

 0

100TT

（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP010，若

002

T

，则QAQ 为（ ） P(1,2,3)Q,(12,,)23

210



110A. 002200



010C. 002

【答案】 A

110



B. 120

002100

D.020

002

100【解析】Q(12,2,3)(1,2,3)110(1,2,3)E12(1)，即： 001

QPE12(1)

T

QTAQ[PE12(1)]TA[PE12(1)]E12(1)[PTAP]E12(1)

10E21(1)01

001101

0010

00100

0E12(1)2

00100210

1101101002001002

（7）设事件A与事件B互不相容，则（ ）

A.P(AB)0

B. P(AB)P(A)P(B)

C.P(A)1P(B) D.P(AB)1

第 4 页 共 14 页

【答案】D

【解析】因为A,B互不相容，所以P(AB)0

(A)P(AB)P(AB)1P(AB)，因为P(AB)不一定等于1，所以(A)不正确 (B)当P(A),P(B)不为0时，(B)不成立，故排除 (C)只有当A,B互为对立事件的时候才成立，故排除

(D)P(AB)P(AB)1P(AB)1，故(D)正确。

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y0}P{Y1}

1，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z)2

2

的间断点个数为（ ）

A.

【答案】 B 【解析】

B. 1 C. D. 3

FZ(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1)1

[P(XYzY0)P(XYzY1)]21

[P(X0zY0)P(XzY1)]2X,Y独立

1

FZ(z)[P(x0z)P(xz)]

2

1

（1）若z0，则FZ(z)(z)

21

（2）当z0，则FZ(z)(1(z))

2

z0为间断点，故选（B）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cosxx.

【答案】

3e 2

第 5 页 共 14 页

数学三考研2009年答案最后一题篇二：2009年考研数学三真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数f(x)

xx

3

sinx

的可去间断点的个数为：（ ）

3

A. 1 B. 2 C. D.无穷多个

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则（ ）

A.a1，b B.

6

1

a1，b

16

1

C.a1，b

（3）使不等式

x

16

D.a1，b

6

sintt

1

dtlnx成立的x的范围是（ ）

A.

(0,1)

B.(1,

2

) C.(

2

,)

D.(,)

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为：

则函数Fx



x0

ftdt的图形为（ ）

B.

A.

C.D.

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3则分块矩阵

0B

A

的伴随矩阵为（ ） 0

*3B

 0*3A

 0

0A.*

2A0C.*

2B

0

B. *

3A

*2B

 0*2A

 0

0D.*

3B

（6）设A,P均为3阶矩阵，P

T

1T

为P的转置矩阵，且PAP0

0

T

010

0

0，若2

P(1,2,

2

A.1

02C.0

0

110010

3

)Q,(12,,，则)QAQ 为（ ） 23

1



B. 1

01

D.0

0

120020

0

0 2002

0

0 200 2

（7）设事件A与事件B互不相容，则（ ）

A.P(AB)0

B. P(AB)P(A)P(B)

C.P(A)1P(B) D.P(AB)1

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P{Y0}P{Y1}

12

，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z)的间

断点个数为（ ）

A. 0 B. 1 C.

2

D. 3

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）lim

cosxx0.

zx

(1,0)

（10）设z(xey)x，则



（11）幂级数

n1

e(1)

n

2

nn

x的收敛半径为

n

（12）设某产品的需求函数为QQ(P),其对应价格P的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元

3

（13）设(1,1,1)T,(1,0,k)T，若矩阵T相似于0

0

000

0

0，则k 0

2

(14)设X1，X2,…Xn是来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS，则ET三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)x

2

2

2yylny的极值。

2

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1（17）（本题满分10 分）

dx (x0)

22

计算二重积分(xy)dxdy，其中D(x,y)(x1)(y1)2,yx.



D

（18）（本题满分11 分）

①证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a,

b上连续，在a,

b上可导，则

a,b，得证f(b)f(a)f()ba.

'

'

,(0)内可导，且limf(x)A，则

x0



②证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,

f(0)存在，且f

'

'

(0)A.

（19）（本题满分10 分）

设曲线yf(x)，其中yf(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边

梯形面积值的t倍，求该曲线方程。 （20）（本题满分11 分）

1

设A=1

0

114

111,11 22

2

①求满足A21，A31的所有向量2，3. ②对①中的任意向量2,3证明1,2,3线性无关。 （21）（本题满分11 分） 设二次型f(x1,x2,x3)ax1ax

2

22

(a1)x32x1x32x2x3

2

①求二次型f的矩阵的所有特征值。

②若二次型f(x1,x2,x3)的规范型为y1y1，求a的值。 （22）（本题满分11 分）

ex

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

0yx其他

2

2

①求条件概率密度fY

X

(yx)

②求条件概率PX1Y1

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求PX1Z0.

②求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题及解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数f(x)

xx

3

sinx

的可去间断点的个数为：（ ）

3

A. 1

【答案】C

【解析】 fx

xx

3

B. 2 C. D.无穷多个

sinx

则当x取任何整数时，fx均无意义

故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xx30的解

x1,2,30,1

limlim

xxxx

3

x0

sinx

3

limlim

13x13x

2

x0

cosx

2



1



2

x1

sinxxx

3

x1

cosx

13x

2



2

x1

lim

sinx

lim

x1

cosx

故可去间断点为3个，即0,1

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则（ ）

2

A.a1，b B.

6

1

a1，b

16

1

C.a1，b

6

1

D.a1，b

6

【答案】 A

【解析】f(x)xsinax,g(x)xln(1bx)为等价无穷小，则

f(x)g(x)

2

2

lim

x0

lim

xsinaxxln(1bx)

a

3

x0

2

lim

xsinaxx(bx)

2

x0

洛lim

1acosax3bx

2

x0

洛lim

asinax6bx

2

x0

lim

asinax6baax

x0



6b

1 a6b 故排除B,C。

3

数学三考研2009年答案最后一题篇三：考研数三完整版(历年真题+答案详解)之_2009年真题1

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

xx3

（1）函数f(x)的可去间断点的个数为

sinx

(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则

11. （B）a1，b. 6611

(C)a1，b. （D）a1，b.

66

xsint

dtlnx成立的x的范围是 （3）使不等式1t

(A)a1，b(A)(0,1).

(B)(1,



). (C)(,). 22

(D)(,).

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为

x

则函数Fx

ftdt的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3，则分块矩

OA阵的伴随矩阵为

BO

O(A)*

2AO(C)*

2B

3B*

. O3A*

. O

O (B)*

3AO (D)*

3B

2B*

. O2A*

. O

100TT

（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP010，

002

若P(1,2,3),Q(12,2,3)，则QAQ为

T

210

(A)110.

002200(C)010. 002

110



(B)120.

002100 (D)020.

002

（7）设事件A与事件B互不相容，则

(A)P(AB)0.

(B)P(AB)P(A)P(B).

(D)P(AB)1.

(C)P(A)1P(B).

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y0}P{Y1}

1，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z

)2

的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cosxx0.

z

x(1,0)

（10）设z(xey)x，则

en(1)nn

（11）幂级数x的收敛半径为 . 2

nn1



（12）设某产品的需求函数为QQ(P),其对应价格P的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.

300



（13）设(1,1,1)T,(1,0,k)T，若矩阵T相似于000，则k .

000

(14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样

2

本均值和样本方差，记统计量TXS，则ET2

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）

22

求二元函数f(x,y)x2yylny的极值.



（16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1



dx (x0). （17）（本题满分10 分） 计算二重积分

22

D{(x,y)(x1)(y1)2,yx}. ，其中(xy)dxdy

D

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a,b上连续，在a,b上可导，则

a,b，得证f(b)f(a)f'()ba.

（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,则f'(0)存在，且f(0)A.

'

,(0)内可导，且limf'(x)A，

x0

（19）（本题满分10 分）

设曲线yf(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线

y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）

1111



1,11. 设A=11

0422

（Ⅰ）求满足A21，A231的所有向量2，3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关. （21）（本题满分11 分）

设二次型f(x1,x2,x3)ax12ax22(a1)x322x1x32x2x3. （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12y12，求a的值. （22）（本题满分11 分）

ex

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率PX1Y1.

0yx其他

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求PX1Z0；

（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

xx3

（1）函数f(x)的可去间断点的个数为

sinx

(A)1. (B)2. (C)3. 【答案】C. 【解析】

(D)无穷多个.

xx3

fx

sinx

则当x取任何整数时，fx均无意义

故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xx0的解

3

x1,2,30,1

xx313x21

limlimx0sinxx0cosxxx313x22limlim x1sinxx1cosx

xx313x22limlimx1sinxx1cosx

故可去间断点为3个，即0,1

2

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则

11. （B）a1，b. 6611

(C)a1，b. （D）a1，b.

66

(A)a1，b【答案】A.

【解析】f(x)xsinax,g(x)xln(1bx)为等价无穷小，则

2

f(x)xsinaxxsinax1acosaxa2sinax

limlim2lim2洛lim洛limx0g(x)x0xln(1bx)x0x(bx)x0x03bx26bx

a2sinaxa3lim1 a36b 故排除(B)、(C). x06b6bax

a

另外lim

1acosax

存在，蕴含了1acosax0x0故a1.排(D). 2x03bx

所以本题选(A).

数学三考研2009年答案最后一题篇四：2009年考研数学三真题

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数f(x)

xx

3

sinx

的可去间断点的个数为：（ ）

A.

1

B. 2 C.

3

D.无穷多个

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则（ ）

A.a

1，b

16

B. a1，b16

16

16

C.a1，b

（3）使不等式

x

D.a1，b

sintt

1

dtlnx成立的x的范围是（ ）

A.

(0,1)

B.(1,

2

) C.(

2

,)

D.(,)

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为：

则函数Fx



x

ftdt的图形为（ ）

B.

A.

C.D.

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3则分块矩阵

0B

A

的伴随矩阵为（ ） 0

*3B

 0*3A

 0

0A.*

2A0C.*

2B

0

B. *

3A

*2B

 0*2A

 0

0D.*

3B

（6）设A,P均为3阶矩阵，PT

1T

为P的转置矩阵，且PAP0

0

T

010

0

0，若2

P(1,2,

3

)Q,(12,2,3，则)QAQ 为（ ）

2

A.1

02C.0

0

110010

00 200 2

1



B. 1

01

D.0

0

120020

0

0 2002

（7）设事件A与事件B互不相容，则（ ）

A.P(AB)0

B. P(AB)P(A)P(B)

C.P(A)1P(B) D.P(AB)1

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y0}P{Y1}

12

，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z)的间

断点个数为（ ）

A.

B. 1 C.

2

D. 3

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）lim

cosxx0zx

(1,0)

（10）设z(xey)x，则



（11）幂级数

n1

e(1)

n

2

nn

x的收敛半径为

n

（12）设某产品的需求函数为QQ(P),其对应价格P的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元 3

（13）设(1,1,1)T,(1,0,k)T，若矩阵T相似于0

0

000

0

0，则k 0

2

(14)设X1，X2,…Xn是来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS，则ET

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)x22y2ylny的极值。

2

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1（17）（本题满分10 分）

dx (x0)

22

计算二重积分(xy)dxdy，其中D(x,y)(x1)(y1)2,yx.



D

（18）（本题满分11 分）

①证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a,

b上连续，在a,

b上可导，则

a,b，得证f(b)f(a)f()ba.

'

'

,(0)内可导，且limf(x)A，则

x0



②证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,

f(0)存在，且f

'

'

(0)A.

（19）（本题满分10 分）

设曲线yf(x)，其中yf(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线

y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边

梯形面积值的t倍，求该曲线方程。 （20）（本题满分11 分） 1

设A=1

0

114

111,11 22

①求满足A21，A231的所有向量2，3. ②对①中的任意向量2,3证明1,2,3线性无关。 （21）（本题满分11 分）

设二次型f(x1,x2,x3)ax12ax22(a1)x322x1x32x2x3 ①求二次型f的矩阵的所有特征值。

22

②若二次型f(x1,x2,x3)的规范型为y1y1，求a的值。

（22）（本题满分11 分）

ex设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

0yx其他

①求条件概率密度fY

X

(yx)

②求条件概率PX1Y1 （23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求PX1Z0.

②求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

数学三考研2009年答案最后一题篇五：2009年考研数学一真题及答案

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1. 当x0时，fxxsinax与gxxln1bx等价无穷小，则（ ）

2

AC

a1,b

16

. Ba1,b

16

16

.

16

a1,b.

Da1,b

.

2. 如图，正方形x,yx1,y1被其对角线划分为 四个区域Dkk1,2,3,4，Ik则maxIk（ ）

1k4

ycosxdxdy，

Dk

x

A

I1.

B

I2.

C

I3.

D



I3. 设函数yfx在区间1,3上的图形为：

x

则函数Fx



ftdt的图形为（ ）

B.

A.

C.

n

D.

4. 设有两个数列an,bn，若liman0，则（ ）

A当bn收敛时，anbn收敛.

n1

n1



B当bn发散时，anbn发散.

n1

n1



C当bn收敛时，ab收敛.

2n

2n

n1

n1



D当

n1



22

bn发散时，anbn发散.

n1

5. 设1,2,3是3维向量空间R3的一组基，则由基1,2,3到基

2

3

11

12,23,31的过渡矩阵为（ ） 1A2

0121C

212

023

10. 3141414



1



B0

10

23.

03

12

2

1

61

. 616

121D

4

16

1416

121.

416

**

6. 设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若A2,B3，则分块矩

阵

OBA

的伴随矩阵为（ ） O

*3B

. O*3A

. O

OA*

2AOC*

2B

OB*

3AOD*

3B

*2B

. O*2A

.

O

7. 设随机变量X的分布函数为Fx0.3x0.7

分布函数，则EX（ ）

x1

，其中x为标准正态2

A0.

B

0.3.

C0.7.

D1.

8. 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N0,1，Y的概率分布为

PY0PY1

12

，记FZz为随机变量ZXY的分布函数，则函数FZz

的间断点个数为（ ）

A0.

B1. C2.

D3.

2

二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.） 9. 设函数fu,v具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则

zxy

 。

10. 若二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为yC1C2xe，则非齐

x

次方程yaybyx满足条件y02,y00的解为y 。 11.

已知曲线L:yx

2

0x

2

2

，则xds 。

L

2

12. 设x,y,zxyz1，则zdxdydz。

2



13. 若3维列向量,满足T2，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值

为 。

2

14. 设X1,X2,,Xm为来自二项分布总体Bn,p的简单随机样本，X和S分别为样本

22

均值和样本方差。若XkS为np的无偏估计量，则k

三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

1. （本题满分9分）求二元函数f(x,y)x22y2ylny的极值。

n

2. （本题满分9分）设an为曲线yx与yx

n1

n1,2,.....所围成区域的面积，记



n

S1

a

n1

,S2

a

n1

2n1

，求S1与S2的值。

3. （本题满分11分）椭球面S1是椭圆

x

2

4



y

2

3

1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点

4,0且与椭圆

x

2

4



y

2

3

1 相切的直线绕x轴旋转而成。

（Ⅰ）求S1及S2的方程

（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积。 4. （本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在(a,b)可导，则存在

a,b，使得fbfafba

（Ⅱ）证明：若函数fx在x0处连续，在0,limfxA，则f0存在，且f0A。

0内可导，且

x0

5. （本题满分10分）计算曲面积分I



2x2yz4的外侧。

2

2

2



xdydzydzdxzdxdy

x

2

yz

22



32

，其中

是曲面

6. （本题满分11分）

1



设A1

0

114

111 11 22

2

（Ⅰ）求满足A21的2. A31的所有向量2,3.

（Ⅱ）对①中的任意向量2,3证明1,2,3无关。

7. （本题满分11分）

设二次型fx1,x2,x3ax1ax2a1x32x1x32x2x3

2

2

2

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1y2，求a的值。

8. （本题满分11分）

袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，

以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求pX1Z0；

（Ⅱ）求二维随机变量X,Y概率分布。

9. （本题满分11 分）

2xex,x0

设总体X的概率密度为f(x)，其中参数(0)未知，X1，

0,其他

X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本

(Ⅰ)求参数的矩估计量；

（Ⅱ）求参数的最大似然估计量

数学三考研2009年答案最后一题篇六：2009年考研数学一真题与答案

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1. 当x0时，fxxsinax与gxx2ln1bx等价无穷小，则（ ）

11

a1,ba1,b. . AB66

11

Ca1,b6. Da1,b6.

2. 如图，正方形

x,yx1,y1被其对角线划分为

ycosxdxdy，

Dk

四个区域Dkk1,2,3,4，Ik则maxIk（ ）

1k4

x

AI1.

BI2. CI3.

D

I3. 设函数yfx在区间1,3上的图形为：

x0

则函数Fx

ftdt的图形为（ ）

B.

A.

C.

n

D.

4. 设有两个数列an,bn，若liman0，则（ ）

A当bn收敛时，anbn收敛.

n1

n1



B当bn发散时，anbn发散.

n1

n1



C当

b

n1



n

收敛时，

ab

n1

22nn

收敛.

D当bn

n1

发散时，

ab

n1



22nn

发散.

3

5. 设1,2,3是3维向量空间R的一组基，则由基1,2,3到基

1213

12,23,31的过渡矩阵为（ ）

101



220 A. 033

120



B023.

103

1

21C212

141414

161

. 616

121D416



121416

121. 416

6. 设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A2,B3，则分块矩

阵

OA

的伴随矩阵为（ ）

BO

3B*

. O3A*

. O

OA*

2AOC*

2B

OB*

3AOD*

3B

2B*

. O2A*

.

O

7. 设随机变量X的分布函数为Fx0.3x0.7

分布函数，则EX（ ）

x1

，其中x为标准正态2

A0.

B0.3. C0.7.

D1.

8. 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N0,1，Y的概率分布为

1

PY0PY1，记FZz为随机变量ZXY的分布函数，则函数FZz

2

的间断点个数为（ ）

A0.

B1. C2.

D3.

二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）

2z

9. 设函数fu,v具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则

xy

10. 若二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为yC1C2xe，则非齐

x

次方程yaybyx满足条件y02,y00的解为y 。 11.

已知曲线L:yx12. 设

2

0x，则xds

L

x,y,zx

2

y2z21，则z2dxdydz。



T



13. 若3维列向量,满足

为 。

2，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值

2

14. 设X1,X2,,Xm为来自二项分布总体Bn,p的简单随机样本，X和S分别为样本

2

均值和样本方差。若XkS为np2的无偏估计量，则k。

三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22

1. （本题满分9分）求二元函数f(x,y)x2yylny的极值。



2. （本题满分9分）设an为曲线yx与yx





nn1

n1,2,.....所围成区域的面积，记

S1an,S2a2n1，求S1与S2的值。

n1

n1

x2y2

1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点3. （本题满分11分）椭球面S1是椭圆43

x2y2

4,0且与椭圆1

43

（Ⅰ）求S1及S2的方程

相切的直线绕x轴旋转而成。

（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积。 4. （本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在(a,b)可导，则存在

a,b，使得fbfafba

（Ⅱ）证明：若函数fx在x0处连续，在0,0内可导，且

x0

limfxA，则f0存在，且f0A。

5. （本题满分10分）计算曲面积分I





xdydzydzdxzdxdy

x

2

y2z

3

22

，其中





是曲面

2x22y2z24的外侧。

6. （本题满分11分）

1111

1 11 设A11

0422

（Ⅰ）求满足A21的2. A231的所有向量2,3. （Ⅱ）对①中的任意向量2,3证明1,2,3无关。 7. （本题满分11分）

设二次型fx1,x2,x3ax1ax2a1x32x1x32x2x3

2

2

2

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1，求a的值。 y2

8. （本题满分11分） 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，

以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求pX1Z0；

（Ⅱ）求二维随机变量X,Y概率分布。



9. （本题满分11 分）

2xex,x0

设总体X的概率密度为f(x)，其中参数(0)未知，X1，

0,其他X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本

(Ⅰ)求参数的矩估计量；

（Ⅱ）求参数的最大似然估计量

数学三考研2009年答案最后一题篇七：2009年数学三试题 考研数学真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

xx3

（1）函数f(x)的可去间断点的个数为（）

sinnx

（A）1 （B）2 （C）3 （D）无穷多个

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)等价无穷小，则（）

11 （B）a1,b 6611

（C）a1,b （D）a1,b

66xsinx

dtlnx成立的x的范围是（） （3）使不等式1t

（A）a1,b（A）（0，1）

（B）（1，



） （C）（，） （D）（，） 22

（4）设函数yf(x)在区间[-1,3]上的图形为 则函数F(x)



x

f(t)dt为（）

（5）设Ａ、B均为2阶矩阵，A,B分别为A、B的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩

阵

0BA

的伴随矩阵为（） 0

03B

 （B）03A

02B

 （C）02B

03A

 （D）03B

2A

 0

0（A）

2A

100TT

（6）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAＰ＝010，若

002

P(1,2,3),Q(12,2,3)，则QTAQ为（）

210110200100

（Ａ）1 （Ｂ）120 （Ｃ）01 （Ｄ）020

00002

（7）设事件A与事件B互不相容，则（） （A）P(AB)0

（B）P(AB)P(A)P(B) （D）P(AB)1

（C）P(A)1P(B)

（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为 P{Y=0}=P{Y=1}=为（）

（A）0

1

，记Fz(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数Fz(z)的间断点个数2

（C）2

（D）3

（B）1

二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（9

）cosxx=___________。

（10）设z(xey)x，则

z

=____________。 x(1,0)

en(1)nn

（11）幂级数x的收敛半径为_____________。 2

nn1



（12）设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P的弹性=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加______元

300

（13）设(1,1,1),(1,0,k)，若矩阵T相似于000，则k=_______

000

（14）设X1,X2,...,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差。记统计量TXS，则ET=_________。

2

___

2

三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分为9分）求二元函数f(x,y)x2(2y2)ylny极值。 （16）（本题满分10

分）计算不定积分ln(1（17）（本题满分10分）计算二重积分



(x0) (xy)dxdy，其中

D

D{(x,y)|(x1)2(y1)22,yx}

（18）（本题满分11分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）可导，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()(ba)。

（19）（本题满分10分）设曲线yf(x)，其中yf(x)是可导函数，且f(x)0，已知曲线yf(x)与直线y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的t倍，求该曲线方程。 （20）（本题满分11分）

1111



1,11 设A11

0422

（I）求满足A21,A231的所有向量2,3；

（II）对（I）中的任一向量2,3，证明：1,2,3线性无关。 （21）（本题满分11分）

设二次型f(x1,x2,x3)ax1ax2(a1)x32x1x32x2x3

22

（I）求二次型f的矩阵的所有特征值；（II）若二次型f的规范形为y1，求a的值。 y2

2

2

2

（22）（本题满分11分）

e-xyx设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)

0其他

（I）求条件概率密度fY|X(y|x) （II）求条件概率P[X1|Y1]

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。 （I）求P{X=1|Z=0}。（II）求二维随机变量( X，Y)的概率分布。

数学三考研2009年答案最后一题篇八：2009—2014年考研数学三试题汇总

2009年全国硕士研究生入学统一考试

303 数学三试题

一、单项选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所给选项前的字母填在答题纸指定位．．．置上.

xx31. 函数f(x)的可去间断点的个数为( )

sinx

A. 1 B. 2 C. 3 D. 无穷多个 2. 当x0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则( )

11 B. a1，b 6611

C. a1，b D. a1，b

66

xsint

dtlnx成立的x的范围是( ) 3. 使不等式1t

A. a1，bA. 0,1 B. 1,



 C. 2

, D. , 2

4. 设函数yf(x)在区间1,3上的图形为

则函数F(x)



x

f(t)dt的图形为( )

A. B.

C. D.

5. 设A，B均为2阶矩阵，A，B分别为A，B的伴随矩阵. 若A2，B3，则分

*

*

OA块矩阵的伴随矩阵为( )

BO

OA. *

2AOC. *

2B

3B*

 B. O

3A*

 D. O

O*3AO*3B

2B*

 O2A*

 O

100TT

6. 设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP010. 若

002

P1,2,3，Q12,2,3，则QTAQ为( )

210



A. 110 B.

002

110

120

002

200

C. 010 D.

002

7. 设事件A与事件B互不相容，则( )

100

020 002

A. P(AB)0 B. P(AB)P(A)P(B) C. P(A)1P(B) D. P(AB)1

8. 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

1

PY0PY1. 记Fz(z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(z)的间断

2

点个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置．．．上.

9. cosxx.

10. 设z(xey)x，则

z

.

x1,0

en(1)nn

11. 幂级数x的收敛半径为 . 2

nn1



12. 设某产品的需求函数为QQ(p)，其对价格p的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

300TT

13. 设1,1,1，1,0,k. 若矩阵T相似于000，则k

000

.

14. 设X1，X2，…，Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，和S分别为

2

样本均值和样本方差. 记统计量TS，则ET.

2

三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写．．．出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 本题满分9分

求二元函数f(x,y)x2(2y2)ylny的极值. 16. 本题满分10分

计算不定积分ln1



dx（x0）. 17. 本题满分10分

计算二重积分

22

D(x,y)(x1)(y1)2,yx. ，其中(xy)dxdy

D

18. 本题满分11分

（1）证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，则存在

a,b，使得f(b)f(a)f'()(ba).

f'(x)A，（2）证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,（0）内可导，且lim

x0

则f'(0)存在，且f'(0)A. 19. 本题满分10分

设曲线yf(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)0. 已知曲线yf(x)与直线

y0，x1及xt（t1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲

边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程. 20. 本题满分11分

1111



1，11. 设A11

0422

（1）求满足A21，A231的所有向量2，3； （2）对（1）中的任意向量2，3，证明1，2，3线性无关.

21. 本题满分11分

222

设二次型f(x1,x2,x3)ax1ax2(a1)x32x1x32x2x3.

（1）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22（2）若二次型f的规范形为y1，求a的值. y2

22. 本题满分11分

ex设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

（1）求条件概率密度fYX(yx)； （2）求条件概率PX1Y1. 23. 本题满分11分

0yx其他

.



袋中有1个红球、2个黑球与3个白球. 现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以

X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

（1）求PX1Z0；

（2）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.



数学三考研2009年答案最后一题篇九：2009考研数学(一)试题及详细答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当x0时，fxxsinax与gxxln1bx等价无穷小，则

2

11. . ABa1,ba1,b6611

Ca1,b. Da1,b.

66

【答案】 A

【解析】f(x)xsinax,g(x)xln(1bx)为等价无穷小，则

2

f(x)xsinaxxsinax1acosaxa2sinaxlimlim2lim2洛lim洛lim2x0g(x)x0xln(1bx)x0x(bx)x0x03bx6bxa2sinaxa3lim1 a36b 故排除B,C。 x06b6bax

a

另外lim

所以本题选A。

1acosax

存在，蕴含了1acosax0x0故a1.排D。 2x03bx

（2）如图，正方形

x,yx1,y

1ycosxdxdy，

Dk

四个区域Dkk1,2,3,4，Ik则maxIk

1k4

x

AI1.

BI2. CI3.

DI4.

【答案】A

【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

D2,D4两区域关于x轴对称，而f(x,y)ycosxf(x,y)，即被积函数是关于y的

奇函数，所以I2I40;

D1,D3两区域关于y轴对称，而f(x,y)ycos(x)ycosxf(x,y)，即被积函数是

关于x的偶函数，所以I12ycosxdxdy0；

(x,y)yx,0x1



I32

(x,y)yx,0x1



ycosxdxdy0.所以正确答案为A.

（3）设函数y

fx在区间1,3上的图形为：

则函数Fx

ftdt

的图形为

x

A

B

C

【答案】D

D

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由yf(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、

xx0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：

①x0,1时，F(x)0，且单调递减。 ②x1,2时，F(x)单调递增。

③x2,3时，F(x)为常函数。

④x1,0时，F(x)0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为D。

（4）设有两个数列an,bn，若liman0，则

n

A当bn收敛时，anbn收敛.

n1

n1



B当bn发散时，anbn发散.

n1

n1



C当【答案】C 【解析】 方法一：

b

n1



n

收敛时，

ab

n1

22nn

收敛.

D当bn

n1

发散时，

ab

n1



22nn

发散.

举反例

A取anbn(1)

n

1 n1

D取anbn

n

B取anbn

故答案为（C） 方法二：

因为liman0,则由定义可知N1,使得nN1时，有an1

n

又因为

b

n1



n

收敛，可得limbn0,则由定义可知N2,使得nN2时，有bn1

n



从而，当nN1N2时，有abbn，则由正项级数的比较判别法可知

22nn

ab

n1

22nn

收敛。

（5）设1,2,3是3维向量空间R的一组基，则由基1,2,3到基

3

1213

12,23,31的过渡矩阵为

101



220A. 033121C212

【答案】A

【解析】因为1,2,

的过渡矩阵。

120

B023.

103

1

21D4

16

121416

141414

161

. 616

121. 416

,n到1,2,

,n

,n1,2,,nA，则A称为基1,2,

则由基1,2,3到12,23,31的过渡矩阵M满足

1213

11,,3M 12,23,3121



2

3



101

111,2,3220

32

033

所以此题选A。

**

（6）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若A2,B3，则分块

矩阵

OA

的伴随矩阵为

BO

O3B*A*.

2AOO3A*C*.

O2B

【答案】B

O

B*

3AOD*

3B

2B*

. O2A*

. O

1

C C

【解析】根据CCCE，若CCC,C

11



分块矩阵

0BA0的行列式

B0

A22

（1）AB236，即分块矩阵可逆 0

0BA0

0B



A0

0BA0

610A

1



01

B6

10

AA1BB

 0



061A2

故答案为B。

1B

30



3A0

2B

 0

（7）设随机变量X的分布函数为Fx0.3x0.7

态分布函数，则EX

x1

，其中x为标准正2

A0.

【答案】C

B0.3. C0.7.

D1.

【解析】因为Fx0.3x0.7

x1

， 2

所以Fx0.3x

0.7x1

， 22



所以EX







xFxdx



x1

x0.3x0.35dx

2

0.3

而





xxdx0.35







x1

xdx

2







xxdx0，



x1x1

xdxu22u1udu2 22

所以EX00.3520.7。

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N0,1，Y的概率分布为

1

记FZz为随机变量ZXY的分布函数，则函数FZzPY0PY1，2

的间断点个数为

A0.

【答案】 B

B1. C2.

D3.

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