全国高中数学竞赛试题

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　　参加数学竞赛可以帮助大家更好的进入大学，下面是中国招生考试网http://www.chinazhaokao.com/小编今天为大家精心准备了全国高中数学竞赛试题，希望对大家有所帮助!

　　全国高中数学竞赛试题(一)

　　1、由a2，2-a，4组成的一个集合A，当A中含有3个元素时，实数a的取值可以是( )

　　A、1 B、-2 C、6 D、22、函数的定义域为( )

　　A、{x|x≤1} B、{x|x≥0} C、{x|x≥1或x≤0} D、{x|0≤x≤1}

　　3、若函数为偶函数，则a=( )

　　A、-2 B、2 C、1 D、-1

　　4、若函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是( )

　　A、a≥-3 B、a≤-3 C、a≤5 D、a≥3

　　5、为了得到函数的图象，可以把函数( )

　　A、向左平移3个单位 B、向右平移3个单位

　　C、向左平移1个单位 D、向右平移1个单位

　　6、已知一次函数满足，则的解析式为_____________________

　　7、若，则m=______________

　　8、比较，，的大小关系_______________

　　9、函数的图象与的图象关于直线y=x对称，则函数的单调递增区间是

　　10、正三棱锥的侧棱两两垂直，且侧棱长为，则它的外接球体积为_____________

　　数学答案写在此处

　　1-5

　　6 、7 、8 、 9 、10 、

　　全国高中数学竞赛试题(二)

　　命题教师：1.已知集合，则集合中元素的个数是( )

　　A.1 B.3 C.5 D.9

　　2.有关程序框图的说法中错误的是( )

　　A程序框图是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形

　　B程序框图有三种不同的逻辑结构：顺序结构、条件结构和分支结构

　　C顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构

　　D在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤

　　3.已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是( )

　　A.[-1,3] B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-3,3) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

　　4.设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，，则等于( )

　　A.B.C.D.，则( )

　　A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2

　　6.已知函数，则的值为( )

　　A. B. C. D.-54

　　7.幂函数在(0，+∞)上是减函数，且，

　　则m可能等于( )

　　A.0 B.1 C.2 D.0或1

　　8.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为( )

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　9.高为5，底面边长为的正三棱柱形容器(下有底)内，可放置最大球的半径是( )

　　A. B.2 C. D.

　　10.正方体A1B1C1D1-ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于( )

　　A. B. C. D.

　　11.已知圆C：x2+y2-2x+4y+1=0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(-2,2)的圆的方程是( )

　　A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x-1)2+(y+2)2=25

　　C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x+1)2+(y-2)2=25

　　12.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，

　　则直线AB的方程为( )

　　A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0

　　C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

　　二、填空题(每小题5分，共20分)

　　13.在求方程的正整数解时,某同学给出上述循环

　　程序框图,其输出结果为_______.

　　14.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a 的取值范围为___________.

　　15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

　　体积为___________.

　　16.设为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：

　　①若 ②若

　　③若直线l与平面内的无数条直线垂直则直线l与平面垂直

　　④若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面

　　其中真命题的序号为___________.

　　三、解答题

　　17.(本小题满分10分)

　　已知直线l:y=-2x+6和点A(1，-1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|=5,求直线l1的方程.

　　18.(本小题满分12分)

　　已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，集合B={x|(x-m+2)·(x-m-2)≤0}

　　(1)若A∩B=[0,3]，求实数m的值;

　　(2)若全集U=R，，求实数m的取值范围.

　　19.(本小题满分12分)

　　已知函数

　　(1)求函数f(x)的定义域和值域;

　　(2)证明f(x)在定义域上是增函数。

　　20.(本小题满分12分)

　　已知的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1,x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)

　　(1)求f(1)的值;

　　(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

　　(3)结果f(4)=1,f(x-1)<2，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.

　　21.(本小题满分12分)

　　已知点N(，0)，以N为圆心的圆与直线l1:y=x和l2:y=-x都相切

　　(1)求圆N的方程;

　　(2)设l分别与直线l1和l2交于A、B两点，且AB中点为E(4，-1)，试判断直线l与圆N的位置关系，并说明理由。

　　22.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D、E、F分别为棱AB、BC、A1C1的中点

　　(1)证明：EF∥平面A1CD;

　　(2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1;

　　(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

　　全国高中数学竞赛试题(三)

　　试卷

　　：时间：120 博平

　　一.选择题(本题共10小题，每题4分，共40分)

　　1.已知函数，其中为实数，若对恒成立，

　　且，则的单调递增区间是

　　.B.

　　C.D.

　　2.设A到B的映射f：xy=(x-1),若集合，则集合B不可能是(▲)

　　A、 B、 C、 D、

　　3.已知函数满足，且对任意的，有，设，则的大小关系为

　　A.

　　4.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB﹣sinA，sinB﹣cosA)在(　　)

　　A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

　　5.定义运算，如，则函数的值域是( )

　　A. B. C. D.

　　6.已知，且，则的值为 ( )

　　A. B. C. D.

　　7.我们定义渐近线：已知曲线，如果存在有一条直线，当曲线上任一点沿曲线运动时可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线;下列函数：① ② ③ ④ ⑤，其中有渐近线的个数( )

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　8.函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是(　　)

　　A. B. C. D. 设函数,对任意恒成立,则实数的取值范围是(　　)

　　A. B. C. D.

　　，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是

　　A. B. C. D.

　　二.填空题(本题共5个小题，每题4分，共20分)

　　11.若，则________

　　12.函数的图象为C，如下结论中正确的是　　.

　　①图象C关于直线对称;

　　②图象C关于点对称;

　　③函数f(x)在区间内是增函数;

　　④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C.

　　13若函数对于上的任意都有，则实数的取值范围是▲.

　　14函数，对于任意的

　　，总存在，使得成立，则实数的

　　15.关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是.

　　40分)

　　16.(8分)已知函数的定义域为，求实数的取值范围。

　　17.(10分)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处.AB=20km，BC=10km.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为ykm.

　　(1)按下列要求建立函数关系式：

　　(i)设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数;

　　(ii)设OP=x(km)，将y表示成x的函数;

　　(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.

　　18.(10分)已知，设函数的最小值为

　　()求的表达式;

　　()是否存在区间，使得函数在区间上的值域为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.

　　19)已知函数

　　(I)判断函数在的单调性并用定义证明;

　　(II)令，求在区间的最大值的表达式

　　温州市第二外国语学校2013学年第一学期学科知识竞赛

　　高一数学参考答案

　　一.选择题(本题共10小题，每题4分，共40分)

　　题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B C C C D C C 二.填空题(本题共5个小题，每题4分，共20分)

　　11.

　　12.

　　13.

　　14.

　　15.

　　40分)

　　16.解：的定义域为

　　18. 解：(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，

　　则，故，又OP=10﹣10tanθ，

　　所以，

　　所求函数关系式为

　　②若OP=x(km)，则OQ=10﹣x，所以OA=OB=

　　所求函数关系式为

　　(Ⅱ)选择函数模型①，

　　令y′=0得sin，因为，所以θ=，

　　当时，y′<0，y是θ的减函数;当时，y′>0，y是θ的增函数，所以当θ=时，.这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处.

　　19.

　　()

　　当时，;

　　当时，.

　　综上得;

　　()，则.

　　(1)当，函数在此区间递增，则，显然不符;

　　(2)当，

　　(ⅰ)当，函数在此区间递增，则，显然不符;

　　(ⅱ)当，则，显然不符;

　　(3)当，

　　(ⅰ)当，则，显然不符;

　　(ⅱ)当，函数在此区间递增，则，显然不符;

　　(ⅲ)当，函数在此区间递减，则，符合题意.

　　综上，存在符合题意的，且.

　　22.(本小题15分)解：(I)在递增; (证明略).

　　(II)若，，在递增，，

　　若，)在递减，，

　　若，则

　　当时，函数递增， ，

　　当时，函数递减，;

　　，当 时，，当时，

　　.

　　综上：时，，当时，.

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