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三角形的全等证明100题带答案

2018-09-15 16:06:19 编辑:燕清 来源:http://www.chinazhaokao.com 试题 浏览:

导读:   经过翻转、平移后,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ,而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。中国招生考试网www.chinaz......

  经过翻转、平移后,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ,而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家整理的相关的三角形的全等证明100题带答案供大家参考选择。

  三角形的全等证明100题带答案

  全等三角形证明经典50题(含答案)

  1. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD

  B

  D

  解:延长AD到E,使AD=DE

  ∵D是BC中点

  ∴BD=DC

  在△ACD和△BDE中

  AD=DE

  ∠BDE=∠ADC

  BD=DC

  ∴△ACD≌△BDE

  ∴AC=BE=2

  ∵在△ABE中

  AB-BE<AE<AB+BE

  ∵AB=4

  即4-2<2AD<4+2

  1<AD<3

  ∴AD=2

  2. 已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD?

  1AB 2

  延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB

  ∴ACBP为平行四边形

  又∠ACB=90

  ∴平行四边形ACBP为矩形

  ∴AB=CP=1/2AB

  3. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2

  证明:连接BF和EF

  ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

  ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)

  ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF

  连接BE

  在三角形BEF中,BF=EF

  ∴ ∠EBF=∠BEF。

  ∵ ∠ABC=∠AED。

  ∴ ∠ABE=∠AEB。

  ∴ AB=AE。

  在三角形ABF和三角形AEF中

  AB=AE,BF=EF,

  ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

  ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。

  ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

  4. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC

  过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

  CG∥EF,可得,∠EFD=CGD

  DE=DC

  ∠FDE=∠GDC(对顶角)

  ∴△EFD≌△CGD

  EF=CG

  ∠CGD=∠EFD

  又,EF∥AB

  ∴,∠EFD=∠1

  ∠1=∠2

  ∴∠CGD=∠2

  ∴△AGC为等腰三角形,

  AC=CG

  又 EF=CG

  ∴EF=AC

  5. 已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C

  A

  证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE

  ∵AD平分∠BAC

  ∴∠EAD=∠CAD

  ∵AE=AC,AD=AD

  ∴△AED≌△ACD (SAS)

  ∴∠E=∠C

  ∵AC=AB+BD

  ∴AE=AB+BD

  ∵AE=AB+BE

  ∴BD=BE

  ∴∠BDE=∠E

  ∵∠ABC=∠E+∠BDE

  ∴∠ABC=2∠E

  ∴∠ABC=2∠C

  6. 已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:

  AE=AD+BE

  证明:

  在AE上取F,使EF=EB,连接CF

  ∵CE⊥AB

  ∴∠CEB=∠CEF=90°

  ∵EB=EF,CE=CE,

  ∴△CEB≌△CEF

  ∴∠B=∠CFE

  ∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°

  ∴∠D=∠CFA

  ∵AC平分∠BAD

  ∴∠DAC=∠FAC

  ∵AC=AC

  ∴△ADC≌△AFC(SAS)

  ∴AD=AF

  ∴AE=AF+FE=AD+BE

  7. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD

  B

  D 解:延长AD到E,使AD=DE

  ∵D是BC中点

  ∴BD=DC

  在△ACD和△BDE中

  AD=DE

  ∠BDE=∠ADC

  BD=DC

  ∴△ACD≌△BDE

  ∴AC=BE=2

  ∵在△ABE中

  AB-BE<AE<AB+BE

  ∵AB=4

  即4-2<2AD<4+2

  1<AD<3

  ∴AD=2

  8. 已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD?

  1

  AB

  9. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2

  证明:连接BF和EF。

  ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

  ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

  ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。

  连接BE。

  在三角形BEF中,BF=EF。

  ∴ ∠EBF=∠BEF。

  又∵ ∠ABC=∠AED。

  ∴ ∠ABE=∠AEB。

  ∴ AB=AE。

  在三角形ABF和三角形AEF中,

  AB=AE,BF=EF,

  ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

  ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。

  ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

  10. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC

  过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

  CG∥EF,可得,∠EFD=CGD

  DE=DC

  ∠FDE=∠GDC(对顶角)

  ∴△EFD≌△CGD

  EF=CG

  ∠CGD=∠EFD

  又EF∥AB

  ∴∠EFD=∠1

  ∠1=∠2

  ∴∠CGD=∠2

  ∴△AGC为等腰三角形,

  AC=CG

  又 EF=CG

  ∴EF=AC

  11. 已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C

  B

  证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE

  ∵AD平分∠BAC

  ∴∠EAD=∠CAD

  ∵AE=AC,AD=AD

  ∴△AED≌△ACD (SAS)

  ∴∠E=∠C

  ∵AC=AB+BD

  ∴AE=AB+BD

  ∵AE=AB+BE

  ∴BD=BE

  ∴∠BDE=∠E

  ∵∠ABC=∠E+∠BDE

  ∴∠ABC=2∠E

  ∴∠ABC=2∠C

  12. 已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE

  在AE上取F,使EF=EB,连接CF

  ∵CE⊥AB

  ∴∠CEB=∠CEF=90°

  ∵EB=EF,CE=CE,

  ∴△CEB≌△CEF

  ∴∠B=∠CFE

  ∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°

  ∴∠D=∠CFA

  ∵AC平分∠BAD

  ∴∠DAC=∠FAC

  又∵AC=AC

  ∴△ADC≌△AFC(SAS)

  ∴AD=AF

  ∴AE=AF+FE=AD+BE

  12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。

  在BC上截取BF=AB,连接EF

  ∵BE平分∠ABC

  ∴∠ABE=∠FBE

  又∵BE=BE

  ∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)

  ∴∠A=∠

  BFE

  ∵AB//CD

  ∴∠A+∠D=180o

  ∵∠BFE+∠CFE=180o

  ∴∠D=∠CFE

  又∵∠DCE=∠FCE

  CE平分∠BCD

  CE=CE

  ∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)

  ∴CD=CF

  ∴BC=BF+CF=AB+CD

  13.已知:AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:∠F=∠C

  AB‖ED,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,

  ∵∠EAB=∠BDE,

  ∴∠AED=∠ABD,

  ∴四边形ABDE是平行四边形。

  ∴得:AE=BD,

  ∵AF=CD,EF=BC,

  ∴三角形AEF全等于三角形DBC,

  ∴∠F=∠C。

  14. 已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C

  证明:设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>BC时,E点是射线AB,DC的交点)。则:

  △AED是等腰三角形。

  ∴AE=DE

  而AB=CD

  ∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量)

  ∴△BEC是等腰三角形

  ∴∠B=∠C.

  15. P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB

  A D

  在AC上取点E,

  使AE=AB。

  ∵AE=AB

  AP=AP

  ∠EAP=∠BAE,

  ∴△EAP≌△BAP

  ∴PE=PB。

  PC<EC+PE

  ∴PC<(AC-AE)+PB

  ∴PC-PB<AC-AB。

  16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE

  证明:

  在AC上取一点D,使得角DBC=角C

  ∵∠ABC=3∠C

  ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;

  ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

  ∴AB=AD

  ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

  在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,

  ∴AE垂直BD

  ∵BE⊥AE

  ∴点E一定在直线BD上,

  在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD

  ∴点E也是BD的中点

  ∴BD=2BE

  ∵BD=CD=AC-AB

  ∴AC-AB=2BE

  17. 已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC

  ∵作AG∥BD交DE延长线于G

  ∴AGE全等BDE

  ∴AG=BD=5

  ∴AGF∽CDF

  AF=AG=5

  ∴DC=CF=2

  18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC. 解:延长AD至BC于点E,

  ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形

  ∴∠DBC=∠DCB

  又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

  即∠ABC=∠ACB

  ∴△ABC是等腰三角形

  ∴AB=AC

  在△ABD和△ACD中

  {AB=AC

  ∠1=∠2

  BD=DC

  ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)

  ∴∠BAD=∠CAD

  ∴AE是△ABC的中垂线

  ∴AE⊥BC

  ∴AD⊥BC

  19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.

  求证:∠OAB=∠OBA

  证明:

  ∵OM平分∠POQ

  ∴∠POM=∠QOM

  ∵MA⊥OP,MB⊥OQ

  ∴∠MAO=∠MBO=90

  ∵OM=OM

  ∴△AOM≌△BOM (AAS)

  ∴OA=OB

  ∵ON=ON

  ∴△AON≌△BON (SAS)

  ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB

  ∵∠ONA+∠ONB=180

  ∴∠ONA=∠ONB=90

  ∴OM⊥AB

  20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.

  P E

  D

  做

  BE的延长线,与AP相交于F点,

  ∵PA//BC BA∴∠

  PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA

  的角平分线

  ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形

  在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线

  ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF

  在三角形DEF与三角形BEC中,

  ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,

  ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC

  ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

  21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B

  A

  CDB

  延长AC到E

  使AE=AC 连接 ED

  ∵ AB=AC+CD

  ∴ CD=CE

  可得∠B=∠E

  △CDE为等腰

  ∠ACB=2∠B

  22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.

  (1)求证:MB=MD,ME=MF

  (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.

  (1)连接BE,DF.

  ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,

  ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

  在Rt△DEC和Rt△BFA中,

  ∵AF=CE,AB=CD,

  ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),

  ∴DE=BF.

  ∴四边形BEDF是平行四边形.

  ∴MB=MD,ME=MF;

  (2)连接BE,DF.

  ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,

  ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,

  在Rt△DEC和Rt△BFA中,

  ∵AF=CE,AB=CD,

  ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),

  ∴DE=BF.

  ∴四边形BEDF是平行四边形.

  ∴MB=MD,ME=MF.

  23.已知:如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,

  (1)求证:△AED≌△EBC.

  (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): A

  D

  C

  证明:

  ∵DC∥AB

  ∴∠CDE=∠AED

  ∵DE=DE,DC=AE

  ∴△AED≌△EDC

  ∵E为AB中点

  ∴AE=BE

  ∴BE=DC

  ∵DC∥AB

  ∴∠DCE=∠BEC

  ∵CE=CE

  ∴△EBC≌△EDC

  ∴△AED≌△EBC

  24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.

  求证:BD=2CE.

  F

  AEB E

  证明:

  BC∵∠CEB=∠CAB=90°

  ∴ABCE四点共元

  ∵∠AB E=∠CB E

  ∴AE=CE

  ∴∠ECA=∠EAC

  取线段BD的中点G,连接AG,则:AG=BG=DG

  ∴∠GAB=∠ABG

  而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等)

  ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

  而:AC=AB

  ∴△AEC≌△AGB

  ∴EC=BG=DG

  ∴BE=2CE

  25、如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求证:△AED≌△BFC。 DEFC

  AB

  证明:∵DF=CE,

  ∴DF-EF=CE-EF,

  即DE=CF,

  在△AED和△BFC中,

  ∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF

  ∴△AED≌△BFC(SAS)

  26、(10分)如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。

  求证:AM是△ABC的中线。

  A

  F

  B

  EMC

  证明:

  ∵BE‖CF

  ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM

  ∵BE=CF

  ∴△BEM≌△CFM

  ∴BM=CM

  ∴AM是△ABC的中线.

  27、(10分)如图:在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。求证:BD⊥AC。

  A

  D

  BC

  ∵△ABD和△BCD的三条边都相等

  ∴△ABD=△BCD

  ∴∠ADB=∠CD

  ∴∠ADB=∠CDB=90°

  ∴BD⊥AC

  28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证:BF=CF

  A

  D

  BC

  F

  在△ABD与△ACD中

  AB=AC

  BD=DC

  AD=AD

  ∴△ABD≌△ACD

  ∴∠ADB=∠ADC

  ∴∠BDF=∠FDC

  在△BDF与△FDC中

  BD=DC

  ∠BDF=∠FDC

  DF=DF

  ∴△FBD≌△FCD

  ∴BF=FC

  29、(12分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。

  A

  FB

  E

  CD

  ∵AB=DC

  AE=DF,

  CE=FB

  CE+EF=EF+FB

  ∴△ABE=△CDF

  ∵∠DCB=∠ABF

  AB=DC BF=CE

  △ABF=△CDE

  ∴AF=DE

  30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上

  .

  证明:连接EF

  ∵AB∥CD

  ∴∠B=∠C

  ∵M是BC中点

  ∴BM=CM

  在△BEM和△CFM中

  BE=CF

  ∠B=∠C

  BM=CM

  ∴△BEM≌△CFM(SAS)

  ∴CF=BE

  31.已知:点A、F、E、C在同一条直线上, AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.

  ∵AF=CE,FE=EF.

  ∴AE=CF.

  ∵DF//BE,

  ∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)

  ∵BE=DF

  ∴:△ABE≌△CDF(SAS)

  32.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。

  连接BD;

  ∵AB=AD BC=D

  ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;

  ∵BC=DC E\F是中点

  ∴DE=BF;

  ∵AB=AD DE=BF

  ∠ADC=∠ABC

  ∴AE=AF。 33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.

  AC

  证明:

  在△ADC,△ABC中

  ∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA

  ∴△ADC≌△ABC(两角加一边)

  ∵AB=AD,BC=CD

  在△DEC与△BEC中

  ∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD

  ∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)

  ∴∠DEC=∠BEC

  34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,

  C在AF上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DEF.

  ∵AD=DF

  ∴AC=DF

  ∵AB//DE

  ∴∠A=∠EDF

  又∵BC//EF

  ∴∠F=∠BCA

  ∴△ABC≌△DEF(ASA)

  35.已知:如图,AB=AC,BD?AC,CE?AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:BE=CD.

  E

  证明: A ∵BD⊥AC

  ∴∠BDC=90°

  ∵CE⊥AB

  ∴∠BEC=90°

  ∴∠BDC=∠BEC=90°

  ∵AB=AC

  ∴∠DCB=∠EBC

  ∴BC=BC

  ∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)

  ∴BE=CD

  36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证:DE=DF.

  证明:

  ∵AD是∠BAC的平分线

  ∴∠EAD=∠FAD

  ∵DE⊥AB,DF⊥AC

  ∴∠BFD=∠CFD=90°

  ∴∠AED与∠AFD=90°

  在△AED与△AFD中

  ∠EAD=∠FAD

  AD=AD

  ∠AED=∠AFD

  ∴△AED≌△AFD(AAS)

  ∴AE=AF

  在△AEO与△AFO中

  ∠EAO=∠FAO

  AO=AO

  AE=AF

  ∴△AEO≌△AFO(SAS)

  ∴∠AOE=∠AOF=90°

  ∴AD⊥EF

  37.已知:如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE.若AB = 5 ,求AD 的长?

  ∵AD⊥AB

  ∴∠BAC=∠ADE 又∵

  AC⊥BC于C,DE⊥AC于E

  根据三角形角度之和等于180度

  ∴∠ABC=∠DAE

  ∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)

  ∴AD=AB=5

  38.如图:AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。求证:MB=MC

  A

  C

  证明:

  ∵AB=AC

  ∴∠B=∠C

  ∵ME⊥AB,MF⊥AC

  ∴∠BEM=∠CFM=90°

  在△BME和△CMF中

  ∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF

  ∴△BME≌△CMF(AAS)

  ∴MB=MC.

  39.如图,给出五个等量关系:①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.

  已知:①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA

  求证:△DAB≌△CBA

  证明:∵AD=BC,∠DAB=∠CBA

  又∵AB=AB

  ∴△DAB≌△CBA

  40.在△ABC中,?ACB?90?,AC?BC,直线MN经过点C,且AD?MN于D,

  求证: ①?ADC≌?CEB;BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,

  ②DE?AD?BE;

  (2)当直线MN

  绕点C旋转到图

  2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.

  (1)

  ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,

  ∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.

  ∴∠CAD=∠BCE.

  ∵AC=BC,

  ∴△ADC≌△CEB.

  ②∵△ADC≌△CEB,

  ∴CE=AD,CD=BE.

  ∴DE=CE+CD=AD+BE.

  (2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,

  ∴∠ACD=∠CBE.

  又∵AC=BC,

  ∴△ACD≌△CBE.

  ∴CE=AD,CD=BE.

  ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

  41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF

  E C

  (1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,

  ∴∠BAE=∠CAF=90°,

  ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,

  即∠EAC=∠BAF,

  在△ABF和△AEC中,

  ∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,

  ∴△ABF≌△AEC(SAS),

  ∴EC=BF;

  (2)如图,根据(1),△ABF≌△AEC,

  ∴∠AEC=∠ABF,

  ∵AE⊥AB,

  ∴∠BAE=90°,

  ∴∠AEC+∠ADE=90°,

  ∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),

  ∴∠ABF+∠BDM=90°,

  在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,

  ∴EC⊥BF.

  42.如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。

  证明:

  (1)

  ∵BE⊥AC,CF⊥AB

  ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°

  ∴∠ABM=∠ACN

  ∵BM=AC,CN=AB

  ∴△ABM≌△NAC

  ∴AM=AN

  (2)

  ∵△ABM≌△NAC

  ∴∠BAM=∠N

  ∵∠N+∠BAN=90°

  ∴∠BAM+∠BAN=90°

  即∠MAN=90°

  ∴AM⊥AN

  43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

  在△ABF和△CDE中

  ,AB=DE

  ∠A=∠D

  AF=CD

  ∴△ABF≡△CDE(边角边)

  ∴FB=CE

  在四边形BCEF中

  FB=CE

  BC=EF

  ∴四边形BCEF是平行四边形

  ∴BC‖EF

  44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由

  在AB上取点N ,使得AN=AC

  ∵∠CAE=∠EAN

  ∴AE为公共,

  ∴△CAE≌△EAN

  ∴∠ANE=∠ACE

  又∵AC平行BD

  ∴∠ACE+∠BDE=180

  而∠ANE+∠ENB=180

  ∴∠ENB=∠BDE

  ∠NBE=∠EBN

  ∵BE为公共边

  ∴△EBN≌△EBD

  ∴BD=BN

  ∴AB=AN+BN=AC+BD

  45、(10分) 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE.求证:BE∥CF.

  证明:

  ∵AD是△ABC的中线

  BD=CD

  ∵DF=DE(已知)

  ∠BDE=∠FDC

  ∴△BDE≌△FDC

  则∠EBD=∠FCD

  ∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。

  46、(10分)已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE?BF. 求证:AB∥CD.

  D

  B C

  证明:

  ∵DE⊥AC,BF⊥AC

  ∴∠CED=∠AFB=90o

  又∵AB=CD,BF=DE

  ∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL)

  ∴AF=CE

  ∠BAF=∠DCE

  ∴AB//CD

  47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD AD

  1

  34

  CB

  ∵,∠3=∠4

  ∴OB=OC

  在△AOB和△DOC中

  ∠1=∠2

  OB=OC

  ∠AOB=∠DOC

  △AOB≌△DOC

  ∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB

  在△ACB和△DBC中

  AC=DB

  ,∠3=∠4

  BC=CB

  △ACB≌△DBC

  ∴AB=CD

  48、 (10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.

  E

  CE>DE。当∠AEB越小,则DE越小。

  证明:

  过D作AE平行线与AC交于F,连接FB

  由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形 ,且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90°

  ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°

  △DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°

  RT△AFB中,∠FBA=90°-∠DBF <45°

  ∠AFB=90°-∠FBA>45°

  ∴AB>AF

  ∵AB=CE AF=DE

  ∴CE>DE

  49、 (10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:AE=DE.

  ∵AB=DC,AC=DB,BC=BC

  ∴△ABC≌△DCB,

  ∴∠ABC=∠DCB

  又∵BE=CE,AB=DC

  ∴△ABE≌△DCE

  ∴AE=DE

  50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.

  图9 E B 作CG⊥AB,交AD于H,

  则∠ACH=45o,∠BCH=45o

  ∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE

  又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o

  ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE

  又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB

  ∴△CFD≌△BED

  ∴∠ADC=∠BDE

  全等三角形复习练习题

  一、选择题

  1.如图,给出下列四组条件:

  ① ;②;

  ③ ;④.

  其中,能使 的条件共有( )

  A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

  2.如图, 分别为的, 边的中点,将此三

  角形沿 折叠,使点 落在 边上的点 处.若,

  则 等于( )

  A. B. C . D.

  3.如图(四),点是 上任意一点, ,还应补

  充一个条件,才能推出 .从下列条件中补充

  一个条件,不一定能推出 的是( )

  A. B. C. D.

  4.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两

  个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是( )

  (A)∠B=∠E,BC=EF (B)BC=EF,AC=DF

  (C)∠A=∠D,∠B=∠E (D)∠A=∠D,BC=EF

  5.如图,△ABC中,∠C = 90°,AC = BC,AD是∠BAC的平分线,

  DE⊥AB于E,若AC = 10cm,则△DBE的周长等于( )

  A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm

  6. 如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中

  转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )

  A.1处 B.2处 C.3处 D.4处

  7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块,现在要到玻璃店去配

  一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )

  A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①②③去

  8.如图,在 中, ,是 的垂直平分线,交于

  点 ,交 于点 .已知 ,则 的度数为( )

  A. B. C. D.

  9.如图,, =30°,则 的度数为( )

  A.20° B.30° C.35° D.40°

  10.如图,AC=AD,BC=BD,则有( )

  A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB

  C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB

  12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )

  A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定

  13.如图,OP平分,, ,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )

  A. B. 平分

  C. D. 垂直平分

  14.如图,已知 那么添加下列一个条件后,仍无法判定( )

  A. B.

  C. D.

  15.观察下列图形,则第 个图形中三角形的个数是( )

  A. B. C. D.

  二、填空题

  1.如图,已知, ,要使 ≌ ,可补充的条件是 (写出一个即可).

  2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________

  3.如图, ,请你添加一个条件: ,使 (只添一个即可).

  4.如图,在ΔABC中,∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D到直线AB的距离是__________厘米。

  5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形

  有 个.

  6.已知:如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB=________度.

  7如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.

  恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。

  8.如图所示,AB = AD,∠1 = ∠2,添加一个适当的条件,使△ABC ≌ △ADE,则需要添加的条件是________.

  三、解答题

  1.如图,已知AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE.

  2.如图,在 中, ,分别以 为边作两个等腰直角三角形和 ,使.

  (1)求 的度数;(2)求证:.

  4.如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.

  5.如图,在△ABC和△DCB中,AB = DC,AC = DB,AC与DB交于点M.

  (1)求证:△ABC≌△DCB ;(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.

  9.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.

  求证:BD=2CE.

  10.如图, ,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.

  11.(7分)已知:如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,

  (1)求证:△AED≌△EBC.

  (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):

  12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.

  (1)求证:MB=MD,ME=MF

  (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.

  [答案]

  一、 选择题

  1—5 cbccb

  6—10 acdba

  11—14 bdcb

  二、填空题

  1.略;

  2.5;

  3.AC=BD;

  4.6;

  5.283;

  6.120;

  7.①②③⑤;

  8.AC=AE;

  三、证明题

  11.1全等三角形水平测试

  ◆夯实基础

  一、耐心选一选,你会开心:(每题6分,共30分)

  1.下列说法:①全 等图形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的 对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等,其中正确的说法为(   )

  A.①②③④   B.①③④   C.①②④   D.②③④

  2.如果 是 中 边上一点,并且 ,则 是( )

  A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

  3.一个正方形的侧面展开图有( ) 个全等的正方形.

  A.2 个B.3个 C.4个D.6个

  4.对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有(  )

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  5.下列说法正确的是( )

  A.若 ,且 的两条直角边分别是水平和竖直状态,那么 的两条直角边也一定分别是水平和竖直状态

  B.如果 , ,那么

  C.有一条公共边,而且公 共边在每个三角形中都是腰的两个等腰三角形一定全等

  D.有一条相等的边,而且相等的边在每 个三角形中都是底边的两个等腰三角形全等

  二、精心填一填,你会轻 松(每题6分,共30分)

  6.如图所示,沿 直线 对折,△ABC与△ADC重合,则△ABC≌,AB的对应边是,BC的对应边是,∠BCA的对应角是.

  第6题第7题

  7.如图所示,△ACB≌△DEF,其中A与D,C与E是对应顶点,则CB的对应边是,∠ABC的对应角是.

  8.如图,AB、DC相交于点O,△AOB≌△DOC,A、D为对应顶点,则这两个三角形中,相等的边是____________________,相等的角是____________________.

  9.已知 , , ,则 , , 和 的度数分别为 , , .

  10.请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形:

  三、细心做一做,你会成功(共40分)

  11.找出下列图中的全等图形.

  12.找出下列图形中的全等图形.

  (1)(2) (3)(4)(5)(6)

  (7)(8)(9)(10)(11) (12)

  13.如图,AB=DC,AC=DB,求证AB∥CD.

  ◆综合创新

  14.如图,点 在一条直线上,△ △ 你能得出哪些 结论?(请写出三个以上的结论)

  [来源:学科网ZXXK]

  15.把一张方格纸贴在纸板上.按图1所示画上正方 形,然后沿 图示的直线切成5小块.当你照图2的样子把这些拼成正方形的时候中间居然出现了一个洞!

  我们发现,图1的正方形是由49个小正方形组成的.图2中拼成的正方形却只有48个小正方形.哪一个小正方形没有了?它到哪去了?

  中考链接

  16.如图, ,则 的度数为(  )

  A. B.

  C. D.

  17.如图,若 ,且 ,则 .

  18.右图是用七巧板拼成的一艘帆船,其中全等的三角形共有对.

  参考答案

  夯实基础

  1.A

  2.D

  3.C

  4.A.

  5.B

  6.△ADC,AD,AC,∠DCA

  7.EF,∠DFE

  8.AB=DC、AO=DO、OB=OC,∠AOB=∠DOC、∠A=∠D、∠B=∠C.

  9. ; , ,

  10.分法可分别如下所示:

  11.根据全等形的定义得全等形有天鹅、荷花.

  12.(1)和(10),(2)和(12),(4)和(8),(5)和(9)是全等图形

  13.分析:要证AB∥CD,只需∠ABC=∠DCB,要证∠ABC=∠DCB,只需△ABC≌△DCB.

  证明:∵在△ABC和△DCB中, ,

  ∴△ABC≌△DCB(SSS).

  ∴∠ABC=∠DCB.

  ∴AB∥CD.

  综合创新

  14.由△ △ 可得到

  △ △ 等.

  15.5小块图形中最大的两块对换了位置之后,被那条对角线切开的每个小正方形都变得高比 宽大一点点.这 意味着这个大正方形不再是严格的正方形.它的高增加了,从而使得面积增加,所增加的面积恰好等于那个方洞的面积.

  中考链接

  16.C

  17.

  18.2


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