一元二次不等式的解法

导读：　一元二次不等式的解法(共5篇)第一轮一元二次不等式及其解法详细过程第一节 一元二次不等式及其解法(见学生用书第1页)3．简单的分式不等式f（x）(1)＞0⇔f(x)·g(x)＞0； g（x）f（x）(2)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0．g（x）ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？ 【提示】...

本文是中国招生考试网（www.chinazhaokao.com）成考报名频道为大家整理的《一元二次不等式的解法》，供大家学习参考。

一元二次不等式的解法(一)
第一轮一元二次不等式及其解法详细过程

第一节 一元二次不等式及其解法

(见学生用书第1页)

3．简单的分式不等式

f（x）(1)＞0⇔f(x)·g(x)＞0； g（x）f（x）(2)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0．

g（x）

ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？ 【提示】 a>0且b2－4ac

<0.

1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是( )

1

A．(－，1) B．(1，＋∞)

2

1

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－∪(1，＋∞)

2

【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，

1

∴x＞1或x＜－.

2

1

故原不等式的解集为(－∞，－∪(1，＋∞)．

2

【答案】 D

x－1

2．不等式≤0的解集为( )

2x＋111

A．(－，1] B．{x|x≥1或x＜－2211C．[－1] D．{x|x≥1或x≤－22【解析】 原不等式等价于 (x－1)(2x＋1)＜0或x－1＝0.

1

∴原不等式的解集为(－，1]．

2

【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

【解析】 ∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8. 【答案】 (0，8)

11

4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－，，则a＋b的值是________．

23

11

【解析】 由已知得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－，.

23

b11－＝－a23则

211×a23a＝－12，解得

b＝－2，



∴a＋b＝－14.

【答案】 －14错误!

(见学生用书第2页)

(1)3＋2x－x2≥0； (2)x2＋3＞2x；

2x(3)≤1. x－1

【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．

【尝试解答】 (1)原不等式化为x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式化为x2－2x＋3＞0，

∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x2＋3＞2x的解集为R.

x＋12x2x

(3)∵1⇔－1≤00

x－1x－1x－1⇔(x－1)(x

＋1)≤0且x≠1.

∴原不等式的解集为[－1，1)．,

1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二

次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．

2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．

解下列不等式：

(1)－2x－5x＋3＞0； (2)－1≤x2＋2x－1≤2；

【解】 (1)∵－2x2－5x＋3＞0，∴2x2＋5x－3＜0， ∴(2x－1)(x＋3)＜0，

1

∴原不等式的解集为{x|－3＜x}．

2

2x＋2x－1≥－1，

(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组2

x＋2x－1≤2，

2x＋2x≥0， ①即2 x＋2x－3≤0. ②

由①得x≥0或x≤－2； 由②得－3≤x≤1.

【思路点拨】 先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，

2

aa

得：x1＝－，x2＝.

43aaaa

①

a＞0时，－＜，解集为{x|x＜－或x＞}；

43432

②a＝0时，x＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；

aaaa

③a＜0时，－＞，解集为{x|x＜或x＞－}．

4334

aa

综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－或x＞}；

43

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

a

当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜或x＞－

3

a}．,4

解含参数的一元二次不等式的步骤

(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．

解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.

【解】 原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0. 当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)； 当a＝1时，原不等式的解集为空集； 当a＜1时，原不等式的解集为(a，1)．

ax2＋

x＋b＜0的解集．

【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．

1－a＋b＝0，a＝－1，

【尝试解答】 由于x2＋ax＋b＜0的解集是(－1，2)，所以解得

4＋2a＋b＝0，b＝－2.

2

故不等式即为－x＋x－2＜0， －1＜0，∵ Δ＝1－8＝－

7＜0

∴不等式ax2＋x

＋b＜

0的解集为

R.,

(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．

ax

若关于x的不等式1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范

x－1

围．

（a－1）x＋1ax

【解】 1⇔0⇔[(a－1)x＋1](x－1)＜0，由原不等式的解集是{x|x

x－1x－1

＜1或x＞2}，

a－1＜0，1知⇒a＝. 12－2a－1

1

∴实数a的取值范围是{}．

2

【思路点拨】 分m＝0与m≠0两种情况讨论，当m≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx2－mx－1＜0对一切实数x恒成立， 若m＝0，显然－1＜0；

m＜0，

若m≠0，则解得－

4＜m＜0， 2

Δ＝m＋4m＜0，

故实数m的取值范围是(－4，0]．,

1．不等式ax＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；

a＞0，

当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，

Δ＜0；

a＜0，

b＝0，c＜0；当a≠0时，

Δ＜0.

2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

2

一元二次不等式的解法(二)
一元二次不等式的解法

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一元二次不等式的解法 一、学习目标

1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题

第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】

1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。

1＜01 了“a＞0”。

例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】

二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不

等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方

程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。 【评注】

二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，

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并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次

不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表：【一元二次不等式的解法】

【评注】

例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是：

1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。

2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。

3.写出解集：用区间或用大括号表示解集。 例：解不等式 x+2＞3x2

解：原不等式等价于

3x2－x－2＜0

解方程3x2－x－2=0得二根：，x2=1。

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∴原不等式的解集为（，1）。

第二阶梯 例1、解下列不等式： （1）2+3x－2x2＜0； （2）－x2+2x－3x＞0； （3）x2－4x+4＞0

【解】（1）原不等式等价于2x2-3x-2>0

由2x2－3x－2=0得，x2=2.

2 由△=

＜0，知原不等式解集为。

（3）△=，方程有等根，

∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}。 【评注】

1.要严格按“解法步骤”求解。

2.最后要用集合表示法表出解集。如本倒的（1）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集， 该题的解集也可用区间表为为x≠2，这是错误的。

例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)＞0

，但有的同学把第（3）题的解集表

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【探路】化为一元二次不等式来解。 【解】∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0 ∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0， ∴原不等式等价于 (1+x)(2-x)＞

＜0

－1＜x＜2

∴原不等式的解集为（－1，2）。 例3、设全集为R，已知A={【探路】解不等式化简集合A。 【解】

}，求

。

1）

方程2x2-x-1=0的两根为

∴不等式①的解集为[，1]，

∴A=[，1]

∴

例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。 【探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。 【解】已知方程有两个负根的等价条件是

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∴m的取值范围是（【评注】

]∪[1，＋∞）

0是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2>0,x1+x2<0的条件。

2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。 第三阶梯 例5、已知A= （1）若B

，B=

A，求a的取值范围；

。

（2）若A∩B是单元素集合，求a取值范围。

一元二次不等式的解法(三)
一元二次不等式及其解法教案

一元二次不等式及其解法教案

【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】

1.课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P76互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：

x25x0…………………………(1)

2.讲授新课

1）一元二次不等式的定义

象x5x0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

2

2）探究一元二次不等式x25x0的解集

怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：x10,x25

二次函数有两个零点：x10,x25

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集

画出二次函数yx5x的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x5x0； 当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,即x5x0；

2

所以，不等式x5x0的解集是x|0x5，从而解决了本节开始时提出的问题。

2

2

2

3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：

ax2bxc0,(a0)或ax2bxc0,(a0)

一般地，怎样确定一元二次不等式axbxc>0与axbxc<0的解集呢？ 组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

(1)抛物线yaxbxc与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程axbxc=0的根的情况

(2)抛物线yaxbxc的开口方向，也就是a的符号 总结讨论结果：

（l）抛物线 yaxbxc（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 axbxc=0的判别式b4ac三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0

分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式axbxc>0与axbxc<0的解集

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

2

2

22

22

2

2

22

22

设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，

2

2

则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)

[范例讲解]

例2 (课本第78页)求不等式4x4x10的解集. 解：因为0,方程4x4x10的解是x1x2所以，原不等式的解集是xx

2

2

1

. 2

1 2

例3 (课本第78页)解不等式x22x30.

解：整理，得x2x30.

因为0,方程x2x30无实数解， 所以不等式x

2

2

2

2x30的解集是.

从而，原不等式的解集是.

3.随堂练习

课本第80的练习1（1）、（3）、（5）、（7）

4.课时小结

解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“+”：A=axbxc>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式，分析不等式的解的情况： ⅰ.>0时，求根x1<x2，

2

若A0，则xx1或x2；若A0，则x1xx2.

若A0，则xx0的一切实数；

ⅱ.=0时，求根x1＝x2＝x0，若A0，则x；

若A0，则xx.

0

ⅲ.<0时，方程无解，③ 写出解集.

若A0，则xR；若A0，则x.

5.评价设计

课本第80页习题3.2[A]组第1题

一元二次不等式的解法(四)
一元二次不等式的解法

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：

.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式

：

或

.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法

设一元二次方程

的两根为

且

，

，

则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

注意：

（1

）一元二次方程的两根

是相应的不等式的解

集的端点的取值，是抛物线

与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式

与

的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2

）写出相应的方程

，计算判别式

：

①时，求出两根，且

（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③

时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2

+bx+c＞0(a＞0)的过程 规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式 （1）

； （2）

； （3）

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

总结升华：

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当

时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当

且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

举一反三：

【变式1】解下列不等式

(1) ；

(2)

(3) ；

(4)

.

【变式2】解不等式：

类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数

2．不等

式

的解集

为

，求关于

的不等

式

的解集。

总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。 举一反三： 【变式1】不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______, b=________。

【变式2】已

知

的解

为,试求、,并解不等

式

.

【变式3】已知关于的不等式

的解集为，求关于

的不等式

的解集.

类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题

3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，

求实数m的取值范围。

思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。

举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，

求的取值范围.

【变式2】若关于的不等式的取值范围.

【变式3】若关于的不等式的取值范围.【一元二次不等式的解法】

的解为一切实数，求

的解集为非空集，求

类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法

4．解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1＞0； （3）x2-(a+1)x+a＜0；

总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；

③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：

【变式2】解关于的不等式：（

）

5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。

总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。

一元二次不等式的解法(五)
专题：一元二次不等式的几点解法

一元二次不等式及其解法

目标认知

学习目标：

1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；

2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。

3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

重点：难点：

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法.

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，设计求解一元二次不等式的程序框图。

知识要点梳理

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

比如：

.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式

：

.

或

知识点二：一般的一元二次不等式的解法

一元二次不等式

或

的解集可以联系二次函数

的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标

值的集合为不等式

的解集，图象在的解集.

设一元二次方

程

的两根

为

且

，

轴下方部分对应的横坐标

值的集合为不等

式

，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

注意：

（1）一元二次方程的取值，是抛物线

的两根是相应的不等式的解集的端点

与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分

的解集。

三种情况，得到一元二次不等式

与

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程 ①

时，求出两根

，且

，计算判别式

：

（注意灵活运用因式分解和配方法）；

② ③

时，求根时，方程无解

；

（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax+bx+c＞0(a＞0)的过程

2

规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式

； （2）

； （3）

（1）

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：

（1）方法一： 因为【一元二次不等式的解法】

所以方程 函数

的两个实数根为：的简图为：

，

因而不等式 方法二：

的解集是

.

或

解得 因而不等式 （2）方法一： 因为 方程 函数

或

，即的解集是

或. .

，

的解为的简图为：

.

所以，原不等式的解集是 方法二：

所以原不等式的解集是 （3）方法一： 原不等式整理得 因为

，方程

（当

时，）

.

无实数解，

函数的简图为：

所以不等式

所以原不等式的解集是 方法二： ∵

∴原不等式的解集是

. .

的解集是

.

总结升华：

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当

时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当

且

是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

举一反三：

【变式1】解下列不等式

(1)

(3)

【答案】

（1）方法一： 因为

；

(2) ；

(4)

.

方程 函数

的两个实数根为：的简图为：

，

因而不等式的解集是：.

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