恒成立问题 恒成立问题的求解策略

导读：　　　对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进 ...

　　对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编今天为大家精心准备了恒成立问题 恒成立问题的求解策略，希望对大家有所帮助!

　　恒成立问题 恒成立问题的求解策略

　　恒成立问题的求解策略

　　辽宁锦州义县高级中学高二数学组　王双双

　　高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型;②二次函数型;③分离变量型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤数形结合。

　　一.一次函数型

　　给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于

　　ⅰ)

　　

 

　　或ⅱ)

　　

 

　　亦可合并定成

　　

 

　　同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有

　　

 

　　

 

　　处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

　　例1.对任意

　　

 

　　，不等式

　　

 

　　恒成立，求

　　

 

　　的取值范围。

　　分析：题中的不等式是关于

　　

 

　　的一元二次不等式，但若把

　　

 

　　看成主元，则问题可转化为一次不等式

　　

 

　　在

　　

 

　　上恒成立的问题。

　　解：令

　　

 

　　，则原问题转化为

　　

 

　　恒成立(

　　

 

　　)。

　　当

　　

 

　　时，可得

　　

 

　　，不合题意。

　　当

　　

 

　　时，应有

　　

 

　　解之得

　　

 

　　。

　　故

　　

 

　　的取值范围为

　　

 

　　。

　　二.二次函数型

　　(1)判别式法

　　若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

　　

 

　　,有

　　1)

　　

 

　　对

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　;

　　2)

　　

 

　　对

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　例1.已知函数

　　

 

　　的定义域为R，求实数

　　

 

　　的取值范围。

　　解：由题设可将问题转化为不等式

　　

 

　　对

　　

 

　　恒成立，即有

　　

 

　　解得

　　

 

　　。

　　所以实数

　　

 

　　的取值范围为

　　

 

　　。

　　若二次不等式中

　　

 

　　的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

　　例2.设

　　

 

　　，当

　　

 

　　时，

　　

 

　　恒成立，求实数

　　

 

　　的取值范围。

　　解：设

　　

 

　　，则当

　　

 

　　时，

　　

 

　　恒成立

　　当

　　

 

　　时，

　　

 

　　显然成立;

　　当

　　

 

　　时，如图，

　　

 

　　恒成立的充要条件为：

　　

 

　　

 

　　解得

　　

 

　　。

　　综上可得实数

　　

 

　　的取值范围为

　　

 

　　。

　　(2)、最值法

　　将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

　　1)

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　2)

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　例3.已知

　　

 

　　，当

　　

 

　　时，

　　

 

　　恒成立，求实数

　　

 

　　的取值范围。

　　解：设

　　

 

　　，则由题可知

　　

 

　　对任意

　　

 

　　恒成立.

　　令

　　

 

　　，得

　　

 

　　.

　　而

　　

 

　　

 

　　∴

　　

 

　　∴

　　

 

　　即实数

　　

 

　　的取值范围为

　　

 

　　。

　　例4.函数

　　

 

　　，若对任意

　　

 

　　，

　　

 

　　恒成立，求实数

　　

 

　　的取值范围。

　　解：若对任意

　　

 

　　，

　　

 

　　恒成立，

　　即对

　　

 

　　，

　　

 

　　恒成立，

　　考虑到不等式的分母

　　

 

　　，只需

　　

 

　　在

　　

 

　　时恒成立而得.

　　而抛物线

　　

 

　　在

　　

 

　　的最小值

　　

 

　　得

　　

 

　　注：本题还可将

　　

 

　　变形为

　　

 

　　，讨论其单调性从而求出

　　

 

　　最小值。

　　三.分离变量法

　　若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

　　1)

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　2)

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　已知当x

　　

 

　　R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+

　　

 

　　恒成立，求实数a的取值范围。

　　分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知(x

　　

 

　　R)，另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

　　解：原不等式即：

　　

 

　　要使上式恒成立，只需

　　

 

　　大于

　　

 

　　的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。

　　f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3

　　

 

　　3,

　　∴

　　

 

　　即

　　

 

　　上式等价于

　　

 

　　或

　　

 

　　解得

　　

 

　　.

　　注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

　　另解：a+cos2x<5-4sinx+

　　

 

　　即

　　a+1-2sin2x<5-4sinx+

　　

 

　　,令sinx=t,则t

　　

 

　　[-1,1],

　　整理得2t2-4t+4-a+

　　

 

　　>0,( t

　　

 

　　[-1,1])恒成立。

　　设f(t)= 2t2-4t+4-a+

　　

 

　　则二次函数的对称轴为t=1,

　　

 

　　f(x)在[-1，1]内单调递减。

　　

 

　　只需f(1)>0,即

　　

 

　　>a-2.(下同)

　　四.根据函数的奇偶性、周期性等性质

　　若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)

　　(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

　　例1若f(x)=sin(x+

　　

 

　　)+cos(x-

　　

 

　　)为偶函数，求

　　

 

　　的值。

　　分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。

　　解：由题得：f(-x)=f(x)对一切x

　　

 

　　R恒成立，

　　

 

　　sin(-x+

　　

 

　　)+cos(-x-

　　

 

　　)=sin(x+

　　

 

　　)+cos(x-

　　

 

　　)

　　即sin(x+

　　

 

　　)+sin(x-

　　

 

　　)=cos(x+

　　

 

　　)-cos(x-

　　

 

　　)

　　2sinx·cos

　　

 

　　=-2sinx·sin

　　

 

　　

 

　　sinx(sin

　　

 

　　+cos

　　

 

　　)=0

　　

 

　　

 

　　对一切x

　　

 

　　R恒成立，

　　

 

　　只需也必须sin

　　

 

　　+cos

　　

 

　　=0。

　　

 

　　

 

　　五.数形结合

　　若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

　　例1、当x

　　

 

　　(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。

　　分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。

　　

 

　　解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x

　　

 

　　(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

　　故loga2>1,a>1,

　　

 

　　1<a

　　

 

　　2.

　　例2、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。

　　分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

　　

 

　　解：令y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)

　　当直线为l1时，直线过点(-20，0)此时纵截距为-6a-3=160,a=

　　

 

　　;

　　当直线为l2时，直线过点(0，0)，纵截距为-6a-3=0，a=

　　

 

　　∴a的范围为[

　　

 

　　，

　　

 

　　)。

　　由上可见，含参的恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

　　恒成立问题的求解策略

　　下面先介绍两个重要结论：

　　(1)在区间[m，n]上f(x)>0恒成立

　　

 

　　在[m，n]上

　　

 

　　，在区间[m，n]上f(x)<0恒成立

　　

 

　　在[m，n]上

　　

 

　　(2)

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　

 

　　

 

　　现举例说明恒成立问题的求解策略。

　　一、直接利用结论

　　例1 设x>0，y>0，

　　

 

　　则

　　

 

　　恒成立的a的最小值是( )

　　A.

　　

 

　　B.

　　

 

　　C. 2 D.

　　

 

　　解：

　　

 

　　恒成立，只要

　　

 

　　即可。

　　因为

　　

 

　　即

　　

 

　　，所以

　　

 

　　，选(B)。

　　二、正难则反

　　例2 关于x不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　，求a的范围。

　　解：

　　

 

　　解集为

　　

 

　　恒成立。

　　所以

　　

 

　　设

　　

 

　　所以

　　

 

　　

 

　　所以

　　

 

　　，所以

　　

 

　　。

　　三、反客为主，转化为一次函数

　　例3 设不等式

　　

 

　　对满足

　　

 

　　的一切m都成立，求x的取值范围。

　　解：将x的不等式整理成关于m的不等式

　　把m看成主元，构造函数

　　

 

　　上述函数图像表示的是一条线段，从而要

　　

 

　　即

　　

 

　　解得

　　

 

　　四、判别式法

　　二次函数

　　

 

　　，恒成立

　　

 

　　二次函数

　　

 

　　恒成立

　　

 

　　例4 不等式

　　

 

　　，对

　　

 

　　恒成立，求

　　

 

　　的取值范围。

　　解：当

　　

 

　　时，命题成立。

　　当

　　

 

　　时，要使

　　

 

　　对

　　

 

　　恒成立，只须抛物线

　　

 

　　图像在x轴上方。

　　所以

　　

 

　　即

　　

 

　　解得

　　

 

　　所以m的取值范围是

　　

 

　　五、图像法

　　例5

　　

 

　　[-1，1]时，不等式

　　

 

　　恒成立，求a的取值范围。

　　解：构造函数

　　

 

　　，

　　

 

　　，

　　

 

　　时，不等式

　　

 

　　恒成立等价转化为：

　　

 

　　时，f(x)图像恒在g(x)图像的下方，当直线

　　

 

　　与

　　

 

　　相切时，由点到直线的距离公式

　　

 

　　，得

　　

 

　　，所以a取值范围是

　　

 

　　。

　　六、分离参数求最值

　　例6 设

　　

 

　　，当

　　

 

　　时，

　　

 

　　恒成立，求m的取值范围。

　　解：即

　　

 

　　恒成立，即

　　

 

　　成立

　　即

　　

 

　　，故只须求出

　　

 

　　在[-1，2]上最大值即可。

　　

 

　　，x=1。

　　

 

　　，

　　

 

　　，

　　

 

　　，

　　

 

　　。

　　所以

　　

 

　　，所以m的取值范围是m>7。

　　七、利用函数的单调性

　　例7 设

　　

 

　　，当

　　

 

　　时，f(x)有意义，求a的取值范围。

　　解：

　　

 

　　，此不等式在

　　

 

　　上恒成立。

　　令

　　

 

　　，可判断u(x)在(

　　

 

　　，

　　

 

　　)上单调递增。

　　因为

　　

 

　　，所以

　　

 

　　要使a>u(x)恒成立，则

　　

 

　　，所以a的取值范围是

　　

 

　　。

　　甘肃省临泽第一中学(734200)

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