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恒成立问题 恒成立问题的求解策略

2016-11-23 16:37:23 推荐 来源:http://www.chinazhaokao.com 浏览:

导读:   对于有关恒成立、存在性问题,一直是高考命题的热点,往往以全称命题或特称命题的形式出现,同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进 ...

  对于有关恒成立、存在性问题,一直是高考命题的热点,往往以全称命题或特称命题的形式出现,同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查,在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编今天为大家精心准备了恒成立问题 恒成立问题的求解策略,希望对大家有所帮助!

  恒成立问题 恒成立问题的求解策略

  恒成立问题的求解策略

  辽宁锦州义县高级中学高二数学组 王双双

  高考数学复习中的恒成立问题,把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③分离变量型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤数形结合。

  一.一次函数型

  给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于

  ⅰ)

  

 

  或ⅱ)

  

 

  亦可合并定成

  

 

  同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有

  

 

  

 

  处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。

  例1.对任意

  

 

  ,不等式

  

 

  恒成立,求

  

 

  的取值范围。

  分析:题中的不等式是关于

  

 

  的一元二次不等式,但若把

  

 

  看成主元,则问题可转化为一次不等式

  

 

  在

  

 

  上恒成立的问题。

  解:令

  

 

  ,则原问题转化为

  

 

  恒成立(

  

 

  )。

  当

  

 

  时,可得

  

 

  ,不合题意。

  当

  

 

  时,应有

  

 

  解之得

  

 

  。

  故

  

 

  的取值范围为

  

 

  。

  二.二次函数型

  (1)判别式法

  若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数

  

 

  ,有

  1)

  

 

  对

  

 

  恒成立

  

 

  ;

  2)

  

 

  对

  

 

  恒成立

  

 

  例1.已知函数

  

 

  的定义域为R,求实数

  

 

  的取值范围。

  解:由题设可将问题转化为不等式

  

 

  对

  

 

  恒成立,即有

  

 

  解得

  

 

  。

  所以实数

  

 

  的取值范围为

  

 

  。

  若二次不等式中

  

 

  的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。

  例2.设

  

 

  ,当

  

 

  时,

  

 

  恒成立,求实数

  

 

  的取值范围。

  解:设

  

 

  ,则当

  

 

  时,

  

 

  恒成立

  当

  

 

  时,

  

 

  显然成立;

  当

  

 

  时,如图,

  

 

  恒成立的充要条件为:

  

 

  

 

  解得

  

 

  。

  综上可得实数

  

 

  的取值范围为

  

 

  。

  (2)、最值法

  将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:

  1)

  

 

  恒成立

  

 

  2)

  

 

  恒成立

  

 

  例3.已知

  

 

  ,当

  

 

  时,

  

 

  恒成立,求实数

  

 

  的取值范围。

  解:设

  

 

  ,则由题可知

  

 

  对任意

  

 

  恒成立.

  令

  

 

  ,得

  

 

  .

  而

  

 

  

 

  ∴

  

 

  ∴

  

 

  即实数

  

 

  的取值范围为

  

 

  。

  例4.函数

  

 

  ,若对任意

  

 

  ,

  

 

  恒成立,求实数

  

 

  的取值范围。

  解:若对任意

  

 

  ,

  

 

  恒成立,

  即对

  

 

  ,

  

 

  恒成立,

  考虑到不等式的分母

  

 

  ,只需

  

 

  在

  

 

  时恒成立而得.

  而抛物线

  

 

  在

  

 

  的最小值

  

 

  得

  

 

  注:本题还可将

  

 

  变形为

  

 

  ,讨论其单调性从而求出

  

 

  最小值。

  三.分离变量法

  若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:

  1)

  

 

  恒成立

  

 

  2)

  

 

  恒成立

  

 

  已知当x

  

 

  R时,不等式a+cos2x<5-4sinx+

  

 

  恒成立,求实数a的取值范围。

  分析:在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(x

  

 

  R),另一变量a的范围即为所求,故可考虑将a及x分离。

  解:原不等式即:

  

 

  要使上式恒成立,只需

  

 

  大于

  

 

  的最大值,故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。

  f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3

  

 

  3,

  ∴

  

 

  即

  

 

  上式等价于

  

 

  或

  

 

  解得

  

 

  .

  注:注意到题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

  另解:a+cos2x<5-4sinx+

  

 

  即

  a+1-2sin2x<5-4sinx+

  

 

  ,令sinx=t,则t

  

 

  [-1,1],

  整理得2t2-4t+4-a+

  

 

  >0,( t

  

 

  [-1,1])恒成立。

  设f(t)= 2t2-4t+4-a+

  

 

  则二次函数的对称轴为t=1,

  

*

 

  f(x)在[-1,1]内单调递减。

  

*

 

  只需f(1)>0,即

  

 

  >a-2.(下同)

  四.根据函数的奇偶性、周期性等性质

  若函数f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)

  (f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

  例1若f(x)=sin(x+

  

 

  )+cos(x-

  

 

  )为偶函数,求

  

 

  的值。

  分析:告诉我们偶函数的条件,即相当于告诉我们一个恒成立问题。

  解:由题得:f(-x)=f(x)对一切x

  

 

  R恒成立,

  

*

 

  sin(-x+

  

 

  )+cos(-x-

  

 

  )=sin(x+

  

 

  )+cos(x-

  

 

  )

  即sin(x+

  

 

  )+sin(x-

  

 

  )=cos(x+

  

 

  )-cos(x-

  

 

  )

  2sinx·cos

  

 

  =-2sinx·sin

  

 

  

*

 

  sinx(sin

  

 

  +cos

  

 

  )=0

  

 

  

*

 

  对一切x

  

 

  R恒成立,

  

*

 

  只需也必须sin

  

 

  +cos

  

 

  =0。

  

*

 

  

 

  五.数形结合

  若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

  例1、当x

  

 

  (1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,求a的取值范围。

  分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,图象是抛物线,右边为常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解。

  

 

  解:设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x

  

 

  (1,2),y1<y2恒成立,显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

  故loga2>1,a>1,

  

 

  1<a

  

 

  2.

  例2、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解,求实数a的取值范围。

  分析:方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

  

 

  解:令y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示,y1的图象为一个定抛物线,y2的图象是一条斜率为定值8,而截距不定的直线,要使y1和y2在x轴上有唯一交点,则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)

  当直线为l1时,直线过点(-20,0)此时纵截距为-6a-3=160,a=

  

 

  ;

  当直线为l2时,直线过点(0,0),纵截距为-6a-3=0,a=

  

 

  ∴a的范围为[

  

 

  ,

  

 

  )。

  由上可见,含参的恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

  恒成立问题的求解策略

  下面先介绍两个重要结论:

  (1)在区间[m,n]上f(x)>0恒成立

  

 

  在[m,n]上

  

 

  ,在区间[m,n]上f(x)<0恒成立

  

 

  在[m,n]上

  

 

  (2)

  

 

  恒成立

  

 

  

 

  

 

  现举例说明恒成立问题的求解策略。

  一、直接利用结论

  例1 设x>0,y>0,

  

 

  则

  

 

  恒成立的a的最小值是( )

  A.

  

 

  B.

  

 

  C. 2 D.

  

 

  解:

  

 

  恒成立,只要

  

 

  即可。

  因为

  

 

  即

  

 

  ,所以

  

 

  ,选(B)。

  二、正难则反

  例2 关于x不等式

  

 

  的解集为

  

 

  ,求a的范围。

  解:

  

 

  解集为

  

 

  恒成立。

  所以

  

 

  设

  

 

  所以

  

 

  

 

  所以

  

 

  ,所以

  

 

  。

  三、反客为主,转化为一次函数

  例3 设不等式

  

 

  对满足

  

 

  的一切m都成立,求x的取值范围。

  解:将x的不等式整理成关于m的不等式

  把m看成主元,构造函数

  

 

  上述函数图像表示的是一条线段,从而要

  

 

  即

  

 

  解得

  

 

  四、判别式法

  二次函数

  

 

  ,恒成立

  

 

  二次函数

  

 

  恒成立

  

 

  例4 不等式

  

 

  ,对

  

 

  恒成立,求

  

 

  的取值范围。

  解:当

  

 

  时,命题成立。

  当

  

 

  时,要使

  

 

  对

  

 

  恒成立,只须抛物线

  

 

  图像在x轴上方。

  所以

  

 

  即

  

 

  解得

  

 

  所以m的取值范围是

  

 

  五、图像法

  例5

  

 

  [-1,1]时,不等式

  

 

  恒成立,求a的取值范围。

  解:构造函数

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  时,不等式

  

 

  恒成立等价转化为:

  

 

  时,f(x)图像恒在g(x)图像的下方,当直线

  

 

  与

  

 

  相切时,由点到直线的距离公式

  

 

  ,得

  

 

  ,所以a取值范围是

  

 

  。

  六、分离参数求最值

  例6 设

  

 

  ,当

  

 

  时,

  

 

  恒成立,求m的取值范围。

  解:即

  

 

  恒成立,即

  

 

  成立

  即

  

 

  ,故只须求出

  

 

  在[-1,2]上最大值即可。

  

 

  ,x=1。

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  。

  所以

  

 

  ,所以m的取值范围是m>7。

  七、利用函数的单调性

  例7 设

  

 

  ,当

  

 

  时,f(x)有意义,求a的取值范围。

  解:

  

 

  ,此不等式在

  

 

  上恒成立。

  令

  

 

  ,可判断u(x)在(

  

 

  ,

  

 

  )上单调递增。

  因为

  

 

  ,所以

  

 

  要使a>u(x)恒成立,则

  

 

  ,所以a的取值范围是

  

 

  。

  甘肃省临泽第一中学(734200)

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