人教版八下数学第十六章二次根式知识总结

导读：　人教版八下数学第十六章二次根式知识总结(共5篇)人教版八年级下册数学(新)第十六章 《二次根式》复习教案二次根式复习课教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计...

人教版八下数学第十六章二次根式知识总结(一)
人教版八年级下册数学(新)第十六章 《二次根式》复习教案

二次根式复习课

教学目标

1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算．

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习

1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．

指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简

二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．

指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，

计算结果要把分母有理化．

3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、例题

例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

分析：

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．

x≥-2且x≠0．

解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以

例3

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．

解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．

这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．

问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？

分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．

注意：

所以在化简过程中，

例6：

分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．

a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)

＝4(n+2)，

三、课堂练习 1．选择题：

A．a≤2 B．a≥2 C．a≠2 D．a＜

2

人教版八下数学第十六章二次根式知识总结(二)
人教版数学八年级下册《第16章二次根式》知识方法题型总结

二次根式知识方法题型总结

一、本章知识内容归纳

1.概念：

①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；

②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；

③同类二次根式—— 的二次根式；

2.性质：①a0(a0)非负性; ②(a)2a(a0);

③ 2  a ( a  0 ) (字母从根号中开出来时要带绝对值 aa再根据具体情况判断是否需要讨论) a(a0)

3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.

①乘法和积的算术平方根可互相转化:aab(a0,b0);

②除法和商的算术平方根可互相转化:a

a(a0,b0) b

③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；

④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；

⑤乘法公式的推广：

本章常用方法归a1a2a3........ana1a2a3.......an(a10,a20,.....an0)二、

纳

方法1.开方 ①偶数次方：a2nan； ②奇数次方：a2n1ana

方法2.分母有理化：

①概念：分母有理化就是通过 使得

其中 叫做该分母的有理化因式；

②常用的有理化因式：

a与a、ab与a、a与互为有理化因式；

③分母有理化步骤：

先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；

将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法3. 非0的二次根式的倒数 ①a的倒数：1

aab1a（a>0）; ②的倒数：（a>0, b>0）; baaa

③※因为(n1nn1n) ，

所以(n1n)的倒数为 ；

方法4. 利用“”外的因数化简“” ①a1aa(a0)； ②aa2b(a0,b0)； aa

三、本章典型题型归纳 （一）二次根式的概念和性质

1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）x2－2x；

（2）x－1； x1

（3）2x1； |x|2

2．若x、y为实数，y＝x2＋2x＋3．则

3．根据下列条件，求字母x的取值范围：

2（1）(x3)x3； yx=

（2）x2x；

（3）x22x1＝1－x ；

22（4）※(x2)(x3)＝1 ；

4．已知2a1＋2a＋abc＝0．

则a= , b= , c= .

5.已知x3yx29

x320，则x1=______________ y1

6．在实数范围内因式分解：x4－4＝______________．【人教版八下数学第十六章二次根式知识总结】

7．已知a,b,c为三角形的三边， 222则(abc)(bca)(bca)

8.若最简二次根式24x1与最简二次根式46x1可以合并，则x的取值为 5

※9．已知a<0，化简二次根式a3b

※10．把m1根号外的因式移到根号内，得 m

（二）二次根式的运算

11．乘除法口算：

（1）1

6=

（3）85=

（5）21

3=

（2）1

=

（4）2

2=

（6）x

y=

（7） 11

32=

（9）3

=

（11）62

3=

（8）xy2x

3y=

（10）6

2=

（12）4b21

2b=

（13）4522= 4545

1)2(52)= 4（15）(

（14） 21= 36

12. 计算：（能简算的要简算）

（1

）(π1)． （28＋(－1)3－2×

(3) 454542 (4) (5486274)

(5) (6

(7)

02 2x12x)3x （6) (48)(2)(23)2 4x

1

1

11 2222

(8)(22)(22）

(9)

（10）

※（11）(72

13. 若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab

14

___________

15．若一个正方体的长为26cm，宽为3cm，高为2cm，则它的体积为 cm. ※16．3ab－abab―＋2（a＞0，b＞0） baba233b ab5(ab)3b2a22)7 ※(12) 22141 21

322的关系是

人教版八下数学第十六章二次根式知识总结(三)
人教版新课标2014年八年级下册数学第十六章二次根式教案

八年级下册数学 第十六章 二次根式

16．1 二次根式（1）（第一课时） 教学目的：

1、了解二次根式的概念；

2、了解二次根式的基本性质；

3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。 重点：二次根式的概念和基本性质

难点：二次根式的基本性质的灵活运用。 教学过程：

例1．（1）当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？

（2）当x是怎样的实数时，（3）当x是怎样的实数时，归纳总结：x

n

x2在实数范围内有意义？ x3在实数范围内有意义？

有意义

n

：当n为奇数时，x≥0时xn【人教版八下数学第十六章二次根式知识总结】

当n为偶数时，x为任意实数时x都有意义

1. 求下列二次根式中字母k的取值范围:

(

1 (

2 (

3 (

42. 当x分别取下列值时,

的值:

(1)x=0; (2)x=1; (3)x=-1.

检测：求二次根式中x的取值范围： （1）

x25

x4 （2）x1 （3） （4）

4xx2

2

附加题：（5）教学目的：

2xx22

x4 （6） （7） 2

x4x

1、理解二次根式的性质：

2

（1）a（a≥0）是非负数；（2）（a）=a（a≥0）；（3）a=a（a≥0）

2

2、会运用其进行相关计算。

2

重点：会运用a（a≥0）是非负数、（a）=a（a≥0）、a=a（a≥0）进行相关运算。 2难点：理解a（a≥0）是非负数、（a）=a（a≥0）、a=a（a≥0）。

22

教学过程：

阅读P69-P71内容，完成两个探究填空，理解、识记两个公式。 公式1 ： 公式2 ： 例1计算：

（1）（.5）2 （2）（25）2

练习：1、（2）2 2、（32）2 3、（25）2 4、（52）2 例2化简：

2

（1） （2）(5)

16．1 二次根式（2）（第二 三课时）

教学目的：

2

复习二次根式的概念、二次根式的基本性质a（a≥0）是非负数、（）=a（a≥0）、

a2=a（a≥0），能熟练运用其进行相关计算。

重点：二次根式的基本性质的应用。 难点：二次根式的基本性质的应用。 教学过程： 一、选择

1、下列代数式中二次根式有总有意义的有（ ） ⑴

122

，⑵16，⑶a9，⑷x1，⑸a2a2， 2

⑹x（x0），⑺

m32

。

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 2、如果

5

是二次根式，那么x应适合的条件是（ ） 3x

A、x≥3 B、x≤3 C、x＞3 D、x＜3 3

、化简：a12的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

2

4、(2)化简的结果是( b )

(A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 5、使代数式8

有意义的a的范围是（ ）

（A）a0 （B）a0 （C）a0 （D）不存在 6、若

0，则x2006y2005的值为： （ ）

（A ）0 （B）1 （C） -1 （D） 2

7、下列各式中一定成立的是（ ）

A

、2 B

、2 C

x2 D、2152

8、如图，在线段长x、y、z、w、p中，是无理数的有（ ）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

9、如果一个三角形的三边长分别为1、k、3，化简

74k236k81|2k3|结果是（ ）

A、—5 B、1 C、13 D、19—4k 二、填空 1、二次根式

2x1

有意义时的x的范围是 。 x2

2、若x、y都为实数，且y2008x52007x1，则x2y=________。 3、在直角坐标系内，点P（-2

）到原点的距离为 4、若实数a、b、c在数轴上的位置如图则化简

a2(ab)2|bc||ca|

5．若

a2  0 ，则a的取值范围是  a

6．若△ABC的三边长为a,b,c，其中a和b满足 a 2  2 b 6b9  0， 则c的取值范围是

2

7、实数在数轴上的位置如图示， 化简|a-1|+(a2) 。

(a8a  2  2，则  2) 的平方根为（ ）

A．16 B．±16 C．±4 D．±2

9、代数式310、若

2

的最大值是__________ 。

1

x2，则化简2

x22

2x=__________。

的值是常数2，则a的取值范围是___________。

11、若代数式

2a2



a42

12、求下列二次根式中字母x的取值范围： (1)

2x1，（2）

2x2x12

，（32x2x，（4，（5x3⑹ .

2xx5x1

16．2 二次根式的乘除（1）（第五课时）

教学目的：

1、理解二次根式的乘法运算法则：a²b=ab（a≥0，b≥0）

2、会运用乘法法则进行相关计算。

重点：会熟练运用二次根式的乘法运算法则：²=ab（a≥0，b≥0）进行计算 难点：理解二次根式的乘法运算法则：a²b=ab（a≥0，b≥0） 教学过程：

阅读P74探究，理解公式的推导过程

公式： 例1 计算：

（1）²5 （2）例2计算

（1）7 （2）32

练习（1）26（2）24； （3）2；（4）3；

1227

²27 （3）1

3103

（5）288例3 比校大小

1133

；（6）2xy；（7）32a2b；（8）24a3b； 72x

（1）23与32 （2）5与65 检测：计算（1）2a34b （2）53 （3）(2)(32)2 作业P79 1、4、5

16．2 二次根式的乘除（2）（第六课时）

教学目的：

1、理解二次根式的除法运算法则：2、会运用除法法则进行相关计算。 重点：会熟练运用二次根式的除法运算法则：

2

2

a=

a

（a≥0，b＞0） b

ab

=

a

（a≥0，b≥0）进行计算 b

难点：理解二次根式的除法运算法则：

a=

a

（a≥0，b＞0） b

教学过程：

阅读P76探究，理解公式的推导过程

公式： 最简二次根式： 例1 计算： （1）

24

3 （2）231051

（3）

3182.710

例2 化简

（1）

325y【人教版八下数学第十六章二次根式知识总结】

（2） 2

1009x

例3计算

（1）

35

（2）

3227

（3）

82a

练习：（1）2 （2）

726

（3）2a6a （4）

b

b

20a

（5）

34 （6）40 （7）.5 （8） 5035.2107.3109

（2）

检测：（1）

742

（3） 628

作业：P79 2、3

16．2 二次根式的乘除（3）（第七课时）

教学目的：

1、理解二次根式的除法运算法则：2、会运用除法法则进行相关计算。 重点：会熟练运用二次根式的除法运算法则：

a=

a

（a≥0，b＞0） b

ab

=

a

（a≥0，b≥0）进行计算 b

难点：理解二次根式的除法运算法则：教学过程：

a=

a

（a≥0，b＞0） b

人教版八下数学第十六章二次根式知识总结(四)
新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总

二次根式知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1

11x>0）

、

、x

yx

（x≥0，y•≥0）．

知识点二：取值范围 ；第二，被开方数是正数或0．

1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，

有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 有意义，是二次根式，所以要使二次根式

2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

例2．当x

例3．当x

知识点三：二次根式（（1在实数范围内有意义？ x1）的非负性

（

）是一个非负数，即）表示a的算术平方根，也就是说，0（）。 注：因为二次根式数（

（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0

；若）的算术平方根是非负数，即偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若

，则a=0,b=0。

例4(1)已知

y=

，求x的值．(2)

，求a2004+b2004的值 y

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，

则，如：，.

例1 计算

1．

222 ） 2．（

2 3．

4．

（）2

例2在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简

（1

（2

（3

（4

例2 填空：当a≥0

；当a<0

，•并根据这一性质回答下列问题．

（1

，则a可以是什么数？（2

，则a是什么数？ （3

，则a是什么数？

例3当x>2

知识点六：与的异同点（去根号时应该如何处理）

1、不同点：与表示的意义是不同的，

中，而表示一个正数a的算术平方根的平方，而中a可以是正实数，0，负实数。但与表示一个实数a都是非负数，

的平方的算术平方根；在即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即知识点七：二次根式的乘除 时，=；时，无意义，而.

1、

a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0）

2

a≥0，b>0）

（a≥0，b>0）

（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）

例1．计算

（1）

（2

例2 化简

（1

（2

（3

（4

（3

（4

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1

 （2

（2

（3

（4

例4．计算：（1

例5．化简：

（1

（2

（3

（4

例6．

，且x为偶数，求（1+x

的值．

3、最简二次根式应满足的条件：

（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式） 例1．把下列二次根式化为最简二次根式

(1)

4、化简最简二次根式的方法：

(1) 把被开方数(或根号下的代数式)

(2)

(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）

5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①③与与； ②； ④与与；

．

说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．

13

判断是否是同类二次根式时务必

知识点八：二次根式的加减

1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

例1．计算（1

（2

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1

（2+3

（2

=（4+8

例2．计算

（1）

2）

+

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求（2

3-（x

）的值．

2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减

3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．

（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小

例4．比较

(被开方数不同时，寻找中间数)

人教版八下数学第十六章二次根式知识总结(五)
新人教版八年级数学第十六章二次根式知识点+测试题

第十六章 二次根式

基本知识点

1.二次根式的有关概念：

（1）形如的 式子叫做二次根式.（即一个的算术平方根）

二次根式有意义的条件:.

（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

①；②.

（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果相同，那么这几个二

次根式叫做同类二次根式。

2.二次根式的性质：

(a)（1） 非负性

(2)2(a

0)



 (a0 b

0)b0) (a0,

3.二次根式的运算：

二次根式乘法法则

二次根式除法法则

 (a0 , b0) (a0 , b0)二次根式的加减：

(一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式；

（2）找出其中的同类二次根式；

（3）合并同类二次根式。

Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根号外的因数合并。

二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律、公式）仍然适用

二次根式提高测试题

一、选择题

1．要使式子x有意义，则x的取值范围是（）

A.x≤1 B.x≥1 C.x＞0 D.x＞﹣1

2．下列式子成立的是（ ）

A．123 B．22 C．3）3 D.（3）2=6 3

3．化简8的结果是（ ）

A．2 B．4 C．22 D．±22

4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.x22 B.8 C.x D.x1 2

，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表5．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和

示的数是（ ）

A

1 B．

．

2 D．

1

6．化简32的结果是（ ） 27

226 B． C． D．2 33有意义，则x的取值范围是（ ） A．7．若代数式

A.x≥﹣2且x≠﹣1B.x＞﹣2且x≠﹣1

C.x≤2且x≠﹣1 D.x＜2且x≠﹣1

8．已知 n的最大值是（ ）．

A．12 B．11 C．8 D．3

二、填空题

9．（3+）（3﹣7）=．

10．已知a、b为两个连续的整数，且

b，则a+b=________．

11

n10，则m﹣n的值为 ．

12

在实数范围内有意义，则x的取值范围为．

13．已知x=3+1，y=﹣1，则代数式2yx的值是． xy

14．若x，y为实数，且x3(y12)0，则xy=． 3

15.

若

m的值为 . 16. 若a0,b

0 .

三、计算题

17．计算：

（1）.33

82；

（2）.(4662)；

（3

627； 2

（4）.(.52

11)(3875)．

18．计算：(1)012()1 4

四、解答题

19．已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,b的立方根是-2，求3a+b的算术平方根.

20．先化简，再求值： a2b2ab(22)，其中a

b(1).a

bab

a22a1(2).abab

，其中a1，b1． a1

2

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