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二元一次方程组应用常见问题总结

2016-11-30 10:34:33 成考报名 来源:http://www.chinazhaokao.com 浏览:

导读: 二元一次方程组应用常见问题总结(共9篇)二元一次方程组应用问题归纳二元一次方程组应用问题归纳知识要点分析一:列二元一次方程组解应用题的步骤:( 审 设 列 解 答 )(1) 审: 审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;(2) 设:找出能够表示题意的两个相等关系并设出方程;(3) 列:根据这两个相...

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二元一次方程组应用问题归纳
二元一次方程组应用常见问题总结 第一篇

二元一次方程组应用问题归纳

知识要点分析

一:列二元一次方程组解应用题的步骤:( 审 设 列 解 答 )

(1) 审: 审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;

(2) 设:找出能够表示题意的两个相等关系并设出方程;

(3) 列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;

(4) 解:解方程组,求出两个未知数的值;

(5) 答:写出答案(包括单位名称),注意求出的方程组的解要合理符合实际。 二:常见问题中的数量关系(重点、难点)

㈠ 鸡兔同笼问题

等量关系:鸡头+兔头=头数

鸡脚+兔脚=足数

㈡ 增收节支问题

增(减)后的数量=基数×(1±增加(减少)后的百分数);

百分率问题:百分率=×100%;

折扣问题:打折后的价格=原价×打折数;

存(贷)款问题:利息=本金×利率×时间,本息和=本金+利息;

盈利问题:销售额=售价×数量;

总利润=销售额-总成本=每件的利润× 数量=(售价-进价)×数量。

㈢ 里程碑上的数

(1)数字问题

1、用字母表示两位或两位以上的数.

一个两位数,个位数字是a,十位数字是b,那么这个数可表示为10b+a;

如果交换个位和十位上的数字,得到一个新的两位数可表示为10a+b.

2、数的位置变换后怎样表示多位数.

(1)两位数x放在两位数y的左边,组成一个四位数,这时,x的个位数就变成了百位,十位数就变成了千位,而两位数y在四位数中数位没有变化.因此用x、y表示这个四位数为100x+y.同理,如果将x放在y的右边,得到一个新的四位数为100y+x.

(2)一个两位数,个位上的数是m,十位上的数是n,如果在它们之间添上零,十位上的n便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100,0个10,m个1组成的,用代数式表示这个三位数即为100n+m.

3、年龄问题:遇年龄问题时,注意两人年龄同时增长相同岁数.

(2)行程问题

行驶路程 = 行驶速度•行驶时间

①相遇问题:甲乙相向而行,则甲走的路程+乙走的路程 = 总路程;

②追及问题:甲乙同向不同地而行,则追者走的路程 = 被追者走的路程 + 两人最初相距的距离;

小结:设总路程为S,甲路程为S甲,乙路程为S乙,则相遇问题中的等量关系:S甲+S乙=S. 若甲、乙两人相距S,甲速度快,在后面追乙,追及问题中的等量关系:S甲=S乙+S. ③环形跑道问题:同时同地同向而行,首次相遇,路程差等于一圈;

同时同地相背而行,首次相遇,路程和等于一圈;

④飞行问题:顺风速度 = 无风速度 + 风速; 逆风速度 = 无风速度 — 风速; ⑤航行问题:顺水速度 = 静水速度+水速;逆水速度 = 静水速度—水速;

顺水速度—逆水速度 = 2水速.

【典型例题】

考点一:二元一次方程组与鸡兔同笼问题

例1. 鸡鸭共一栏,鸡为鸭之半.八鸭展翅飞,六鸡在下蛋,再点鸡鸭数,鸭为鸡倍三,请你算一算,鸡鸭各多少? 如果设有鸡x只,鸭有y只,则由诗意可列二元一次方程组:_________________.

例2.(2014辽宁)八年级学生开会,若每条长凳坐5人,则少10条长凳,若每条长凳坐6人,则多两条长凳,问学生多少?长凳多少?

例3.(2013吉林)吉林人参是保健佳品,某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参,甲种人参每棵100元,乙种人参每棵70元.王叔叔用1200元在此特产商店购买这两种人参共15棵,求王叔叔购买每种人参的棵树.

考点二:二元一次方程组与增收节支问题

例1.(2013•乌鲁木齐)在水果店里,小李买了5kg苹果,3kg梨,老板少要2元,收了50元;老王买了11kg苹果,5kg梨,老板按九折收钱,收了90元,该店的苹果和梨的单价各是多少元?

例2.(2014•泰州)今年“五一”小长假期间,某市外来与外出旅游的总人数为226万人,分别比去年同期增长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.

例3.某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米,超过3千米的部分按每千米另行收费,甲说:我乘这种出租车走了11千米,付了17元;乙说:我乘这种出租车走了23千米,付了35元.请你算一算这种出租车的起步价是多少元?以及超过3千米后,每千米的车费是多少元?

考点三:用二元一次方程组解决数字问题—里程碑上的数

例1.有一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则得到的数比原来的数小45;又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3,试求原来的三位数.

例2.8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍,从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍,求父亲和儿子现在的年龄.

例3.(2014山西)甲、乙两个两位数,若把甲数放在乙数的左边,组成的四位数是乙数的201倍;若把乙数放在甲数的左边,组成的四位数比上面的四位数小1188,求这两个数(列出方程组即可)

例4.(2014陕西)有一个两位数和一个一位数,如果在这个一位数后面多写一个0,则它与这个两位数的和是146,如果用这个两位数除以这个一位数,则商6余2,求这个两位数和一位数.

考点四:二元一次方程组与行程问题—里程碑上的数

例1.(2011恩施州)小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下:

时刻

碑上12:00 13:00 14:30 比12:00时看到的两

位数中间多了个0 是一个两位数,十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了 的数 数字之和为6

则12:00时看到的两位数是:

A、24 B、 42 C、51 D、15

例2. (2013四川) 甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的

2.5倍,4分钟两人首次相遇,此时乙还需要跑300米才跑完第一圈,求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.(列方程组求解)

例3.某体育场的一条环形跑道长400米,甲、乙两人从跑道上同一地点出发,分别以不同的速度练习长跑和自行车,如果背向而行,每隔

隔11分钟他们相遇一次,如果同向而行,每22分钟甲追上乙一次,问甲、乙每分钟各行多少米? 3

二元一次方程组的应用典型习题总结
二元一次方程组应用常见问题总结 第二篇

第五章 实际问题与二元一次方程组经典例题

知识要点梳理

列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题:

(1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程;

;;

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。

(3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;

②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;

③顺水速度-逆水速度=2×水速。

注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2.工程问题:工作效率×工作时间=工作量.

3.商品销售利润问题:

(1)利润=售价-成本(进价);(2);(3)利润=成本(进价)×利润率;

(4)标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率;

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)

4.储蓄问题:

①利息=本金×利率×期数

②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数)

③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息=利息× (1-利息税率) 。

5.配套问题:

解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6.增长率问题:

解这类问题的基本等量关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量;

原量×(1-减少率)=减少后的量.

7.和差倍分问题:

解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量.

8.数字问题:

解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,

奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字

9.优化方案问题:

在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。

注意:方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。

经典例题透析

类型一:列二元一次方程组解决——行程问题

1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?

举一反三:【二元一次方程组应用常见问题总结】

【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米?

【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。

类型二:列二元一次方程组解决——工程问题

2.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?

举一反三:

【变式3】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由.

类型三:列二元一次方程组解决——商品销售利润问题

3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?

举一反三:

【变式4

(注:获利 = 售价 — 进价)

求该商场购进A、B两种商品各多少件;

类型四:列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税=利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税)

举一反三:

【变式5】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:公民应缴利息所得税=利息金额×20%)

【变式6】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?

类型五:列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?

举一反三:

【变式7】现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?

【变式8】某工厂有工人60人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

【变式9】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300

条。现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌?能配多少张方桌?

类型六:列二元一次方程组解决——增长率问题

6. 某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元?

【变式10】某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。

类型七:列二元一次方程组解决——和差倍分问题

7.(2011年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶?

举一反三:

【变式11】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.

类型八:列二元一次方程组解决——数字问题

绝对经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结
二元一次方程组应用常见问题总结 第三篇

七年级数学《二元一次方程组》辅导材料1

一、知识点总结 1、二元一次方程:

含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程,它的一般形式是axbyc(a0,b0). 2、二元一次方程的解:一般地,能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组:含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解:二元一次方程组中的几个方程的公共解,叫做二元一

次方程组的解.【二元一次方程组解的情况:①无解,例如:

xy1xy6,xy1

2x2y6;

xy1xy1

②有且只有一组解,例如:2xy2;③有无数组解,例如:2x2y2】

5、二元一次方程组的解法:代入消元法和加减消元法。

6、三元一次方程组及其解法:方程组中一共含有三个未知数,含未知数的项的次数都是1,并且方程组中一共有两个或两个以上的方程,这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”:三元→二元→一元 7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步: (1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,;(2)设:找出能够表示题意两个相等关系;并用字母表示其中的两个未知数 (3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组; (4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值; (5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案. 二、典型例题分析

例1、若方程

x2m15y3n27是关于x、y的二元一次方程,求m、n的值. 例2、将方程102(3y)3(2x)变形,用含有x的代数式表示y. 例3、方程x3y10在正整数范围内有哪几组解?

例4、若

x2是方程组2x3m1的解,求m、n的值. y3

nxmy5例5、已知(m1)xn(n1)ym

1是关于x、y的二元一次方程,求nm的值.

例6、二元一次方程组

4x3y7

的解

kx(k1)y3x,y的值相等,求k.

例7:(1)用代入消元法解方程组:



7x5y3

2xy4

x5y6 

3x6y40

(2)、用加减法解二元一次方程组:



4x3y0

3x2y7

12x3y8

2x3y9

(3)、解复杂的二元一次方程组

.【二元一次方程组应用常见问题总结】

(提高题)例8、若关于X,y的二元一次方程组x+y=5k,x-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,求k的值。

三、跟踪训练

知识点1:二元一次方程及其解

1、下列各式是二元一次方程的是( ).

A.6xy7 B.x10 5

y

C.4xxy5 D.x2x10

2、若x3

是关于x、y的二元一次方程3

y2xay0的一个(组)解,则a的值

为( ) A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 6

3、二元一次方程x2y7在正整数范围内的解有( ).

A.无数个 B.两个 C.三个 D.四个

4、已知在方程3x5y2中,若用含有x的代数式表示y,则y ,用含有y的代数式表示x,则x 。 5、若mn5,则15mn 。 知识点2:二元一次方程组及其解

1、有下列方程组:(1)x3y0 (2)4x3y0x3y0 (3)4xy9m5 (4)n2x14x2y6

其中说法正确的是( )

A.只有(1)

、(3)是二元一次方程组 B.只有(3)、(4)是二元一次方程组 C.只有(4)是二元一次方程组 D.只有(2)不是二元一次方程组

2、下列哪组数是二元一次方程组xy3

2x4

的解( )

A.x3 B.x1 C.x5 D.x2 y0

y2

y2

y1

3、若方程组

axy1

6xby2有无数组解,则a、b的值分别为( )

A. a=6,b=-1 B.a2,b1 C.a=3,b=-2 D.a2b

, 24、写出一个以 【二元一次方程组应用常见问题总结】

x4为解的二元一次方程组 ;写出以y2x1

为解

y2

的一个二元一次方程 .

5、已知x2

是二元一次方程组y1

axby7的解,则ab的值为 。

axby16、如果4x5y0,且x0,那么12x5y

12x5y

的值是 .

7、若3x

2ab1

y与5xya2b1是同类项,则ba知识点3 二元一次方程组的解法

8、选择适当的方法解方程组

2xxy

xy8

3y111

y2x1 

5x2(xy)

2

y33x418

(提高题)1、已知关于x,y的方程组

3x5ym2

的解满足xy10,求式2x3ym

子m2

2m1的值.

2、小花在家做家庭作业时,发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染



3x2y(),

( )表示被污染的内容,她着急地翻开书后面的答案,这道5xy()

题目的解是x2

y1,聪明的你能够帮她补上( )的内容吗?

四、当堂检测

七年级数学测试题

一、选择题:(每题3分,共33分)

1.下列方程中,是二元一次方程的是( )

A.3x-2y=4z B.6xy+9=0 C.

1x+4y=6 D.4x=y24 2.下列方程组中,是二元一次方程组的是( )

A.

xy4

B.

2a3b11x22x3y75b4c6

C.

9D.xy8y2x

x2y4

3.二元一次方程5a-11b=21 ( )

A.有且只有一解 B.有无数解 C.无解 D.有且只有两解 4.方程y=1-x与3x+2y=5的公共解是( ) A.

x3

B.

x3y2yC.

x34y2D.x3y2

5、方程组

3x2y7,

4xy13.的解是( )

A、x1,x3,xy3; B、y1; C、3,x1,

y1; D、

y3.

6、设方程组

axby1,的解是a3x3by4.x1,

那么

y1.a,b的值分别为( )

A、2,3; B、3,2; C、2,3; D、3,2.

7.某年级学生共有246人,其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人,•则下面所列的方程组中符合题意的有( )

A.

xy246B.

xy2462yx22xyC.

xy2162yD.xy2462x22yx2

二、填空题(每题3分,共33分)

1.若x3m-3-2yn-

1=5是二元一次方程,则m=_____,n=______. 2.若(3x-2y+1)2

+3x3y3=0,则x=______,y=______.

3.已知x2y1是方程组mxy3

的解,则m=_______,n=______.

xny64、如果(a2)x|a|136是关于x的一元一次方程,那么

a2

1

a

5、班上有男女同学32人,女生人数的一半比男生总数少10人,若设男生人数为x人,女生人数为y人,则可列方程组为

6、如果2x

b5

y2a与4x2ay

24b

是同类项,那么 a,b

三、用适当的方法解下列方程



4m2n501

x1y13n4m6 23 13

xy2

3

3x5y19xy98x3y67 2

x3y2

6

四、(本题6分)某厂买进甲、乙两种材料共56吨,用去9860元。若甲种材料每

吨190元,乙种材料每吨160元,则两种材料各买多少吨?

五、某工厂与A、B两地有公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批原料运回工厂,制成新产品再运到B地,公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1元/(吨·千米),A地到工厂有公路20千米,铁路150千米;从工厂到B地有公路30千米,铁路120千米。若这两次运输共支出公路运费6600元,铁路运费24600元,原料费为每吨1000元,新产品每吨2000元,则该工厂这批产品获得利润多少元?

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总
二元一次方程组应用常见问题总结 第四篇

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总

把两个一次方程联立在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义:一个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,叫二元一次方程。 二元一次方程组定义:两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。

二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解。

一般解法,消元:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。

消元的方法有两种:代入消元法

例:解方程组x+y=5 ① 6x+13y=89 ②

解:由①得 x=5-y ③ 把③带入②,得 6(5-y)+13y=89 y=59/7

把y=59/7带入 ③,x=5-59/7 即x=-24/7

∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法,简称代入法。 加减消元法

例:解方程组x+y=9① x-y=5②

解:①+② 2x=14 即 x=7 把x=7带入① 得7+y=9 解得y=-2

∴x=7 y=-2 为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。

二元一次方程组的解有三种情况:

1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解

【二元一次方程组应用常见问题总结】

2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解。

3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②, 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。

注意:用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。

教科书中没有的几种解法

(一)加减-代入混合使用的方法.

例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2)

解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1,y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

(二)换元法

例2, (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2

所以x+5=6, y-4=2 所以x=1,y=6

特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。

(三)另类换元

例3, x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可写为:5t+6*4t=29

29t=29 t=1 所以x=1,y=4

二元一次方程组的解

一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。 求方程组的解的过程,叫做解方程组。

一般来说,二元一次方程组只有唯一的一个解。

注意 :二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的! 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题) ☆ 内容提要☆

一、 基本概念 1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组) 2. 分类:

二、 解方程的依据—等式性质 1.a=b←→a+c=b+c 2.a=b←→ac=bc (c≠0)

三、 解法

1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。

2. 二元一次方程组的解法:⑴基本思想:“消元”⑵方法:①代入法 ②加减法

四、 一元二次方程 1.定义及一般形式: 2.解法:⑴直接开平方法(注意特征) ⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式) ⑶公式法: ⑷因式分解法(特征:左边=0) 3.根的判别式: 4.根与系数顶的关系: 逆定理:若 ,则以 为根的一元二次方程是: 。 5.常用等式:

五、 可化为一元二次方程的方程 1.分式方程 2.无理方程

3.简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、 列方程(组)解应用题

一概述 列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是:(1)、审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵、设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。 ⑶、用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷、寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸、解方程及检验。 ⑹、答案。 综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

1. 行程问题(匀速运动) 基本关系:s=vt ⑴相遇问题(同时出发):⑵追及问题 ⑶水中航行:

2. 配料问题:溶质=溶液×浓度 溶液=溶质+溶剂

3.增长率问题:

4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。

5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。

三注意语言与解析式的互化 如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、…… 又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如,x与y的差为3,则x-y=3。

五注意单位换算

如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

用二元一次方程组解决问题例题
二元一次方程组应用常见问题总结 第五篇

用二元一次方程组解决问题例题

目标认知

学习目标:

1.能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题,再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用

2.进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系,体会代数方法的优越性

3.体会列方程组比列一元一次方程容易

4.进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题,解决问题的能力

5.掌握列方程组解应用题的一般步骤;

重点:

1.经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。

2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。

难点:正确找出问题中的两个等量关系

知识要点梳理

知识点一:列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.

知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题:

(1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程;

;;

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。

(3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;

②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;

③船的顺水速度-船的逆水速度=2×水速。

注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2.工程问题:工作效率×工作时间=工作量.

3.商品销售利润问题:

(1)利润=售价-成本(进价);(2)

(4)标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率; ;(3)利润=成本(进价)×利润率;

注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价的

十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)

4.储蓄问题:

(1)基本概念

①本金:顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和:本金与利息的和叫做本息和。 ④期数:存入银行的时间叫做期数。

⑤利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 ⑥利息税:利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息=本金×利率×期数

②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数)

③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息=利息× (1-利息税率) ⑤年利率=月利率×12 ⑥

注意:免税利息=利息

5.配套问题: 。

解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6.增长率问题:

解这类问题的基本等量关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量;

原量×(1-减少率)=减少后的量.

7.和差倍分问题:

解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量.

8.数字问题:

解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字

9.浓度问题:溶液质量×浓度=溶质质量.

10.几何问题:解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

11.年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的

12.优化方案问题:

在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。

注意:方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。 知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步.即:

(1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数;

(2)设:根据题意设元

(3)找:找出能够表示题意两个相等关系;

(4)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;

(5)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;

(6)检:检查所求的解是否符合实际问题;

(7)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.

要点诠释:

(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;

(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;

(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

解答步骤简记为:问题 (4)列方程组解应用题应注意的问题

①弄清各种题型中基本量之间的关系; ②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息; ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,不要带单位;④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆; ⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件; ⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

方程组解答

经典例题透析

类型一:列二元一次方程组解决——行程问题

1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?

思路点拨:画直线型示意图理解题意:

(1)这里有两个未知数:①汽车的行程;②拖拉机的行程.

(2)有两个等量关系:

①相向而行:汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程=160千米;

②同向而行:汽车行驶小时的路程=拖拉机行驶小时的路程.

解:设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米.

根据题意,列方程组

解这个方程组,得:

答:汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米. .

总结升华:根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。

2在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站,A到B的距离为120千米,B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去,结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?

【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时,则

3(xy)120, xy120

整理得xy40,

xy120

解得x80, y40

因此,巡逻车的速度是80千米/时,犯罪团伙的车的速度是40千米/时.

点评:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在:

“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;

“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离. 举一反三:

【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米? 解:设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米。根据题意可得:

解得:

答:甲每小时走6千米,乙每小时走3.6千米。

【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。

分析:船顺流速度=静水中的速度+水速

船逆流速度=静水中的速度-水速

解:设船在静水中的速度为x千米/时,水速为y千米/时,

,解得:

答:船在静水中的速度为17千米/时,水速3千米/时。

跟踪训练

1、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走,甲在乙的西边300米,若甲、乙两人同时向东走30分钟后,甲正好追上乙;若甲、乙两人同时相向而行,2分钟后相遇,问甲、乙两人的速度是多少?

甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步,相向而行每隔两分钟相遇一次;同向而行,每隔6分相遇一次,已知甲比乙跑的快,求甲乙每分钟跑多少圈?

类型二:列二元一次方程组解决——工程问题

1一批机器零件共840个,如果甲先做4天,乙加入合做,那么再做8天才能完成;如果乙先做4天,甲加入合做,那么再做9天才能完成,问两人每天各做多少个机器零件?

分析:由题意得甲做12天,乙做8天能够完成任务;而甲做9天,乙做13天也能完成任务,由此关系我们可列方程组求解.设甲每天做x个机器零件,乙每天做y个机器零件,根据题意,得

(48)x8y8409x(49)y840 

解得:x50 y30

答:甲每天做50个机器零件,乙每天做30个机器零件

2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装厂原来的生产

2015二元一次方程组与一次函数教学反思
二元一次方程组应用常见问题总结 第六篇

反思一:二元一次方程组与一次函数教学反思

上完课后失败感比较强。失败感也比平平淡淡的价值大,下面总结一下有何失误。

本节教学内容是《一次函数与一元二次方程(组)》,“一个二元一次方程对应一个一次函数,一般地一个二元一次方程组对应两个一次函数,因而也对应两条直线。如果一个二元一次方程组有唯一的解,那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点的坐标。本节的图象解依据了这个道理。”因此本节需要迅速画出图象,利用图象解决问题。而我的失误也主要发生在画图象上,在喧闹声刚刚平息后在九班开始了这节课。课堂需要的课件无法用内网传递,我只得让学生自己先看书,借机我跑到一楼用软盘把课件拷过来。或许这节课的例题更适合学生独立学习,我对学生疑难处加以点拨,这样学生的主动性会调动起来,昨天看的文章了说注重学生的想法,体会。给学生以充分思考的时间。不过我担心学生的基础参差不齐,还是以我讲授为主,讲后学生进行训练。在讲的过程中犯了一个画图错误,2X-Y=1化成了Y=2X+1,并用几何画板作出了图象。这种低级错误竟然我没有看出来,后来学生给我指出来了,有的学生看到老师出错了,低着头嘀嘀咕咕,我对着电脑是否重新画呢,时间不多了然后转入了例3的讲解。

一个小小的笔误,虽然不是知识性的错误,不能反映老师的教学水平低下,但这种粗心造成的错误在学生的记忆中留下不光彩的一页,看到个别学生眼中不屑的表情,我忍了忍心里的怒火,不能在课堂上训斥他们,错是自己酿成的。以后一定注意课堂的细节,借机课下我要强化对学生的细节教育,不要在做题过程中出现我所犯的低级错误。

关注细节,完善课堂和各个环节,不留遗憾,提高质量。

反思二:二元一次方程组与一次函数教学反思

事物之间是存在普遍联系的,研究二元一次方程组与一次函数之间的关系应证了辨证唯物主义的这一观点.同时利用二元一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一个重要内容.教材通过引例对图像方法与代数方法的比较,使学生了解解决应用问题的策略和方法是多样性的,同时也使学生理解图像方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣,从而对方法作出正确的选择.通过一个具体的例子,让学生掌握用二元一次方程组解决一次函数问题的一般步骤与方法.

(1)突出重点、突破难点的策略

本节课主要要求学生能够利用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题,根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题,关于这方面的练习,以老师的讲解为主,在此基础上,还要让学生动手、动脑去解决问题,在技能上作出强化.在内容上要让学生进一步理解它们之间的联系的同时,要让学生理解为什么要用二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性,从而掌握本堂课的基础知识.在教学的过程中,要让学生充分理解图像方法和代数方法解决问题的优点和缺点,在这个基础上,学生掌握用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才会有着坚实的理论基础,有关这一方面的题目要让学生充分讨论,其理解才会深刻;同时要以这一部分的知识为载体,让学生理解解决问题方法的多样性的,结合函数的图像,进一步理解数形结合的思想在数学学习中的重要性.

(2)评价方式

根据新课标的评价理念,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平,关注的是学生对问题的理解水平和解决过程中的表述水平,关注的是学生对基本知识技能的掌握情况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的相关问题的提高.教学中通过学生对“做一做”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和解决问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励,帮助学生认识自我,建立自信,发挥评价的教育功能.

反思三:二元一次方程组与一次函数教学反思

今天2015年12月8日我们在保中进行了第九次的流动学院的学习活动,在本次活动中是由保中的陈小妹老师和琼中思源的简雪峰老师上的课,课题是《一次函数与二元一次方程组》,在这两位老师的课堂上,我感受很深,陈老师的课是以现代多媒体教学的形式,课堂教学目标明确,重点难点突出,教学设计连接比较好,但是,在整堂课上老师在学生练习的时候巡视的比较少,对于有困难的学生没有及时的进行辅导,其次是在评价学生的问题上也比较少;而简老师的课是以传统的模式进行教学,采用的是分组的手段,在教学的过程中学生都被老师的问题所吸引了,整堂课上学生都争先恐后的抢答问题,并对老师所提的问题回答的时候进行了详细的分析,而简老师也在此同时注重学生的解题思路和过程,引导学生的去发现解决问题的渠道,并对学生回答问题的表现及时的做出了适当的评价。

对比这两节课,两位老师都有自己的亮点,对于这样的一个课题,对于我们的学生来说在理解接受上是比较难的,而简老师却能让学生感受到了这其中的乐趣;还有不管是多媒体教学还是传统式教学,我们的最终目的是让学生在课堂上动起来,让学生在课堂上听懂我们这节课的学习内容,我个人认为,教学的手段和方法是根据学生而异,如果我们盲目的去追求某种模式,得到的效果反而更差。

反思四:二元一次方程组与一次函数教学反思

相对前面两课内容来说,这一课的内容较为容易理解,再加上有前面两课的基础,学生应该好学习些。因此,这一课我在以下两个方面要求学生做好,图形解方程组的画图规范,利用图形进一步理解前一课的内容:“当x为何值时,y1<y2,y1=y2,y1>y2的题目类型”。

在课堂上,学生能够结合例题,总结出利用函数的图象解二元一次方程组的解题步骤:变形、画图、标交点、得结论。

2015二元一次方程组的解法教学反思
二元一次方程组应用常见问题总结 第七篇

反思一:二元一次方程组的解法教学反思

“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识,占有重要的地位。通过本节课的教学,使学生会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组,了解“消元”思想。

教学后发现,大部分学生能掌握二元一次方程组的解法,教学一开始给出了一个二元一次方程组。提问:含有两个未知数的方程我们没有学习过怎样解,那么我们学过解什么类型的方程?答:一元一次方程。提问:那可怎么办呢?这时,学生通过交流,教师只要略加指导,两种方法自然得出,这其中也体现了化归思想。有个别同学在选择方法上:是用代入法还是加减法,很犹豫,解答起来速度较慢。这时,教师通过让学生对未知数系数为一的方程组,与未知数系数都不为一的方程组的对比,自行体会出如何选择解方程组的方法。

在课堂上设置小组交流这一环节,交流的内容有对新知识的探究、对问题的理解、计算方法及体会、学生相互纠错等。同时,要避免满堂交流,没有目的的交流,教师要给予必要的引导,让学生有价值有目标的交流,关注每个学生的参与情况,并给以指导。通过学生学习小组交流,增强了每个学生的参与意识,同时通过解释、推断和对自己思想进行口头和书面的表达加深理解,学生之间的合作交流,不仅是使学生获取必要的学科知识,对于提高每个学生的口头表达能力及数学语言的规范及交际能力、合作意识的培养起到了很大的作用。

本堂课最大的特点是,利用一个方程组引出了两种解法,直观对比,并归纳总结出化归思想,使学生在脑子中直接形成了知识网络和解题思想,取得了较好的效果。但是,仍然需要练习进行巩固提高。

反思二:二元一次方程组的解法教学反思

解二元一次方程组的基本思路是消元,即消去一个未知数,转化成一元一次方程求解。消元的方法是代入法和加减法,平时,学生都是循规蹈矩,按部就班地用代入法或加减法解一次方程组。而实际上二元一次方程组系数间的特点是丰富多彩的,消元的方法也很多。在牢牢掌握两种基本消元方法之后,再进行探索特殊方程组特殊的解法,将能大大开阔学生的思路,激活学生的思维。

于是在学习了代入法和加减法消元之后,我设计了这节探究课。本节课实际上是一节复习课,通过对几种类型题进行探究后,让学生知道代入法和加减法的作用不仅仅是消元,还能简化方程组,即使消元,也是灵活多变,技巧性很强的。启发学生把已经掌握的知识,经过再挖掘,不但能巩固已学知识,而且能获得许多的技巧,提高他们的思维能力。

首先我以两道古代应用问题的解决让学生先复习回顾二元一次方程组的两种解法,同时由第二道题所列的方程组引导学生学会观察方程组的特点通过加减法将方程组化简,再通过代入或加减法求方程组的解,学生反思解题带给自己的启示,不仅简化了方程组的解法,还拓展了解题思路,培养学生一题多解的能力。接下来的巧解难题和触类旁通都可以通过这种巧代入或巧加减将看似较复杂或较麻烦的问题简单化,调动了学生的学习兴趣,满足了学生的探究欲望,发挥了学生的主体作用。

反思本节课,我觉得有以下几点:

1、本节课灵活运用了多种教学方法,既有教师的讲解,又有学生的独立思考和讨论,调动了学生学习的积极性,充分发挥了学生的主体作用。

2、本节课还注重了数学思想方法在课堂中的渗透。拓宽了学生的知识面,培养了学生的发散思维能力和创新能力。

3、在整个教学教程中,由课题引入到问题解决至始至终向学生渗透数学应用意识,培养了学生应用数学的能力,揭示了数学源于生活,又高于生活。这样教学不仅使学生理解了学习内容,而且使学生掌握了学习的方法,更好地利用所学知识解决问题。

此外本节课还存在诸多的不足之处:

1.在提出问题的时候,学生的思考时间较少,只有程度较好的学生思考出来,大部分学生都还在思考中。

2.欠缺对“学困生”的关注,没能用更好的语言激发他们。

3.没能让每位学生都有足够的时间发表自己的观点。

4.没能进行很好的知识延伸和拓展。

5.还应更注重细节,讲究规范,强调反思。

反思三:二元一次方程组的解法教学反思

本节课是华东师大版七年级数学下册第七章《二元一次方程组》中第二节的第四课时,它是在学习了代入消元法和加减消元法的基础上进行学习的。能够灵活熟练地掌握加减消元法,在解方程组时会更简便准确,也是为以后学习用待定系数法求一次函数、二次函数关系式打下了基础,特别是在联系实际,应用方程组解决问题方面,它会起到事半功倍的效果。

我所任教的初一(2)班学生基础比较好,他们已经具备了一定的探索能力,也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强,性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会,但是对于七年级的乡镇中学的学生来说,他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高,很多时候还需要教师的点拨和引导。因此,我遵循学生的认识规律,由浅入深,适时引导,调动学生的积极性,并适当地给予表扬和鼓励,借此增强他们的自信心。

本课时充分利用了学生原有生活经验中的替代思想,迁移到数学中,形成消元思想。通过生活事例让学生亲身经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生自主探索与合作交流,让学生在实践中体验、理解和掌握数学知识,使知识的发现过程融于有趣的活动中。待学生通过巩固练习积累感性经验后,又将加减法程序化,归纳出解题步骤,使之更具操作性,促进学生由方法向技能的转化。本节课的亮点是重视知识的发现过程,在教学过程中,通过设置适当的问题情境,给学生有充分的从事数学活动的时间与空间,让他们积极参与、自主探索,整个课堂教学时时处处立足于让学生先看、先思、先做、先说,符合新课改的以学生为本的理念。将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较,可让学生在复习旧知的同时,新知识得以掌握。

2015实际问题与一元一次方程教学反思
二元一次方程组应用常见问题总结 第八篇

实际问题与一元一次方程教学反思一:

这节课主要讲了一道实际应用题,是关于足球比赛的。这道题都是来源于生活,又作用于生活,提供学生生活中熟悉的材料作背景,学生学习兴趣很高。并且本节课采用活动—探索—合作—交流的形式,培养了学生的团结协作能力、勇于探索的精神。使学生在轻松熟悉的环境中完成了学习任务。自我感觉设计比较合理,题目适当,时间恰当,并注重知识的前后衔接,照顾更多的中差生。

不足之处:

过高估计学生,导致对学生在课堂上出现了很多小问题,今后应加强细节的设计和全面考虑。学生的讨论与合作学习还需加强,讨论问题还不够深入,多数时间还是以个别回答为主,虽然许多个别回答非常精彩,但仍需注意讨论形式的变化,让学生从合作学习中有所提高。另外,还需加强的是学生发现问题能力的培养,多数问题的发现还是在教师的指导下完成的。如果能达到学生提出问题,小组讨论,全班解决,那效果更佳。

实际问题与一元一次方程教学反思二:

在本次教学中我能以学生为主体,以探究为主线,采取合作交流的探究式进行学习,课堂上学生积极主动,不断出现学习的欲望和热情,使学生的知识得到巩固的同时使生活经验、学习方法等得到提高也形成正确的价值观。通过本课的教学,我感到成功的地方有以下几个方面:

1、创设问题情境,联系生活实际,激发学习动机,将学生置于问题情景中。比如在引课的时候,通过各种打折甩卖的广告语,引出问题(1)商家把商品打折卖给我们会不会真的赔钱?(2)其中蕴涵着那些数学道理?这样将学生放在具体的问题中,可以激发他们对问题的一种好奇心,也能使学生明确本课的学习方向,以最佳状态投入到学习中去。

在解决问题1中,我也是创设了几个问题情境,比如以黑板擦为例,问5元卖的黑板擦,想知道是赔钱还是赚钱,应该关注什么?而题中缺少什么量?怎样求?如何比较?结果如何?启发学生积极思考,让这些连续的阶段性问题持续的激发学生的学习热情和探究知识的兴趣,促使学习达到最佳境界,对于后面的问题和习题我都采用了同样的处理方式。

2、充分发挥学生的主体作用,让学生自觉参与到课堂中来。

本节课的所有题目均由学生自主探究,通过合作独立的写出解题过程。让学生口语表达或板书,创造机会,鼓励学生动手动口,以达到教学要求并借助多媒体展示来指导学生,促进思维能力的发展,最后再指导学生用简练的语言概括教学问题。增强学生的自主学习能力,而且让学生从数学的角度去分析和总结生活中的问题学会能在不同的角度去探求生活经验从而让学生掌握知识的同时使思想水7和情感态度价值观都得到提高。

3、探究方式灵活,以培养学生的创新精神,探究性学习关注的不仅是探究成果的大小,而是注重探究过程和方法。在探究的时候,适当掌握时间,能根据学生的探究情况及时引导。从而达到最优的探究效果。

从以上情况我认为在教学中, 一定要注重学生积极性的调动。帮助学生装设计恰当的学习活动。让他们发现所学东西的个人意义,营造宽松和谐的学习氛围。教师注重开发生活中蕴含的各种教育因素。使学生感到学习的必要性和趣味性,能更好调动学生投入到自主探究的学习活动中去。当然本课还存在很多的不足,我认为在以下方面。

1、探究的时间还需要考证,时间不易过长,应合理分配。

2、有些题目原计划是有的不在展示台展示。有的学生板书并讲解但展台接触不好改用让学生讲解由于感觉时间不是所以取消。

3、最后学生自己编了一些实际的应用题,计划让学生自己上台去表演,把问题体现出来,但是由于时间的关系,所以本课最精彩的最能掀起高潮的环节没有展示出来。

针对以上的问题,在今后的教学中应该注意以下几个问题:

1、加强课堂教学的驾驭能力,要充分安排时间,有紧有松。

2、多给学生的语言表达的机会,即时表扬和鼓励。

3、多结合生活实际,使学生能置身于问题当中,充分调动学习兴趣

实际问题与一元一次方程教学反思三:

总的来说,虽然课堂上同学们总结错误点总结的不错,但学生对解方程的掌握仍浮于表面,课堂上有针对的练习做得太少,课后作业中的问题也就出来了;第一,解题中部分同学仍采用原来的等式性质进行,没有理解解方程的过程是从等式性质引伸出来的,而不是等式性质的简单重复;第二,移项时符号还是一个大问题:移项时,有的是忘记改变符号,而有的是根本就没有要改变符号的概念,虽则在课堂上我特别作了强调,但少数学生没有听进去,没有把它转化为自己的知识.作为本堂课的难点,也就是解方程过程中的移项变号问题,既然还有部分学生没有掌握好,那一定是在教学中的某些环节出现了问题,我反复思考,认为:虽则教师的主导作用发挥出来了,但学生的主体作用没有得到很好的发挥,移项变号的法则不应是让学生记住其概念,而应是让学生在探究中去理解和掌握,在课堂上应让学生有足够的时间去讨论,去练习,教师有针对性的给学生中出现的错误予以纠正,这样才能达到事半功倍的效果,才能真正掌握好这一知识点。所以总的来说,这课堂没有真正达到预期的教学效果,因此,在以后的教学中,首先在备课这一环节上,备课就是备学生,要充分朝学生方面考虑,有针对性地对教学重点和难点设计题型;同时在教学过程中要留有一定的时间让学生充分地探讨和交流,发挥学生学习的主观能动作用;再者,要有针对性地布置适量的练习,让其巩固,这样才能达到预期的教学效果。我想:对于本堂课没有完成的任务和存在的问题在以后的教学中要及时的进行解决,认真反思自己的教学方法和手段,及时反馈学生学习的信息,注重课堂教学效果,充分把握好课堂40分钟,向课堂40分钟要教学质量,要效果。

2014一元一次不等式教学反思
二元一次方程组应用常见问题总结 第九篇

一元一次不等式教学反思一:

我国最早的教育著作《学记》中说:“学然后知不足,教然后知困。知不足,然后能自反也;知困,然后能自强也。”从学习方面提出反思在学习活动中的作用。在本周的教学过程中,系统地学习了一元一次不等式以及一元一次不等式的解法,最后利用了3节课的时间讲述了利用不等式解决实际问题的方法。

第一节课具体讲述了不等式的概念,解与解集的概念等,为本章下面的讲解打下基础,为一元一次不等式与一元一次不等式组的解法做好铺垫。但在本节的教学内容,我觉得将表示不等式的语句转化成不等式要强化训练,如“至多“、“至少”、“不超过”,“剩余”、“不够”等等,为后面的应用题作准备,我们知道在列一元一次方程或方程组解应用题,学生学握起来非常困难,主要是等量关系难找。而在不等式的应用题中,不等关系将更难找,很多表示不等关系的语句隐藏得较深,所以我们要提前作好这方面的准备。

接着我用两节课的时间讲解了一元一次不等式的解法。由于一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法十分相似,解一元一次方程的依据是等式的性质,而解一元一次不等式的依据是不等式的性质,所以讲授新课之前老师先口头复习了等式的性质,然后通过对两个不等式“7>5”、“―7<―5”左右两边同时加上、减去、乘以、除以某一个相同有数,让学生自己归纳出不等式的性质,同时和前面刚复习的等式的性质比较,对比掌握。类比一元一次方程的解法学习一元一次不等式的解法,让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法只是最后系数化为1不同,其它的步骤是相同的,强调最后一步“负变,正不变” 并在这一节重视用数轴表示不等式的解集。为了培养学生良好的学习习惯,本节课花了不少时间规范学生的书写格式。

一元一次不等式组的解法。解不等式组的方法与前面学过的解二元一次方程组的方法有所不同。在解二元一次方程组的时候,两个方程不是孤立存在的,两者相互关联,而解不等式组是独立地解其中每一个不等式,在解的过程中,各不等式彼此不发生关系,“组”的作用在最后,即在每一个不等式的解集都求出来之后,才利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集。

通过求 >2且 <3的取值范围,引出不等式组的解法。由于第一节学生对一元一次不等式的解法掌握得较好,所以学生能顺利地求出不等式组的两个不等式的解集,也能在数轴上准确地表示出来,明白它们的公共部分是哪一段,但就是不会用不等式表示出来,例如 >2且 >4他们会写成 >2>4; >2且 <4他们会写成2> <4等等,对于这部分的表示方法要加强练习。由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,最终可归结为下述四种基本类型来判定:(不妨设a﹤b)

x﹥a x﹤a x﹥a x﹤a

x﹥b x﹤b x﹤b x﹥b

可用顺口溜来帮助记忆结果:同大取大,同小取小,大(于)小(的)小(于)大(的)取中间,大(于)大(的)小(于)小(的)解无边(即无解)。在教学中我要求学生在解不等式(组)的时,一定要通过画数轴,求出不等式的解集,建立数形结合的数学思想。

解不等式组是中考命题的要点,解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解及应用是中考命题的热点,关于不等式(组)的应用题也作为中考重点搬上了试卷,主要考查对数学的应用能力,利用不等式(组)取定最佳方案、获得最大收益、确定最优工作途径等,这类题目表现形式十分丰富,常作为压轴题。在今后的教学过程中,我会继续探究一元一次不等式(组)在教学方法中的教学方法,争取更好地突破初中内容中的这一重点难点。

一元一次不等式教学反思二:

本章的重点是一元一次不等式的解法,难点是:不等式的解集、不等式的性质及应用不等式解决实际问题的能力,特别是实际问题中的列不等式求解。

1、教学“不等式组的解集”时,用数形结合的方法,通过借助数轴找出公共部分解出解集,这是最容易理解的方法,也是最适用的方法。至于有些课外书用“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小解不了”求解不等式,我认为增加学生的学习负担,不易于培养学生的数形结合能力。在教学中我要求学生在解不等式(组)的时,一定要通过画数轴,求出不等式的解集,建立数形结合的数学思想。

2、加强对实际问题中抽象出数量关系的数学建模思想教学,体现课程标准中:对重要的概念和数学思想呈螺旋上升的原则。要注意对一元一次方程相关知识的复习,让学生进行比较、归纳,理解它与一元一次不等式的的联系与区别(特别强调“不等式两边同时乘以或除以一个负数时,不等号方向改变”),教学中,一方面加强训练,锻炼学生的自我解题能力。另一方面,通过“纠错”题型的练习和学生的相互学习、剖析逐步提高解题的正确性。

3、把握教学目标,防止在利用一元一次不等式(组)解决实际问题时提出过高的要求,陷入旧教材“繁、难、偏、旧”的模式,重点加强文字与符号的联系,利用题目中含有不等语言的语句找出不等关系,列出一元一次不等式(组)解答问题,注意与利用方程解实际问题的方法的区别(不等语言),防止学生应用方程解答不等关系的实际问题。

4、各种书籍出现的应用题里面文字有的自相矛盾,教学时教师要合理利用和指导学生选取辅导书,如课本“以外”与“至少”等。

一元一次不等式教学反思三:

在教学“不等式组的解集”时,用数形结合的方法,通过借助数轴找出公共部分求出解集,这是最容易理解的方法,也是最适用的方法。用“大大取大、小小取小、大小小大取中间、大大小小解不了”求解不等式,我认为减轻学生的学习负担,有易于培养学生的数形结合能力。在教学中我要求学生在解不等式(组)的时,一定要通过画数轴,求出不等式的解集,建立数形结合的数学思想。

这节课学生的探究活动比较多,教师既要全局把握,又要顺其自然,经历探索求一元一次不等式组解集的过程,并培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力,发展逻辑推理能力和有条理的表达能力,从而使他们能:①准确的解一元一次不等式;②能正确地找出几个一元一次不等式解集的公共部分。在教学过程中,我利用生活中的实际问题,使学生感知到要解决的问题同时满足两个约束条件,而两个约束条件都是不等式,这样,引入不等式组就比较自然;在探究“不等式组的解集”时,引导学生运用数形结合的方法,引起了学生探究的兴趣,学生小组合作探究,利用已有知识,很容易得出求不等式组解集的方法。用数形结合的方法,通过借助数轴找出公共部分解出解集,这是最容易理解的方法,也是最适用的方法。至于用“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小解不了”口诀求解不等式组,我认为增加学生的学习负担,不易于培养学生的数形结合能力。

通过对本节课系统的回顾,梳理,我发现部分学生在由实际问题抽象为数学模型的过程中,存在一定的困难,教师要适时给以恰当引导,发展学生分析问题和解决问题的能力,并给学困生提供更多发言的机会。我会吸取教训,更上一层楼。

总体来讲,在教授中我深刻的体会到新教材与以往的不同,新教材以学生为本的教学理念始终贯穿本课。采用的将上课的主动权交给学生,新颖、有效。而学生的学习积极性有很大的提高,学习效果好。原本枯燥的、抽象的纯数学的东西通过与实际联系,利用数形结合,变的有趣、易懂。不但促使学生掌握了课本上的知识,还促使学生加强了对日常事物的观察分析的能力。真正使教学提高到培养学生能力的层面上来了。但是这对教师自身素质的要求大大提高。只有自己不断的学习,充实自己,才能把新教材教好 。

一元一次不等式教学反思四:

本节内容是第八章的难点也是重点,在章节中有承上启下的作用,是一元一次不等式的简单变形的应用,是一元一次不等式组的基础。因而这节内容我更加费劲心思的思考该如何教学,才能让学生更好地掌握知识,运用知识。

一、课堂教学结构反思

本节课教学设计上较合理,知识点循序渐进,符合初中生的学习心理特点。本节课先让学生明白一元一次不等式的变形,再回顾一元一次方程的解的步骤,进一步理 解和掌握一元一次不等式的解的步骤。在理解的基础上,通过例题加深,让学生经历了回顾、动手操作、提出问题、判断、找方法、合作交流等过程。另一方面,能 够体现出用新教材的思想,体现了学生的主体地位,体现了新的教学理念。

在学习本节时,要与一元一次方程结合起来,用比较、类比的转化的数学思想方法来学习,弄清其区别与联系。

(1)从概念上来说:两者化简后,都含有一个未知数,未知数的次数是1,系数不等于零;但一元一次不等式表示的是不等关系,一元一次方程表示的是相等关系。

(2)从解法上来看:两者经过变形,都把左边变成含未知数(如x)的一次单项式,右边变成已知数,解法的五个步骤也完全相同;但不等式两边都乘(或除)以同一个负数时,不等号要变号,而方程两边都乘(或除)以同一个负数时,等号不变。

(3)从解的情况来看:

1、为加深对不等式解集的理解,应将不等式的解集在数轴上直观地表示出来,它可以形象认识不等式解集的几何意义和它的无限性.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现。

2、熟练掌握不等式的基本性质,特别是性质3。不等式的性质是正确解不等式的基础。

二、有效的课堂提问反思

错误分析引入有效的提问,可以加深对本课知识的理解,又能更好地巩固前面的内容,起到承上启下的作用。提问过程中可以达到师生间的相互交流。教学提问中, 比如:解一元一次方程的步骤是什么?学生在理解解一元一次方程步骤的基础上,类比解一元一次不等式的步骤就有了进一步的认识。同时,提出对“等号”与“不 等号”的不同,不等式的解与方程的解又有点差别,特别是对不等式的性质3的不同,加深了学生对不等式的解的理解。由于学生的基础比较差,课堂教学提问中, 由易到难,深入浅出,尽可能让学生学会、会学、会做。

三、 有效的课堂参与反思

本节课我从复习旧知识,提问,动手操作,合作交流、形成共识的基础上,让学生理解一元一次不等式的概念及不等式的解法步骤。在课堂活动中经历、感悟知识的 生成、发展与变化过程,重在学生参与完成。通过精心设计问题、课堂讨论,中间贯穿鼓励性语言,并让学生自己理清思路、板书过程,锻炼学生语言表达能力和书 写能力,激发了学生学习积极性,培养学生的参与意识和合作意识,

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