经典垂径定理教案

导读：　经典垂径定理教案篇一：经典垂径定理教案 ...

经典垂径定理教案篇一：经典垂径定理教案

垂直于弦的直径（第一课时）教案

教学目标：

1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；

掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。

2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；

在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决。

3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学

的热爱。

教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。 教学用具：圆规，三角尺，PPT课件 教学过程： 一、复习引入

1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称） 2、实验：探究圆的轴对称性。如图（1），若将⊙O沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验，教师引导学生努力发现：

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴。

3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E。此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。 二、新课

B

（1）

（2）

（一）猜想，证明，形成垂径定理

1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？

2、猜想：可能出现的位置关系是：

线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

可能出现的数量关系是：



AEBE,ACBC,ADBD

3、证明：

利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书：

AEBD

CD是圆O的直径

ACBC

CDAB,垂足为E

ADBD

4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论

1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。

2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。

练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？

3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直

线或线段。

（三）例题

例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，

圆心O到AB的距离为3cm。

求：⊙O的半径。

变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离

为3cm，⊙O的半径为5cm。 求：弦AB的长为多少？

（3）

总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。

例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，

大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD.

（思路：垂径定理，全等三角形，等腰三角形）

（4）

变式（2）：再添一个同心圆，如图（5），则 AC BD。

变式（3）：隐去图（4）中的大圆，得图（6），连接

OA，OB，设OA=OB， 求证：AC＝BD。

变式（4）：隐去图（4）中的小圆，得图（7），连接

OC，OD，设OC=OD，

AB

（6）

求证：AC＝BD。

总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂

（7）

线段。遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决，同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结，做到举一反三，触类旁通。 三、小结

1、这节课我们学习了哪些主要内容？ 2、应用垂径定理要注意那些问题？

垂径定理的条件和结论：

① 经过圆心

得到 ① 平分弦

一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧

② 垂直于弦③ 平分弦所对的优弧

3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？ 四、作业

1、整理垂径定理的证明过程。

2、变式（1）到变式（4）整理解题过程。 3、课本P82，练习2.

经典垂径定理教案篇二：经典垂径定理教案

课题：垂径定理 时间：2011.11.10 授课人：常旭仙

教学目标：

1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；

掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。

2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；

在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决。

3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学

的热爱。

教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。 教学用具：圆规，三角尺，PPT课件 教学过程： 一、复习引入

1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称） 2、实验：探究圆的轴对称性。如图（1），若将⊙O沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片 亲自实验，教师引导学生努力发现：

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线） 都是它的对称轴。

3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E。此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。 二、新课

B

（1）

（2）

（一）猜想，证明，形成垂径定理

1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？

2、猜想：可能出现的位置关系是：

线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

可能出现的数量关系是：

AEBE,ACBC,ADBD

3、证明：

利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书：

AEBD

CD是圆O的直径

ACBC

CDAB,垂足为E

ADBD

4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （二）分析垂径定理的条件和结论

1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。

2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。

练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？

3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直

线或线段。

（三）例题

例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，

圆心O到AB的距离为3cm。

求：⊙O的半径。

变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离

为3cm，⊙O的半径为5cm。 求：弦AB的长为多少？

（3）

总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。

例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，

大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD.

（思路：垂径定理，全等三角形，等腰三角形）

（4）

变式（2）：再添一个同心圆，如图（5），则 AC BD。

变式（3）：隐去图（4）中的大圆，得图（6），连接

OA，OB，设OA=OB， 求证：AC＝BD。

变式（4）：隐去图（4）中的小圆，得图（7），连接

OC，OD，设OC=OD，

AB

（6）

求证：AC＝BD。

总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂

（7）

线段。遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决，同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结，做到举一反三，触类旁通。 三、小结

1、这节课我们学习了哪些主要内容？ 2、应用垂径定理要注意那些问题？

垂径定理的条件和结论：

① 经过圆心

得到 ① 平分弦

一条直线具有： ② 平分弦所对的劣弧

② 垂直于弦③ 平分弦所对的优弧

3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？ 四、作业

1、整理垂径定理的证明过程。

2、变式（1）到变式（4）整理解题过程。 3、课本P82，练习2.

经典垂径定理教案篇三：垂径定理教案

经典垂径定理教案篇四：垂径定理教案

垂直于弦的直径

教学目标 知识与技能：

1、 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其结论；

2、 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算问题； 过程与方法：

1、 在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法； 2、 在解决垂径定理的相关问题中总结出相应的常见辅助线作法（连半径、作垂直）； 情感态度与价值观：

经历探索定理并解决问题的过程，激发学生探索、发现数学的兴趣和欲望； 教学重点 垂径定理及其推论的掌握及运用. 教学难点 垂径定理的探索和证明 教学过程 一、

情景引入

问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？为了解决这个问题，我们一起来探索下这节课的内容。

二、

探索新知

1、活动一：（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

设计意图：让学生动手实验、探索并发现结论，激发学生的求知欲望。

2、活动二：（学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？

设计意图：通过该实验让学生探索、发现垂径定理，初步感知。 （3）你能证明你的结论吗？

设计意图：学生证明自己的发现，培养学生养成严谨的思维习惯。

思考：反过来，平分弦（不是直径）的直径是否垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧？

3、活动三：练习

（1）在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧

设计意图：检验是否理解了定理，熟悉定理能应用的相应图形。 （2）判断是非

①平分弦的直线必垂直弦 ②垂直于弦的直径平分这条弦

③平分弦的直径垂直于这条弦 ④弦的垂直平分线是圆的直径

⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 设计意图：加深对定理及推论的理解。

（3）如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论不正确的是（ ）



A．AB⊥CD B．∠AOP=∠BOP C．ADBD D．PO=PD

设计意图：检验是否理解推论。

（4）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为 设计意图：检验能否简单的运用垂径定理，初步感受“连半径”这一辅助线作法。

C

第（3）题图 第（4）题图

三、巩固新知

例题1已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

求证：AC＝BD。

设计意图：垂径定理的巧妙运用，初步感受“作垂直”这一辅助线作法

变式 如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。

设计意图：“连半径”或“作垂直”都可以解决问题，进一步发现垂径定理的好用之处，培养学生的发散思维。

例题2 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

分析 如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦

AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是Ａ

Ｂ的中点，CD 就是拱高。

设计意图：解决一开始提出的问题，学生感受垂径定理的用途，并体会解决问题的满足感。

四、 总结回顾 1、 2、 3、

圆的轴对称性 垂径定理及其推论 相应的常见辅助线作法

五、 布置作业

（一）《学评》P77-78达标训练 设计意图：基础过关 （二）添加练习

设计意图：提升能力，适当拓展

1、如图3，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），

P的半径为，则点P的坐标为 ____________.

图7

图3

2、如图4，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E。求证：四边形ADOE是正方形。

3、一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图5），此时的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

图4

图5

4、如图6，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为

4cm，MN=4cm．

（1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．

图6

经典垂径定理教案篇五：24.1垂径定理教学设计(定稿)

24．1．2 垂直于弦的直径

授课题目：垂直于弦的直径

一、教材分析

1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。

2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。

二、教学目标

1、知识目标：

（1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径

定理。

（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：

（1）让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，

培养学生

动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

（2）让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和

求知欲同时培养学生勇于探索的精神。

三、教学关键：圆的轴对称性的理解

四、教学重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。

五、教学难点：1、垂径定理的证明。2、垂径定理的题设与结论的区分。

六、教学辅助：多媒体、可折叠的圆形纸板。

七、教学方法

本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是

知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。

八、教学过程：

1、情景创设（1分钟）

情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）

把一些实际问题转化为数学问题

2、回顾旧识（2分钟）

我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题

1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？

（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）

3、引入新课（4分钟）

问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？

拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条

4

电脑上用几何画板上作图：

（1）做一圆 (2) 在圆上任意作一条弦

AB

；

(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。

C

（板书课题：垂直于弦的直径）

5、师生互动（4分钟） D

运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论

（1）图中圆可能会有哪些等量关系？

（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？

5、探求新知（5分钟）

提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它

已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD

证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

（<板书>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 <进一步也可推知>垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）

6、概念辨析（2分钟）

（电脑显示）练习1 AE=EB吗？（注意：直径，垂直于弦，缺一不可！）

7、运用新知（18分钟）

练习1：（5分钟）

一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16

。求截面圆心O到水面的距离。

在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。

总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了

练习

2

（5分钟）

（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

练习3：（3分钟）

已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

8、拓展升华（3分钟）

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？

（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦

（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论

9、归纳小结(3分钟)

知识总结：这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。

讲评总结：

B

经典垂径定理教案篇六：垂径定理教案

经典垂径定理教案篇七：垂径定理教学设计

垂径定理（第一课时）教学设计

兰甲明

【教学内容】 7．3垂径定理（初三《几何》课本P76~P78）

【教学目标】

1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。

【教学设计】

一、实例导入，激疑引趣

1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以

升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥

（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵

县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存

最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被

誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁

界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4

米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，

也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的 ⌒ 半径（即AB所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1）

二、尝试诱导，发现定理

1．复习过渡：

①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？

②如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分各叫什么？

③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？

BBB (a)

(b)

(a) (b) (c)

（图2） （图3）

2．实验验证：

让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

3．运动变换：

①如图3(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？

③如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？

4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——

AEBDCD是圆O的直径⌒ ⌒ （板书） ACBC CD弦AB,垂足为E⌒ ⌒ ADBD

5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。

三、引导探究，证明定理

1．引导证明：

猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。

①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。

2．归纳定理：

根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．巩固定理：

在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。

(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E

（图4）

向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。

四、例题示范，变式练习

1．运用定理进行计算。

〖例1〗如图5，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作

辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。 解：（略）学生口述，教师板书。

〖变式一〗在图5中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则

思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d

则R、a、d三者之间的关系式是 〖变式二〗如图6，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，

若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径 （图6） 2．运用定理进行证明

〖例2〗已知：如图7，在以O为圆心的两个同心圆中，

大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC＝BD。 （图7）

分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？ （证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC）

②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）

证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。

证法二：过点O作OE⊥AB于E，用“垂径定理”证明。（详见课本P77例2） 注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。

注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图7中，若AC=2，AB=10

〖变式一〗若将图7中的大圆隐去，还需什么条件，

才能保证AC=BD？

〖变式二〗若将图7中的小圆隐去，还需什么条件，

才能保证AC=BD？

〖变式三〗将图7变成图8（三个同心圆），你可以

证明哪些线段相等？

（图

8） 〖例3〗（选讲）如图9，Rt

△ABC中，∠ACB＝90°，

AC＝3，BC＝62，以C为圆心、CA长为半径画弧，交

斜边AB于D，求AD的长。（答案：2） 略解：过点C作CE⊥AB于E，先用勾股定理求得 （图9） AB=9，再用面积法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1，由垂径定理得AD=2。

五、师生小结，纳入系统

1．定理的三种基本图形——如图10、11、12。

a2．计算中三个量的关系——如图13，R2d2()2。 2

3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。

（图10） （图11） （图12） （图13）

六、达标检测，反馈效果 1．（课本P78练习第1题）如图14，在⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ，∠AOB＝ 度。

2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，

使它以点A为中点（如图15）。 3．课本P78练习第2题。 （图14） （图15）

课 堂 练 习

姓名 得分1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为， ∠AOB＝ 度。

（第1题） （第2题）

2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图）。 要求：保留作图痕迹，但不必写作法。

3．已知：如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB， OE⊥AC，垂足分别为D、E。

求证：四边形ADOE是正方形。

（第3题）

经典垂径定理教案篇八：垂径定理教案

黑龙江省首届初中数学教师优秀教案评选参评教案

D

A

经典垂径定理教案篇九：垂径定理教案

经典垂径定理教案篇十：人教版九年级数学 《垂径定理》教学设计

垂直于弦的直径

板书设计：略 教学反思：

经典垂径定理教案相关热词搜索：垂径定理教案 初中数学垂径定理教案 垂径定理经典例题