导读: 《抛物线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)第八章《圆锥曲线》第三节第一课时内容。中国招生考试网www ch ...
抛物线及其标准方程教案
一、教学目标
(一)知识教育点
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.
(二)能力训练点
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.
(三)学科渗透点
通过一个简单实验引入抛物线的定义,可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.
二、教材分析
1.重点:抛物线的定义和标准方程.
(解决办法:通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义;通过一些例题加深对标准方程的认识.)
2.难点:抛物线的标准方程的推导.
(解决办法:由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法,避免了硬性规定坐标系.)
3.疑点:抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制.
(解决办法:向学生加以说明.)
三、活动设计
提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格.
四、教学过程
(一)导出课题
我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线,以及它的定义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”.
请大家思考两个问题:
问题1:同学们对抛物线已有了哪些认识?
在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图象?
问题2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征?
在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形.
引导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于y轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线.
(二)抛物线的定义
1.回顾
平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹,当0<e<1时是椭圆,当e>1时是双曲线,那么当e=1时,它又是什么曲线?
2.简单实验
如图2-29,把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结.
3.定义
这样,可以把抛物线的定义概括成:
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
(三)抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0).下面,我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢?
让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的几种方案:
方案1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.)
抛物线及其标准方程导学案
课前预习案
班级 姓名 组别 层次 日期
2.2.1抛物线及其标准方程(一)
教学目的:
1.使学生掌握抛物线的定义,标准方程及其推导过程;
2.根据定义画出抛物线的草图
3.使学生能熟练地运用坐标,进一步提高学生“应用数学”的水平
教学重点:抛物线的定义
教学难点:抛物线标准方程的不同形式
学法指导:自主高效的预习,能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;培养同学们的抽象概括能力和逻辑思维能力
预习内容:
温故迎新:
1.二次函数的一般形式是什么?它有几种形式?
2二次函数的图像如何?:
动手操作把一根直尺固定在图板上直线L位置,把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角标顶点C的长(即点A到直线L的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线
感受新知:阅读p33-34;
1如何理解抛物线的定义?
2.感受抛物线标准方程的推导过程
3观察图2-13如何用数学语言加以描述?
4. 二次函数与本节研究抛物线有什么样的关系?
课堂探究案
探究点一: 抛物线定义:
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线
探究点二:推导抛物线的标准方程:
如图所示,建立直角坐标系系,设|KF|=(>0),那么焦点F的坐标为,准线的方程为,
设抛物线上的点M(x,y),则有
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程
(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(,0),它的准线方程是
(2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:,,.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下
如图所示,分别建立直角坐标系,设出|KF|=(>0),则抛物线的标准方程如下:
(1), 焦点:,准线:
(2), 焦点:,准线:
(3), 焦点:,准线:
(4) , 焦点:,准线:
相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的,即
不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为、左端为;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为,左端为 (2)开口方向在X轴(或Y轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点在X轴(或Y轴)负半轴时,方程右端取负号
点评:(1)建立坐标系是坐标法的思想基础,但不同的建立方式使所得的方程繁简不同,布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力,提高教学效果 ,进一步明确抛物线上的点的几何意义
(2)猜想是数学问题解决中的一类重要方法,请同学们根据推导出的(1)的标准方程猜想其它几个结论,非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力,帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种基本形式 另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式,也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好
(3)对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结,让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们
探究点三:
p34例1
课堂检测案
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
(1)y2=8x (2)x2=4y (3)2y2+3x=0 (4)
2.根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)焦点是F(-2,0)
(2)准线方程是
(3)焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上
(4)经过点A(6,-2)
3.抛物线x2=4y上的点p到焦点的距离是10,求p点坐标
课后作业案
课外练习:p35练习1,2,3,4
正式作业:p37习题2-2A组2,3
补充作业:
1 (1)已知抛物线标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程
2. 已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x,(2)y=12x2,求它的焦点坐标和准线方程.
3 求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是F(-5,0)
(2)经过点A(2,-3)
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