数值报告

导读：　数值报告篇一《数值报告》 ...

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数值报告篇一
《数值报告》

数值分析上机实习

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2014年12月

目录

序言 .................................................................................................................. 3

第1章 多项式插值和拟合 ................................................................................... 5

1.1 问题分析 ........................................................................................................... 5

1.2 问题求解 ........................................................................................................... 5

1.2.1多项式拟合 .............................................................................................. 5

1.2.2 Lagrange插值 ....................................................................................... 7

1.2.3 近似函数的评价 ..................................................................................... 8

1.2 扩展 ................................................................................................................... 8

1.4 总结 ................................................................................................................... 9

第2章 雅格比和高斯-赛德尔迭代法解线性方程组 ........................................ 10

2.1 问题的求解 ..................................................................................................... 10

2.2总结 .................................................................................................................. 11

第3章 三次样条插值 ......................................................................................... 12

3.1 问题分析 ......................................................................................................... 12

附录一：Lagrange插值函数 ................................................................................. 15

附录二：多项式拟合函数 ..................................................................................... 16

附录三：插值拟合主程序 ..................................................................................... 17

附录四：雅格比函数 ............................................................................................. 19

附录五：高斯赛德尔函数 ..................................................................................... 21

附录六：问题2迭代法主程序 ............................................................................. 23

附录七：三次样条插值函数 ................................................................................. 25

附录八：三次样条函数主程序 ............................................................................. 28

序言

数值运算的研究领域包括数值逼近、数值微分和数值积分、数值代数、最优化方法、常微分方程数值解法、积分方程数值解法、偏微分方程数值解法、计算几何、计算概率统计等。

数值计算的重要特征有：数值计算的结果是离散的，并且一定有误差，这是数值计算方法区别与解析法的主要特征；注重计算的稳定性。控制误差的增长势头，保证计算过程稳定是数值计算方法的核心任务之一；注重快捷的计算速度和高计算精度是数值计算的重要特征；注重构造性证明。

由基本运算及给定运算顺序所构成的完整解题步骤，成为算法。由于计算机的发展，许多算法能通过计算机得以实现。本文就是基于Matlab实现各种算法。

Matlab是科学计算中使用最为广泛的软件之一，由于编程容易，自带函数丰富，为广大学者所喜爱。

编程效率高，MATLAB是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许使用数学形式的语言编写程序，且比BASIC、FORTRAN和C等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用MATLAB编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。因此，MATLAB语言也可通俗地称为演算纸式科学算法语言。由于它编写简单，所以编程效率高，易学易懂。

丰富的绘图功能：MATLAB的绘图是十分方便的，它有一系列绘图函数（命令），例如线性坐标、对数坐标、半对数坐标及极坐标，均只需调用不同的绘图函数（命令），在图上标出图题、XY轴标注，格（栅）绘制也只需调用相应的命令，简单易行。另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。这种为科学研究着想的设计是通用的编程语言所不能及的。

高效方便的矩阵和数组运算：MATLAB语言像BASIC、FORTRAN和C语言一样规定了矩阵的算术运算符、关系运算符、罗技运算符、条件运算符，而且这些运算符大部分可以毫无改变地照搬到数组间的运算，有些如算术运算符只要增加“.”就可用于数组间的运算。另外，它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域

的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其他高级语言所不能比拟的。在此基础上，高版本的MATLAB一定能名副其实地称为“万能演算纸”式的科学算法语言。

本文主要以多项式插值和拟合、线性方程组的求解、三次样条插值为例，详细介绍数值计算中重要的迭代思想，稳定数值算法以及误差分析。插值和拟合经常应用于在工程计算中，曲线拟合和函数逼近是数值处理的基本方法。线性方程组的解法有很多种，如消去法、矩阵分解法和迭代法。每种方法都有各自优缺点，在不同的情况下选用合适的计算方法，能够方便的求解。样条插值，在曲线的处理、图形的美化、工程应用中都有很多实用价值。

第1章 多项式插值和拟合

问题：某过程涉及两变量x 和y, 拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi与yi之间的对应数据如下，xi=1,2,…,10

yi = 34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795

103.5743 97.4847 78.2392

（1）请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。

（2）请用插值多项式给出最好近似结果

1.1 问题分析

从大量的实验数据(xi,yi)(i=0,1,...,m)中寻找其函数关系y=f(x)的近似表达式y=P(x)。Newton插值和Lagrange插值都是寻找函数近似表达式的方法，特点是得到的近似函数通过所有的插值节点，但由于实验观测数据不可避免带有误差，采用插值法是不合适的，它会保留数据的误差。构造一个函数P(x)，使得偏差ri=P(xi)-yi(i=0,1,…m)按某种标准最小，反应函数的总体趋势，就是曲线拟合问题，本文采用基于最小二乘法的基本原理构建多项式系数。

1.2 问题求解

1.2.1多项式拟合

对于给定的一组数据(xi,yi) (i=0,1,…,m)，求作一组多项式(n<=m)

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