导读: 2015绵阳一诊数学篇一:2015届绵阳一诊数学(理工类)试题(含参考答案) ...
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2015绵阳一诊数学篇一:2015届绵阳一诊数学(理工类)试题(含参考答案)
绵阳市高2012级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
(百度贴吧网络红人安晓庆吧编辑整理)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
DBDAC BACDA
10题提示:由ex1≥axb对x∈R恒成立,显然a≥0,b≤ex1-ax. 若a=0,则ab=0.
若a>0,则ab≤aex1-a2x.设函数f(x)aex1a2x,求导求出f(x)的最小值为f(lna1)2a2a2lna.
设g(a)2aalna(a0),求导可以求出g(a)的最大值为223g(e2)13e, 2
11即ab的最大值是e3,此时ae2,be2. 22
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.333 12.-1 513.40 14.3021 15.①③④ 15题提示:①容易证明正确.
②不正确.反例:f(x)x在区间[0,6]上. mm2得x01(x01)mmx01, 2
2). 又x0(1,1)所以实数m的取值范围是m(0,③正确.由定义:x0mx012
lnblna. ba
1lnblna1bbabaln要证明lnx0,即证明: , baaabababab④正确.理由如下:由题知lnx0
令b11t1,原式等价于lnt2t2lntt0. att
21t22t1(t1)210, 令h(t)2lntt(t1),则h(t)1222ttttt
1所以h(t)2lntth(1)0得证. t
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.解:(Ⅰ)f(x)2m·n-12sinxcosx2cos2x1 =sin2xcos2x2sin(2x
由题意知:T,即4). ……………………………6分 2,解得1.…………………………………7分 2
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)2sin(2x
∵ 4),
6≤x≤4,得73≤2x≤, 1244
2015绵阳一诊数学篇二:2015绵阳一诊文科数学
绵阳市高2012级第一次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
BBDDC BACCA
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
3
12.-1 5
13.-2 14.15 15.(0,2)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.解:(Ⅰ)f(x)2m·n-1
2sinxcosx2=sin2xcos2x2sin(2x由题意知:T,即
2
,解得12
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)2sin(2x∵
4
),
73
≤2x≤, 12644473
又函数y=sinx在[,]上是减函数,
124
≤x≤
,得
10分
4sin3
122).……………………3分 17[1,
xm.……4分
m)上单调递减,(m,2]上递增,1,
此时g(x)ming(m)2m22,此时m值不存在;
2)上单调递增, ③m≤1即m≥-1时, g (x)在[1,
此时g(x)ming(1)12mm22,解得m=1. …………………………11分 综上:m1. …………………………………………………………………12分 18.解:(Ⅰ) AB5,cosABC
1
,BC4, 5
2, 5
又ABC(0,),所以sinABCcos2ABC
2015绵阳一诊数学篇三:2015绵阳一诊理科数学试卷及答案
绵阳市高2013级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
CDADD BACBC
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.0,10 12.3 13.a≥2 14.2
15.①③
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.解 :(1)∵ m⊥n,
∴ m·n=(cosα,1-sinα)·(-cosα,sinα)=0,
即-cos2
α+sinα-sin2
α=0. ……………………………………………………3分 由sin2
α+cos2
α=1,解得sinα=1, ∴ 2k
2
,k∈Z.…………………………………………………………6分
(2) ∵ m-n=(2cosα,1-2sinα), ∴ |m-n|=(2cos)2
(12sin)2
4(cos2sin2)14sin
54sin, ………………………………………………………9分
∴ 5-4sinα=3,即得sin1
2
,
∴ cos212sin2
1
2
.……………………………………………………12分 17.解:(1)由已知an+1=2an+λ,可得an+1+λ=2(an+λ).
∵ a1=1,
当a1+λ=0,即λ=-1时,an+λ=0,此时{an+λ}不是等比等列. …………3分 当a
1+λ≠0,即λ≠-1时,
an1a2(常数).
n
此时,数列{an}是以a11为首项,2为公比的等比数列,
∴ an(1)2n1,于是an(1)2n1. ………………………6分(2)当λ=1时,an=2n
-1,
∴ bn
n2n. ……………………………………………………………………7分
∴ S123n
n2122232
n,
两边同乘以1
2,得12S123nn2223242n1,
两式相减得 12S111n
n2222n2
n1
1(11
n)
n12n1 2
1
1n
2n2
n1
, ∴S1n
n2
2n12
n
.…………………………………………………………12分 18.解:(1)设第n年的受捐贫困生的人数为an,捐资总额为bn.
则an =80+(n-1)a,bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2分 ∴ 当a=10时,an=10n+70, ∴
bna4010n0.8, n10n70
解得:n>8. ……………………………………………………………………5分 即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元. …………6分 (2)由题意:bn1abn
, n1an
即
4010(n1)80na4010n
80(n1)a
,………………………………………………8分
整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0, 即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0, 化简得80-5a>0,
解得a<16,……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过15人.
……………………………………………12分
19.解:(1)在Rt△ABC中,AC=ABcos60º=6
123,AD1
3
AB2. ∵ ,
∴ ()2
||2||||cos
=9+2×3×cos120º
=6.…………………………………………………………………4分
(2)在△ACD中,∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ,
3
由正弦定理可得CDsinA
ACsinADC
,即CD3sin(120)2sin(120). ………………………………………5分在△AEC中,∠ACE=θ+30º,∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ,
3
由正弦定理可得:CEACsinAsinAEC,即CE3sin(90)2cos
, …6分 ∴
S1133DCE2CDCEsin3042sin(120)2cos
27161
sin(120)cos
, …………………7分 令f(θ)=sin(120º-θ)cosθ,0º≤θ≤60º, ∵ f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ
32cos212sincos 321cos221212sin2 3412(32cos212
sin2)
41
2
sin(260),………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º,知60º≤2θ+60º≤180º, ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1, ∴
334≤f(θ)≤
41
2
, ∴ 4(23)≤1f()≤43
,
∴ 27
4
(23)≤S27DCE≤
12.……………………………………………12分 20.解:(1)f(x)3ax2bxc,
由题意得3ax2
+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1}, ∴ a<0,且方程3ax2
+bx+c=0的两根为-2,1. 于是
b3a
1,c
3a2,
得b=3a,c=-6a. ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>1},
∴ f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. ∴ 当x=-2时f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11, 把b=3a,c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11,
解得a=-1.………………………………………………………………………5分 (2)由方程f(x)-ma+1=0,可整理得ax312
bx2cx1ma10,
即ax3
32
ax2
6axma. ∴ mx33
2x26x.…………………………………………………………7分
令g(x)x33
2
x26x,
∴ g(x)3x23xb3(x2)(x1). 列表如下:
∴ g(x)又∵g(3)
9
2
,g(-2)=10,g(0)=0, 由题意,知直线y=m与曲线g(x)x332
x2
6x仅有一个交点, 于是m=10或0<m<9
2
. ………………………………………………………13分 21.解:(1)f(x)
1x
x11
x1
, ∴当x∈(-1,0)时,f(x)0,即f(x)在(-1,0)上是增函数,
当x∈(0,+∞)时,f(x)0,即f(x)在(0,+∞)上是减函数.
∴ f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减函数区间为(0,+∞).………3分
(2)由f(x-1)+x>k(13
x)变形得lnx(x1)xk(13x
),
整理得xlnx+x-kx+3k>0,
令g(x)=xlnx+x-kx+3k,则g(x)lnx2k. ∵ x>1, ∴ lnx>0
若k≤2时,g(x)0恒成立,即g(x)在(1,+∞)上递增, ∴ 由g(1)>0即1+2k>0解得k1
2
, ∴
1
2
k2. 又∵ k∈Z, ∴ k的最大值为2.
若k>2时,由lnx+2-k>0解得x>ek2,由lnx+2-k<0,解得1<x<ek2. 即g(x)在(1,ek2)上单调递减,在(ek2,+∞)上单调递增.
∴ g(x)在(1,+∞)上有最小值g(ek2)=3k-ek2, 于是转化为3k-ek2>0(k>2)恒成立,求k的最大值. 令h(x)=3x-ex2,于是h(x)3ex2.
∵ 当x>2+ln3时,h(x)0,h(x)单调递减,当x<2+ln3时h(x)0,h(x)单调递增. ∴ h(x)在x=2+ln3处取得最大值. ∵ 1<ln3<2, ∴ 3<2+ln3<4, ∵ h(1)3∴ k≤4.
∴ k的最大取值为4.
∴ 综上所述,k的最大值为4.…………………………………………………9分 (3)假设存在这样的x0满足题意,则 由ef(x0)1
1
0,h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12-e2>0,h(5)=15-e3<0, e
a2x1a2
. x0等价于x0x010(*)
2e2
要找一个x0>0,使(*)式成立,只需找到当x>0时,函数h(x)=即可. ∵ h(x)x(a
a2x1
xx1 的最小值h(x)min满足h(x)min<02e
1
), ex
1
,则x=-lna,取x0=-lna, a
在0<x<x0时,h(x)<0,在x>x0时,h(x)>0,
令h(x)=0,得ex=∴ h(x)min=h(x0)=h(-lna)=
a
(lna)2alnaa1, 2
a
(lna)2alnaa1<0成立即可. 2
下面只需证明:在0<a<1时,又令p(a)=则p(a)
a
(lna)2alnaa1,a∈(0,1), 2
1
(lna)2≥0,从而p(a)在a∈(0,1)时为增函数. 2
…………………………………………………14分
∴ p(a)<p(1)=0,因此x0=-lna符合条件,即存在正数x0满足条件.
2015绵阳一诊数学篇四:高2015届绵阳一诊理科数学试卷及答案(word版)
绵阳市高中2012级第一次诊断性考试
数 学(理工类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第II卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将答题卡交回。
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合A={xZ|x210},B{x|x2x20},则A(A)
(B){2}
(C){0}
(D){1}
2、下列说法中正确的是
(A)命题"x(0,),2x1"的否定式"x0(0,),2x01"(B)命题"x(0,),2x1"的否定式"x0(0,),2x01"(C)命题"ab,则a2b2"的逆否否定式"a2b2,则
ab"(D)命题"ab,则a2b
2"的逆否否定式"a2b2,则ab"
B=
3、设个项均不为0的数列{an}满足an1n(n1),sn是其前n项和若a2a4=2a5,则s4(A)(A)3
(B)(B)(C)3(C)3
(D(D)64、如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则ADDB3
5、已知3cos(x),那么sin2x
45
182477(A)(B)(C)(D)
25252525
xy10
6、已知x,y满足xy10,则2xy的最大值为
3xy30
(A)1(B)2(C)3(D)47、已知x[,],则"x[(A)充要条件(C)充分不必要条件
,]"是"sin(sinx)cos(cosx)成立"的
22
(B)必要不充分条件(D)既不充分又不必要条件
8、f(x)是定义在非零实数集上的函数,f'(x)为其导函数,且
x0时,f(20.2)f(0.22)f(log25)
xf'(x)f(x)0,记a,b,c,则0.22
20.2log25(A)abc
(B)bac
(C)cab
(D)cba
sin(x)1,x0
9、已知函数f(x),的图像上关于y轴2
logax(a0,且a1),x0
对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是
(A)(0,(B)(C,1)(D)(0,3535
10、已知a,bR且ex1axb对恒成立,则ab的最大值是(A)
13
e2
(B)
3
e2
(C)
3
e2
(D)e3
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用笔绘出,确认后再用0.5毫米墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
13sin2cos
11.若tan=-,则,.
32sincos
12.已知向量a(1,2),b(2,0),若向量ab与向量c(1,2)共线,则实数
1
q要使没见产品的16
.
13.某商场销售某种商品的经验表明,该产品生产总成本C与产量q(qN*)的函数关系式为C=100+4q,销售单价p与产量q的函数关系式为p=25-平均利润最大,则产量q等于
.
3x21232014
,则f()f()f()f().2x12015201520152015
15.定义:如果函数yf(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足14.已知函数f
(x)
f(b)f(a)
,则称函数yf(x)是[a,b]上的“平均值函数”,
ba
x0是它的一个均值点,例如y|x|是[-2,2]上的“平均值函数”,f(x0)=
0就是它的均值点,给出以下命题:
①函数f(x)cosx1是[2,2]上的“平均值函数”.
ab
.2
③若函数f(x)x2mx1是[-1,1]上的“平均值函数”,则实数m的取值范围②若yf(x)是[a,b]上的“平均值函数”,则它的均值点x0是m(0,2).
④若f(x)lnx是区间[a,b](b>a1)上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,则lnx0其中的真命题有
.(写出所有真命题的序号).
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中ω>0,函数 f(x)=2m·n-1的最小正周期为π. (I)求ω的值;
(II)求函数f(x)在[,]上的最大值.
64
17.(本小题满分12分)
已知函数f(t)log2(2t)的定义域为D.
(I)求D;
(II)若函数g(x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2,求实数m的值. 18.(本小题满分12分)
在∆ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,
1
AB=5,cosABC.
5
(I)若BC=2,求sinACB的值;
7
(II)若D是边AC中点,且BD=,求边AC的长.
2
19.(本小题满分12分)
记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式an及Sn; (II)若Cn2n(
2
),n1,2,3,,问是否存在实数λ,使得数列{Cn}为单调递an
减数列?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=e-ax-1(e为自然对数的底数),a>0. (I)若函数f(x)恰有一个零点,证明:a=e;
(II)若f(x)0对任意xR恒成立,求实数a的取值集合.
21.(本小题满分14分)
mlnxn
(m,n为常数,e2.71828是自然对数的底数),曲 已知函数f(x)=x
e
2
线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y.
e
mlnxnf(x)=(m,n为常数,e2.71828是自然对数的底数)
ex
(I)求m,n的值;
(II)求f(x)的单调区间;
exln(x1)
(其中f'(x)为f(x)的导函数),证明:对任意x>0,(III)设g(x)f'(x)
2
g(x)<1+e.
-2
x
aa-1
绵阳市高2012级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. DBDAC BACDA 7.上sin(sinx)
为
cos(cosx)
下
为
9.
2
有三个不同交点。则h(5)loga((5))2即loga5logaa2(a>1显然只有一个交
点)
10题提示:由ex1≥axb对x∈R恒成立,显然a≥0,b≤ex1-ax. 若a=0,则ab=0.
原问题等价于函数g(x)sin(
x)1,x0与h(x)loga(x)(1a0),x0至少
若a>0,则ab≤aex1-a2x.设函数f(x)aex1a2x,求导求出f(x)的最小值为
f(lna1)2a2a2lna.
设g(a)2a2a2lna(a0),求导可以求出g(a)的最大值为
3g(e2)
13
e, 2
11
即ab的最大值是e3,此时ae2,be2.
22
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
33
3
12.-1 5
13.40 14.3021 15.①③④
15题提示:①容易证明正确.
②不正确.反例:f(x)x在区间[0,6]上.
2015绵阳一诊数学篇五:2015届绵阳一诊数学(理工类)试题(含参考答案)
1
绵阳市高2012级第一次诊断性考试
2
数学(理工类)参考解答及评分标准
(百度贴吧网络红人安晓庆吧编辑整理)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
DBDAC BACDA
10题提示:由ex1≥axb对x∈R恒成立,显然a≥0,b≤ex1-ax. 若a=0,则ab=0.
若a>0,则ab≤aex1-a2x.设函数f(x)aex1a2x,求导求出f(x)的最小值为f(lna1)2a2a2lna. 1
.…………………………………………………………12分 2
2t0,
2).……………………3分 17.解:(Ⅰ) 由题知解得1t2,即D[1,
t10,
=
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=(xm)22m2,此二次函数对称轴为xm.……4分
2)上单调递减,不存在最小值; ① 若m≥2,即m≤-2时, g (x)在[1,
m)上单调递减,(m,2]上递增,此时 ②若1m2,即2m1时, g (x)在[1,
3设g(a)2a2
a2
lna(a0),求导可以求出g(a)的最大值为
g(e2)
1
2
e3, 33
即ab的最大值是1
2
e3,此时ae2,b12e2.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
3
5
12.-1 13.40 14.3021 15.①③④
15题提示:①容易证明正确.
②不正确.反例:f(x)x在区间[0,6]上.
③正确.由定义:x2
mm0mx01
2
得x2
01(x01)mmx01, 又x0(1,1)所以实数m的取值范围是m(0,
2). ④正确.理由如下:由题知lnxlnblna
0
ba
.
要证明lnx1lnblna0ab,即证明: ba1ablnbabaab
baa
b,
令bat1,原式等价于lnt2t1t2lntt1
t
0. 令h(t)2lntt1
21t22t1t
(t1),则h(t)t1t2
t2(t1)2t20, 所以h(t)2lntt1
t
h(1)0得证.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.解:(Ⅰ)f(x)2m·n-12sinxcosx2cos2x1
=sin2xcos2x2sin(2x
4
). ……………………………6分
由题意知:T,即
2
2
,解得1.…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)2sin(2x
4
),
∵
≤x≤
,得
76412≤2x34≤4, 又函数y=sinx在[73
12,4
]上是减函数,
∴ f(x)7max
2sin
122sin(4
3
) …………………………………10分 2sin
cos
432cos
4sin3
g(x)ming(m)2m22,此时m值不存在;
③m≤1即m≥-1时, g (x)在[1,
2)上单调递增, 此时g(x)ming(1)12mm22,解得m=1. …………………………11分 综上:m1. …………………………………………………………………12分 18.解:(Ⅰ) AB5,cosABC
1
5
,BC2, 由余弦定理:AC2BA2BC22BABCcosABC=52+22-2×5×2×1
5
=25,
AC5. ……………………………………………………………………3分
又ABC(0,) ,所以sinABCcos2ABC26
5
, 由正弦定理:
ABAC
sinACB
sinABC, 得sinACBABsinABCAC26
5
.………………………………………6分
(Ⅱ) 以BA,BC为邻边作如图所示的平则
cosBCEcosABC
1
A E 5
,
在△BCE中,由余弦定理:
BE2CB2CE22CBCEcosBCE.
即49CB22525CB(15
),
解得:CB4. ………………………………………………………………10分
在△ABC中,AC2BA2BC22BABCcosABC52422541
5
33,即AC.…………………………………………………………………12分 19.解:(Ⅰ) 由S39,a2
5a3a8,
3得:3a212d9,解得:a12,d1.
(a1
4d)2(a12d)(a17d),
∴ aSn(2n1)n2nn1,n
223
2n. …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知c(2
n2nn1
).
若使{cn}为单调递减数列,则
cn1cn2n1(
22
n2)-2n(n1
) 3
行四边形ABCE,如图,
BE=2BD=7,CE=AB=5,
=2n(
4n22
n1)0对一切n∈N*恒成立, …………………8分 即: 4n22n10(4n22
n1
)max,
又42
2n2n2n2
n1=(n2)(n1)n23n2n,……………………10分 n
3当n1或2时, (41n22
n1)max=3
.
1
3
.………………………………………………………………………12分
20.(Ⅰ)证明: 由f(x)exax1,得f(x)exa.…………………………1分
由f(x)>0,即exa>0,解得x>lna,同理由f(x)<0解得x<lna, ∴ f(x)在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是f(x)在xlna取得最小值.
又∵ 函数f(x)恰有一个零点,则f(x)minf(lna)0, ………………… 4分 即elnaalna10.………………………………………………………… 5分 化简得:aalna10,即alnaa1,于是lnaaa1,
∴ aaea1. ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,f(x)在xlna取得最小值f(lna),
由题意得f(lna)≥0,即aalna1≥0,……………………………………8分 令h(a)aalna1,则h(a)lna, 由h(a)0可得0<a<1,由h(a)0可得a>1.
∴ h(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即h(a)maxh(1)0, ∴ 当0<a<1或a>1时,h(a)<0,
∴ 要使得f(x)≥0对任意x∈R恒成立,a1. ∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分
21.解:(Ⅰ)由f(x)
mlnxne
得f(x)mnxmxlnx
xe(x0). 由已知得f(1)mn
e0,解得m=n.
又f(1)n2
ee
,即n=2,
∴ m=n=2.……………………………………………………………………3分
(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得f(x)2
xe
x(1xxlnx),
令p(x)1xxlnx,x(0,
), 当x∈(0,1)时,p(x)0;当x∈(1,+∞)时,p(x)0,
又ex0,所以当x∈(0,1)时,f(x)0; 当x∈(1,+∞)时,f(x)0, ∴ f(x)的单调增区间是(0,1),f(x)的单调减区间是(1,+∞).……8分
(Ⅲ) 证明:由已知有g(x)
ln(x1)
x
(1xxlnx),x(0,
), 于是对任意x0,g(x)1e2 等价于1xxlnx
x
ln(x1)
(1e2),
由(Ⅱ)知p(x)1xxlnx,x(0,
), ∴ p(x)lnx2(lnxlne2),x(0,
). 易得当x(0,e2)时,p(x)0,即p(x)单调递增;
当x(e2,)时,p(x)0,即p(x)单调递减. 所以p(x)的最大值为p(e2)1e2,故1xxlnx≤1e2.
设q(x)xln(1x),则q(x)
x
x1
0, 因此,当x(0,
)时,q(x)单调递增,q(x)q(0)0. 故当x(0,
)时,q(x)xln(1x)0,即x
ln(x1)
1.
∴ 1xxlnx≤1e2<
x
ln(x1)
(1e2).
∴ 对任意x0,g(x)1e2. ……………………………………………14分
4
2015绵阳一诊数学篇六:绵阳2015届一诊理科数学+答案
保密 ★ 启用前 【考试时间:2014年10月31日15:00—17:00】
绵阳市高中2012级第一次诊断性考试
数 学(理工类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)。第I卷1至2页,第II卷2至4页.共4页。满分150分。考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第I卷共10小题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合A={x∈Z|x2-1≤0},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=
(A)
(B) {2}
(C) {0}
(D) {-1}
2.下列说法中正确的是
),2x1”的否定是“x0(0,),2x0≤1” (A) 命题“x(0,
),2x1”的否定是“x0(0,),2x0≤1” (B) 命题“x(0,
(C) 命题“若ab,则a2b2”的逆否命题是“若a2b2,则ab” (D) 命题“若ab,则a2b2”的逆否命题是“若a2≥b2,则a≥b”
3.设各项均不为0的数列{an}满足an12an(n≥1),Sn是其前n项和,若a2a42a5,则S4=
(A) 42
(B) 82 (D) 662
(C) 32
4.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则ADDB=
(A) -3 (C) 3
(B) (D)
3
5.已知cos(
3
x),那么sin2x= 451824(A) (B)
2525
(C)
7
25
(D)
7 25
xy10,
6.已知x,y满足xy10,则2x-y的最大值为
3xy30,
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
7.已知x∈[,],则“x∈[]”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的
22
(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件
(D) 既不充分也不必要条件
(C) 充分不必要条件
8.f(x)是定义在非零实数集上的函数,f(x)为其导函数,且x0时,xf(x)f(x)0,
f(20.2)f(0.22)f(log25)记a,则 ,b,c0.22
log2520.2
(A) abc
(B) bac (D) cba
(C) cab
x0,sin(x)1,
9.已知函数f(x)的图象上关于y轴对称的点至少有3对,2
logax(a0,且a1),x0
则实数a的取值范围是 (A) (0) 3
(B) (
5,1) 5
(C) (
,1) 3
(D) (05) 5
10.已知a,bR,且ex1≥axb对x∈R恒成立,则ab的最大值是
(A)
13e 2
(B)
23
e 2
(C)
3e 2
(D) e3
第II卷(非选择题 共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第II卷共11小题。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.若tan,则
133sin2cos
_______.
2sincos
12.已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ=______. 13.某商场销售某种商品的经验表明,该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式
为C=100+4q,销售单价p与产量q的函数关系式为p25平均利润最大,则产量q等于_______. 14.已知函数f (x)=
1
q.要使每件产品的16
3x21232014
,则f ()+f ()+f ()+„+f ()=______. 2x12015201520152015
15.定义:如果函数yf(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(ax0b),满足
f(x0)
f(b)f(a)
,则称函数yf(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一
ba
个均值点.例如y=| x |是[2,2]上的“平均值函数”,0就是它的均值点.给出以下命题:
2]上的“平均值函数”① 函数f(x)cosx1是[2,.
② 若yf(x)是[a,b]上的“平均值函数”,则它的均值点x0≥
ab
. 2
1]上的“平均值函数”③ 若函数f(x)x2mx1是[1,,则实数m的取值范围是m(0,2).
④ 若f(x)lnx是区间[a,b] (b>a≥1)上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,则lnx0
1ab
.
其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)
已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中ω>0,函数f(x)2m·n-1的最小正周期为π.
(Ⅰ) 求ω的值; (Ⅱ) 求函数f(x)在[
6
,
4
]上的最大值.
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ) 求D;
(Ⅱ) 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2,求实数m的值. 18.(本小题满分12分)
在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,
1AB5,cosABC.
5
(Ⅰ) 若BC2,求sinACB的值; (Ⅱ) 若D是边AC中点,且BD19.(本小题满分12分)
7
,求边AC的长. 2
记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S39,a3,a5,a8成等比数列. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式an及Sn; (Ⅱ) 若cn2n(
2
),n=1,2,3,„,问是否存在实数,使得数列{cn}为单调an
递减数列?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分13分)
已知函数f(x)exax1(e为自然对数的底数),a>0. (Ⅰ) 若函数f(x)恰有一个零点,证明:aaea1;
(Ⅱ) 若f(x)≥0对任意x∈R恒成立,求实数a的取值集合. 21.(本小题满分14分)
已知函数f(x)
mlnxn
(m,n为常数,e2.71828„是自然对数的底数),曲线x
e
yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y
(Ⅰ) 求m,n的值; (Ⅱ) 求f(x)的单调区间;
2. e
exln(x1)
(Ⅲ) 设g(x)f(x)(其中f(x)为f(x)的导函数),证明:对任意x0,
2
g(x)1e2.
绵阳市高2012级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
DBDAC BCCDA
10题提示:由ex1≥axb对x∈R恒成立,显然a≥0,b≤ex1-ax. 若a=0,则ab=0.
若a>0,则ab≤aex1-a2x.设函数f(x)aex1a2x,求导求出f(x)的最小值为
f(lna1)2a2a2lna.
设g(a)2aalna(a0),求导可以求出g(a)的最大值为
2
2
3g(e2)
13
e, 2
11
即ab的最大值是e3,此时ae2,be2.
22
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
33
3
12.-1 5
13.40 14.3021 15.①③④
15题提示:①容易证明正确.
②不正确.反例:f(x)x在区间[0,6]上.
mm2
得x01(x01)mmx01, 2
2). 又x0(1,1)所以实数m的取值范围是m(0,
③正确.由定义:x0mx01
2
lnblna.
ba
1lnblna1bbaba
ln要证明lnx0,即证明: ,
baaabababab
④正确.理由如下:由题知lnx0令
b11
t1,原式等价于lnt2t2lntt0. att
21t22t1(t1)21
0, 令h(t)2lntt(t1),则h(t)1222
ttttt
1
所以h(t)2lntth(1)0得证.
t
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.解:(Ⅰ)f(x)2m·n-12sinxcosx2cos2x1
=sin2xcos2x2sin(2x
由题意知:T,即
4
). „„„„„„„„„„„6分
2
,解得1.„„„„„„„„„„„„„7分 2
2015绵阳一诊数学篇七:2015绵阳一诊理科数学答案
绵阳市高2013级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
CDADD BACBC
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.0,10
12.
13.a≥2
14.2 15.①③
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.解 :(1)∵ m⊥n,
∴ m·n=(cosα,1-sinα)·(-cosα,sinα)=0,
即-cos2α+sinα-sin2α=0. ……………………………………………………3分 由sin2α+cos2α=1,解得sinα=1, ∴ 2k
2
,k∈Z.…………………………………………………………6分
(2) ∵ m-n=(2cosα,1-2sinα), ∴ |m-n|=(2cos)2(12sin)2
4(cos2sin2)14sin
4sin, ………………………………………………………9分
∴ 5-4sinα=3,即得sin∴ cos212sin2
1
, 2
1
.……………………………………………………12分 2
17.解:(1)由已知an+1=2an+λ,可得an+1+λ=2(an+λ).
∵ a1=1,
当a1+λ=0,即λ=-1时,an+λ=0,此时{an+λ}不是等比等列. …………3分 当a1+λ≠0,即λ≠-1时,
an1
2(常数).
an
此时,数列{an}是以a11为首项,2为公比的等比数列, ∴ an(1)2n1,于是an(1)2n1. ………………………6分 (2)当λ=1时,an=2n-1,
n
. ……………………………………………………………………7分 n2123n
∴ Sn123n,
2222
1123n1
两边同乘以,得Sn234n1,
222222
∴ bn
两式相减得
1111nSn2nn1 22222
11(1n)
n n11212
1
1n
,
2n2n1
∴Sn2
1n
.…………………………………………………………12分 n1n
22
18.解:(1)设第n年的受捐贫困生的人数为an,捐资总额为bn.
则an =80+(n-1)a,bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2分 ∴ 当a=10时,an=10n+70, ∴
bn4010n0.8, an10n70
解得:n>8. ……………………………………………………………………5分 即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元. …………6分 (2)由题意:即
bn1bn
, an1an
4010(n1)4010n
,………………………………………………8分
80na80(n1)a
整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0, 即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0, 化简得80-5a>0,
解得a<16,……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过15人.
……………………………………………12分
19.解:(1)在Rt△ABC中,AC=ABcos60º=6
∵ ,
∴ ()
2
11
3,ADAB2. 23
||2||||cos,
=9+2×3×cos120º
=6.…………………………………………………………………4分
(2)在△ACD中,∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ,
3
CDAC33由正弦定理可得,即CD.
sin(120)2sin(120)sinAsinADC
3
………………………………………5分 在△AEC中,∠ACE=θ+30º,∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ,
3
CEAC33由正弦定理可得:,即CE, …6分 sinAsinAECsin(90)2cos
3
∴ SDCE
11333CDCEsin30 242sin(120)2cos
271
, …………………7分 16sin(120)cos
令f(θ)=sin(120º-θ)cosθ,0º≤θ≤60º, ∵ f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ
1
cos2sincos 221cos211sin2 222211(cos2sin2) 4222
31
sin(260),………………………………………………10分 42
由0º≤θ≤60º,知60º≤2θ+60º≤180º, ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1, ∴
331
, ≤f(θ)≤
442
143
≤, f()3
∴ 4(2)≤∴
2727
.……………………………………………12分 (23)≤SDCE≤124
20.解:(1)f(x)3ax2bxc,
由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1}, ∴ a<0,且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2,1. 于是
bc
1,2, 3a3a
得b=3a,c=-6a. ………………………………………………………………2分
∵ 3ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>1},
∴ f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
∴ 当x=-2时f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11, 把b=3a,c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11,
解得a=-1.………………………………………………………………………5分 (2)由方程f(x)-ma+1=0,可整理得ax3bx2cx1ma10,
12
32
ax6axma. 2
3
∴ mx3x26x.…………………………………………………………7分
23
令g(x)x3x26x,
2
即ax3
∴ g(x)3x23xb3(x2)(x1). 列表如下:
分 又∵g(3)
9
,g(-2)=10,g(0)=0, 2
32
x6x仅有一个交点, 2
由题意,知直线y=m与曲线g(x)x3于是m=10或0<m<21.解:(1)f(x)
9
. ………………………………………………………13分 2
1x
, 1
x1x1
∴当x∈(-1,0)时,f(x)0,即f(x)在(-1,0)上是增函数,
当x∈(0,+∞)时,f(x)0,即f(x)在(0,+∞)上是减函数.
∴ f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减函数区间为(0,+∞).………3分
33
(2)由f(x-1)+x>k(1)变形得lnx(x1)xk(1),
xx
整理得xlnx+x-kx+3k>0,
令g(x)=xlnx+x-kx+3k,则g(x)lnx2k. ∵ x>1,
∴ lnx>0
若k≤2时,g(x)0恒成立,即g(x)在(1,+∞)上递增, ∴ 由g(1)>0即1+2k>0解得k∴
1, 2
1
k2. 2
又∵ k∈Z, ∴ k的最大值为2.
若k>2时,由lnx+2-k>0解得x>ek2,由lnx+2-k<0,解得1<x<ek2. 即g(x)在(1,ek2)上单调递减,在(ek2,+∞)上单调递增. ∴ g(x)在(1,+∞)上有最小值g(ek2)=3k-ek2, 于是转化为3k-ek2>0(k>2)恒成立,求k的最大值. 令h(x)=3x-ex2,于是h(x)3ex2.
∵ 当x>2+ln3时,h(x)0,h(x)单调递减,当x<2+ln3时h(x)0,h(x)单调递增.
∴ h(x)在x=2+ln3处取得最大值. ∵ 1<ln3<2, ∴ 3<2+ln3<4, ∵ h(1)3∴ k≤4.
∴ k的最大取值为4.
∴ 综上所述,k的最大值为4.…………………………………………………9分 (3)假设存在这样的x0满足题意,则 由ef(x0)1
1
0,h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12-e2>0,h(5)=15-e3<0, e
a2x1a2
x0等价于x00x010(*).
2e2
要找一个x0>0,使(*)式成立,只需找到当x>0时,函数h(x)=的最小值h(x)min满足h(x)min<0即可. ∵ h(x)x(a
a2x1
x1 2e
1
), ex
1
,则x=-lna,取x0=-lna, a
在0<x<x0时,h(x)<0,在x>x0时,h(x)>0,
令h(x)=0,得ex=∴ h(x)min=h(x0)=h(-lna)=
a
(lna)2alnaa1, 2
2015绵阳一诊数学篇八:绵阳2015届一诊文科数学+答案
保密 ★ 启用前 【考试时间:2014年10月31日15:00—17:00】
绵阳市高中2012级第一次诊断性考试
数 学(文史类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)。第I卷1至2页,第II卷3至4页,共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
注意事项:
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第I卷共10小题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合A={x∈Z|x2-1≤0},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=
(A)
(B) {-1}
(C) {0}
(D) {2}
),2x1”的否定是 2.命题“x(0,
),2x0≤1 (A) x0(0,
),2x0≤1 (B) x0(0,
),2x≤1 (C) x(0,
),2x < 1 (D) x(0,
3.设各项均不为0的数列{an}满足an12an(n≥1),Sn是其前n项和,若a2a42a5,则a3=
(A) 2 (C)22
(B) 2 (D) 4
4.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则ADDB=
(A) (C) 3
(B) (D) -3
5.已知cos(
(A)
3
x),那么sin2x= 45
(B) (D)
18 257 25
24 25
(C)
7 25
xy10,
6.已知x,y满足xy10,则2x-y的最大值为
3xy30,
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
7.在(0,2)内,使|sinx|≥cosx成立的x的取值范围为
(A) [
4
7] 4
(B) [
4
5] 4
(C) [05] 4
(D) [0]∪[
4
7,2] 4
8.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有
f(20.2)f(0.22)f(log25)x2f(x1)x1f(x2)
0,记a,则 ,b,c
x1x2log2520.20.22
(A) abc
(B) bac (D) cba
(C) cab 9.记函数f(x)
13121
xx在(0,)的值域为M,g(x)=(x+1)2+a在(,)的322
1
21 3
值域为N,若NM,则实数a的取值范围是 (A) a≥(C) a≥
1 21 3
(B) a≤(D) a≤
x0,sin(x)1,
10.已知函数f(x)的图象上关于y轴对称的点至少有32
logax(a0,且a1),x0
对,则实数a的取值范围是 (A) (0(C) (
5) 5
(B) (
,1) 5) 3
,1) 3
(D) (0
第II卷(非选择题 共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第II卷共11小题。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.若tan,则
1
33sin2cos
_______.
2sincos
12.已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ= ______. 13.已知f(x)是函数f (x)的导函数,f(x)sinx2xf(0),则f()=________.
2
14.已知函数f (x)=
3x212310
, 则f ()+f ()+f ()+„+f ()=________.
111111112x1
15.定义:如果函数yf(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(ax0b),满足
f(x0)
f(b)f(a)
,则称函数yf(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的
ba
一个均值点.例如yx是[2,2]上的平均值函数,0就是它的均值点.若函数
1]上的“平均值函数” ,则实数m的取值范围是_________.f(x)x2mx1是[1,
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)
已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中ω>0,函数f(x)2m·n-1的最小正周期为π.
(Ⅰ) 求ω的值; (Ⅱ) 求函数f(x)在[
6
,
4
]上的最大值.
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ) 求D;
(Ⅱ) 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2,求实数m的值.
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,
AB5,cosABC
1
. 5
(Ⅰ) 若BC4,求△ABC的面积S△ABC;
7
(Ⅱ) 若D是边AC中点,且BD,求边BC的长.
2
19.(本小题满分12分)
记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比数列. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式an及Sn;
(Ⅱ) 若cnn2an,n=1,2,3,„,问是否存在实数,使得数列{cn}为单调递增数列?若存在,请求出的取值范围;不存在,请说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知函数f(x)exax1(e为自然对数的底数),a>0. (Ⅰ) 若函数f(x)恰有一个零点,证明:aaea1;
(Ⅱ) 若f(x)≥0对任意x∈R恒成立,求实数a的取值集合.
21.(本小题满分14分)
已知函数f(x)
a2
xbxlnx(a,b∈R). 2
(Ⅰ) 若ab1,求f(x)点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ) 设a≤0,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ) 设a<0,且对任意的x0,f(x)≤f(2),试比较ln(a)与2b的大小.
绵阳市高2012级第一次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
BBDDC BACCA
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
3
12.-1 5
13.-2 14.15 15.(0,2)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.解:(Ⅰ)f(x)2m·n-12sinxcosx2cos2x1
=sin2xcos2x2sin(2x
由题意知:T,即
4
). „„„„„„„„„„„6分
2
,解得1.„„„„„„„„„„„„„7分 2
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)2sin(2x∵
4
),
73
≤2x≤, 12644473
又函数y=sinx在[,]上是减函数,
124
≤x≤
,得
∴ f(x)max
2sin
2sin =
分
7
2sin()„„„„„„„„„„„„„„10分 1243
4cos
3cos
4sin3
1
.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„122
2t0,
2).„„„„„„„„3分 17.解:(Ⅰ) 由题知解得1t2,即D[1,
t10,
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=(xm)22m2,此二次函数对称轴为xm.„„4分
2)上单调递减,不存在最小值; ① 若m≥2,即m≤-2时, g (x)在[1,
m)上单调递减,(m,2]上递增, ②若1m2,即2m1时, g (x)在[1,
2015绵阳一诊数学篇九:绵阳市2015届一诊数学试题(文)
绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(文)试题
第I卷(选择题,共50分)
【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题,已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块,同时,试卷突出了学科的主干内容,集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例,也达到了必要的考查深度.本套试卷没有刻意追求覆盖面,还有调整和扩大的空间,注重了能力的考查,特别是运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出,实践能力和创新意识方面也在努力体现. 一、选择题:
1、已知集合AxZx210,Bxx2x20,则AB( ) A. B.1 C.0 D.2 2、命题"x(0,),2x1"的否定是( ) A."x0(0,),2x1" B."x0(0,),2x1"
C."x(0,),2x1" D."x(0,),2x1"
3、设各项均不为0的数列an满足an12an(n1),若a2a42a5,则
a3( )
A.2 B.2 C.22 D.4
4、如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则( ) A.3 B.3 C.3 D.-3
5、已知cos(x),那么sin2x( )
4
35
A.
187247
B. C. D. 25252525
xy10
6、已知x、y满足xy10,则2xy的最大值为( )
3xy30
A.1 B.2 C.3 D.4
7、在0,2内,使sinxcosx成立的x取值范围是( ) A.,
4
7
4
B.,
4
5
4
C.0,
57
D. 0,,2444
8、已知f(x)的定义在0,的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有
x2f(x1)x1f(x2)
x1x2
f(20.2)f(0.22)f(log25)
,则( ) 0,记a,b,c
20.20.22log25
A.abc B.bac C.cab D.cba
9、记函数f(x)x3x2在0,的值域M,g(x)(x1)2a在,的值域为N,若NM,则实数a的取值范围是( ) A.a B.a C.a D.a
x)1,x0
10、已知函数f(x)的图象上关于y轴对称的点2
logax(a0,且a1),x0
1
2
12
13
13
131212
至少有3对,则实数a的取值范围是 A.0,
53
B. C. D.0, ,1,15533
第II卷(非选择题,共100分)
二、填空题: 11、若tan,则
13
3sin2cos
= .
2sincos
12、已知向量a(1,2),b(2,0),若ab与向量c(1,2)共线,则实数
13、已知函数f'(x)是函数f(x)的导函数,f(x)sinx2xf'(0),则
f'()2
3x212310
14、已知函数f(x),则f()f()f()f()2x111111111
15、定义:如果函数yf(x)在定义域内给定区间a,b上存在
x0(ax0b),满足f(x0)
f(b)f(a)
,则称函数yf(x)是a,b上的“平
ba
均值函数”,x0是它的一个均值点.例如yx是2,2上的平均值函数,0就是它的均值点,若函数f(x)x2mx1是1,1上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小时,共75分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.
16、(本小题满分12分)已知向量(sinwx,coswx),(coswx,coswx),其中w0函数f(x)21的最小正周期为. (1)求w的值.
,(2)求函数f(x)在上的最大值. 64
17、(本小题满分12分)已知函数f(t)log2(2t)t1的定义域为D (1)求D;
(2)若函数g(x)x22mxm2在D上存在最小值2,求实数m的值.
18、(本小题满分12分)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,AB=5,COSABC.
(1)若BC=4,求ABC的面积SABC;
(2)若D是边AC的中点,且BD,求边BC的长.
1
5
72
19、(本小题满分12分)记公差不为0的等差数列an的前n项和为
Sn,S39,a3,a5,a8成等比数列.
(1)求数列an的通项公式an和Sn;
(2)若cnn2an,n1,2,3,问是否存在实数,使得数列cn为单调递增数列?若存在,请求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
20、(本小题满分13分)已知函数f(x)eax1(e为自然对数的底数),
x
a0
(1)若函数f(x)恰有一个零点,证明:aaea1
(2)若f(x)0对任意xR恒成立,求实数a的取值集合.
2015绵阳一诊数学篇十:2015绵阳一诊理科数学答案
绵阳市高2015级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.
DBDAC BACDA
10题提示:由ex1≥axb对x∈R恒成立,显然a≥0,b≤ex1-ax. 若a=0,则ab=0.
若a>0,则ab≤aex1-a2x.设函数f(x)aex1a2x,求导求出f(x)的最小值为f(lna1)2a2a2lna.
设g(a)2a2a2lna(a0),求导可以求出g(a)的最大值为
3g(e2)
13
e, 2
11
即ab的最大值是e3,此时ae2,be2.
22
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.
33
3
12.-1 5
13.40 14.3021 15.①③④
15题提示:①容易证明正确.
②不正确.反例:f(x)x在区间[0,6]上.
mm2
得x01(x01)mmx01, 2
2). 又x0(1,1)所以实数m的取值范围是m(0,
③正确.由定义:x0mx01
2
lnblna.
ba
1lnblna1bbaba
ln要证明lnx0,即证明: ,
baaababab④正确.理由如下:由题知lnx0令
b11
t1,原式等价于lnt2t2lntt0. att
21t22t1(t1)21
0, 令h(t)2lntt(t1),则h(t)1222
ttttt
1
所以h(t)2lntth(1)0得证.
t
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.解:(Ⅰ)f(x)2m·n-12sinxcosx2cos2x1
=sin2xcos2x2sin(2x
由题意知:T,即
4
). ……………………………6分
2
,解得1.…………………………………7分 2
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)2sin(2x∵
4
),
37
≤2x≤, 12644473
又函数y=sinx在[,]上是减函数,
124
≤x≤
,得
∴ f(x)max
2sin
2sincos
7
2sin() …………………………………10分 1243
4
3
2cossin
43
31
.…………………………………………………………12分 2
2t0,
2).……………………3分 17.解:(Ⅰ) 由题知解得1t2,即D[1,
t10,
=
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=(xm)22m2,此二次函数对称轴为xm.……4分
2)上单调递减,不存在最小值; ① 若m≥2,即m≤-2时, g (x)在[1,
m)上单调递减,(m,2]上 ②若1m2,即2m1时, g (x)在[1,
递增,此时g(x)ming(m)2m22,此时m值不存在;
2)上单调递增, ③m≤1即m≥-1时, g (x)在[1,
此时g(x)ming(1)12mm22,解得m=1. …………………………11分 综上:m1. …………………………………………………………………12分 18.解:(Ⅰ) AB5,cosABC
1
,BC2, 5
15
由余弦定理:AC2BA2BC22BABCcosABC=52+22-2×5×2×=25,
AC5. ……………………………………………………………………3分
又ABC(0,) ,所以sinABCcos2ABC由正弦定理:
26
, 5
ABAC
,
sinACBsinABCABsinABC26
得sinACB.………………………………………6分
AC5
(Ⅱ) 以BA,BC为邻边作如图所示的
平行四边形ABCE,如图,
则cosBCEcosABC,BE=2BD=7,CE=AB=5,
在△BCE中,由余弦定理:
A
B
E
15
BE2CB2CE22CBCEcosBCE.
1
即49CB22525CB(),
5
解得:CB4. ………………………………………………………………10分 在△ABC中,
1
AC2BA2BC22BABCcosABC524225433,
5
即AC.…………………………………………………………………12分 19.解:(Ⅰ) 由S39,a5a3a8,
2
32
d9,3a12得:解得:a12,d1.
(a4d)2(a2d)(a7d),
111
n(2n1)n23
n. …………………………………5分 ∴ ann1,Sn
2222
(Ⅱ) 由题知cn2n().
n1
若使{cn}为单调递减数列,则
22)-2n() n2n142=2n()0对一切n∈N*恒成立, …………………8分
n2n14242
即: 0()max,
n2n1n2n1
2n2n242
又=,……………………10分 2
n2n1(n2)(n1)n3n2n3n
142
当n1或2时, ()max=.
n2n13
1
.………………………………………………………………………12分
3
20.(Ⅰ)证明: 由f(x)exax1,得f(x)exa.…………………………1分
cn1cn2n1(
由f(x)>0,即exa>0,解得x>lna,同理由f(x)<0解得x<lna, ∴ f(x)在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是f(x)在xlna取得最小值.
又∵ 函数f(x)恰有一个零点,则f(x)minf(lna)0, ………………… 4分 即elnaalna10.………………………………………………………… 5分 化简得:aalna10,即alnaa1,于是lnaaa1,
∴ aaea1. ………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,f(x)在xlna取得最小值f(lna),
由题意得f(lna)≥0,即aalna1≥0,……………………………………8分 令h(a)aalna1,则h(a)lna, 由h(a)0可得0<a<1,由h(a)0可得a>1.
∴ h(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即h(a)maxh(1)0, ∴ 当0<a<1或a>1时,h(a)<0,
∴ 要使得f(x)≥0对任意x∈R恒成立,a1.
∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分2015高考英语签约提分,保证最低涨10-40分,不达目标全额退费,详情QQ2835745855,其它各科试题及答案登陆QQ757722345或关注微信公众号qisuen
mlnxnmnxmxlnx
得(x0). f(x)xx
xee
mn
由已知得f(1)0,解得m=n.
e
n2
又f(1),即n=2,
ee
21.解:(Ⅰ)由f(x)
∴ m=n=2.……………………………………………………………………3分
2
(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得f(x)x(1xxlnx),
xe
), 令p(x)1xxlnx,x(0,
当x∈(0,1)时,p(x)0;当x∈(1,+∞)时,p(x)0,
又ex0,所以当x∈(0,1)时,f(x)0; 当x∈(1,+∞)时,f(x)0, ∴ f(x)的单调增区间是(0,1),f(x)的单调减区间是(1,+∞).……8分
ln(x1)
), (1xxlnx),x(0,
x
x
(1e2), 于是对任意x0,g(x)1e2 等价于1xxlnx
ln(x1)
), 由(Ⅱ)知p(x)1xxlnx,x(0,
(Ⅲ) 证明:由已知有g(x)
). ∴ p(x)lnx2(lnxlne2),x(0,
易得当x(0,e2)时,p(x)0,即p(x)单调递增;
当x(e2,)时,p(x)0,即p(x)单调递减. 所以p(x)的最大值为p(e2)1e2,故1xxlnx≤1e2. 设q(x)xln(1x),则q(x)
x
0, x1
)时,q(x)单调递增,q(x)q(0)0. 因此,当x(0,
)时,q(x)xln(1x)0,即故当x(0,
∴ 1xxlnx≤1e2<
x
1.
ln(x1)
x
(1e2).
ln(x1)
∴ 对任意x0,g(x)1e2. ……………………………………………14分
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