二次函数图像

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二次函数图像篇一：一元二次函数的图像和性质

3.4一元二次函数的图象和性质

1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征

2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

1．函数yax2bxc(a0)叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数yax2bxc(a0)都可把它的解析式配方为顶点式：

b2a

4acb4a

2

ya(x)

2

，

性质如下：

（1）图象的顶点坐标为(（2）最大（小）值

① 当a0，函数图象开口向上，y有最小值，ymin

4acb4a4acb4a

b2a

2

b2a

,

4acb4a

2

)，对称轴是直线x

b2a

。

2

，无最大值。

② 当a0，函数图象开口向下，y有最大值，ymax（3）当a0，函数在区间(, 当a0，函数在区间上(

b2ab2a

)上是减函数，在(

，无最小值。

,)上是增函数。 b2a

)上是增函数。

,)是减函数，在(,

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；

但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数y【解】y

12

2

12

x4x6的图象

12

(x8x12)

2

2

x4x6



12

[(x4)

22

-4]

12

(x4)

22

-2

【例2】求作函数yx24x3的图象。 【解】yx24x3(x24x3) [(x2)27][(x2)27

先画出图角在对称轴x2的右边部分，列表

【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；

(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质

【例3】求函数yx26x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。 【解】 yx26x2x26x97(x3)27

由配方结果可知：顶点坐标为(3，7)，对称轴为x3； 10 ∴当x3时， ymin7

函数在区间(，3]上是减函数，在区间[3，)上是增函数。

【例4】求函数y5x3x1图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。

b2a

32(5)

310

4acb4a

,29

2

2

，

3310



4

(5)13

4(5)

2920

2



2920

∴函数图象的顶点坐标为( 50 ∴当x 函数在区间(,

310

1020

)，对称轴为x

2920

时，函数取得最大值ymaz

]上是增函数，在区间[3,)上是减函数。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：

(1) 配方法；如例3

(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。 任何一个函数都可配方成如下形式：ya(x

三、二次函数性质的应用

【例5】(1)如果f(x)x2bxc对于任意实数t都有f(3t)f(3t)，那么（ ）

（A）f(3)f(1)f(4) （C）f(3)f(4)f(1)

（B） f(1)f(3)f(4) （D）f(4)f(3)f(1)

b2a)

2

4acb4a

2

(a0)

【解】 ∵f(3t)f(3t)对于一切的tR均成立

∴ f(x)的图像关于x3对称 又a10 ∴

抛物线开口向上。

∴ f(3)是f(x)的最小值。

343，

∴ f(3)f(4)f(1)

(2)如果f(x)x2bxc对于任意实数t都有f(2t)f(2t)，则f(1)

f(1)。(用“”或“”填空)

【解】∵f(2t)f(2t)对于一切的tR均成立

∴ f(x)的图像关于x2对称 又a10

∴

抛物线开口向下。

1(2)(2)，

∴ f(1)f(1)

【点评】1.当a0时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。如例5(1)中当x1所对应的点比当x4所对

应的点离对称轴远，所以x1时对应的函数值也比较大。

2．1.当a0时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。如例5(2)中当x1所对应的点比当x1所对应的点离对称轴远，所以x1对应的函数值也比较小。 【例6】求函数yx2x5在给定区间[1,5]上的最值。

2

【解】（1）原函数化为yx22x5x16

2

∵a10 ∴ 当x1时，ymin6

又∵1151 ∴当x5时，ymax(51)2610

（2）原函数可化为：y(x

13)

2

109

，图象的对称轴是直线x

13

注意到当1x2时，函数为减函数 ∴yminf(2)22

23

214

431

133

【例7】已知函数y(n2)x2nx1是偶函数，试比较f(2)，f(2)，f(5)的大

小。

【解】解法一：∵y(n2)x2nx1是偶函数，

∴ n0, ∴y2x21

∴ 可知函数的对称轴为直线x0 又∵a20，

5020

20

∴f(2)f(2)f(5)

解法二： ∵y(m1)x22mx3是偶函数，

∴ n0, ∴y2x21

可知y2x1在(0,)上单调递减

22

又∵y(n2)xnx1是偶函数， ∴f(5)f(5)

而52

2

∴f(2)f(2)f(5) ∴f(2)f(2)f(5)

三、一元二次函数、一元二次方程的关系。

【例8】求当k为何值时，函数y2x4xk的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)

有两个公共点；(3)没有公共点.

【解】令2x4xk0，则2xxk0的判别式b4ac168k

2

2

2

2

(1)当0，即168k0，k2时，方程有两个相等的实根，这时图象与x轴只

有一个公共点； (2) 当0，即168k0，k2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴

有两个公共点； (3) 当0，即168k0，k2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴

无公共点；

一．选择题

1．二次函数yx22x5的值域是（ ）

4］ Ｄ．(,　 Ａ．［4，　) Ｂ．(4,　　) Ｃ．(，　　4)

2．如果二次函数y5x2mx4在区间(,1)上是减函数，在区间[1,)上是增函数，则m（ ）

Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-10

3．如果二次函数yx2mx(m3)有两个不相等的实数根，则m的聚值范围是（ ） Ａ．(,2)(6,) Ｂ．(2,6) Ｃ．[2,6) 0 Ｄ．{2,6} 4．函数y

12

xx3的最小值是（ ）

12

. Ｃ．3 Ｄ．3

12.

2

Ａ．-3. Ｂ．3

5．函数y2x24x2具有性质（ ）

Ａ．开口方向向上，对称轴为x1，顶点坐标为（-1，0）

Ｂ．开口方向向上，对称轴为x1，顶点坐标为（1，0） Ｃ．开口方向向下，对称轴为x1，顶点坐标为（-1，0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为x1，顶点坐标为（1，0） 6．下列命题正确的是（ ） Ａ．函数y2x6x3的最小值是

2

2

32

Ｂ．函数y2x6x3的最小值是

2

2

154

Ｃ．函数yx4x3的最小值为7 Ｄ．函数yx4x3的最大值为7 7．函数（1）y2x4x3；（2）y2x4x3；（3）y3x6x3；（4）

2

y3x6x3中，对称轴是直线x1的是（ ）

2

2

2

Ａ．（1）与（2） Ｂ．（2）与（3） Ｃ．（1）与（3） Ｄ．（2）与（4） 8．对于二次函数y2x8x，下列结论正确的是（ ）

Ａ．当x2 时，y有最大值8 Ｂ．当x2 时，y有最大值8

2

二次函数图像篇二：二次函数的图像ppt

二次函数图像篇三：二次函数图像问题及答案(难题)

二次函数图像性质

1、二次函数yax2bxc的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论： ①abc＜0；②4acb2；③acb1； ④2ab0；⑤OAOB

ca

；

⑥4a2bc0。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

2、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ ） （A） ac+1=b; （B） ab+1=c; （C）bc+1=a; （D）以上都不是

第1题图

3，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a－b+c＜0；③ b+2a＜0；④ abc＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③

4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是

________________．(填序号)

5．y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc，b－4ac，a－b

＋c，a＋b＋c，2a－b，9a－4b中，值小于0的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：

①b24ac0； ②abc0； ③8ac0； ④9a3bc0．

其中，正确结论的个数是

（A）1 （C）3

（B）2 （D）4

22

第（10）题

7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2，0）（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）下方。下列结论：（1）4a-2b+c=0.(2)a＜b＜0.（3）2a+c＞0.（4）2a-b+1＞0.其中正确的序号是 .

8.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，

下列结论中，不正确的是

（1）c＜0. （2）b＞0 （3）4a+2b+c＞0 （4）（a+c）＜b

2

2

下列式子：ab. ac. a+b+c. a-b+c. 2a+b. 2a-b中，其值为正的式子共有 个.

10.二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，过（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴。

①abc＜0. ② 2a+b＞0.③ a+c=1④a＞1.正确的是＿＿＿＿

11.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图像。请判断

①c＞0. ② a+b+c＜0.③ 2a-b＜0④b2+8a＞4ac中，正确的是＿＿＿＿

∙

∙

①abc＞0 ②b＜a+c ③4a+2b+c＞0 ④2c＜3b.⑤a+b＞m(am+b)(m≠1).正确的有 .

∙

13.（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为

1

2

,1，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④a+b+c＜0.其中正确2

的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

14.（2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，

2

给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）

2

15.(2011山西阳泉盂县月考)二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图像经过点（－1，2），且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1有下列结论：①abc＞0,②4a－2b+c＜0,③2a－b＜0,④b2+8a＞4ac其中正确的结论有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

16.如图所示:二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像经过点(－１，２)点，且与ｘ轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1有下列结论：,○14a－2b+c＜0,○22a－b＜0,○3a－３ｂ＞０④b+8a＜4ac其中正确的结论有（

2

2

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

∙

∙

17.（2011年黄冈市浠水县）如图，二次函数yax2bxc（a≠0）的图象经过点 （1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中一1＜x1＜0，1＜x2＜2， 14a2bc＜0○22ab＜0○3b28a＞4ac○4a＜-1 下列结论：○

其中结论正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2 1

18．抛物线y

axbxc

2

（a ≠ 0）满足条件：（1）4ab0；（2）abc0；

（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a0； ②c0；③abc0；④

c4a

c3

，其中所有正确结论的序号是．

二次函数图像篇四：二次函数的图像与性质

二次函数图像篇五：26.2二次函数的图像及其性质(很全,很详细,很好)

26.2 二次函数的图像

【学习目标】

1、会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； 2、了解抛物线y=ax2上下平移规律； 3、熟练掌握二次函数的性质； 4、应用二次函数解决实际问题。

【主要概念】

【1】二次函数的图像

b

二次函数的图像是一条关于x对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

【2】二次函数图像的画法

五点法：

1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

2、求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【4】二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下

b b与对称轴有关：对称轴为x=2a

（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

【5】二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的b24ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。

【5】二次函数的平移

k； 1、将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，

2

k处，具体平移方法如2、 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，

下：

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

3、平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

特别记忆--同左上加 异右下减

说明：① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点 必在Y轴右侧异右

②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

【6】二次函数各种形式之间的变换

2

二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

b4acb2

h，k.

2a4a

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

2

①yax2；②yax2k；③yaxh；

④yaxhk；⑤yax2bxc. 【7】二次函数解析式的表示方法

1、一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2、顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）； 3、两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

2

【8】二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

22

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

关于顶点对称

b2

yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a

22

yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

2

2

2

2

n对称 关于点m，yaxhk

22

n对称后，得到的解析式是关于点m，

yaxh2m2nk

【知识点填空】

说明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、b24ac的关系 ：

【经典例题】

12

x4x6的图象 2

11

【解】yx24x6(x28x12)

2211

[(x24)2-4](x24)2-2

22

【例1】求作函数y

【例2】求作函数yx24x3的图象。

二次函数图像篇六：二次函数图像和性质专题训练(答案)

二次函数图象专题训练

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个

A．1 Ｂ．2

Ｃ．3 Ｄ．4

2、已知二次函数yax2bxc(a0)的 图象如图所示，有下列结论：

①b24ac0； ②abc0； ③8ac0；

④9a3bc0．其中，正确结论的个数是( ) A．1

B．2

C．3

D．4

0)，且1x12，与y3．已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点(2，0)、(x1，

轴的正半轴的交点在(0，2)的下方．下列结论：①4a2bc0；②ab0；③

2ac0；④2ab10．其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

4、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )

A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0 5、如图所示的二次函数yaxbxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b4ac0；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有 ．．

A．2个

B．3个

C．4个

D．1个

2

2

6、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）

A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0 D．3

是方程ax＋bx＋c＝0的一个根

2

7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为

1



,1，下列结2

论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8、如图，是二次函数 y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号） 9.已知二次函数yax2bxc（其中a0，b0，c0）， 关于这个二次函数的图象有如下说法： ①图象的开口一定向上；

②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2

D．3

2

10. 已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc0；②bac；③4a2bc0；④

b4ac0；其中正确的结论有（ ）

2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11. 小明从图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：①c0；②

abc0；③abc0；④2a3b0；⑤c4b0，你认为其中正确信息的个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

12. 二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列关系式不正确的是 ( ) A、a＜0

B、abc＞0

D、b24ac＞0

C、abc＞0

2

13、已知二次函数yaxbxc（a0）的图象如图4所示，有下列四个结论：

①b0②c0③b4ac0④abc0，其中正确的个数有（ ）

2

A．1个

B．2个 C．3个 D．4个

. .

14、已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（ ） A．2 B 3 C、4 D、5 15、已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b0②c0③b4ac0④abc0，其中正确的个数有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2

x

图4

16、小强从如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a0；（2） c1；（3）b0；（4） abc0； （5）abc0. 你认为其中正确信息的个数有

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

17、二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，对称轴是直线x1，则下列四个结论错误的是（ ） ．．A．c0 B．2ab0

2

C．b4ac0 D．abc0

（第

29题）

18、二次函数yax2bxc的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是

A．a＜0 B.abc＞0 C.abc＞0 D.b24ac＞0

（8题图）

19、小强从如图所示的二次函数yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）

a0；（2） c1；（3）b0；（4） abc0； （5）abc0. 你认为其中正

2

确信息的个数有

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

（第12题）

20、已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，有以下结论：①

abc0；②abc1；③abc0；④4a2bc0；⑤ca1其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② C．①②③⑤ B． ①③④ D．①②③④⑤

21、二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ） ．．

A．a＜0 B．c＞0 C．b24ac＞0 D．abc＞0 22、如图，二次函数yax2bxc的图象与y轴正半轴相交， 其顶点坐标为

1



ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a； ,1，下列结论：①

2

④a+b+c＜0.其中正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23.已知二次函数yax2bxc的图像如图，

2

其对称轴x1，给出下列结果①b4ac②abc0③2ab0

④abc0⑤abc0，则正确的结论是（ ） A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤

24、已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc0；② bac；③ 4a2bc0；④ 2c3b；⑤ abm(amb)，（m1的实数）其中正确的结论有（ ）．

A. 2个

B. 3个

22

C. 4个 D. 5个

25、如图，二次函数yaxbxc的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0； ④a+b+c=0其中正确的结论的序号是

给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．其中正确的结论的序号是

二次函数图像篇七：27.2.5二次函数的图像和性质5

二次函数图像篇八：二次函数的图像和性质1

二次函数图像篇九：2.2 二次函数的图像(3)

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