导读: 除法函数篇一《Excel乘法与除法》 乘 ...
本文是中国招生考试网(www.chinazhaokao.com)成考报名频道为大家整理的《除法函数》,供大家学习参考。
除法函数篇一
《Excel乘法与除法》
乘法与除法互为逆运算,做除法可以转换成乘法处理。
比如,单元格A1、B1中有数据。
乘法
C1中编辑公式
=A1*B1
回车确认即可
除法
C1中编辑公式
=A1/B1
回车即可。
可以用粘贴函数PRODUCT()进行乘法与除法运算。
在C1中编辑公式
乘法运算
=PRODUCT(A1,B1)
或者
除法运算
=PRODUCT(A1,1/B1)
注意:
括号内的乘数之间用逗号分隔,乘数个数不得超过30个,也可以使用单元格区域引用。用粘贴函数RANK()进行数据排位:
假如数据82,76,76,66,66,57在A列的A1:A6单元格区域,则可以在B1中编辑公式
=RANK(A1,$A$1:$A$6,0)
回车确认后向下复制公式到B6单元格即可。
除法函数篇二
《除法的实现》
高频率调用的函数一定要保证最优化,慎用除法和余数
2009-11-04 16:07 514人阅读 评论(1) 收藏 举报
在近期优化系统的过程中,发现有个函数在高压力下,竟然占用13.3%的时间,这个函数
内部很简单,基本就是这样:
id_to_type(id)
{
int iIndex = id%150000;
return g_data[iIndex].cType;
}
核心基本上就在这个%取余上,这往往使我们分组提高效率的常用方法,但是对于高频率调
用上,则可以避免了。
如何解决呢?下面的附录说明了一些替代方法,但是显然并不是符合我们现在要解决的这个
问题,当前我采用了修改设计的方法,将type合入到id的一部分钟,必须 id 0x10000000
表示type=0的非等最大值,0x20000000表示type=1的非等最大值。
=============附录============
(说明:文章中的很多数据可能在新的CPU或不同的CPU或不同的系统环境下有不同的结
果,可能不能面面俱到)
x86系列的CPU对于位运算、加、减等基本指令都能在1个CPU周期内完成(现在的CPU
还能乱序执行,从而使指令的平均CPU周期更小);现在的CPU,做乘法也是很快的(1个CPU
周期左右,或者是需要两/三个周期,但每个周期能启动一个新的乘指令),但作为基本指令
的除法却超出很多人的预料,它是一条很慢的操作,整数和浮点的除法都慢;我测试的英特
尔P5赛扬CPU浮点数的除法差不多是37个CPU周期,整数的除法是80个CPU周期,
AMD2200+浮点数的除法差不多是21个CPU周期,整数的除法是40个CPU周期。(改变
FPU运算精度对于除法无效)(SSE指令集的低路单精度数除法指令DIVPS 18个CPU周期,
四路单精度数除法指令DIVSS 36个CPU周期) (x86求余运算和除法运算是用同一条CPU
指令实现的;据说,很多CPU的整数除法都是用数学协处理器的浮点除法器完成的;有一
个推论就是,浮点除法和整数除法不能并行执行)
本文将给出一些除法的优化方法或替代算法 (警告:某些替代算法并不能保证完全等价!)
1.尽量少用除法
比如: if (x/y>z) ...
改成: if ( ((y>0)&&(x>y*z))||((y<0)&&(x<y*z)) ) ...
(少用求余)
比如: ++index; if (index>=count) index=index % count; //assert(index<count*2);
改成: ++index; if (index>=count) index=index - count;
2.用减法代替除法
如果知道被除数是除数的很小的倍数,那么可以用减法来代替除法
比如: uint32 x=200;
uint32 y=70;
uint32 z=x/y;
改成: uint z=0;
while (x>=y)
{
x-=y; ++z;
}
一个用减法和移位完成的除法 (如果你没有除法指令可用:)
uint32 div(uint64 s,uint32 z) //return u/z
{
uint32 x=(uint32)(s>>32);
uint32 y=(uint32)s;
//y保存商 x保存余数
for (int i=0;i<32;++i)
{
uint32 t=((int32)x) >> 31;
x=(x<<1)|(y>>31);
y=y<<1;
if ((x|t)>=z)
{
x-=z;
++y;
}
}
return y;
}
(该函数经过了测试;z==0需要自己处理;对于有符号除法,可以用取绝对值的方法(当
然也不是轻松就能
写出完全等价的有符号除法的:); 如果不需s的64bit长度,仅需要32bit,那么可以化简这个
函数,但改进不多)
3.用移位代替除法 (很多编译器能自动做好这个优化)
要求除数是2的次方的常量; (同理:对于某些应用,可以优先选取这样的数来做除数)
比如: uint32 x=213432575;
uint32 y=x/8;
改成: y=x>>3;
对于有符号的整数;
比如: int32 x=213432575;
int32 y=x/8;
改成: if (x>=0) y=x>>3;
else y=(x+(1<<3-1))>>3;
4.合并除法 (替代方法不等价,很多编译器都不会(而且不应该)帮你做这种优化)
适用于不能用其它方法避免除法的时候;
比如: double x=a/b/c;
改成: double x=a/(b*c);
比如: double x=a/b+c/b;
改成: double x=(a+c)/b;
比如: double x=a/b;
double y=c/d;
double z=e/f;
改成: double tmp=1.0/(b*d*f);
double x=a*tmp*d*f;
double y=c*tmp*b*f;
double z=e*tmp*b*d;
5.把除法占用的时间充分利用起来
CPU在做除法的时候,可以不用等待该结果(也就是后面插入的指令不使用该除法结果),
而插入多条简单整数
指令(不包含整数除法,而且结果不能是一个全局或外部变量等),把除法占用的时间节约出
来;
(当除法不可避免的时候,这个方法很有用)
6.用查表的方法代替除法
(适用于除数和被除数的可能的取值范围较小的情况,否则空间消耗太大)
比如 uint8 x; uint8 y;
uint8 z=x/y;
改成 uint8 z=table[x][y]; //其中table是预先计算好的表,table[j]=i/j;
//对于除零的情况需要根据你的应用来处理
或者:uint8 z=table[x<<8+y]; //其中table=(i>>8)/(i&(1<<8-1));
比如 uint8 x;
uint8 z=x/17;
改成 uint8 z=table[x]; //其中table=i/17;
7.用乘法代替除法
(替代方法不等价,很多编译器都不会(而且不应该)帮你做这种优化)
比如: double x=y/21.3432575;
改成: double x=y*(1/21.3432575); //如果编译器不能优化掉(1/21.3432575),请预先
计算出该结果
对于整数,可以使用与定点数相似的方法来处理倒数
(该替代方法不等价)
比如: uint32 x,y; x=y/213;
改成: x=y*((1<<16)/213) >> 16;
某些应用中y*((1<<16)/213)可能会超出值域,这时候可以考虑使用int64来扩大值域
uint32 x=((uint64)y)*((1<<31)/213) >> 31;
也可以使用浮点数来扩大值域
uint32 x=(uint32)(y*(1.0/213)); (警告: 浮点数强制类型转换到整数在很多高级
语言里都是
一条很慢的操作,在下几篇文章中将给出其优化的方法)
对于这种方法,某些除法是有与之完全等价的优化方法的:
无符号数除以3: uint32 x,y; x=y/3;
推理: y y y (1<<33)+1 y
x=y/3 => x=[-] => x=[- + ---------] => x=[--------- * -------] // []表示取整
3 3 3*(1<<33) 3
(1<<33)
y 1
(可证明: 0 <= --------- < - )
3*(1<<33) 3 即: x=(uint64(y)*M)>>33; 其中魔法数
M=((1<<33)+1)/3=2863311531=0xAAAAAAAB;
无符号数除以5: uint32 x,y; x=y/5; (y<(1<<31))
推理: y y 3*y (1<<33)+3 y
x=y/5 => x=[-] => x=[- + ---------] => x=[--------- * -------]
5 5 5*(1<<33) 5
(1<<33)
3*y 1
(可证明: 0 <= --------- < - )
5*(1<<33) 5 即: x=(uint64(y)*M)>>33; 其中魔法数
M=((1<<33)+3)/5=1717986919=0x66666667;
无符号数除以7: uint32 x,y; x=y/7;
推理 :略
即:x=((uint64(y)*M)>>33+y)>>3; 其中魔法数
M=((1<<35)+3)/7-(1<<32)=613566757=0x24924925;
对于这种完全等价的替代,还有其他替代公式不再讨论,对于有符号除法的替代算法没
有讨论,很多数都有完全等价的替代算法,那些魔法数也是有规律可循的;有“进取心”的编
译器应该帮助用户处理掉这个优化(vc6中就已经见到! 偷懒的办法是直接看vc6生成的汇
编码:);
8.对于已知被除数是除数的整数倍数的除法,能够得到替代算法;或改进的算法;
这里只讨论除数是常数的情况;
比如对于(32位除法):x=y/a; //已知y是a的倍数,并假设a是奇数
(如果a是偶数,先转化为a=a0*(1<<k); y/a==(y/a0)>>k;a0为奇数)
求得a',使 (a'*a) % (1<<32) = 1;//利用a为奇数,y是a的倍数可以推导出a'的存在
性
那么: x=y/a => x=(y/a)*((a*a') %(1<<32)) => x=(y*a') % (1<<32); //这里并不需
要实际做一个求余指令
(该算法可以同时支持有符号和无符号除法)
比如 uint32 y;
uint32 x=y/7; //已知y是7的倍数
改成 uint32 x=(uint32)(y*M); //其中M=(5*(1<<32)+1)/7
9.近似计算除法 (该替代方法不等价)
优化除数255的运算(257也可以,或者1023,1025等等)(1026也可以,推导出的公式略有
不同)
比如颜色处理中 : uint8 color=colorsum/255;
改成: uint8 color=colorsum/256; 也就是 color=colorsum>>8;
这个误差在颜色处理中很多时候都是可以接受的
如果要减小误差可以改成: uint8 color=(colorsum+(colorsum>>8))>>8;
推导: x/255=(x+x/255)/(255+1)=(x+A)>>8; A=x/255;
把A改成A=x>>8 (引入小的误差);带入公式就得到了: x/255约等于(x+(x>>8))>>8的公式
同理可以有x/255约等于(x+(x>>8)+(x>>16))>>8等其它更精确的公式(请推导出误差项已确定是否精度足够)
10. 牛顿迭代法实现除法
(很多CPU的内部除法指令就是用该方法或类似的方法实现的)
假设有一个函数y=f(x); 求0=f(x)时,x的值;(这里不讨论有多个解的情况或逃逸或陷入死循环或陷入混沌状态的问题)
(参考图片)
求函数的导函数为 y=f'(x); //可以这样来理解这个函数的意思:x点处函数y=f(x)的斜率;
a.取一个合适的x初始值x0; 并得到y0=f(x0);
b.过(x0,y0)作一条斜率为f'(x0)的直线,与x轴交于x1;
c.然后用得到的x1作为初始值,进行迭代;
当进行足够多次的迭代以后,认为x1将会非常接近于方程0=f(x)的解,这就是牛顿迭代;
把上面的过程化简,得到牛顿迭代公式: x(n+1)=x(n)-y(x(n))/y'(x(n))
这里给出利用牛顿迭代公式求倒数的方法; (用倒数得到除法: y = x/a = x* (1/a) ) 求1/a,
令a=1/x; 有方程 y=a-1/x;
求导得y'=1/x^2;
代入牛顿迭代方程 x(n+1)=x(n)-y(x(n))/y'(x(n));
有迭代式 x_next=(2-a*x)*x; //可证明:该公式为2阶收敛公式; 也就是说计算出的解的有效精度成倍增长
证明收敛性:令x=(1/a)+dx; //dx为一个很小的量
则有x_next-(1/a)=(2-a*(1/a+dx))*(1/a+dx)-1/a
=(-a)*dx^2 //^表示指数运算符
证毕.
程序可以用该方法来实现除法,并按照自己的精度要求来决定迭代次数;
(初始值的选取不再讨论)
附录: 用牛顿迭代法来实现开方运算
//开方运算可以表示为 y=x^0.5=1/(1/x^0.5); 先求1/x^0.5
求1/a^0.5,
令a=1/x^2; 有方程y=a-1/x^2;
求导得y'=2/x^3;
代入牛顿方程 x(n+1)=x(n)-y(x(n))/y'(x(n));
有迭代式 x_next=(3-a*x*x)*x*0.5; //可证明:该公式为2阶收敛公式 //方法同上 证明过程略
除法函数篇三
《在excel里怎么做乘法和除法》
我看过别人能用excel进行排名,比如说:有一组数据是:
82,76,76,66,66,57,他们的名次是一,二,二,四,四,六。
也就是说把相同的数据放在同一名次,但不影响实际名次。
乘法与除法互为逆运算,做除法可以转换成乘法处理。
比如,单元格A1、B1中有数据。
乘法
C1中编辑公式
=A1*B1
回车确认即可
除法
C1中编辑公式
=A1/B1
回车即可。
可以用粘贴函数PRODUCT()进行乘法与除法运算。
在C1中编辑公式
乘法运算
=PRODUCT(A1,B1)
或者
除法运算
=PRODUCT(A1,1/B1)
注意:
括号内的乘数之间用逗号分隔,乘数个数不得超过30个,也可以使用单元格区域引用。 用粘贴函数RANK()进行数据排位:
假如数据82,76,76,66,66,57在A列的A1:A6单元格区域,则可以在B1中编辑公式
=RANK(A1,$A$1:$A$6,0)
回车确认后向下复制公式到B6单元格即可。
乘除都需要用函数的,名次需要用筛选和排序.
回答者:zb811219 - 助理 二级 5-6 18:13
在你得小键盘上你可以看到带"*"和"/"的符号那分别是乘号和除号分别用他们进行乘除就可以了.当然用函数也可以函数符号可以在工具栏找到.排名可用排序做
回答者:517139707 - 试用期 一级 5-6 18:25
*就是乘号
/就是除号
排名要点中得名次的单元格,输入公式
=rank(参加排名的单元格,在那些数中排)
比如你说的82在A1,76在A2,以此类推……57在A6,求82的名次要放在B1里,76的名次放在B2里以此类推……57的名次放在B6里,首先点在B1,输入公式“ =rank(A1,$A$1:$A$6)”敲回车就可以求出A1单元格中82的名次了,再指向B1单元格右下方的填充柄拖动到B6就可以求出各数的名次了。
Excel单元格内怎么使用乘法
公式按特定顺序计算数值。Microsoft Excel 中的公式通常以等号 (=) 开始,表示之后的字
元为公式。紧随等号之后的是需要计算的元素 (运算体),各运算体之间以算术运算子分隔。Excel 根据公式中运算子的特定顺序,由左至右计算公式。
运算子优先顺序
若单一个公式中结合多个运算子,Microsoft Excel 会按照下表中显示的顺序来执行运算。如果公式里面的运算子有相同的前导参照 (例如,一个公式里面同时有乘法和除法运算子) Excel 会由左至右评估运算子。
运算子 叙述
: (冒号)
(一个空格)
, (逗号)
参照运算子
– 负 (如 -1 中)
% 百分比
^ 乘幂
* 和 / 乘和除
+ 和 – 加和减
& 连线二个文字字串 (连线)
= < > <= >= <> 比较
括号的使用
若要变更评估顺序,请用括号围住最先计算的公式部份。例如,下列的公式将得到 11 因为於加法前先计算乘。公式 先 2*3 然后与 5 相加来得到结果。
=5+2*3
与此相反。如果您使用括号改变语法,Excel 先将 5 加 2,再将结果乘以 3,得到结果 21。 =(5+2)*3
在下面范例中,公式第一部分中的括号表明 Excel 应首先计算 B4+25,然后再除以储存格 D5、E5 和 F5 中数值的和。
=(B4+25)/SUM(D5:F5)
除法函数篇四
《在excel里怎么做乘法和除法》
在excel里怎么做乘法和除法啊????问题:我学excel不久,对于加减法还是比较熟悉。乘除就弄不清了,有知道的,请告诉我好么??? 另外,我看过别人能用excel进行排名,比如说:有一组数据是: 82,76,76,66,66,57,他们的名次是一,二,二,四,四,六。 也就是说把相同的数据放在同一名次,但不影响实际名次。答:1、简单的乘法就是“*”,除法就是“/”,减法就是“-”。 在你得小键盘上你可以看到带"*"和"/"的符号那分别是乘号和除号分别用他们进行乘除就可以了.当然用函数也可以函数符号可以在工具栏找到.排名可用排序做 2、*就是乘号 /就是除号 排名要点中得名次的单元格,输入公式 =rank(参加排名的单元格,在那些数中排) 比如你说的82在A1,76在A2,以此类推……57在A6,求82的名次要放在B1里,76的名次放在B2里以此类推……57的名次放在B6里,首先点在B1,输入公式“ =rank(A1,$A$1:$A$6)”敲回车就可以求出A1单元格中82的名次了,再指向B1单元格右下方的填充柄拖动到B6就可以求出各数的名次了。 3、乘法与除法互为逆运算,做除法可以转换成乘法处理。 比如,单元格A1、B1中有数据。 乘法 C1中编辑公式 =A1*B1 回车确认即可 除法 C1中编辑公式 =A1/B1 回车即可。 可以用粘贴函数PRODUCT()进行乘法与除法运算。 在C1中编辑公式 乘法运算 =PRODUCT(A1,B1) 或者 除法运算 =PRODUCT(A1,1/B1) 注意: 括号内的乘数之间用逗号分隔,乘数个数不得超过30个,也可以使用单元格区域引用。 用粘贴函数RANK()进行数据排位: 假如数据82,76,76,66,66,57在A列的A1:A6单元格区域,则可以在B1中编辑公式 =RANK(A1,$A$1:$A$6,0) 回车确认后向下复制公式到B6单元格即可。
除法函数篇五
《怎样在word中把除法公式弄成上下结构的》
怎样在word中把除法公式弄成上下结构的?
操作步骤如下所述:
第1步,在菜单栏依次选择“插入”→“对象”菜单命令,在打开的“对象”对话框中,在“对象类型”列表中选中“Microsoft 公式 3.0”选项,并单击“确定”按钮。
第2步,打开公式编辑窗口,在“公式”工具栏中选择合适的数学符号(例如分式。在公式中输入具体数值。在公式编辑窗口中单击公式以外的空白区域,返回Word文档窗口,可以看到公式以图形的方式插入到了Word文档中。
除法函数篇六
《多项式的长除法》
除法函数篇七
《代码优化-之-优化除法》
<<代码优化-之-优化除法>>
tag:代码优化,除法,牛顿迭代,减法代替除法,除法优化
说明:文章中的很多数据可能在不同的CPU或不同的系统环境下有不同的结果,数据仅供参考
x86系列的CPU对于位运算、加、减等基本指令都能在1个CPU周期内完成(现在的CPU还能乱序执行,从而使指令的平均CPU周期更小);现在的CPU,做乘法也是很快的(需要几个CPU周期,每个周期可能启动一个新的乘指令(x87)),但作为基本指令的除法却超出很多人的预料,它是一条很慢的操作,整数和浮点的除法都慢;我测试的英特尔P5赛扬CPU浮点数的除法差不多是37个CPU周期,整数的除法是80个CPU周期,AMD2200+浮点数的除法差不多是21个CPU周期,整数的除法是40个CPU周期。(改变FPU运算精度对于除法无效) (SSE指令集的低路单精度数除法指令DIVPS 18个CPU周期,四路单精度数除法指令DIVSS 36个CPU周期) (x86求余运算和除法运算是用同一条CPU指令实现的; 据说,很多CPU的整数除法都是用数学协处理器的浮点除法器完成的;有一个推论就是,浮点除法和整数除法不能并行执行. (ps:intel的p4 imul指令可能有14周期(或15-18)的延迟才能得到结果)
本文将给出一些除法的优化方法或替代算法 (警告:某些替代算法并不能保证完全等价!)
1.尽量少用除法
比如: if (x/y>z) ...
改成: if ( ((y>0)&&(x>y*z))||((y<0)&&(x<y*z)) ) ...
(少用求余)
比如: ++index; if (index>=count) index=index %
count; //assert(index<count*2);
改成: ++index; if (index>=count) index=index - count;
2.用减法代替除法 如果知道被除数是除数的很小的倍数,那么可以用减法来代替除法
比如: uint32 x=200;
uint32 y=70;
uint32 z=x/y;
改成: uint z=0;
while (x>=y)
{
x-=y; ++z;
}
一个用减法和移位完成的除法 (如果你没有除法指令可用:)
uint32 div(uint64 u,uint32 z) //return u/z
{
uint32 x=(uint32)(u>>32);
uint32 y=(uint32)u;
//y保存商 x保存余数
for (int i=0;i<32;++i)
{
uint32 t=((int32)x) >> 31;
x=(x<<1)|(y>>31);
y=y<<1;
if ((x|t)>=z)
{
x-=z;
++y;
}
}
return y;
}
(该函数经过了测试;z==0需要自己处理;对于有符号除法,可以用取绝对值的方法(当然也不是轻松就能
写出完全等价的有符号除法的:); 如果不需s的64bit长度,仅需要32bit,那么可以化简这个函数,但改进不多)
3.用移位代替除法 (很多编译器能自动做好这个优化)
要求除数是2的次方的常量; (同理:对于某些应用,可以优先选取这样的数来做除数) 比如: uint32 x=213432575;
uint32 y=x/8;
改成: y=x>>3;
对于有符号的整数;
比如: int32 x=213432575;
int32 y=x/8;
改成: if (x>=0) y=x>>3;
else y=(x+(1<<3-1))>>3;
4.合并除法 (替代方法不等价,很多编译器都不会帮你做这种优化)
适用于不能用其它方法避免除法的时候;
比如: double x=a/b/c;
改成: double x=a/(b*c);
比如: double x=a/b+c/b;
改成: double x=(a+c)/b;
比如: double x=a/b;
double y=c/d;
double z=e/f;
改成: double tmp=1.0/(b*d*f);
double x=a*tmp*d*f;
double y=c*tmp*b*f;
double z=e*tmp*b*d;
5.把除法占用的时间充分利用起来
CPU在做除法的时候,可以不用等待该结果(也就是后面插入的指令不使用该除法结果),而插入多条简单整数
指令(不包含整数除法,而且结果不能是一个全局或外部变量等),把除法占用的时间节约出来;
(当除法不可避免的时候,这个方法很有用)
6.用查表的方法代替除法
(适用于除数和被除数的可能的取值范围较小的情况,否则空间消耗太大)
比如 uint8 x; uint8 y;
uint8 z=x/y;
改成 uint8 z=table[x][y]; //其中table是预先计算好的表,table[i][j]=i/j;
//对于除零的情况需要根据你的应用来处理
或者:uint8 z=table[x<<8+y]; //其中table[i]=(i>>8)/(i&(1<<8-1)); 比如 uint8 x;
uint8 z=x/17;
改成 uint8 z=table[x]; //其中table[i]=i/17;
7.用乘法代替除法
(替代方法不等价,很多编译器都不会帮你做这种优化)
比如: double x=y/21.3432575;
改成: double x=y*(1/21.3432575); //如果编译器不能优化掉(1/21.3432575),请预先计算出该结果
对于整数,可以使用与定点数相似的方法来处理倒数
(该替代方法不等价)
比如: uint32 x,y; x=y/213;
改成: x=y*((1<<16)/213) >> 16;
某些应用中y*((1<<16)/213)可能会超出值域,这时候可以考虑使用int64来扩大值域
uint32 x=((uint64)y)*((1<<31)/213) >> 31;
也可以使用浮点数来扩大值域
uint32 x=(uint32)(y*(1.0/213)); (警告: 浮点数强制类型转换到整数在很多高级语言里都是
一条很慢的操作,在下几篇文章中将给出其优化的方法)
对于这种方法,某些除法是有与之完全等价的优化方法的:
无符号数除以3: uint32 x,y; x=y/3;
推理: y y y (1<<33)+1 y x=y/3 => x=[-] => x=[- + ---------] => x=[--------- * -------] // []表示取整
3 3 3*(1<<33) 3 (1<<33) y 1
(可证明: 0 <= --------- < - )
3*(1<<33) 3
即: x=(uint64(y)*M)>>33; 其中魔法数
M=((1<<33)+1)/3=2863311531=0xAAAAAAAB;
无符号数除以5: uint32 x,y; x=y/5; (y<(1<<31))
推理: y y 3*y (1<<33)+3 y x=y/5 => x=[-] => x=[- + ---------] => x=[--------- * -------] 5 5 5*(1<<33) 5 (1<<33) 3*y 1
(可证明: 0 <= --------- < - )
5*(1<<33) 5 即: x=(uint64(y)*M)>>33; 其中魔法数
M=((1<<33)+3)/5=1717986919=0x66666667;
无符号数除以7: uint32 x,y; x=y/7;
推理 :略
即:x=((uint64(y)*M)>>33+y)>>3; 其中魔法数
M=((1<<35)+3)/7-(1<<32)=613566757=0x24924925;
对于这种完全等价的替代,还有其他替代公式不再讨论,对于有符号除法的替代算法没有讨论,很多数都有完全等价的替代算法,那些魔法数也是有规律可循的;有“进取心”的编译器应该帮助用户处理掉这个优化(vc6中就已经见到! 偷懒的办法是直接看vc6生成的汇编码:);
8.对于已知被除数是除数的整数倍数的除法,能够得到替代算法;或改进的算法; 这里只讨论除数是常数的情况;
比如对于(32位除法):x=y/a; //已知y是a的倍数,并假设a是奇数
(如果a是偶数,先转化为a=a0*(1<<k); y/a==(y/a0)>>k;a0为奇数) 求得a',使 (a'*a) % (1<<32) = 1;
那么: x=y/a => x=(y/a)*((a*a') %(1<<32)) => x=(y*a') %
(1<<32); //这里并不需要实际做一个求余指令
(该算法可以同时支持有符号和无符号除法)
比如 uint32 y;
uint32 x=y/7; //已知y是7的倍数
改成 uint32 x=(uint32)(y*M); //其中M=(5*(1<<32)+1)/7
9.近似计算除法 (该替代方法不等价)
优化除数255的运算(257也可以,或者1023,1025等等)(1026也可以,推导出的公式略有不同)
比如颜色处理中 : uint8 color=colorsum/255;
除法函数篇八
《乘法公式和除法》
乘法公式与整式除法
知识梳理
1.知识结构
2.知识要点
(1)要灵活运用公式进行计算,乘法公式是难点也是重点,计算时要注意观察每个因式的结构特点,经过适当调整后,使看来不能运用公式的式子可以运用公式,从而大大简化计算。
(2)整式除法主要是进行同底数幂相除,此时要注意运用运算性质,特别注意底数不为零这一条件。
3.中考预测
中考对有关整式的乘法公式和除法的考查,多以选择题和填空题、计算题、解答题出现,,比较强调基础知识和基本技能,解答题中多与整式、分式的化简求值联系起来,有一定的综合,要求同学们对于运算的法则性质要熟练掌握,特别是符号的确定等是易错处,更应注意,但对于计算的难度的考查成弱化趋势。复习中不必追求过于繁难的计算。
解题指导
例1:下列两个多项式相乘,哪些可用平方差公式,哪些不能?并写出能用平方差计算的计算结果.
(1)(4x3y)(4x3y) (2)(4x3y)(3y4x)
(3)(4x3y)(4x3y) (4)(4x3y)(4x3y)
(5)(4x3y)(4x3y) (6)(4x3y)(4x3y)
分析:认真观察式子的特点,通过符号的变化,看看能否转化为符合公式的形式。
解答:(1).(3).(4).(5)可以用平方差公式计算,(2).(6)不能用平方差公式计算.
(1)(4x3y)(4x3y)=16x9y
(3)(4x3y)(4x3y)=16x9y
(4)(4x3y)(4x3y)=16x9y 222222平方差公式 乘法公式完全平方公式 mababa2b2ab2a22abb2aaanmna0 (其中,m、n、p
为正整数) 同底数幂相除 a10a01apa整式除法 pa0 单项式除以单项式 多项式除以单项式
(5)(4x3y)(4x3y)=16x29y2
点评:根据平方差公式的结构特征,两个多项式相乘,只有当这两个多项式分成两部分之后它们的一部分完全相同,而另一部分是互为相反数,才能够运用平方差公式计算.并且在计算结果中,完全相同的部分的符号为正,互为相反数的部分的符号为负.
拓广:填空
(1)(3a2b)·( ) =9a4b
(2)(a1)(a1)( ) =(a
(3)若mn4,m222241) n24,则mn2解:(1)(3a2b);(2)(a1);(3)6
例2 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(ab).把余下的部分剪拼成一个矩形(如图).通过计算图形(阴影部
分)的面积,验证了一个等式,则这个等式
是( )
A.(ab)2a22abb2
B.a2b2(ab)(ab)
C.(ab)2a22abb2
D.a2aba(ab)
分析:解此题关键是要找到等量关系和变化前后的边长。
解答:第一个图阴影部分的面积为ab,第二个图中,长为(ab),宽为(ab),则面积为(ab)(ab),所以有a2b2(ab)(ab),故选A。
点评:本题体现了代数与几何的密切关系,运用几何知识来解决代数问题,这是近几年中考命题的趋势,多角度的展现一个知识的形成过程,体现了素质教育考查的要求。
拓广:
如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形,请利用
图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个 关于a、b
的恒等式 .
2解:(ab)4abab 222
例3 化简:(2xy)(2xy)(xy)22(2x2xy)
分析:根据运算顺序及整式乘法公式,认真计算注意符号。
解答:原式=4x2y2x22xyy24x22xy
=x24xy
点评:区分完全平方公式和平方差公式,注意去括号、及符号的变化。
拓广:(1)计算:(2x1)2(13x)2
(2)先化简,再求值:(a2)2(2a1)(a4),其中a2
解:(1)5x22x;(2)6
例4(1)n为正整数,若a9ana5,则n= ;
(2)下列各式中,正确的是( )
(A) aa0 (B)
(C) xx3423255abbaab43 x (D) (a3)3a4a2
分析:注意运用同底数幂的除法的运算性质:同底数幂相除,底数不变,指数相减 解答:(1)因为9n5,所以n4;
(2)对于A有:a5a51,
对于B有:abbaababab, 4343
对于C有:x3x2x12x6x6 43
对于D有:(a3)3a4a9a4a5
点评:中考对于幂的运算性质的考查,多以选择题和填空题出现,对于同底数幂的考查常常与其它幂的性质综合起来考查,因此要对幂的运算性质要熟练掌握和理解。 拓广:下列四个算式:(a)3(a2)2a7; (a3)2a6; (a)a334a; (a)(a)a中,正确的有 ( ) 2633
A、 0个 B、1个 C、 2个 D、 3个
解:选C
自我测试
基础验收题
一、选择题:
1.(ab)( )
A、 ab B、ab C、a2abb D、a2abb
2.下列多项式乘法中,不能利用平方差公式计算的是( )
A、2xyx2y B、3abc3abc 22222222222
C、3a2b2b3a D、mnnm
3.(x-y)与(y-x)的乘积是( )
A x2y B yx C xy D x2xyy 2222222
4.下列各式中,运算结果为12xy
2222xy的是( ) 222222224A.(1xy) B.(1xy) C.(1xy) D.(1xy)
5.若a2mab9b2是一个完全平方公式,则m的值为( )
A、6 B、6 C、18 D、18
二、填空题:
1.x24
25(x2
5)(________)
2. abab
3.(3ab)
4.2a3÷(—1
32a5.-34÷(-3)4.
三、解答题:
1.计算:205×195
2.计算:1yy21y1
3.计算:abab 22
4.计算:2x4n÷x2n· (0.24xn)
综合能力测试
一、选择题:
1.要使式子
A、
a14x2+19y2成为一个完全平方式,则加上( )。 B、16xy 13xy b C、13xy D、19xy 2.已知x3,x5,则x
A 27
253a2b( ) 35 B 9
10 C D 52
3.计算(13x)(3x1)9(
213x)(x13)的结果是( ) 22A.18x2 B.218x C.0 D.8x
4.要使等式(xy)M(xy)成立,代数式M应是( )
A.2xy B.4xy C.4ab D.2ab
5.有下列各运算: 22
①2a2b2a2b2a2b ②2a2b2a2b4a4b2 3242
③2a3b2c1
2ab32c ④1
5abc5abc2322b
125
其中计算正确的是 ( )
(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)②④
二、填空题:
111.计算:xyxy______________________
2222
2.计算:(a8÷a2·a3)23.已知x-y = 3,xy=2,则x+y= ,
1124.若x+=-2,则x+2 。 xx
5.若ab5,ab6,则a2b2
三、解答题:
1.化简后求值:
2a3b22a3b2a3b2a3b 2
其中:a2,b
213 222.解方程:4(x3)(2x1)(3x1)(13x)9x
3.下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如(a+b)(其中n为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b)展开式中所缺的系数.
4n
(a+b)=a+b
(a+b)=a+2ab+b
(a+b)=a+3ab +3ab+b
则(a+b)=a+__________ab+6ab+4ab+b
443223433223222
除法函数篇九
《全纯除法定理》
全纯除法定理
1预备引理
引理1(Skoda)
H0−−−→HT1
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