一元二次方程的根与系数的关系

导读：　一元二次方程的根与系数的关系(共5篇)一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图求代数式的值...

一元二次方程的根与系数的关系(一)
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图

求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程

方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根x1,x2，那么

x1x2

ba,x1x2

ca

说明：（1）定理成立的条件0 （2）注意公式重x1x2根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值

例 若x1,x2是方程x22x20070的两个根，试求下列各式的值：

22

(1) x1x2；

ba

的负号与b的符号的区别

(2)

1x1



1x2

；

(3) (x15)(x25)； (4) |x1x2|．

解：由题意，根据根与系数的关系得：x1x22,x1x22007

2222

(1) x1x2(x1x2)2x1x2(2)2(2007)4018

(2)

1x1



1x2



x1x2x1x2



22007



22007

(3) (x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972

(4) |x1x2|





说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x1x2(x1x2)2x1x2，

2

2

2

1x1



1x2



x1x2x1x2

22

，(x1x2)(x1x2)4x1x2，

|x1x2|

3

3

x1x22x12x2x1x2(x1x2)，

3

x1x2(x1x2)3x1x2(x1x2)等等．韦达定理体现了整体思想．

【课堂练习】

1．设x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1＋x2的值为_________

2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ， （x1－x2）＝

1

3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为，则k= ;

24．若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;

5．若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;

6． 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： 11

(1)x12x2+x1x22－x1x2

7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

1x1

2

2

2

2

2

2

2

2

2



1x2

2

（2）构造新方程

理论：以两个数例 解方程组 x+y=5

为根的一元二次方程是。

xy=6

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围

例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为由题意知

△＝k-4×2×2≥0，k≥4或k≤

-4

2

的两根，则c=2

∴

【典型例题】

为所求。

例1 已知关于x的方程x(k1)x

2

14

k10，根据下列条件，分别求出k的值．

2

(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根x1,x2满足|x1|x2．

分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x1x20，二是x1x2，所以要分类讨论．

解：(1) ∵方程两实根的积为5

122

[(k1)]4(k1)034∴ k,k4

2xx1k215

124

所以，当k4时，方程两实根的积为5． (2) 由|x1|x2得知：

①当x10时，x1x2，所以方程有两相等实数根，故0k

32

；

②当x10时，x1x2x1x20k10k1，由于 0k

32

，故k1不合题意，舍去．

综上可得，k

32

时，方程的两实根x1,x2满足|x1|x2．

说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．

例2 已知x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根．

(1) 是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)

32

成立？若存在，求出k的值；

若不存在，请您说明理由．

(2) 求使

x1x2

x2x1

2的值为整数的实数k的整数值．

32

解：(1) 假设存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)

成立．

∵ 一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根 4k0

k0， ∴ 2

(4k)44k(k1)16k0

又x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根

x1x21

∴ k1

x1x2

4k

222

∴ (2x1x2)(x12x2)2(x1x2)5x1x22(x1x2)9x1x2



k94k32

k

9

，但k0． 5【一元二次方程的根与系数的关系】

32

2

∴不存在实数k，使(2x1x2)(x12x2) (2) ∵

x1x2

x2x1

2

x1x2

x1x2【一元二次方程的根与系数的关系】

2

2

成立．

4kk1

4k1

2

(x1x2)x1x2

44

∴ 要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k11,2,4，注意到k0，

x1x2

x2x1

要使2的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．

说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明

存在，否则即不存在．

(2) 本题综合性较强，要学会对

4k1

为整数的分析方法．

一元二次方程根与系数的关系练习题

A 组

1．一元二次方程(1k)x22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

A．k2

B．k2,且k1

C．k2

1x112

)

D．k2,且k1

2．若x1,x2是方程2x26x30的两个根，则



1x2

的值为( )

92

A．2 B．2 C． D．

3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2(2m1)xm230的根，则m等于( )

A．3

B．5

C．5或3

D．5或3

4．若t是一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根，则判别式b24ac和完全平方式M(2atb)2的关系是(

A．M

)

C．M

D．大小关系不能确定

b1a1

a1b1

B．M

5．若实数ab，且a,b满足a28a50,b28b50，则代数式值为(

)

2

的

A．20 B．2 C．2或20 D．2或20

6．如果方程(bc)x(ca)x(ab)0的两根相等，则a,b,c之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x8x70的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．

8．若方程2x(k1)xk30的两根之差为1，则k的值是 _____ ．

22

9．设x1,x2是方程xpxq0的两实根，x11,x21是关于x的方程xqxp0

2

2

的两实根，则p= _____ ，q= _____ ．

10．已知实数a,b,c满足a6b,cab9，则a= _____ ，b= _____ ，c= _____ ． 11．对于二次三项式x10x36，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

2

2

一元二次方程的根与系数的关系(二)
一元二次方程根与系数的关系

12.4 一元二次方程的根与系数的关系

中考考点

1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。

2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。

3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。

考点讲解

1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-

2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0

(a≠0)。

3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。

4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：

（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。

（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。

（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。

[∵x1+x2

=，x1·x2

=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2

=()2-2×=] ，x1·x2

=。

（4）验根、求根、确定根的符号。

（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。

（6）已知两数和与积，求这两个数。

（7）解特殊的方程或方程组。

考题评析

1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（ ）

（A）3，2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （D）-3，2

考点：一元二次方程的根与系数关系。

评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2,满足x1+x2【一元二次方程的根与系数的关系】

=

答案为B。

，x1x2

=可直接计算，

2．(杭州市)

若

是方程

的两个根，则

（D）

的值为（ ） （A）–7 （B）1 （C

）

答案：A

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：由韦达定理知

3

．（辽宁省）下列方程中，两根分别为

（A

）

答案：B

考点：一元二次方程 根与系数的关系

（B），，先求出x1+x2，x1·x2的值，然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将x1+x2，x1·x2的值代入即可。 的是（ ） （C

） （D

）

评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x1·x2=q，即可确定正确答案为B。

4．（辽宁省）已知α，β

是方程

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2，a·b= -5。而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a·b，原式值为0。

答案：0

5．（河南省）关于x

的方程，是否存在负数k，使方程的两个的两个实数根，则的值为。 实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2.由根与系数关系，得 x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.

又∵

，=4，

∴=4.

∴4k2-5k-9=0.

解这个方程，得k1=-1，k2

=

△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2)

=(-4)2-4(1-2)=20>0.

所以存在满足条件的负数k，k=-1.

考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。

评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△>0。

6．（福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（ ）.

（A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0

答案：B

考点：一元二次方程根与系数关系。

（不合题意，舍去）. 当k=-1时，原方程的判别式

评析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：

直接计算即得答案。

7．（广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m=

考点：一元二次方程的根与系数关系

评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。

答案：1

8．（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0

的两个根，且

=2，则m=

考点：一元二次方程根与系数关系

评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2

与系数的关系，得x1+x2=2 x1x2=

ｍ，求

答案：1

的值，代入已知的等式求出ｍ。

9．（河北省）在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x

的方程的两根，那么AB边上的中线长是（ ）

（A）

（B

） （C）5 （D）2

考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系

评析思路：因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故选B。

10．（北京市海淀区）已知：关于x

的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x

的方程

②有实数根且k

为正整数，求代数式的值。

考点：根的判别式，根与系数的关系。

评析：先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据Δ的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。

答案：0

说明学生往往忽略k=1的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑Δ的范围。

11.（河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,

则 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

考点：一元二次方程根与系数的关系 +的值是( )

评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x1+x2, x1·x2的值，然后将求的代数式

变形为

，最后将x1+x2

=-，x1·x2=-代入即可，故选C。

12．（哈尔滨市）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长.

考点：Rt△三边关系，等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系

评析：

（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt△三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=(AB+AC)2－2AB·AC可实现。

答案： k=2或k= -5

注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。

（2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。

答案：14或16.

注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。

13．（安徽）已知方程x2

+(1-

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2、x1·x2的值然后将x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2变为以上形式，再将x1+x2

=

解：由根与系数关系，

x1+x2

=-1+, x1x2

=-, -1，x1·x2=-代入即可。 )x-=0的两根为x1、x2，求x+x的值。

∴

x

+x=(x1+x2)2-2x1x2

一元二次方程的根与系数的关系(三)
一元二次方程根与系数的关系导学案

一元二次方程根与系数的关系导学案

教者：姚亚琼

学习目标：

1．理解并掌握根与系数关系：x1x2

cb

，x1x2； aa

2．会用一元二次方程根与系数关系解决相关问题. 学习重点：一元二次方程根与系数关系

学习难点：一元二次方程根与系数关系及其灵活运用 教法：通过引导学生观察分析、猜想证明得出结论。 一、自主学习

阅读教材P40 — 42 ,完成课前预习

(1)一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式：

二、合作探究

探究1

②x+px+q=0的两根

探究2

问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；

x1x2

,

用式子表示你发现的规律。

问题：上面发现的结论在这里成立吗？

请完善规律；①用语言叙述发现的规律；

② ax+bx+c=0的两根

3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）

ax+bx+c=0的两根x1= ,x2 =

2

2

x1x2

,

用式子表示你发现的规律。

x1x2= x1.x2=

（教师点拨）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式 ；② 二次项系数 ，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系

三、跟踪训练

1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：

22x3x102x3x50 （3）1x22x0 （1） （2）

3

2、已知一元二次方程x2-2ax+a2-2a+2=0的两个实数根x1、x2，满足x12+x22=2，则a的值为（ ）

A.1，-3 B.-1，3 C.0，1 D.2，-3 3、若x1，x2是一元二次方程x2-7x+5=0的两根，则

11

的值x1x2

是 。 四、拓展延伸

1、已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两根为x1，x2求下列代数式的值。

（1）x12x22

（2）

11 x1x2

（3）

11 （4）(x11)(x21) x12x22

2、已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值。

五、课堂小结：（本节课的收获是什么？）

六、教后反思

一元二次方程的根与系数的关系(四)
一元二次方程根与系数关系中考强化练习题

一元二次方程根与系数关系中考强化练习题

（时间：90分钟） 姓名：_________

一、填空：

1、 如果一元二次方程axbxc=0(a0)的两根为x1，x2，那么x1+x2 2

x1x2.

2、如果方程x2pxq0的两根为x1，x2，那么x1+x2，x1x2.

3、方程2x3x10的两根为x1，x2，那么x1+x2x1x24、如果一元二次方程xmxn0的两根互为相反数，那么m；如果两根互为倒数，那么n= .

5方程x2mx(n1)0的两个根是2和－4，那么mn.

6、以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.

7、以1，1为根的一元二次方程是.

8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为.

9、以3222和32为根的一元二次方程是 .

10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为11、已知方程2x3x40的两根为x1，x2，那么x1x212、若方程x6xm0的一个根是32，则另一根是m的值是.

13、若方程x(k1)xk10的两根互为相反数，则k，若两根互为倒数，则k= .

14、如果是关于x的方程xmxn0的根是范围内可分解为 .

二、已知方程x3x20的两根为x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值: 22222222和，那么x2mxn在实数

1

１、x1+x22、2211； x1x2

3、(x1x2)2；4、(x11)(x21).

三、选择题：

1、关于x的方程2x28xp＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（ ）

（A）0 （B）正数 （C）－8 （D）－4

2、已知方程x22x1=0的两根是x22

1，x2，那么x1x2x1x21（ ）

(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3

3、已知方程2x2x30的两根为x1

1，x1

2，那么x=（ ）

1x2

(A )－1

3 (B) 1

3 (C )3 (D) －3

4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）

（A）x22x30 （B） x22x30

（C）x22x30 （D）x22x30

5、若方程4x2(a23a10)x4a0的两根互为相反数，则a的值是（

(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或2

6、若方程2x23x40的两根是x1，x2，那么(x11)(x21)的值是（

(A )－1

2 (B) －6 (C ) 1

2 (D) －5

2

7、分别以方程x22x1=0两根的平方为根的方程是（ ）

（A）y26y10 （B） y26y10

（C）y26y10 （D）y26y10

四、解答题:

1、若关于x的方程5x223xm0的一个根是－5，求另一个根及m的值.

2 ） ）

2、关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m的值.

3、 若关于x的方程x2(m2)xm30两根的平方和是9. 求m的值.

4、已知方程x3xm0的两根之差的平方是7，求m的值.

5、已知方程x(m4m5)xm0的两根互为相反数，求m的值.

3 222

7、关于x的方程3x2(4m21)xm(m2)0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.

7、已知方程x2x3m=0，若两根之差为－4，求m的值.

8、已知关于x的方程x2mx2212n0，其中m,n分别是一个等腰三角形的腰和底4

的长，求证这个方程有两个不相等的实数根.

4

一元二次方程的根与系数的关系(五)
一元二次方程根与系数的关系教案

一 编号：42

元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关

系

教者：董风占

学号：20112559

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