三角形的高,中线与角平分线

导读：　三角形的高,中线与角平分线(共4篇)...

三角形的高,中线与角平分线(一)
三角形的高中线与角平分线练习

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线

7.1.3 三角形的稳定性

基础过关作业

1．以下说法错误的是（ ）

A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点

2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图1，BD=

1

BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．

2

(1) (2) (3)

4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC•的三条高分别为线段________． 5．下列图形中具有稳定性的是（ ）

A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形

6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD•与△ACD的周长之差．

7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．•可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？

综合创新作业 8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．

9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．

10．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．

11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）

A．150° B．130° C．120° D．100°

培优作业

12．（探究题）（1）如图7-1-2-9，AD是△ABC的角平分线，

DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：DO是△DEF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

（2）若将结论与AD是△ABC的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，•所得命题正确吗？

13．（开放题）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？

14．（趣味题）《三国演义》中有关木牛流马的叙述：

“孔明即手书一纸，付众观看，众将环绕而视．造木牛之法云：‘方腹曲头，一脚四足；头入领中，舌着于腹．载多而行少，独行者数十里，群行者二十里．曲者为牛头，双者为牛脚，横者为牛领，转者为牛足，覆者为牛背，方者为牛腹，垂者为牛舌，曲者为牛肋，刻者为牛齿，立者为牛角，细者为牛鞅，摄者为牛轴．牛仰双辕，人行六尺，牛行四步．’每牛载十人所食一月之粮，人不大劳，牛不饮食．” 你知道木牛流马中运用了什么数学知识吗？

数学世界

探险家的“难极”

有一个探险家，挖空心思想出一个“难极”来． 什么是探险家的“难极”呢？

一般情况下，如果从某地出发，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走100公里，这时，终止地总要在出发地正东100公里处．

而若从某地出发，先往北走100公里，再往东走100公里，然后往南走100•公里，能正好回到原来的出发地．这个出发地被探险家称其为“难极”． 你知道探险家的“难极”在哪里吗？

答案:

1．A 点拨：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，•直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高在三角形外部交于一点． 2．B 3．AD；△ACD 4．BD，CE，OF 5．C 6．解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD，

∴△ABD与△ACD的周长之差为：【三角形的高,中线与角平分线】

（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC=5-3=2（cm）．

7．解：∵∠BAD=∠CAD，∴AD是△ABC的角平分线，DE是△BEC的角平分线． ∵AD⊥BC，垂足为点D，∴AD是△ABC的高，DE是△BEC的高． ∵BD=CD，∴AD是△ABC的中线，DE是△BEC的中线． 点拨：本题是考查三角形的角平分线、中线和高的概念． 8．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x． （1）AB+AD=15，BC+CD=6时， 有2x+x=15，解得x=5． ∴2x=10，BC=6-5=1．

（2）当BC+CD=15，AB+AD=6时， 有2x+x=6，解得x=2． ∴2x=4，BC=15-2=13．

∵4+4>13，∴此时构不成三角形．

∴这个等腰三角形的腰长及底边长分别为10，1．

点拨：要注意检验结果是否满足三角形三边关系定理．

9．解：方案1：如答图1，在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．

(1) (2) (3)

方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF． 方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．同学们，你还有别的方法吗？试试看． 点拨：三角形面积计算公式为

1

×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的2

四个三角形．

10．解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，

三角形的高,中线与角平分线(二)
三角形的高、中线和角平分线教案

（设计说明：通过对已学知识的回忆来巩固基础知识的运用，并借此引入新课．） 问题1：数一数，图中共有多少个三角形?请将它们全部用符号表示出来．

问题1：你能画出下列三角形的所有的高吗?

学生画出三角形所有的高，观察这些高的特点．

问题2：根据画高的过程说明什么叫三角形的高?

学生讨论回答，师完善并归纳：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，连接顶点和垂足之间的线段称为三角形的高．

问题3：在这些三角形中你能画出几条高?它们有什么相同点和不同点? 学生回答：每个三角形都能画出三条高．

相同点是：三角形的三条高交于同一点．

不同点是：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三

角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点．

问题4：如图所示，如果AD是△ABC的高，你能得到哪些结论?

学生回答：如果AD是△ABC的高，则有：

AD⊥BC于D，∠ADB=∠ADC=90°．

（教学说明：三角形的高的概念在书中并没有具体给出，所以学生在归纳定义的时候会有一定的困难．那么在授课时就要留给学生充足的时间进行思考和讨论，教师可以引导学生先利用具体图形进行定义，再由具体图形中抽出准确、简明的语言，同时要强调：三角形的高是一条线段．在问题3中，有些学生会认为直角三角形只能画出斜边上的一条高，这时教师要给予讲解，说明另外两条直角边也是这个直角三角形的高．而问题4是要将三角形的高用符号语言表示出来，这是为以后学习证明打基础．）

2．类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线

学生回答：无论哪种三角形，它们都有三条中线，并且这三条中线都会交于一点，这一点都在三角形的内部．

问题4：如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的

中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?

学生回答：△ABD和△ACD的面积相等．理由：

∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD

∵AE既是△ABD的高，也是△ACD的高

∴△ABD和△ACD的面积相等．

问题5：通过问题4你能发现什么规律?

学生回答：三角形的中线将三角形的面积平均分成两份．

（教学说明：让学生利用对三角形的高的探究过程，利用类比的方法进行对三角形的中线的探究．“类比思想”是数学学习中常用的一种思想，所以在授课过程中要让学生体会运用这种思想进行探究的好处，培养自主探究的能力．问题4和问题5的设立是对三角形中线的知识进行扩展，并不是教科书中的内容，但能够使学生更深刻地体会三角形中线的特点，同时，根据课堂时间的需要，对于这两个问题的讲授，教师可以自行调节．）

3．通过类比的方法探究三角形的角平分线

三角形的高,中线与角平分线(三)
三角形的高、中线与角平分线 练习[答案]

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线、三角形的稳定性【三角形的高,中线与角平分线】

（检测时间50分钟 满分100分） 班级________ 姓名_________ 得分______

一、选择题：(每小题3分,共18分)

1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )

A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一

A

A

DCB'B

C

(1) (2) (3)

2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( ) A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE

2

3.如图3所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC=4cm,则S阴影等于( ) A.2cm2 B.1cm2 C.

121cm D.cm2 24

4.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为( )

A.AH<AE<AD B.AH<AD<AE C.AH≤AD≤AE D.AH≤AE≤AD

5.在△ABC中,D是BC上的点,且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24 6.不是利用三角形稳定性的是( )

A.自行车的三角形车架 B.三角形房架

C.照相机的三角架 D.矩形门框的斜拉条 二、填空题:(每小题3分,共12分)

1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.

2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.

3.在△ABC中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE的度数为_________.

4.三角形的三条中线交于一点,这一点在_______, 三角形的三条角平分线交于一点,这一点在__________,三角形的三条高线所在直线交于一点,这一点在_____.

三、基础训练:(每小题15分,共30分)

1.如图所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分线,求∠AEC的度数.

A

C

2.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.

四、提高训练:(共15分)

在△ABC中,∠A=50°,高BE,CF所在的直线交于点O,求∠BOC的度数.

五、探索发现:(共20分)

如图5所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数为s.按此规律推断s与n有什么关系,并求出当n=13时,s的值

.

n=2,s=3

n=3,s=6【三角形的高,中线与角平分线】

n=4,s=9

六、中考题与竞赛题:(共5分)

(2000.杭州)AD,AE分别是等边三角形ABC的高和中线,则AD 与AE 的大小关系为____.

答案:

一、1.D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 二、1.135 2.3条或7条 3.20°

4.三角形内部 三角形内部 三角形内部、 边上或外部 三、1.∠AEC=45° 2.AD=13cm 四、∠BOC=50°或130°

五、s=3n-3,当n=13时,s=36. 六、AD=AE.

三角形的高,中线与角平分线(四)
三角形的高、中线与角平分线练习题及答案

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线

1．以下说法错误的是（ ）

A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图1，BD=

1

BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．

2

(1) (2) (3)

4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC•的三条高分别为线段________． 5．下列图形中具有稳定性的是（ ）

A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形

6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD•与△ACD的周长之差．

7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．•可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？

综合创新作业

8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．

9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．

10．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．

11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）

A．150° B．130° C．120° D．100°

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