向量的坐标表示数量积

导读：　向量的坐标表示数量积(共5篇)...

本文是中国招生考试网（www.chinazhaokao.com）成考报名频道为大家整理的《向量的坐标表示数量积》，供大家学习参考。

向量的坐标表示数量积(一)
平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示（1课时）

编写：王大毛 审核：数学组 时间2011

寄语：困境只会让强者更强大

一.教学目标： 1.知识与技能

（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 2.过程与方法

通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点

重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 三.学法与教学用具

学法：(1)自主性学习法+探究式学习法

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】

[展示投影]引入：

请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？

1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i•i = 1，j•j = 1，i•j = j•i = 0.

∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j

22

∴a•b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i + x1y1i•j + x2y1i•j + y1y2j = x1x2 + y1y2

从而获得公式：a•b = x1x2 + y1y2 2.长度、角度、垂直的坐标表示

①a = (x, y)  |a|= x+ y

2

2

2

22

 |a| =xy

22

②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则AB=(x1x2)(y1y2)



③cos =

ab



|a||b|

x1x2y1y2x1y1

2

2

x2y2

22

④∵ab  a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示） 【巩固深化，发展思维】

1.设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求a•b

2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形. 3.教材P114练习1、2题.

4.已知a = (3, 1)，b = (1, 2)，求满足x•a = 9与x•b = 4的向量x. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1. 教材P113例1. 例2. 教材P113例2. [展示投影]思考： 1.什么是方向向量？

2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例3. 教材P114例3. 【巩固深化，发展思维】

教材P115习题A第1、2、3、4、5、6题. [学习小结]

①a = (x, y)  |a|= x+ y

2

2

2

22

 |a| =xy

22

②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则|AB|=(x1x2)(y1y2)



③cos =

ab



|a||b|

x1x2y1y2x1y1

2

2

x2y2

22

④∵ab  a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0 五、评价设计

1．作业：习题2.6 B组第1,2,3，4题． 2．（备选题）：

① 如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90， 求点B和向量的坐标。

解：设B点坐标(x, y)，则OB= (x, y)，AB = (x5, y2)









22

∵OBAB ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x + y 5x  2y = 0

2222

又∵|OB| = |AB| ∴x + y = (x5) + (y2)即：10x + 4y = 29



73

xxxy5x2y02212或 由

3710x4y29y1y2

22

2

2

37733773

∴B点坐标(,)或(,)；AB=(,)或(,)

22222222

②在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值。

解：当A = 90时，AB•AC= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =







3

2

当B = 90时，AB•BC= 0，BC=ACAB= (12, k3) = (1, k3) 

∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =

11

3





当C = 90时，AC•BC= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =

32

六、课后反思：

向量的坐标表示数量积(二)
向量的数量积的坐标表示

8.2（3）向量的数量积的坐标表示

一、教学目标设计

理解和掌握向量数量积的坐标表示；会根据坐标求两个向量的夹

角；能把向量垂直关系转化为坐标关系，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件.通过学习，体会坐标化的过程和意义，发展数学思维能力. 二、教学重点及难点

向量数量积的坐标表示、垂直向量的坐标关系、利用坐标求两个向量的夹角.

数形结合思想方法在解题中的运用.

教学用具准备

三角板，直尺(作图用,也可用多媒体作图). 四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、 复习回顾

引入问题 已知、是基本单位向量,则 （1） 的坐标是________，的坐标是________. （2） ________；________.

（3）若x,0，0,y，则与的位置关系是________，所以________.

[说明]本题要求学生写出基本单位向量的坐标,并根据它们的位置关系,计算与的数量积.问题设计的目的,一是复习巩固向量的数量积和向量的坐标表示,二是加深学生对向量坐标的意义的理解,为进一步探究两个向量的数量积与它们坐标之间的关系作好准备.【向量的坐标表示数量积】

二、学习新课

1.探究与、之间的关系 已知两个向量a(x1,y1)，



b(x2,y2),试用a和b的坐标表示

ab





由向量坐标的意义可知:ax1iy1j，b

x2iy2j

根据数量积运算性质,得

22

ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2ix1y2ijx2y1ijy1y2j

又ii1，jj1，ijji0



所以abx1x2y1y2



这就是说：即 例



abx1x2y1y2



1 已知1,2，b2,2，求ab



解：ab122(2)2.

[说明]通过此例熟悉公式.

[问题延伸]可否在上述条件下求出与b的夹角呢?（课本p68例7） [说明]当向量的坐标给出后,向量的方向就惟一确定了(除零向量),那么它们的夹角也就确定了,所以我们能够求出夹角.我们可以联想到上节课利用向量的数量积求两个向量夹角的方法,当我们根据坐标计算出两个向量的数量积时,意味着只要能根据坐标求出向量的模,问题就迎刃而解了. 解

:

,

22.

cos



,因为0， 10

所以10

[说明]注意两个向量夹角的取值范围. 2.两个向量的夹角公式

显然,对于任意两个非零向量，我们都可以根据它们的坐标求得它们的夹角.

一般地,设两个非零向量x1,y1,x2,y2的夹角为,

则

cos



x1x2y1y2xy

21

21

xy

2222

[说明]把向量的度量计算转化为坐标计算，这不仅揭示了向量身兼几何与代数双重身份的本质,又深刻体现了几何代数化的数学思想,这也是引入向量处理几何问题的根本所在. 3.两个向量垂直的充要条件的坐标表示

根据我们上节课学习的两个向量垂直的充要条件和上述坐标化的夹角公式，我们不难得到两个向量垂直的充要条件的坐标表示. 已知ax1,y1，bx2,y2，那么的充要条件是x1x2y1y20. [说明]把之前学习的两个向量垂直的充要条件坐标化，渗透着数形结合的思想.简洁的形式,使之成为判断两个向量垂直最常用的方法. 4. 应用与深化

例2 已知3,4，2,5，3,2，求：

（1）()；（2）() （课本p67例5）

解：（1）(3)24514，

()143,242,28.

（2）235(2)4，

()3,4412,16.

[说明]①此例可以帮助学生进一步熟悉两个向量数量积的坐标运算，让学生体会数量积和实数与向量乘积的坐标运算结果的区别;②引导学生观察思考,得出结论:在一般情况下, ()(). 例3 在ABC中,已知A、B、C三点的坐标分别为2,2、2,3、

3,7，求证：ABC是直角三角形. （课本p68例6）

解：因为4,5，5,4，45540 所以，即ABC是直角三角形.

[说明] 此题根据三角形的三个顶点坐标,通过坐标运算,将坐标关系转化为位置关系.本题解法多样,可用两个向量垂直的充要条件、勾股定理或解析几何相关知识解答.在教学中可充分调动学生的积极性,引导学生得出多种解法,在此基础上,启发学生比较各种解法的优劣,体会应用代数方法进行几何证明的优越性.

[问题变式]以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，

向量的坐标表示数量积(三)
平面向量数量积的坐标表示

向量的坐标表示数量积(四)
平面向量数量积的坐标表示

6平面向量数量积的坐标表示

【课程标准】：

掌握数量积的坐标表达式，会求两个向量夹角的余弦值及应用 一、教材分析：

向量是数学中最重要的概念之一；向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”；数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便；有助于理解和掌握 数形结合的思想方法；为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。 二、学情分析：

知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程； 思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱.

三、三维目标：

⒈知识目标：

(1)掌握数量积和模的坐标；

(2)掌握两向量垂直的等价条件及其夹角公式坐标表示． ⒉能力目标：

(1)领悟数形结合的思想方法；

(2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力． ⒊情感目标：通过平面平面向量数量积的坐标表示，进一步加 深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养 学生的运算能力，加深学生对数学学习的习惯． 四、教学的重点、难点：

重点：平面向量数量积坐标表示． 难点：平面向量数量积坐标表示的应用． 五、教学方法：

运用“导学探究式” 教学方法；本节课实行，自主探索、民

主开放、合作交流、师生对话、以学生为主体，以教师为主导的新课改教学理念. 六、学法指导：

根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力. 七、课时安排：1课时 八、教具准备：直尺、圆规 九、教学过程分析：

向量的坐标表示数量积(五)
面向量数量积的坐标表示1

面向量数量积的坐标表示

学习内容

1．两个向量数量积的坐标表示： 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2 2．向量的模：

若a=（x，y），则|a|2=a·a=x2+y2，∴|a|= 3．两点间的距离公式： 设A（x1，y1）、B（x2，y2）则 4．两向量垂直的坐标条件：

设两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥bx1x2+y1y2=0 5．设A、B、C是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A（x1，y2），B（x2，y2），C（x3，y3），则

⊥

（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0

=（x2-x1，y2-y1），∴|

|=

学习重点

1．向量有坐标表示，向量的数量积也有坐标表示，即为：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2于是与a·b=|a|·|b|cosθ（θ是a，b的夹角）相对照，a，b夹角θ的余弦也可以用坐标表示:

cosθ=

，这样求两个向量（已知坐标）间的夹角就十分方便了．

2．两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要条件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0．它为我们证明几何中的垂直问题提供了强有力的工具．

3．两向量a，b共线的充要条件是存在λ∈R，使a=λb．这里应用向量的坐标表示可以得到a，b共线的充要条件是：|x1x2+y1y2|=

学习难点：利用向量的数量积解决具体问题。 内容讲解：

上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。 我们给出两个非零向量

（用坐标给出），我们知道坐标是与

从原点出发的向量一一对应。如图不妨设：

则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为

则有

，

，

∵

∴

则

是互相垂直的单位向量，

，

，

也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即

若

则

∵

∴【向量的坐标表示数量积】

∴

，

，

， ，

上图中A(x1,y1),B(x2,y2), 则

则

。

这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。 上图中若设∠AOB=α， 则

，

即

。

由此可得到两个向量的夹角。特别地，当α=90°时，cosα=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知：

垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。

这个充要条件在今后解决问题中十分重要。 下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。 例题分析 第一阶梯

例1. 判断题

1．若A，B，C是坐标平面上不同的三点，则AB⊥BC的充要条件是 2．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|

+

|=

·=0（ × ） （ × ）

3．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夹角为θ，则sinθ=（ × ）

例2．已知M（a，0），N（0，b）则| A．|a|+|b| B．

|等于（ C ）

C． D．

例3. 已知a=（2m-1，2+m），若|a|≤，则m的取值范围为（ B ）

A．（-1，1） B．〔-1，1〕 C．〔

，

〕 D．（-∞，-1）∪〔1，+∞〕

·|=

，

·

例4. 已知A（1，3），B（2，4），C（5，6），则 例5. 已知A（1+ a2，0），B（0，1- a2），则|第二阶梯

例1．在下列各命题中为真命题的是 ①若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b= x1y1+ x2y2 ②若A=（x1，y1）、B=（x2，y2）， 则|

|=

③若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=0x1x2+y1y2=0 ④若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a⊥bx1x2+y1y2=0 A．①② B． ②③ C．③④ D． ①④

解：根据向量数量积的坐标表示：若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则a·b=x1x2+ y1y2，对照命题（1）的结论可知，它是一个假命题． 于是对照选择项的结论．可以排除（A）与（D），而在（B）与（C）中均含有（3）．故不必对（3）进行判定，它一定是正确的．对命题（2）而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题．这样就可以排除（C），∴应选择（B）． 反思回顾：对于命题（3）而言，由于a·b=0a=0或b=0或a⊥bx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题．而对于命题（4）来讲，a⊥b x1x2+y1y2=0．但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2推不出a⊥b，所以命题（4）是个假命题． 例2．已知a=（2，1），b=（-1，3），若存在向量c使得：a·c=4，b·c=-9．试求向量c的坐标．

分析：这里应利用方程思想进行求解，我们可根向量数量积的坐标表示建立向量c的纵

横坐标的二元一次方程组，解该方程组即可求得C的坐标． 解：设c=（x， y），则由a·c=4可得： 2x+y=4；又由b·c=-9可得：-x+3y=-9

于是有：2x+y=4 （1） -x+3y=-9 （2）

由（1）+2（2）得7y=-14．∴y=-2，将它代入（1）可得：x=3 ∴c =（3，-2）．

反思回顾：已知两向量a，b可以求出它们的数量积a·b，但是反过来，若已知向量a及数量积a·b，却不能确定b．需要象本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的数量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量． 例3. 已知A、B、C、D

是坐标平面上不共线的四点，则

=

·

=0的（ ）

与

共线是

·

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

分析：这里要选出正确结论，需要判定下列两个命题，（1

）若与

·【向量的坐标表示数量积】

=

·

；（2）若

·

=

·

=0，则

与

与

共线，则

共线．对上述两个命题

的真假情况判断清楚了，本例也就解决了． 解：由以

·

与=0与

⊥

共线可知：四边形的边·及

与

互相平行，但未必有

·

⊥=

．所·

=0不能成立．即命题（1）不真；但是反过来，由⊥

，所以

//

，即

与

=0，可知：共线，故命题（2）是

真命题，从而应选择（B）．

反思回顾：（1）对于四边形ABCD而言，若

与

共线，同时，

与

也共线，

则该四边形为平行四边行，若这里的两个共线条件改成一个共线，而另一个不共线，则该四边形是梯形．（2）若在四边形ABCD中，有

·

=

·

=0，则该四边形，或者是直

角梯形，或者是矩形 第三阶梯

例1. 设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值．

分析：这里我们应引进向量的坐标表示，这样所求的值及各条件都可用引进的坐标表示，再通过代数运算可求出|3a+b|的值． 解：设a=（x1，y1）、b=（x2，y2） ∵ |a|=|b|=1

∴x21+ y21=1， x22+ y22=1

3a-2b=3（x1，y1）-2（x2，y2） =（3x1-2x2，3y1-2y2）

∵|3a-2b|=

∴9 x21-12 x1x2+4 x22+9 y21-12 y1y2+4 y22=9 ∴13-12（x1x2+ y1y2）=9

∴x1x2+ y1y2=

∵ 3a+b=3（x1，y1）+（x2，y2）=（3x1+x2，3y1+y2） ∴|3a+b|= =

=

反思回顾：（1）如果我们在上述解题过程，根据|a|=|b|=1，设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则上述运算过程可得到简化． （2）利用本例的解法可解决下面的一般性问题：若向量a、b满足|a|=|b|=r1，及|λ1a+u1b|= r2，求|λ2a+u2b|的值． 例2．在□ABCD中，已知A（m1，n1）， B（m2，n2）， C（m3，n3），试求 分析：要求

与

·

的值．

与

的数量积，可利用数量积的坐标表示．因此需要用坐标表示

，由于条件中已知□ABCD三顶点A、B、C的坐标，利用中点公式求出另一顶点D的坐标，这样我们就可以得到

与

的坐标表示，进一步可求得

·

的值．

解：∵ 在□ABCD中，对角线AC与BD互相平分，∴AC的中点与BD的中点重合，∴（m1，n1）+（m3，n3）=（m2，n2）+D点的坐标，∴D点的坐标为（m1+m3-m2，n1+n3-n2） 于是 而 ∴

=（m3，n3）- （m1，n1）=（m3-m1，n3-n1）

=（m1+m3-m2，n1+n3-n2）-（m2，n2）=（m1+m3-2m2，n1+n3-2n2） ·

=（m3-m1）（m1+m3-2m2）+（n3-n1）（n1+n3-2n2）

反思回顾：已知两向量的坐标，求它们的数量积时，一定要注意向量积是横坐标之积与

纵坐标之积的和，不能出现搭配上的错误．

例3．设向量a、b满足：|a|=|b|=1，且a+b=（1，0），求a，b．

分析：这里由于向量a与b都是单位向量，所以在假设a，b的坐标时，可以考虑选用三角表示（即用正弦、余弦表示），再通过已知条件建立简单三角方程，求出正弦与余弦的值，就求出了a，b．

解： ∵|a|=|b|=1，

∴可设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ） ∵ a+b=（cosα+ cosβ，sinα+sinβ）=（1，0） ∴cosα+ cosβ=1 （1）

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