导读: 等差数列求和公式(共7篇)等差数列求和公式推导(常用方法)等差数列求和公式如何推导?等差数列求和公式推导过程?为了方便同学们的学习,让同学们更加了解等差数列求和公式如何得来,下面是中国招生考试网为大家提供的一中最常用的等差数列求和公式推导方法过程,如果你觉得有用,请继续关注中国招生考试网! 等差数列求和公式推导过...
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等差数列求和公式(一)
等差数列求和公式推导(常用方法)
等差数列求和公式如何推导?等差数列求和公式推导过程?为了方便同学们的学习,让同学们更加了解等差数列求和公式如何得来,下面是中国招生考试网为大家提供的一中最常用的等差数列求和公式推导方法过程,如果你觉得有用,请继续关注中国招生考试网! 等差数列求和公式推导过程 方法是倒序相加 Sn=1+2+3+……+(n-1)+n Sn=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1 两式相加 2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+……+(n-1+2)+(n+1)=(n+1)+(n+1)+(n+1)+……+(n+1)+(n+1) 一共n项(n+1) 2Sn=n(n+1) Sn=n(n+1)/2 倒序相加是数列求和中一种常规方法
等差数列求和公式(二)
等差数列求和公式应练习题
关于等差数列求和公式推导练习,等差数列求和是高考数学中必考的知识点,同学们需要认真对待这部分知识点,下面小编为大家提供等差数列求和公式推导练习题,供大家参考,希望对大家的学习有帮助!
等差数列求和公式(三)
等差数列求和公式Sn
等差数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注:an=a1+(n-1)d
转换过程:Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2
应该是对于任一N均成立吧(一定),那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an
化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立
当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1
得
2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)
当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列
和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
性质:等差数列求是求数列中所有项的和
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
②若m+n=2q,则am+an=2aq
二、例题
例1 用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少? 分析 ∵要求的数去除30、60、75都能整除,
∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数,
∴就是求30、60、75的最大公约数。
解:∵
(30,60,75)=5×3=15
这个数最大是15。
例2 一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小是多少?
分析 由题意可知,要求的数是3、4、5的公倍数,且是最小的公倍数。
解:∵[3,4,5]=3×4×5=60,
∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3 有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?
分析 ∵要截成相等的小段,且无剩余,
∴每段长度必是120、180和300的公约数。
又∵每段要尽可能长,
∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数. (120,180,300)=30×2=60
∴每小段最长60厘米。
120÷60+180÷60+300÷60
=2+3+5=10(段)
答:每段最长60厘米,一共可以截成10段。
例4 加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三
道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?
分析 要使加工生产均衡,各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人,要先求3、10和5的最小公倍数。
[3,10,5]=5×3×2=30
∴各道工序均应加130个零件。
30÷3=10(人)
30÷10=3(人)
30÷5=6(人)
答:第一道工序至少要分配10人,第二道工序至少要分配3人,第三道工序至少要分配6人。
例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计,三种饮料共用了65瓶;平均每2个人饮用一瓶A饮料,每3人饮用一瓶B饮料,每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人?
分析 由题意可知,参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。
解:∵[2,3,4]=12
∴参加会餐人数应是12的倍数。
又∵12÷2+12÷3+12÷4
=6+4+3=13(瓶),
∴可见12个人要用6瓶A饮料,4瓶B饮料,3瓶C饮料,共用13瓶饮料。
又∵65÷13=5,
∴参加会餐的总人数应是12的5倍,
12×5=60(人)。
答:参加会餐的总人数是60人。
例3 某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几? 解:十月份共有31天,每周共有7天,
∵31=7×4+3,
∴根据题意可知:有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天),15日(第三天),…)的第1993天是星期几?
解:每周有7天,1993÷7=284(周)…5(天),
从星期日往回数5天是星期二,所以第1993天必是星期二.
等差数列求和公式(四)
《等差数列求和公式》详细教案
等差数列求和公式
深圳市电子技术学校:黄静【等差数列求和公式】
课前系统部分:
大纲分析:
高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。
教材分析:
数列在生产实际中的应用范围很广,而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材,同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。
学生分析:
数列在整个高中阶段对于学生来说是难点,因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础,所以新课的引入非常重要
教学目标:
知识与技能目标:
掌握等差数列前n项和公式,能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 过程与方法目标:
培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标:
体验从特殊到一般,又到特殊的认识事物的规律,培养学生勇于创新的科学精神。
教学重点与难点:
等差数列前n项和公式是重点。
获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
教学策略:
用游戏的方法调动学生的积极性
教学用具:
flash,ppt
课堂系统部分:
整节课分为三个阶段:
问题呈现阶段
探究发现阶段
公式应用阶段
问题呈现1:
有10袋金币,在这10袋中有一袋金币是假的,已
知,真金币的重量是2两/个,而假币的重量是1两/
个。
问:只给一个电子秤,而且只能秤一次,找出哪一
袋金币是假的?
S 10 9 2 1
2S11111111问题1:128910?S129102S1110110110S552动画演示:
由刚刚的计算我们已经知道,从10袋里面拿出
的金币数共55个,如果这10袋都是真币,那么
电子秤显示的数据应该是: (两)552
110
而实际显示的的数字是:102(两)
可见比全是真币时少了8两
又因为,每个假币比真币轻1两
所以,可知在电子秤上有8个假币
那么,第8袋全是假币。
设计说明:
这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式,用一道智力题,激发学生的学习兴趣。
动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式
承上启下,探讨高斯算法.
问题呈现2:
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国
皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大
理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七
大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝
石镶饰而成,共有100层(见左图),奢靡之程度,
可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗?
2:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?
也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,
,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让
,将两个三角形拼成平行四边形.
(121)21s 212
设计说明:
• 源于历史,富有人文气息.
• 图中算数,激发学习兴趣.
这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础.
探究发现:
问题3:如 何求等差数列an的前n项和Sn?
由前面的例子,不难用逆序相加法推出
sna1a2a3an snanan1an2a1 n(a1an)sn 2
设计说明:
在前面两个问题的基础上,问题呈现3提出了等差数列求和公式的推导,鼓励学生利用“逆序相加”的数学方法推导公式。
探究发现:
a1(m),下底长为an(m),高为n(m),求这个梯形的面积为多少平方米?
面积公式:
1n S2
设计说明:
利用梯形的面积公式,帮助学生记忆等差数列的求和公式,让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。 naa
探究发现:
问题4 已知首相a1,相数n,公差d
如何求等差数列an的前n项和Sn?
复习回顾:等差数列通项公式:ana1n1d
n(a1an) 公式1Sn2
n[a1a1n1d]n(a1an) Sn 22
n2na1nn1d2a1n1d 22
n(n1) 公式2Snna1d2
根据等差数列求和公式1和等差数列通项公式,推出等差数列公式2
公式应用
• 根据题目选用公式
• 利用通项求中间量
• 依据条件变用公式
例题1:
2008年北京奥运会的体育馆已初步建成,其中有一块地的方砖成扇形铺开,有人数了第一排的方砖个数为10个,最后一排的方砖个数为2008个,而且一共有36排,问这一块地的方砖有多少块?
本例提供了许多数据,学生可以从题目条件发现,只告知了首项、尾项和项数,于是从这一方向出发,可知使用公式1,达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。
通过两种公式的比较,引导学生应该根据信息选择适当的公式,以便于计算。
例题2:
2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒,已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列,且已知第一排的病毒数是2个,后面每一排比前一排多3个,一共有78排,问这个人体内的病毒数有多少个?
本例已知首项,公差和项数,引导学生使用公式2。
事实上,根据提供的条件再与公式对比,
便不难知道应选公式。
例题3:
甲从A地出发骑车去B地,前1分钟他骑了了400米,后来每一分钟都比前
一分钟多骑5米,当他到达B地时的那一分钟内骑了500米,问A地和B地之间的距离?
本例题欲求AB间的距离,实质求甲共骑了多少米。已知首项400,公差为5和末项为500,可求出项数为21,然后引导学生使用公式1。
本题需要用到通项公式求项数,作为中间的桥梁。
例题4:
等差数列-10,-6,-2,2,„前多少项的和是54 ?
本例题已知公差为4,首相为-10,前n项和为54,欲求项数n,于是变用公式2。
n(n1)4 54=-10n解得:n3或
n=9又因为项数不能为负数,所以-3舍去,一共有9项 2
练习:
游戏规则:将全班同学分为4组,显示出飞行
棋的棋盘画面,每一组用一种颜色的飞机代表,
四驾飞机停在起点,右下角有一个点击的标志,
持续点击控制骰子的点数。
让学生根据练习题抢答,抢到的同学回答,如
果答案正确,那么丢骰子的点数便是飞机前行
的方格数,相反,答案错误者,丢骰子的点数
便是飞机后退的方格数。
练习1:
一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,放了120层,这个V形架上共放着多少支铅笔?
解:由题意可知,自下而上各层的铅笔成等差数列,且首相为1,项数为120,
公差为1,选用公式1可得结果。
答:V形架上共放着7260支铅笔
练习2:
工地上放了一堆钢管,已知最下一层为20个,最上面一层为2个,且放了5层 ,问这一堆钢管的个数?
解:钢管由上至下为等差数列,已知首相为2,末项为20,项数为5,选
用公式1可得结果
答:工地上的钢管一共有55个
练习3:
舞蹈队对舞蹈员进行排队,已知第一个身高为1.58m,后面每个舞蹈员比前面一个舞蹈员高0.2m,且最后一个舞蹈员为1.72m,问这些舞蹈员的总身高为多少?
解:舞蹈员由前至后成等差数列,已知首相为1.58,末项为1.72,公差为
0.2,可利用通项公式求出项数为8,选用公式1可得结果
等差数列求和公式(五)
等差数列求和公式
等差数列求和公式
等差数列的和=(首相+末项)÷2×项数
注:(首相+末项)÷2可以看做是等差数列的中间项,即把等差数列的每一项都变成中间项a,就可以把等差数列看成求a+a+a+„+a+a+a+a的和。
末项=首项+公差×(项数-1)
首项=末项-公差×(项数-1)
公差=(末项-首项)÷(项数-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
后面三个式子可以用第二个式子推得,推出公式如下:
把第二个式子:末项=首项+公差×(项数-1)
移项,把 “ 公差×(项数-1)” 从等号右面移到左面,并变符号(加号变成减号), 等式左面就变成“末项-公差×(项数-1)”,等式右面还剩下“首项”,
写成等式就是: 末项-公差×(项数-1)=首项
即第三个式子就推出来了: “首项=末项-公差×(项数-1)”【等差数列求和公式】
把第二个式子:末项=首项+公差×(项数-1)
移项,把 “ 首项 ” 从等式右面移到等式左面,并变符号,
等式左面就变成“末项-首项”,等式右面还剩下“公差×(项数-1)”
写成等式就是“末项-首项=公差×(项数-1)”
再把等式右面的“(项数-1)“移到等式左面,并变号(乘号变成除号),
等式左面变成“(末项-首项)÷(项数-1)”,等式左面只剩下“公差”
写成等式就是: (末项-首项)÷(项数-1)=公差【等差数列求和公式】
即第四个式子就推出来了: “公差=(末项-首项)÷(项数-1)”
把第二个式子:末项=首项+公差×(项数-1)
移项,把 “ 首项 ” 从等式右面移到等式左面,并变符号,
等式左面就变成“末项-首项”,等式右面还剩下“公差×(项数-1)”
写成等式就是“末项-首项=公差×(项数-1)”
再把等式右面的“公差”移到等式左面,并变号(乘号变成除号),
等式左面变成“(末项-首项)÷公差”,等式右面还剩下“项数-1”
写成等式: (末项-首项)÷公差=项数-1
再把等式右面的“1”移到等式左面,并变符号(减号变加号)
等式左面就变成“(末项-首项)÷公差+1”,右面只剩下“项数”
写成等式就是: (末项-首项)÷公差+1=项数
即第五个式子就推出来了: “项数=(末项-首项)÷公差+1”
等差数列求和公式(六)
等差数列求和公式
说课稿:等差数列的前n项和
一、教材分析 本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用.是继等差数列通项公式之后的又一重要概念,与前面学习的函数有着密切的联系;通过对公式的推导,可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题的方法,也为以后推导等比数列求和公式奠定了基础;同时等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和在实际生活中有着广泛的应用
二、学情分析 学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,也对高斯算法有所了解,这都为倒序相加法的教学提供了基础;同时学生已有了函数知识,因此在教学中可适当渗透函数思想.高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离,如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的障碍.
三、教学目标 知识目标:掌握等差数列的前n项和公式,能熟练的应用等差数列的前n项和公式求和; 能力目标:在知识发生、发展以及形成过程中遵循从特殊到一般的认知规律,培养学生的类比思维能力,通过对公式从不同角度不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题解决问题的能力
情感目标:通过生动具体的现实问题,以及令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣,产生热爱数学的情感
四、教学重点、难点
教学重点:等差数列的前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题
教学难点:获得等差数列前n项和公式的推导思路
五、教学方法 利用计算机和实物投影辅助教学,采用启发探究相结合的教学模式
六、教学过程
学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程:
(一)创设情境——引入问题
首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说(泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝,成为世界七大奇迹之一。)
传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成
共有100层(见下图),
你知道这个图案一共花了多少宝石吗?也就是计算1+2+3+„+100。 紧接着讲述高斯算法:高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子”。 200多年前,高斯的算术教师提出了下面的问题:1+2+3+„+100=? 据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,
10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+100)+(2+99)+„„+(50+51)=101×50=5050
【设计说明】 了解历史,激发兴趣,提出问题,紧扣核心。
(二)层层铺垫——发现方法
学生对高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配对的方法来求和, 但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段, 为了促进学生对这种算法的进一步理解,设计了下面问题。 探究1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?这是求奇数项和的问题,学生们会提出以下方法
方法1:原式=(1+2+„+10+12„+21)+11
方法2:原式=0+1+2+„„+20+21
方法3:原式=(1+2+3+„„+20)+21 以上方法实际上是用了“化归思想”,将奇数项问题转化为偶数项求解,老师对学生的解法给予肯定表扬,并进一步提出新的问题
探究2:是不是求前若干个自然数之和需要看其项数的奇偶呢?即求1+2+3+„+n需讨论n的奇偶呢?学生们很自然就想到要用分类讨论来解决此类问题,老师要肯定学生的想法,指出此方法的缺点是繁琐,进而促使学生探索更简捷的做法。
【设计说明】借此渗透分类讨论意识以及化归思想,并激发学生探索的兴趣
用多媒体做一个实验:把“全等三角形”倒置,与原图补成平行四边形,让学生观察效果很容易获得结果:S=21(1+21)/2,并尝试将直观问题抽象成数学问题。
【设计说明】在教学中,要鼓励学生借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,从而渗透了数形结合的数学思想。 但是如何将直观问题抽象化,此处也是教学的一个难点。 老师启发学生一起去发现两个三角形体现的求和思想,板书给出
S21123...21
等差数列求和公式(七)
经典数列求和公式
数列求和的基本方法和技巧
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:Sn(a1an)n
2nan(n1)
12
d na1
(q1)2、等比数列求和公式:San
n1(1q)a1q
1anq
1q(q1)
3、 Sn
n
k1
(n1)自然数列 k1
2n
4、 S2
n
k
1
6
(n1)(2n1) 自然数平方组成的数列 k1
[例1] 已知log13x
log,求xx2x3xn
的前n项和. 23
解:由log13x
loglog1
3xlog32x2
23 由等比数列求和公式得 Snxx2x3xn 1n
=x(1x)1x
=
2(11
n)
1=1-12n 12
[例2] 设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求f(n)
Sn
(n32)S的最大值.
n1
解:由等差数列求和公式得 S1n2n(n1), S1
n2
(n1)(n2) ∴ f(n)
Sn
n(n32)S=n1
n234n64 =
1=
11n34
n
(n
8
2n
)50
50
∴ 当 n
8
1,即n=8时,f(n)max50
1
(利用常用公式)
(利用常用公式)
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和:Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①
解:由题可知,{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{x
n1
}的通项之积
设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn………………………. ② ①-②得 (1x)S4n12x2x22x32x2xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得:(1x)S1xn1
n12x
1x
(2n1)xn (2n1)xn1 ∴ S(2n1)xn(1x)
n(1x)2
[例4] 求数列
22,462n
22,23,,2
n,前n项的和. 解:由题可知,{2n1
2n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{2n}的通项之积设S2462n
n222232
n…………………………………①
12S2462222n
n2342
n1………………………………② ①-②得(112)S222222n
n22223242n2
n1 212n
2n12n1
∴ Sn2
n42
n1
练习:*提示:不要觉得重复和无聊,乘公比错位相减的关键就是熟练! 通项为{an· bn},
1、an是自然数列,bn是首项为1,q为2的等比数列 2、an是正偶数数列,bn是首项为1,q为2的等比数列 3、an是正奇数数列,bn是首项为1,q为2的等比数列 4、an是正偶数数列,bn是首项为3,q为3的等比数列 5、an是正奇数数列,bn是首项为3,q为3的等比数列 6、an是自然数列,bn是首项为3,q为3的等比数列
2
)
)
(设制错位) (错位相减
(设制错位) (错位相减
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例5] 求数列的前n项和:11,
1a4,1a,1
27,an13n2,… 解:设S(11)(1a4)(11
na27)(a
n13n2)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn(1
1a11
a2a
n1)(1473n2) 当a=1时,S(3n1)n(3n1)n
nn2=2 11当a1时,Sn
(3n1n)naa1n(3n1)n112=a12 a
[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解:设akk(k1)(2k1)2k33k2k nn
∴ Sn
k(k1)(2k1)=(2k
3
3k2k)
k1
k1
将其每一项拆开再重新组合得
n
Sn=2
k3
n3k2
n
k1
k1
k k1
=2(1323n3)3(1222n2
)(12n) =n2(n1)22n(n1)(2n1)2n(n1)
2 =n(n1)2(n2)
2
3
(分组)
(分组)
(分组求和)
(分组求和)
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1)anf(n1)f(n) (2)an
111
====》升级分母是n(n+2)呢?---重点掌握这个型
n(n1)nn1112
,
121nn1112
,,
1nn1
,的前n项和.
[例7] 求数列
解:设an
n1n (裂项)
1nn1
则 Sn
12 (裂项求和)
=(2)(32)(n1n) =n11 [例8] 在数列{an}中,an
解: ∵ an
12n2,又bn,求数列{bn}的前n项的和. n1n1n1anan1
12nn n1n1n12211
∴ bn8() (裂项)
nn122
∴ 数列{bn}的前n项和
11221
) = =8(1
n1
Sn8[(1)()()(
11338n
n1
1411)] (裂项求和) nn1
4
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