能得到直角三角形吗,,判定

导读：　能得到直角三角形吗,,判定(共4篇)...

能得到直角三角形吗,,判定(一)
能得到直角三角形吗 练习题

能得到直角三角形吗 练习题

1. 在△ABC中，a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m，n是正整数，且m>n,试判断△ABC是不是直角三角形。

2.试判断下面各组数是不是勾股数。

111 （1）3,4,7 （2）5,12,13 （3），， （4）3，-4, 5 345

3. 下列几组数中，为勾股数的一组是（）

A、1.4,4.8,5 B、-15,36,39 C、21,45,51 D、8,15,17

4.一农民建房时所挖的地基，按建房标准四边形ABCD应为长方形，已知AB=CD=8m，AD=BC=6m,AC=9m,请你帮助计算一下所挖的地基是否合格。

5. 已知|x-12|+(y-13)2 +z2-10z+25=0,是判断以x,y,z为三边长的三角形的形状。

6.如下图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，BC=13，CD=12，AD=4，则四边形ABCD的面积是多少?

7.已知三角形的三边长分别是m2-1,2m, m2+1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状

18. 已知a=3,且（4-b）2b-c|=0,以a、b、c为边组成的三角形的面积等于（）？

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能得到直角三角形吗,,判定(二)
能得到直角三角形吗

第一单元 勾股定理

第一节 能得到直角三角形吗 第二节 蚂蚁怎么走最近 第三节 勾股定理的探索

第二单元第一节 数怎么又不够用了 第二节 平方根 第三节 立方根 第四节 公园有多宽 第五节 实数

实数

第一节 能得到直角三角形吗

【基础知识精讲】

1．掌握勾股定理的逆定理。

2．会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

【重点难点解析】 1．勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。 即：在△ABC中，若abc，则△ABC为Rt△。 2．如何判定一个三角形是否是直角三角形 ①首先求出最大边（如c）； ②验证c与ab是否具有相等关系。

若cab，则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形。 若cab，则△ABC不是直三角形。

A．重点、难点提示 1．掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形，或两条直线是否相互垂直； 2．能用勾股定理和勾股定理的逆定理解决一些实际问题．

B．考点指要

勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定三角形中哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，这中间体现了一种代数方法解几何题的思想．

（体现数形结合数学思想）

三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，（1）若abc，则三角形是直角三角形；（2）若abc，则三角形是锐角三角形；（3）若abc，则三角形是钝角三角形，所以使用勾股定理的逆定理时常需要找出三角形的最大边．

满足abc的三个正整数，称为勾股数．

【难题巧解点拨】

例1：已知△ABC的三边为a、b、c，有下列各组条件，判定△ABC的形状． （1）a＝41，b＝40，c＝9；

（2）amn，bmn，c2mn（mn0）． 思路分析

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为判定三角形的形状，可利用勾股定理的逆定理，判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和．

（抓住最大的边）

解：（1）

（完全平方公式的应用）

，而a24121681，

a2b2c2，∴△ABC是直角三角形，并且∠A是直角．

（2）∵m>n>0，mn2mn，mnmn， 而

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a2c2(m2n2)2(2mn)2m42m2n2n44m2n2 (mn)b，

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∴△ABC是直角三角形，并且∠B是直角． 点评：利用勾股定理的逆定理不仅能够判断出三角形的形状，而且还能够知道三角形的哪个角是直角．

例2：如图1－11，有一个棱长为2米的正方体，现有一绳子从A出发，沿正方体表面到达C处，问绳子最短是多少米？

解：将该正方体的右表面翻折至前表面，使得A、C两点共面， 连结AC，此时线段AC的长度即为最短距离．

AC222(22)220，AC25m，即绳长最短为2米．

点评：沿几何体表面最短距离的问题通常都是将几何体表面展开，求展开图中两点之间的最短距离，但一定要注意展开图中点的相应位置．

例3：如图1－12，在四边形ABCD中，∠C是直角，AB＝13，BC＝4，CD＝3，AD＝12，求证：AD⊥BD．

（可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定） 解：∵在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，

∴由勾股定理，BD43，即BD＝5，

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在△ABD中，BD＝5，AD＝12，AB＝13，AB2AD2BD2，

∴由勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，并且∠ADB是直角，∴AD⊥BD． 例4：若△ABC的三边满足条件：abc33810a24b26c，试判断△ABC的形状．

思路分析

若一个方程有多于一个的未知数，如本题有三个未知数，想要分别解出这些量只能依靠条件的恒等变形，挖掘隐含条件来处理．

解：原等式可化为abc33810a24b26c0， 配方，得：(a5)(b12)(c13)0，（配方要准确、熟练） 当且仅当(a5)(b12)(c13)0才能成立，（非负数原理） ∴a＝5，b＝12，c＝13，

最大边为c，而ab169c，

根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且C为直角． 点评：要学会观察已知条件的特征，从而寻找解决问题的突破点．

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2【能得到直角三角形吗,,判定】

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例5：已知，如图1－13，D是△ABC边BC上一点，且ACCDAD，求证：

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AB2AC2BD2CD2．

思路分析

从边的平方关系就会联想到直角三角形，这是勾股定理逆定理的基本思路． 证明：在△ADC中，

，

AC2CD2AD2，

（注意已知形式的提示）

由勾股定理的逆定理可知：∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC于D，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理：

AB2AD2BD2，AC2AD2CD2，

两式相减，得：ABACBDCD．

2222

例6：如图1－14，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A通知反走私艇B：A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里．反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，

又ABBC51213AC， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°， ∵MN⊥CE，

∴走私艇进入我领海的最近距离是CE，【能得到直角三角形吗,,判定】

（认真审题是解决本题的关键）

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两式相减得：CE

144

， 13

144144

130.85（小时）0.85小时51分钟， 13169

9时50分＋51分＝10小时41分． （将实际问题转化为数学模型）

答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．

【中考名题点评】

例1 证明边长为3(2m＋3),2m6m,2m6m9(m是正整数)的三角形是直角三角形。

证明：∵2m6m9＞2m6m，

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2m26m9＞3(2m＋3)，

∴2m6m9是最长的一条边。

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∵(2m6m9)＝(2m6m)9

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

2



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能得到直角三角形吗,,判定(三)
直角三角形的判定

第3课时 能得到直角三角形(判定)

【学习目标】1．掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法.

【学习重点】判别三角形是直角三角形

【学习过程】

一．学习准备：1、直角三角形中有 个角为直角，其中两个锐角是互为 ，两条直角边的 等于斜边的 。

二．引导新知

1.画以线段a，b， c. 为边的三角形

⑴ a=3，b=4 c=5 ⑵ a=5，b=12 c=13【能得到直角三角形吗,,判定】

2.这三组数满足abc吗？

3.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

猜想命题2：如果三角形的三边长a、b、c，满足abc，那么这个三角形是 三角形

勾股定理逆定理：

证明勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形

是直角三角形.

已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2b2c2

求证：∠C=90°

思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，

利用对应角相等来证明． 证明：

三、课堂练习

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a15,b8,c17； （2）a13,b14,c15．

cbB'222222b

2、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）

A、∠A=∠B-∠C B、∠A：∠B：∠C=1：1：2 C、a:b:c=1:1:2 D、b=a-c

3、△ABC中，如果AC+BC=AB，那么 =90

挖掘教材：

例1 ：一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 222○ 222

C 13 C

12 4 5

3 A

B A B

即时练习

⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．

⑴9，12，15； ⑵15，36，39； ⑶12，35，36； ⑷12，18，22．

⒉已知∆ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角. 例2 ：如图2，在正方形ABCD中，E为AB中点，F为AD上一点，且AF1AD，4

试判断△EFC的形状，并说明理由

○即时练习 如图（3）AD=24、BC=20、CD=15，AD=7、∠C=90， D

求∠A

【达标检测】

1、 △ABC中，AC=24、AB=10、BC=26，判别△ABC的形状。

2、如图（4）AD=7、AB=25、BC=10、DC=26、DB=24，求四边形ABCD的面积。

别为 。

能得到直角三角形吗,,判定(四)
直角三角形判定

大连学大教育培训学校 2015年9月18

日初中数学组卷

一、单选题 （每题x分，共6题）

1. 下面关于直角三角形的全等的判定，不正确的是( )． A．有一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等 B．有两边对应相等的两个直角三角形全等

C．有两角对应相等，且有一条公共边的两个直角三角形全等 D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等

答案：C .

解析：试题分析：根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL对各选项逐个分析，然后即可得出答案：

A．由ASA或AAS可判定有一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等； B．由SAS或HL可判定有两边对应相等的两个直角三角形全等；

C．因为公共边不一定是对应边，所以有两角对应相等，且有一条公共边的两个直角三角形不一定全等；

D．由AAS或AAS可判定有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. 故选C.

考点：直角三角形全等的判定． 2. 使两个直角三角形全等的条件是 A．两条边对应相等 C．两锐角对应相等

B．一条边对应相等 D．一锐角对应相等

答案：A

3. 如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE=∠ACD，BC=EC请你,添加一个条件，使得△ABC和△DEC全等。并加以证明。你添加的条件

是

答案：CD=CA，证明见解析.

解析：试题分析：添加的条件：CD=CA，然后根据条件∠BCE=∠ACD，可得∠ECD=∠ACB，再加条件CD=AC，CB=CE可证明△ABC≌△DEC． 试题解析：添加的条件：CD=CA， 理由：∵∠BCE=∠ACD，

∴∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠BCD， 即∠ECD=∠ACB，

在△ABC和△DEC中

，

∴△ABC≌△DEC （SAS）， 考点：全等三角形的判定．

4. 能使两个直角三角形全等的条件是（ ） A．斜边相等 C．两锐角对应相等

B．一锐角对应相等 D．两直角边对应相等

答案：D.

解析：试题分析：A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误．

B、C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B、C选项错误． D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定． 故选D.

考点: 直角三角形全等的判定

5. 如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果

AC=3cm，那么AE+DE等于

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

答案：B

解析：试题分析：根据角平分线的性质可得CE=DE，即可求得结果. ∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB ∴CE=DE

∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm 故选B.

考点：角平分线的性质

点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般

6. 如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）。 A．40°

B． 45°

C． 50°

D． 60°

答案：C

解析：先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值． ∵∠B=∠D=90°

在Rt△ABC和Rt△ADC中

$\left\{\begin{array}{l}BC=CD\\AC=AC\end{array}\right.$ ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）

∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°。故选C 二、解答题 （每题x分，共5题）

7. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°． （1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；

（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1， AD1交FM于点K（如图），设旋转角为（0°＜＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角

的度数；

（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M（如图），F2M2与AD交于点P，A2M2

2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？

答案：（1）BD=MF，BD⊥MF．理由见解析； （2）β的度数为60°或15°； （3）平移的距离是（6﹣2

）cm．

解析：试题分析：（1）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小． （2）根据旋转的性质得出结论．

（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出：试题解析：（1）BD=MF，BD⊥MF.

，解得A2A的大小．

延长FM交BD于点N，

由题意得：△BAD≌△MAF． ∴BD=MF，∠ADB=∠AFM. 又∵∠DMN=∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°， ∴∠DNM=90°， ∴BD⊥MF；

（2）当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，

则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°， 即β=60°；

②当AF=FK时，∠FAK=∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°， 即β=15°；

∴β的度数为60°或15°；

（3）由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x， 在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=8， ∴A2M2=4，A2F2=4

，∴AF2=4

﹣x． =75°，

∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，

∴AP=AF2•tan30°=4﹣

x．

∴PD=AD﹣AP=4∵NP∥AB， ∴∠DNP=∠B． ∵∠D=∠D，

∴△DPN∽△DAB. ∴

.

﹣4+x．

∴，

解得x=6﹣2即A2A=6﹣2

. ．

）cm．

答：平移的距离是（6﹣2

考点：1.相似三角形的判定与性质2.直角三角形全等的判定3.平移的性质4.旋转的性质．

8. 已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC.

答案：答案解试题分析．

解析：试题分析：∵∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，

∴Rt△BAC≌Rt△CDB．∴∠ACB=∠DBC，∴∠OCB=∠OBC，∴OB=OC（等角对等边）．

考点：1．直角三角形全等的判定；2．等腰三角形的判定．

9. 已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：（1）△BEC≌△DAE（2）

DF⊥BC

答案：证明见解析

能得到直角三角形吗,,判定相关热词搜索：直角三角形全等的判定 直角三角形相似的判定