高中数学线性回归方程

导读：　高中数学线性回归方程(共5篇)...

高中数学线性回归方程(一)
线性回归方程[高考数学总复习][高中数学课时训]

线性回归方程

基础自测

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.

1.下列关系中，是相关关系的为 （填序号）.

答案 ①②

2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是 （填序号）. ①直线l1,l2有交点（s,t)

②直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t) ③直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行 ④直线l1,l2必定重合 答案 ① 3.下列有关线性回归的说法，正确的是 （填序号）. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系 ②散点图能直观地反映数据的相关程度

③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 ④任一组数据都有回归直线方程 答案 ①②③ 4.下列命题：

①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；

ˆx+aˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. ˆ=bˆ及回归系数b③通过回归直线y

其中正确命题的序号是 . 答案 ①②③

ˆ=0.50x-0.81,则x=25时，yˆ的估计值为 . 5.已知回归方程为y

答案 11.69

例1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 水稻产量

15 20 25 30 35 40 45 320 330 360 410 460 470 480

（1）将上述数据制成散点图；

（2）

你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而

增长吗？

解 （1）散点图如下：

（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化 肥施用量的增加而增长.

例2 （14分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出

的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：

（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？ （2）若二者线性相关，求回归直线方程. 解 （1）作出散点图：

5分

观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. （2）=

110

n

7分

110

(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,

=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42， 9分

ˆ=b

xy

i1

n

ii

n≈0.813 6，

2

i

x

i1

n2

ˆa=1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3， 13

分

ˆ=0.813 6x+0.004 3. ∴回归方程y

14

分

例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.

（1）请画出上表数据的散点图；

ˆx+aˆ=bˆ； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解 （1）散点图如下图:

（2）=

4

3456

4

=4.5,=

2.5344.5

4

=3.5

x

i14

i

yi

=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.

x

i1

2i

=32+42+52+62=86

4

ˆ=∴b

xy

ii1

4

i

4=

2

i

66.543.54.58644

.5

2

=0.7

x

i1

42

ˆa

ˆ=3.5-0.7×4.5=0.35. =-b

ˆ=0.7x+0.35. ∴所求的线性回归方程为y

（3）现在生产100吨甲产品用煤 y=0.7×100+0.35=70.35，

∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.

1.科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.

（1）试画出散点图；

（2

）判断两个变量是否具有相关关系. 解 （1）作出散点图如图所示，【高中数学线性回归方程】

(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.

2.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：

由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程. 解 =30,=

5

66.776.085.0112.3128.0

5

=93.6.

ˆ=b

x

i1

5i1

i

yi5≈0.880 9.

2

i

x

ˆa

52

ˆ=93.6-0.880 9×30=67.173. =-b

ˆ=0.880 9x+67.173. ∴回归方程为y

3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：

（1）求出线性回归方程；

（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？

6

6

i

解 （1）n=6，

x

i1

=21，

y

i1

i

=426，=3.5,=71,

66

2xi



i1

=79，

xy

ii1

i

=1 481，

6

ˆ=b

x

i1

6i1

i

yi6=

2

i

148163.571

7963.5

2

=-1.82.

x

ˆa

62【高中数学线性回归方程】

ˆ=71+1.82×3.5=77.37. =-b

ˆx=77.37-1.82x. ˆ=aˆ+b回归方程为y

ˆ=-1.82＜0,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意义有: （2）因为单位成本平均变动b

产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少1.82元. (3)当产量为6 000件时,即x=6,代入回归方程:

ˆy

=77.37-1.82×6=66.45（元）

当产量为6 000件时，单位成本为66.45元

.

一、填空题

1.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是

.

答案 a,c,b

ˆ=1.5x-15,则下列说法正确的有 个. 2.回归方程y

①=1.5-15 ②15是回归系数a ③1.5是回归系数a ④x=10时，y=0 答案 1

3.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为

ˆy

=8.25x+60.13,下列叙述正确的是 .

①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm ②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm

高中数学线性回归方程(二)
高中数学线性回归方程讲解练习题

1

审阅人：

2

高中数学线性回归方程(三)
线性回归方程高考题

线性回归方程高考题

1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据：

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：

）

2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下:

若有数据知y对x呈线性相关关系.求:

(1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,;

(2) 估计使用10年时,维修费用是多少.

3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下：【高中数学线性回归方程】

（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程

，并在坐标系中画出回归直线；

（3）试预测加工10个零件需要多少时间？

（注：

4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表：

已知：

(Ⅰ)画出散点图；

．

(1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：

(1)画出散点图： (2)求回归直线方程；

(3)据此估计广告费用为10时，销售收入的值．

6、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

（I）请画出上表数据的散点图；

（II）请根据上表提供的数据，求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；

（III）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤.试根据（II）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（参考公式及数据: ,）

7、以下是测得的福建省某县某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间，有如下的对应数据：

（1）画出数据对应的散点图，你能从散点图中发现福建省某县某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间的一般规律吗？ （2）求y关于x的回归直线方程；

（3）预测当广告费支出为2（百万元）时，则这种产品的销售额为多少？（百万元） 8、在某种产品表面进行腐蚀线实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：

(1)画出散点图；

(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。

参考答案

一、计算题

1、解：（1）

（2）

所以：

所以线性同归方程为：（3）=100时，

技术改造前降低19.65吨标准煤. 2

、解：(1) 填表

，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比

高中数学线性回归方程(四)
线性回归方程

线性回归方程

【目标引领】 1． 学习目标：

了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。

2． 学法指导：

①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．

②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．

③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．

【教师在线】 1． 解析视屏：

1．相关关系的概念

在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：

一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S与其边长x之间的函数关系Sx（确定关系）；

一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）

相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系。

不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

2

2．求回归直线方程的思想方法

观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？

引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：

ˆbxa，其中a、b是待定系数。 设所求的直线方程为y

ˆibxia(i1,2,,n)，于是得到各个偏差。 则y

ˆyˆiyi(bxia),(i1,2,...n) y

ˆyˆi的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代显见，偏差y

表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和

Q(y1bx1x)2(y2bx2a)2....(ynbxna)2

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。 记Q

(y

i1

n

2

i

bxia)。

上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即

n



xiyin

i1bn

22 xni

i1ab



1n1n

其中xxi,yyi

ni1ni1

以上方法称为最小二乘法。

2． 经典回放：

例1：下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？ （1）电压U与电流I （2）圆面积S与半径R

（3）自由落体运动中位移s与时间t

（4）粮食产量与施肥量 （5）人的身高与体重 （6）广告费支出与商品销售额

分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。 对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。

人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。

广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。

点评：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可

能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。 例2：已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：

ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万） (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。 解：（１）见下图

x

（２）

1

(45424648423558403950)45.50 10



1

(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)7.37 10

ˆbxa， 设回归直线为y

则a

xy

ii1

n

n

i

n0.176，ba0.64



i1

xin2

2

ˆ0.176x0.64，图形如下: 所以所求回归直线的方程为y

x

点评：再依系数a、b的计算公式，算出a、b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数,；计算xi与yi的积，求

xy

i

i

；计算

x

2i

；将结果代入公式求ａ；用 ba求ｂ；写出回归方程。

【同步训练】

1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ） A．角度和它的余弦值

B.正方形边长和面积

C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高

2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下

列说法中正确的是 （ ） A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元 B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元 C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元 D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元

3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均 （ ） A．增加1.5单位 B．增加2单位 C．减少1.5单位 D．减少2单位

4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为

y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在kg左右。 5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形

【拓展尝新】

6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：

(1)画出散点图；

(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。

【解答】

1． D 2．C 3．C 4．69.66 5．解：(1)散点图（略）．

(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格

87175730399.3

4.75b

故可得到。 70007302

a399.34.7530257

6．解：(1)散点图略，呈直线形.

(2)经计算可得：t46.36,y19.45



i1

11

ti2

36750,



i1

11

yi2

5442,

t

i1

11

i

yi13910

高中数学线性回归方程(五)
高中数学选修2-3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．

2．线性相关

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

3．回归方程

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．

(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，其回归方程为^y＝^bx＋^a，则^b，^a

其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．

4．样本相关系数

 xi－xyi－y

r＝i＝1用它来衡nn22 xi－x yi－y

i＝1i＝1n

量两个变量间的线性相关关系．

(1)当r＞0

(2)当r＜0

(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

5．线性回归模型

(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．

(2)相关指数

用相关指数R来刻画回归的效果，其计算 公式是：R＝ 22，R的值越大， 2

说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合R表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R越接近于1，表示回归效果越好．

规律

个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

注意

22

进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈

样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适

考向一 相关关系的判断

例1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )

A．正方形的面积与周长

B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间

C．人的身高与体重

D．人的身高与视力

答案：C

例2．对变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关 解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关． 例3．下面哪些变量是相关关系( )．

A．出租车车费与行驶的里程

B．房屋面积与房屋价格

C．身高与体重 D．铁块的大小与质量 解析 A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系． 答案 C

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