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数乘向量坐标运算

2016-09-27 14:06:51 编辑: 来源:http://www.chinazhaokao.com 成考报名 浏览:

导读: 数乘向量坐标运算(共5篇)...

数乘向量坐标运算(一)
数乘向量及坐标运算

第38课 数乘向量及坐标运算

考试目标 主词填空

1.实数与向量的积

a与λa同向的充要条件是a与λa反向的充要条件是λ<0. λ·(a+b)=λa+λb λ·(a-b)=设a=(x,y),则λa=(λx,λy). 2.向量的坐标运算

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=(x1x2,y1y2),a-b=(x1x2,y1y2),a=bx1=x2且y1-y2, a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1=0. 3.三点共线的充要条件

A、B、C三点共线存在λ∈R,使=λ. 4.平面向量的基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

●题型示例 点津归纳

【例1】 设e1、e2是不共线的向量,已知向量AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A、B、D三点共线,求k值.

【解前点津】 因A、B、D三点共线,故存在实数λ,使AB=λBD由此等式可得关于λ,k的方程组,从而可求得k值.

【规范解答】 由条件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.

因A、B、D三点共线,故存在实数λ,使=λ,所以2e1+ke2=λ(e1-e2)λ=2且k=-4λ,∴k=-8. 【解后归纳】 利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.

【例2】 一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方 向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.

【解前点津】 用向量分别表示水流速度,船向垂直于对岸行驶的速度, 船实际速度,将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.

【规范解答】 如图,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的 速度,表示船实际速度,∠AOC=30°,||=5 km/h.

∵OACB为矩形,||=||·cot30°=||·cot30°=5=8.66(km/h),||=

例2题图

|OB|510km/h.

cos303

2

所以,水流速度为8.66km/h,船实际速度为10km/h.

【解后归纳】 有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景,数形结合,是应用向量工具的一项基本功. 【例3】 (1)证明:三个两两不平行的向量a,b,c可以构成一个三角形(每个向量的始点重合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是:a+b+c=0.

(2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形.

【解前点津】 利用(1)的结论证明(2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论

.

【规范解答】 (1)充分性:∵a+b+c=0,∴a+b=-c根据三角形法则,三个两两不平行的向量a、b、c可以构成一个三角形;必要性:

∵向量a、b、c可以构成一个三角形,

∴不妨设在△ABC中,=a,=b,=c,根据多边形法则, ∵+BC+CA==0, ∴a+b+c=0.

(2)如图,D、E、F分别是△ABC中三边的中点, 因为=+==+=

1

+, 2

1

+, 2

1

AB+BC. FC=FB+BC=2

例3题图

33

(AB++)=·0=0. 22

∴将上述三式相加得,DA+EB+=

【解后归纳】 熟练应用“三角形”法则以及“多边形法则”,是必须具备的一项“基本功”. 【例4】 用向量法证明:三角形三中线交于一点.

【解前点津】 在△ABC中,G是AD与BE的交点,连接AB的中点F与G及GC,欲证三中线共点,只须证明:G在中线CF上,从而只须证明与共线.

【规范解答】 ∵=∴CG=

1111,=, ++

2323

11

(CA+CB)+(DA+EB) ① 4611

+,EB=+, 22

111

(+)即(+)=(+) 242

又∵AD=

例4题图

∴两式相减得:+=代入①消去+得 =

112

(DA+EB)+(DA+EB)=(DA+EB) ② 2632121

+,=+, 32322

(+) ③ 3

∵=

∴2=

比较②③得GC=2GF, ∴∥,

∴C、G、F在一条直线上,故G在中线AF上.

【解后归纳】 证明“线共点”或“点共线”问题,常转化为向量共线的问题.

●对应训练 分阶提升 一、基础夯实

1.设e1,e2是同一平面内的两个非零向量,则有 ( ) A.e1∥e2 B.|e1|=|e2|

C.同一平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)

D.若e1与e2不共线,则同一平面内的任一向量a,都存在实数λ,μ,使a=λe1+μe2

2.已知a=e1-2e2,b=2e1+e2,且e1,e2是不共线的非零向量,则a+b与c=6e1-2e2的关系是 ( ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定【数乘向量坐标运算】

3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于 ( ) A.3 B.-3 C.0 D.2

4.若a,b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R),则 ( )

A.λ·μ=1 B.λ·μ=-1 C.λ=μ=0 D.λ,μ不确定

5.已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c,b共线,则λ1= ( ) A.2 B.1 C.-1 D.0

6.若O、A、B为平面上三点,C为线段AB的中点,则 ( ) A.OC=OAOB B.OC=C.AB=2 D.=

1

(OAOB) 2

1

() 2

7.已知=(x,y),点B的坐标为(-2,1),则的坐标为 ( ) A.(x-2,y+1) B.(x+2,y-1) C.(-2-x,1-y) D.(x+2,y+1) 8.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b等于 ( ) A.(7,1) B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1)

9.已知点B的坐标为(m,n),的坐标为(i,j),则点A的坐标为 ( ) A.(m-i,n-j) B.(i-m,j-n) C.(m+i,n+j) D.(m+n,i+j) 二、思维激活

10.已知平行四边形ABCD的顶点:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)则第四个顶点D的坐标是11.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,则λμ12.已知a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数k.

13.已知=i-2j,=i+m·j,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,若A、B、C三点共线,则实数m . 三、能力提高

14.在平行四边形ABCD中.

(1)设对角线AC=a,=b,求:,BC,CD,;

(2)设边和的中点为M、N,且=p,=q,求,.

15.设a=,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,求点A的坐标. 16.用向量证明:平行四边形对角线互相平分.

17.在平行六面体ABCD-EFGH中,证明:++=2.

第17题图

第2课 数乘向量及坐标运算习题解答

1.D 直接使用平面向量基本定理. 2.B ∵a+b=3e1-e2=

1

·c. 2

3.A 由条件:3x-4y=6且3=2x-3y,解之:x=6且y=3故x-y=3. 4.C

5.D 令c=x·b则由x·b=λ1a+λ2b得x=λ6.B 如图所示:

2且λ1=0.

OCOBBC

2OCOAOB(ACBC)OAOB 

∴=

1

() 2

7.C ∵ABOBOA,所以,OA=OB-=(-2,1)-(x,y)=(-2-x,1-y). 8.B -3a-2b-3(3,-1)-2(-1,2)=(-9,3)+(+2,-4)=(-7,-1). 9.A OA=OB-AB=(m,n)-(i,j)=(m-i,n-j).

10.设D(x,y),∵=,∴(-1,-2)-(3,-1)=(x,y)-(5,6)故(-4,-1)=(x-5,y-6).【数乘向量坐标运算】

第6题图解

x54x1由 得: 故D点坐标是(1,5).

y61y5

11.由(7,-4)=λ(3,-2)+μ·(-2,1)得:7=3λ-2μ,且-4=-2λ+μ解之:λ=1,μ=-2. 12.∵ka+b=k·(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2);a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), ∴10·(2k+2)=-4(k-3) k=-1

. 3

13.因AB(1,2),BC=(1,m)故由∥BC得-2=m即m=-2.

14.(1)如图(1),记平行四边形ABCD的对角线交点为0,因平行四边形对角线互相平分,所以: =+=

11a-b; 2211b+a; 2211a+b; 2211b-a. 22

11

=+q ① 22

=+=CD=CO+OD=-DA=+DA=-

第14题图解(1)

(2)如图(2)所示,∵=++=+q-又=CM++=-

11

+(-p)+=-p ② 224224

q-p,=q-p. 3333

第14题图解(2)

解①②构成的方程组得:=

15.设A(x,y),则=(1-x,-y)代入a=3b-2c得

:

数乘向量坐标运算(二)
向量的数乘及坐标运算

三、向量数乘运算及其几何意义

【数乘向量坐标运算】

一、知识回顾:

1.实数与向量的积:实数与向量

a的积是一个 ,记作 ,它的模与方向规定如下: |

1)a| ; <0时, 

2) >0时,a的方向与 的方向相同;当a的方向与 的方向相反;

实数与向量的积的运算律: 运算律:(

a) ; ()a= ; (a

b)= .

2.两个向量共线定理:向量b与非零向量a

共线有且只有一个实数,使得

二、沙场练兵:

1.已知向量a= e1-2 e2,b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共线,则a+b与c=6 e1-2 e2的关系为( ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

2.已知向量e1、e2不共线,实数(3x-4y)e1+(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x-y的值等于 ( ) A.3 B.-3 C.0 D.2

3.若AB

=3a, CD=-5a ,且|AD||BC|,则四边形ABCD是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰梯形

4.AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线,且AD=a ,BE

=b ,那么BC为( )

A.23a+43b B.222424

3a-3b C.3a-3b D. -3a+3

b

5.已知向量a ,b是两非零向量,在下列四个条件中,能使a ,b共线的条件是 ( ) ①2a -3b=4e且a+2b= -3e ②存在相异实数λ ,μ,使λa -μb=0 ③xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0) ④已知梯形ABCD,其中 AB

=a ,CD=b A.①② B.①③ C.② D.③④

*

6.已知△ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P,若PAPBPCAB

,则( )

A.P在△ABC 内部 B.P在△ABC 外部 C.P在AB边所在直线上 D.P在线段BC上 二、填空题

7.若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则ab

8.已知向量e1 ,e2不共线,若λe1-e2与e1-λe2共线,则实数λ= 9.a,b是两个不共线的向量,且AB

=2a+kb ,CB=a+3b ,CD=2a-b ,若A、B、D三点共线,则实数k

的值可为

*

10.已知四边形ABCD中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c对角线AC、BD的中点为E、F,则向量EF

 三、解答题

11.计算:⑴(-7)×6a=

⑵4(a+b)-3(a-b)-8a=

⑶(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=

12.如图,设AM是△ABC的中线,AB=a , AC=b ,求AM

13.设两个非零向量a与b不共线,

⑴若AB=a+b ,BC=2a+8b ,CD

=3(a-b) ,求证:A、B、D三点共线; ⑵试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

【数乘向量坐标运算】

*

14.设OA,OB不共线,P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB

且λ+μ=1(λ, μ∈R).

四、平面向量基本定理及坐标表示(1)

一、知识回顾:

1.平面向量的基本定理:如果e

1,e2是一个平面内的两个不共线...向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数

1,2使:,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量

的 。

2.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,为基底,

则平面内的任一向量a可表示为axiy

jx,y,称x,y为向量a的坐标,a=x,y叫做向量a

的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

注:(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关。 3.平面向量的坐标运算:

若xxrr

1,y1,2,y2,则ab 若Axxuuur

1,y1,B2,y2,则AB

若=(x,y),则=

若ax,bxrr

1,y12,y2,b0,则a//b

二、沙场练兵:

1.下列向量给中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A.e1=(0,0), e2 =(1,-2) ; B.e1=(-1,2),e2 =(5,7);

C.e1=(3,5),e2 =(6,10); D.e1=(2,-3) ,e2 =(13

2,4

)

2.已知向量a、b,且AB

=a+2b ,BC= -5a+6b ,CD=7a-2b,则一定共线的三点是 ( )

A.A、B、D B.A、B、C C.B、C 、D D.A、C、D 3.如果e1、 e2是平面α内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有 ( ) ①λe1+μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;

②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1+μe2的λ, μ有无数多对;

③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2); ④若实数λ, μ使λe1+μe2=0,则λ=μ=0.

A.①② B.②③ C.③④ D.仅②

4.过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E,若AD=xAB,AE=yAC

,xy≠0,则1

1

xy

的值为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1

5.若向量a=(1,1),b=(1,-1) ,c=(-2,4) ,则c= ( ) A.-a+3b B.3a-b C.a-3b D.-3a+b

*

6.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC

=αOA+βOB

,其中α,β∈R且α+β=1,则x, y所满足的关系式为 ( )

A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2

+(y-2)2

=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0

二、填空题

7.作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡,需加力F38.若A(2,3),B(x, 4),C(3,y),且AB

=2AC,则x,y9.已知A(2,3),B(1,4)且

1

2

AB=(sinα,cosβ), α,β∈(-2,2),则α+β*

10.已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行,则实数k的值为

三、解答题

11.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反,且|b|=26,求b

12.如果向量AB

=i-2j ,BC

=i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值使A、B、C三点共线。

13.已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),AE11

3AC,BF3

BC,

求证:EF//AB

*

14.已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若APABAC

(R),试求λ为何值时,点P在第三象限内?

数乘向量坐标运算(三)
向量坐标运算

2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解及坐标运算

【学习目标】

1.记住向量的坐标公式,会推导并记住两个向量和与差以及数乘向量的坐标公式;

2.会由线段的中点的向量表达式推导线段中点的坐标公式;

3.会利用向量的坐标公式解决实际问题.

【重点难点】

重点:向量的坐标运算公式的熟练运用;

难点:概念的理解和公式的推导.

预习案 温故推陈可知新 问题1: 在平面直角坐标系中,每一个点可用一个有序实数对(x,y)表示,那么,每一个向量可否也用一个有序实数对来表示?怎么表示?

问题2:什么是正交分解?什么叫正交基底?

问题3:在直角坐标系xOy内,分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量i,j(单

位正交基底),任一向量a在此基底下分解为axiyj,x,y是唯一确定的吗? 

问题4:若把a的起点放到原点O,则其终点A的坐标与向量a的坐标什么关系?

问题5:A(x1,y1),B(x2,y2),求向量AB坐标?

问题6:向量加法、减法怎样用坐标表示?

问题7:实数与向量的积的坐标表示?【数乘向量坐标运算】

如右图所示,平面向量AB的坐标是( )

A. (2,3) B. (2,3)

C. (2,3) D. (2,3)

2.已知向量a,b的坐标,求ab,ab,的坐标

(1)a(2,4),b(5,2)

(2)a(2,3),b(2,3)

(3)a(3,0),b(0,4)

AB,BA的坐标:

(1)A(3,5),B(6,9)

(2) A(3,4),B(6,3)

4.已知a(3,2),b(0,1),求2a4b,4a3b的坐标。



[预习中存在的疑惑]:

题型一:求向量坐标

例1、 在直角坐标系中,已知 A(3,4),B(-3,4),C(-3,-4),D(3,-4),求OA,OB,OC,OD的长度和方向.

例2、 已知a=(2,1), b=(-3,4),求a+b, a-b,3a+4b的坐标.

题型二 :平面向量坐标运算

例3.ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,求向量AB,AD,BC的坐标



例4、已知:平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1),B(1,3),C(3,4),求顶点D的坐标.

1 设a(1,2),b(4,3),则2a3b( )A.(10,13) B.(14,13) C.(10,5) D.非上述结论

12已知A(5,1),B(3,2),则AB( ) 2

1A.(8,1) B.(4,) C.(8,1) D.(8,1) 2

3设点A(1,2),B(2,3),C(3,1),且AD2AB3BC,则点D的坐标为 ( )

A.(2,16) B.(2,16) C.(4,16) D.(2,0)

4原点O为正六边形ABCDEF的中心

,OA(13)O,B则3)

OC( )

A.(2,0)(1,-1) B.(2,0) C.(0,2)

D.(0,3)

5 ABC两个顶点坐标是A(3,7),B(2,0)若AC的中点在x轴上,BC的中点在y轴上,则顶点C的坐标为 ( )

A.(2,7) B.(7,2) C.(3,5) D.(5,3)

学习心得 总结升华促感悟

数乘向量坐标运算(四)
向量数量积的坐标运算

数乘向量坐标运算(五)
平面向量的坐标运算

《平面向量的坐标运算》教学案例分析

《平面向量的坐标运算》教学案例分析

课题《平面向量的坐标运算》

主要分析研究两类问题:

(一)、平面向量的坐标和平面向量的坐标运算

(二)、以情境教学培养学生的创新精神和实践能力,履行“以学生发展为本”的教育思想。

下面从三个方面阐述这节课。

【数乘向量坐标运算】

第一方面:教材分析 本节的授课内容为《平面向量的坐标运算》,选自全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(下)第五章第四节,下面从四个方面进行教材分析。

平面向量的坐标将平面向量和一对有序实数建立了一一对应关系;平面向量的坐标运算,则使向量的运算完全数量化,将数与形紧密地结合起来,为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。这样,用向量的方法解决几何问题更加方便,从而极大地提高了学生利用向量知识解决实际问题的能力。

同时,这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意义。

结合教参和学生的学习能力,将《平面向量的坐标运算》安排了2课时。本节为第一课时。 根据目前学生的状况和以往的经验,虽然这节课的内容比较简单,但由于老师讲解的过多,导致学生丢失了很多重要的知识。为了激发学生的学习热情,在平面向量基本定理为背景下,以问题情境创设复习提问的形式,引出平面向量的坐标的定义;以讨论的形式得出平面向量坐标运算的规律,直接切入本节课的知识点。之后,由浅入深,由低到高地设计了三个层次的问题,逐步加深学生对平面向量的坐标的记忆和理解。

由此,对教材的引入、例题和练习做了适当的补充和修改。

根据学生现状、教学要求以及教材内容,确立本节课的教学重点为:明确平面向量的坐标和点的坐标的关系并熟练地掌握平面向量的坐标运算。

由学生的实际情况——运用所学知识分析和解决实际问题的能力较差,把本节课的难点定为:平面向量的坐标运算的应用。

要突破这个难点,关键在于紧扣平面向量的坐标运算的相关知识,利用情境去发现解决问题的方法。

根据教学要求,教材的地位和作用,以及学生现有的知识水平和数学能力,把本节课的教学目标确定为三个方面:

(1)知识教学目标:

理解向量的坐标表示法与平面向量和一对有序实数的一一对应关系;

能准确表述平面向量的坐标运算的规律;

并掌握用平面向量的坐标运算解决平面几何问题的方法。

(2)能力训练目标:

培养学生观察、分析、比较、归纳的能力及创新能力;

培养学生运用数形结合的方法去分析和解决问题的能力。

(3)德育渗透目标: 通过学习平面向量的坐标运算,实现几何与代数的完全结合,让学生明白:知识与知识之间,事物与事物之间的相互联系和相互转化; 通过例题及练习的学习,培养学生的辩证思维能力,养成勤于动脑,明辨是非的学习作风。

第二方面:教法与学法分析

数学家乔治·波利亚指出:“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现,因为这种发现,理解最深,也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”这里所说的“发现” ,其实就是学生在自主探索过程中,根据自己的思维方式和体验对数学知识进行“再创造” 。教学实践证明,学生进行“再创造”时能最大限度地发挥主观能动性和创造性,并从中学习探索的方法,体验成功的乐趣,激起学习数学的兴趣。因此本节课采用“引导发现法”来组织课堂教学,为学生提供自主探索、实现“再创造”的机会,突出学生的主体作用。

教学活动是教与学的有机统一。在教学过程中,要紧紧抓住“学”这个中心。根据本节课的特点,以“讲练结合”为主题的课堂情境,以“教为主导,学为主体,练为主线” 为教学原则,通过提问→归纳→讲→练→讨论→总结的教学程序,循序渐进借助情境地将问题逐步引向深入,并借助于计算机课件辅助教学,引导学生多种感官参与学习的全过程。

第三方面:教学过程:

共分为六个环节,具体的时间安排如下:

复习提问约3分钟,导入新课约5分钟,创设问题约25分钟,小结约5分钟,布置作业约2分钟。

(1)什么是向量的基底?

(2)平面向量基本定理的内容是什么? (3)直角坐标平面内的点与一对有序实数存在什么样的关系? 课堂教学论认为:“要使教学过程最优化,首先要把所学习的知识和学生已有的信息联系起来” ,这三个问题的复习就可以使学生在学习新的知识前,已拥有适当的知识积累。

分为两步。第一步:以平面向量基本定理为背景,我首先引入平面向量的坐标的定义

在直角坐标系xoy内,分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量i、j。在xoy平面上任作一向量a,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序数对(a1, a2),,使得

a= a1i+

a2j, y

a a

(a1, a2)叫做向量a在直角坐标系xoy中的坐

标,

记作a= (a1,

a2)

其中a1叫做在x轴上的坐标分

量,

a2叫做在y轴上的坐标分

量, o a x

i、j是直角坐标平面上的基

底。


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