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微积分基本定理

2016-11-23 11:37:34 知识 来源:http://www.chinazhaokao.com 浏览:

导读:   牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面是中国招生考试网w ...

  牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com  为大家整理的微积分基本定理,供大家参考。

  微积分基本定理

  基本简介

  若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且

  莱布尼茨公式

  这即为牛顿-莱布尼茨公式。

  理解:

  比如路程公式: 距离s=速度v*时间t,即s=v*t,那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止,t=b-a,而如果v不能在这个时间段内保持均速,那么上面的这个公式(s=v*t,t=b-a)就不能和谐的得到正确结果,于是引出了定积分的概念。

  公式应用

  那么如何在用积分得到上述路程公式呢?

  公式

  这个公式能表明路程s是每个不同速度时候行驶的时间和当前速度乘积的和。

  牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:

  对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:

  b∫a*f(x)dx

  现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数:

  Φ(x)= x∫a*f(x)dx

  但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:

  Φ(x)= x∫a*f(t)dt

  研究这个函数Φ(x)的性质: 1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ 与格林公式和高斯公式的联系

  '(x)=f(x)。

  公示证明

  证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量

  ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt

  显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt

  而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)·Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,

  也可自己画个图,几何意义是非常清楚的。)

  当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

  可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。

  2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数。

  证明:我们已证得Φ'(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x)

  但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C

  于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a),

  而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)

  把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

  高阶导数莱布尼兹公式

  (uv)^(n)=∑(n,k=0) C(k,n) * u^(n-k) * v^(k)

  注:

  C(k,n)=n!/(k!(n-k)!)

  ^代表后面括号及其中内容为上标,求xx阶导数

  微积分基本定理

  用-y代y,方程不变,说明这是关于x轴对称的图形,

  我们先求x轴上方部分面积。然后乘以2即可。

  (以下pi指圆周率)

  先变形:y=根号(1-x^2/a^2)(y>0,所以不需要正负号)

  在-a到a上定积分:积分[-a~a]b根号(1-x^2/a^2)dx

  我们注意到这没法用直接积出,所以要换元。令x=acost,则根号(1-x^2/a^2)=sint,t属于[0,pi].所以积分式变为

  积分[0,pi](bsint)d(acost)

  =积分[0,pi]ab(sint)d(cost)

  =积分[0,pi]ab(sint)(sint)dt

  =积分[0,pi]ab[(1-cos2t)/2]dt

  =ab[t-sin2t/2]/2|[0,pi]

  =ab[pi-0]/2-ab[0-0]/2

  =ab*pi/2.

  这是x轴上方的部分,所以整个图形的面积是上式的2倍。即pi*ab.

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