微积分基本定理

导读：　　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面是中国招生考试网w ...

　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com  为大家整理的微积分基本定理，供大家参考。

　　微积分基本定理

　　基本简介

　　若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且

　　莱布尼茨公式

　　这即为牛顿-莱布尼茨公式。

　　理解:

　　比如路程公式: 距离s=速度v*时间t，即s=v*t，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a，而如果v不能在这个时间段内保持均速，那么上面的这个公式(s=v*t，t=b-a)就不能和谐的得到正确结果，于是引出了定积分的概念。

　　公式应用

　　那么如何在用积分得到上述路程公式呢?

　　公式

　　这个公式能表明路程s是每个不同速度时候行驶的时间和当前速度乘积的和。

　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:

　　对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:

　　b∫a*f(x)dx

　　现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数:

　　Φ(x)= x∫a*f(x)dx

　　但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:

　　Φ(x)= x∫a*f(t)dt

　　研究这个函数Φ(x)的性质: 1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ 与格林公式和高斯公式的联系

　　'(x)=f(x)。

　　公示证明

　　证明:让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

　　ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt

　　显然，x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt

　　而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)·Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

　　也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

　　当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

　　可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。

　　2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)，F(x)是f(x)的原函数。

　　证明:我们已证得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x)

　　但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a]，故面积为0)，所以F(a)=C

　　于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a),

　　而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)

　　把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

　　高阶导数莱布尼兹公式

　　(uv)^(n)=∑(n，k=0) C(k,n) * u^(n-k) * v^(k)

　　注:

　　C(k,n)=n!/(k!(n-k)!)

　　^代表后面括号及其中内容为上标，求xx阶导数

　　微积分基本定理

　　用-y代y，方程不变，说明这是关于x轴对称的图形，

　　我们先求x轴上方部分面积。然后乘以2即可。

　　(以下pi指圆周率)

　　先变形：y=根号(1-x^2/a^2)(y>0,所以不需要正负号)

　　在-a到a上定积分：积分[-a~a]b根号(1-x^2/a^2)dx

　　我们注意到这没法用直接积出，所以要换元。令x=acost,则根号(1-x^2/a^2)=sint,t属于[0,pi].所以积分式变为

　　积分[0,pi](bsint)d(acost)

　　=积分[0,pi]ab(sint)d(cost)

　　=积分[0,pi]ab(sint)(sint)dt

　　=积分[0,pi]ab[(1-cos2t)/2]dt

　　=ab[t-sin2t/2]/2|[0,pi]

　　=ab[pi-0]/2-ab[0-0]/2

　　=ab*pi/2.

　　这是x轴上方的部分，所以整个图形的面积是上式的2倍。即pi*ab.

微积分基本定理相关热词搜索：微积分 定理

1、家庭贫困认定理由范文篇一《家庭贫困补助申请书范文》 家庭贫困认定理由范文。(2015-12-21)

2、坚定理想信念演讲稿篇一《赞辉辉煌成就,坚定理想信念(演讲稿)》 坚定理想信念演讲稿。(2015-12-23)

3、北师大版八年级第一章勾股定理测试试卷篇一：北师大版八年级数学上册第一章勾股定理测试题 北师大版八年级第一章勾股定理测试试卷。(2016-01-09)

4、数学北师大版勾股定理单元测试题篇一：勾股定理单元测试题(北师大版) 数学北师大版勾股定理单元测试题。(2016-01-10)

5、经典垂径定理教案篇一：经典垂径定理教案 经典垂径定理教案。(2016-01-11)

6、北师大版八年级上册数学<三角形内角和定理>说课稿篇一：北师大版八年级上册数学全册教案 北师大版八年级上册数学<三角形内角和定理>说课稿。(2016-01-12)

7、北师大数学八上三角形内角和定理的应用练习题篇一：新北师大版八年级上册7 5三角形内角和定理同步练习题 北师大数学八上三角形内角和定理的应用练习题。(2016-01-12)

8、坚定理想信念的句子篇一《思想汇报——坚定理想信念,勇担时代责任》 坚定理想信念的句子。(2016-02-23)

9、贫困认定理由200字(共5篇)贫困生申请书200字贫困生申请书200字篇一：尊敬的学校领导：你好!我是日喀则地区小学一年级六班学生，我叫王双利，本人在校期间品行优良，无违反违纪行为、乐于助人、城市守信、尊敬师长、热爱集体。因家庭经济困难特申请贫困生助学金。家里共有六口人，爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、我和弟弟，爷爷长年患有老年痴呆，长贫困认定理由200字。(2016-04-01)

10、申请贫困申请认定理由(共5篇)贫困认定申请书高等学校贫困认定申请书尊敬的各位校领导：您们好！我是水利科学与工程学院水文与水资源工程1001班的学生 ，来……………… 的一个偏僻贫困小山村。家中有5口人，父母、哥哥妹妹和我。家中的劳动力只有父亲和母亲，父母亲均是农民，因为没有文化、没有本钱，父亲只能在工地上面打工补充家里，而母亲则申请贫困申请认定理由。(2016-04-08)

11、申请贫困认定的申请认定理由(共5篇)贫困认定申请书高等学校贫困认定申请书尊敬的各位校领导：您们好！我是水利科学与工程学院水文与水资源工程1001班的学生 ，来……………… 的一个偏僻贫困小山村。家中有5口人，父母、哥哥妹妹和我。家中的劳动力只有父亲和母亲，父母亲均是农民，因为没有文化、没有本钱，父亲只能在工地上面打工补充家里，而母亲则申请贫困认定的申请认定理由。(2016-04-15)

12、家庭经济困难认定理由(共4篇)家庭经济困难申请书申请书尊敬的各位领导、老师：你们好！我叫×××，是××级××专业（×）班的学生。我来自×× (湛江雷州)，家庭经济状况不好，主要经济来源是父母务农，家里有××口人，父母常年待业在家，以务农维持着家庭运转。家乡是一个贫困农村，以种植水稻为主，农作物产量不高，常年受到台风、干旱等自然灾家庭经济困难认定理由。(2016-04-15)