导读: 在数学中,椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是同一个常数的轨迹。这两个固定点叫做焦点。它是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。 ...
椭圆的标准方程
两种情况
当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);
当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);
其中a^2-c^2=b^2
推导
如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长,那么这个动点的轨迹叫做椭圆。
椭圆的图像如果在直角坐标系中表示,那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴,可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程:
在方程中,所设的称为长轴长,称为短轴长,而所设的定点称为焦点,那么称为焦距。在假设的过程中,假设了,如果不这样假设,会发现得不到椭圆。当时,这个动点的轨迹是一个线段;当时,根本得不到实际存在的轨迹,而这时,其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意,在假设中,还有一处:。
通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。
非标准的椭圆方程
其方程是二元二次方程,可以利用二元二次方程的性质进行计算,分析其特性。
椭圆焦点
当焦点在X轴上时焦点坐标F1(-c,0)、F2(c,0)
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1(0,-c)、F2(0,c)
c²=a²-b²
几何性质
X,Y的范围
当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b椭圆的标准方程.。
当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
不论焦点在X轴还是Y轴,椭圆始终关于X/Y/原点对称。既椭圆是中心对称图形。
顶点:
焦点在X轴时:长轴顶点:(-a,0),(a,0)
短轴顶点:(0,b),(0,-b)
焦点在Y轴时:长轴顶点:(0,-a),(0,a)
短轴顶点:(b,0),(-b,0)
注意长短轴分别代表哪一条轴,在此容易引起混乱,还需数形结合逐步理解透彻。
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