一元二次不等式

导读：　　　含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0(a不等于0)其中ax^2+ ...

　　含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax^2+bx+c>0 或 ax^2+bx+c<0(a不等于0)其中ax^2+bx+c是实数域内的二次三项式。以下是小编给大家提供的一元二次不等式，，快来看看吧!

　　一元二次不等式

　　一元二次不等式的解法

　　教学目标

　　(1)掌握一元二次不等式的解法;

　　(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组;

　　(3)了解简单的分式不等式的解法;

　　(4)能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系;

　　(5)能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式;

　　(6)通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;

　　(7)通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观.

　　教学重点：一元二次不等式的解法;

　　教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.

　　教与学过程设计

　　第一课时

　　Ⅰ.设置情境

　　问题：

　　①解方程

　　

 

　　②作函数

　　

 

　　的图像

　　③解不等式

　　

 

　　【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

　　【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式

　　

 

　　的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

　　通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

　　

 

　　在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上!)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?

　　Ⅱ.探索与研究

　　我们现在就结合不等式

　　

 

　　的求解来试一试。(师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出

　　

 

　　的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。)

　　【答】方程

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　【置疑】哪位同学还能写出

　　

 

　　的解法?(请一程度差的同学回答)

　　【答】不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　我们通过二次函数

　　

 

　　的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第(5)小题

　　

 

　　的解集，还求出了

　　

 

　　的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

　　下面我们再对一般的一元二次不等式

　　

 

　　与

　　

 

　　来进行讨论。为简便起见，暂只考虑

　　

 

　　的情形。请同学们思考下列问题：

　　如果相应的一元二次方程

　　

 

　　分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数

　　

 

　　的图像与x轴的位置关系如何?(提问程度较好的学生)

　　【答】二次函数

　　

 

　　的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

　　现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。(通过多媒体或其他载体给出以下表格)

　　

 

　　【答】

　　

 

　　的解集依次是

　　

 

　　

 

　　的解集依次是

　　

 

　　它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数

　　

 

　　的图像。

　　课本第19页上的例1.例2.例3.它们均是求解二次项系数

　　

 

　　的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。

　　(教师巡视，重点关注程度稍差的同学。)

　　Ⅲ.演练反馈

　　1.解下列不等式：

　　(1)

　　

 

　　(2)

　　

 

　　(3)

　　

 

　　(4)

　　

 

　　2.若代数式

　　

 

　　的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。

　　3.解不等式

　　(1)

　　

 

　　(2)

　　

 

　　参考答案：

　　1.(1)

　　

 

　　;(2)

　　

 

　　;(3)

　　

 

　　;(4)R

　　2.

　　

 

　　3.(1)

　　

 

　　(2)当

　　

 

　　或

　　

 

　　时，

　　

 

　　，当

　　

 

　　时，

　　

 

　　当

　　

 

　　或

　　

 

　　时，

　　

 

　　。

　　Ⅳ.总结提炼

　　这节课我们学习了二次项系数

　　

 

　　的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。

　　(五)、课时作业

　　(P20.练习等3、4两题)

　　(六)、板书设计

　　

 

　　第二课时

　　Ⅰ.设置情境

　　(通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。)

　　上节课我们只讨论了二次项系数

　　

 

　　的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数

　　

 

　　的一元二次不等式如何来求解?咱们班上有谁能解答这个疑问呢?

　　Ⅱ.探索研究

　　(学生议论纷纷.有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，…….教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解.)

　　生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数

　　

 

　　的一元二次不等式的解集.

　　生乙：我觉得先在不等式两边同乘以-1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了.

　　师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的.不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论.这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误.而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4.

　　(待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍.)

　　[知识运用与解题研究]

　　由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为

　　

 

　　的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求

　　解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式.(调两位程度中等的学生演板)

　　(1)

　　

 

　　(2)

　　

 

　　(分别为课本P21习题1.5中1大题(2)、(4)两小题.教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题.)

　　训练二 可化为一元一次不等式组来求解的不等式.

　　目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦.故在求解形如

　　

 

　　(或

　　

 

　　)的一元二次不等式时则根据(有理数)乘(除)运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解.现在清同学们阅读课本P20上关于不等式

　　

 

　　求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集?(待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题.)

　　【答】因为满足不等式组

　　

 

　　或

　　

 

　　的x都能使原不等式

　　

 

　　成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集.

　　这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式.(调三位程度各异的学生演板.教师巡视，重点关注程度较差的学生).

　　(1)

　　

 

　　[P20练习中第1大题]

　　(2)

　　

 

　　[P20练习中第1大题]

　　(3)

　　

 

　　[P20练习中第2大题]

　　(老师扼要讲评三位同学的解答.尤其要注意纠正表述方面存在的问题.然后讲解P21例5).

　　例5 解不等式

　　

 

　　因为(有理数)积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解

　　

 

　　(或

　　

 

　　)之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。

　　解：(略)

　　现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。

　　(等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。)

　　[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。

　　(通过多媒体或其他载体给出下列各题)

　　1.不等式

　　

 

　　与

　　

 

　　的解集相同此说法对吗?为什么[补充]

　　2.解下列不等式：

　　(1)

　　

 

　　[课本P22第8大题(2)小题]

　　(2)

　　

 

　　[补充]

　　(3)

　　

 

　　[课本P43第4大题(1)小题]

　　(4)

　　

 

　　[课本P43第5大题(1)小题]

　　(5)

　　

 

　　[补充]

　　(每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程)

　　参考答案：

　　1.不对。同

　　

 

　　时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。

　　2.(1)

　　

 

　　(2)原不等式可化为：

　　

 

　　，即

　　

 

　　解集为

　　

 

　　。

　　(3)原不等式可化为

　　

 

　　解集为

　　

 

　　(4)原不等式可化为

　　

 

　　或

　　

 

　　解集为

　　

 

　　(5)原不等式可化为：

　　

 

　　或

　　

 

　　解集为

　　

 

　　Ⅲ.总结提炼

　　这节课我们重点讲解了利用(有理数)乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。

　　(五)布置作业

　　(P22.2(2)、(4);4;5;6。)

　　(六)板书设计

　　

 

　　一元二次不等式及其解法教学反思

　　早上上了这一节内容，在学习新课之前先对昨天布置得作业中比较多学生错误的题目进行讲解，由于没有把握好时间，花费了十分钟。

　　一元二次不等式及其解法的教学重点是从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。根据我们学生的实际情况，和备课组其他老师商量后决定通过实际情境中抽象出一元二次不等式模型，而是直接引入不等式，重点在它的解法上。所以，我首先来一个复习1：解三个一元一次不等式，由于题目简单，学生很快就饥解答完毕，或许太简单，学生学习兴趣锐减。复习二是让学生写出一个以前所学的一元二次不等式————，一元二次方程————，一元二次函数————。点名一位学生板演，该名学生写出了不等式和方程，函数不会写。完了之后，根据学生所写的式子，我引导学生思考它们三者之间的联系。随机点了两位学生上台来画出所给的一元二次函数图像。这两名学生本来基础是不错的，但画得很不理想，花费了很长时间都没能画得完整，最后只能我来收尾，画好后引导学生观察图像获得解集。将完这里的时候，已经过了三十多分钟了。最后时间只能匆忙下课。通过本节课，有几个方面以后上课必须要注意：

　　1、 教学内容安排要合理。每一节的教学内容要适合学生的实际情况，不能好多，也不太少了。今天这节课备课的教学内容是安排是到设相应的一元二次方程的两根，则不等式的解的各种情况如下表(列表)：(让学生独立完成课本第77页的表格)，还要完成一道例题的学习的。结果是没有完成既定的教学内容安排。

　　2、 课堂突发情况的调控能力还要提高。本节课时间浪费在三个地方，一个是作业讲解可以减少时间，一个复习引入这里应该更有效率，还有学生扮演时当有比较大困难时应该有更灵活的处理方式。

　　3、 调动学生学习积极性还需要学习更多好的方法。本节课没有完成教学任务又一原因是学生的情绪不高影响了我个人的上课情绪，导致上课进度。

　　4、 有效课堂必须是完整的课堂，无论是课前复习，新课导学，典型例题、当堂练习、学习小结还是当堂检测都应该完整完成。今后的课堂一定要向着这个目标努力。

　　下午在上这内容时，对教学内容的处理和课堂调控有了很大的改变。主要是在引导学生通过解一元二次方程和画一元二次函数图像来理解一元二次不等式。先让学生识别 , , (部分学生不清楚)，点名让学生上来求出方程的根和函数的图像。观察图像可以发现：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即;当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,即;所以，不等式的解集是，再让学生归纳出求解的步骤。最后引导学生探究一般的一元二次不等式的解法，任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：，求解集关键是抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程的根的情况，还要注意开口方向。而抛物线与 x轴的相关位置，分为三种情况可以由一元二次方程的判别式来确定。由于之前有一个例子，学生很容易理解。最后指导学生独立完成课本第77页的表格，把各种情况通过表格进行归类，清晰明了。完成表格后刚好下课铃响起，这节课对比上午在二(6)班完成的质量，个人觉得有了很大改进，所以课后教学反思有很大帮助。

　　“三步法”解一元二次不等式

　　利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，三步可求出一元二次不等式的解集，且简便快捷。第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根，第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象，第三步根据图象写出不等式的解集。

　　例1 解不等式

　　

 

　　。

　　解析：方程

　　

 

　　的解为

　　

 

　　。函数

　　

 

　　的图象如图1。因不等式

　　

 

　　的解为抛物线

　　

 

　　在x轴下方对应点的横坐标，所以可得不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　点评：作相关二次函数的图象时，可不必作出y轴，因为求解一元二次不等式，只需找出抛物线在x轴上(或下)方对应点的横坐标，与y轴的位置并无关系。

　　例2 解不等式

　　

 

　　。

　　解析：显然方程

　　

 

　　无解。函数

　　

 

　　的图象如图2。因不等式

　　

 

　　的解为抛物线

　　

 

　　在x轴上方对应点的横坐标，所以不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　点评：对于二次项系数为负的不等式可转化为正系数的情况研究，作二次函数图象时必须弄清楚抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点坐标。

　　例3 解关于x的不等式

　　

 

　　。

　　解析：原不等式等价于

　　

 

　　。方程

　　

 

　　的根为x=a或

　　

 

　　，抛物线

　　

 

　　开口向上。

　　当a=0或a=1时，

　　

 

　　，如图3，原不等式的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　当

　　

 

　　时，

　　

 

　　，如图4，原不等式的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　当a>1或a<0时，

　　

 

　　，如图5，原不等式的解集为

　　

 

　　。

　　

 

　　点评：熟练后只需在大脑中想象出二次函数图象，不必真正画出来。

　　例4 解关于x的不等式

　　

 

　　。

　　解析：原不等式变形为

　　

 

　　当a=0时，原不等式的解为x<1

　　当a<0时，方程

　　

 

　　的两根为1、

　　

 

　　，抛物线开口向下，原不等式的解为

　　

 

　　。

　　当a>0时，

　　

 

　　，抛物线开口向上，原不等式的解为

　　

 

　　。

　　点评：解含参数的一元二次不等式问题需要讨论，运用“三步法”解一元二次不等式，分类标准的确定变得轻松自然，容易理解。

　　例5 已知不等式

　　

 

　　的解集是

　　

 

　　，求不等式

　　

 

　　的解集。

　　解析：不等式

　　

 

　　的解集为

　　

 

　　，由函数性质知a<0.2、

　　

 

　　为方程

　　

 

　　的两个根。则

　　

 

　　，可得

　　

 

　　不等式

　　

 

　　变为

　　

 

　　，由a<0，得

　　

 

　　，所以其解集为

　　

 

　　。

　　点评：若能发现方程

　　

 

　　与方程

　　

 

　　的根互为倒数，a<0，c>0，想象图象，求解更快捷。有兴趣的同学不妨试一试。

　　例6 已知a≠0，二次函数

　　

 

　　。设

　　

 

　　的解集为A，又已知

　　

 

　　，若

　　

 

　　，求实数a的取值范围。

　　解析：由

　　

 

　　，知二次函数

　　

 

　　的图象必与x轴相交，其开口方向不确定，需要讨论。

　　当a>0时，二次函数

　　

 

　　的图象开口向上，对称轴

　　

 

　　，由

　　

 

　　，如图6知

　　

 

　　从而

　　

 

　　，可得

　　

 

　　。

　　

 

　　当a<0时，二次函数

　　

 

　　的图象开口向下，对称轴

　　

 

　　，由

　　

 

　　，如图7知

　　

 

　　，从而

　　

 

　　，可得a<-2。

　　

 

　　综上，使

　　

 

　　成立的实数a的取值范围为(-∞，-2)

　　

 

　　(

　　

 

　　)。

　　点评：若求出方程

　　

 

　　的根，将得到无理不等式，情况复杂难解。

　　例7 若函数

　　

 

　　的值域为[1，7]，试确定x的取值范围。

　　解析：设

　　

 

　　，由函数

　　

 

　　的值域为[1，7]，得

　　

 

　　。作出

　　

 

　　的图象，如图8。

　　

 

　　由题设知

　　

 

　　，得

　　

 

　　，所以x的取值范围是

　　

 

　　。

　　点评：对于不等式

　　

 

　　，也可以转化为解不等式组

　　

 

　　，但不如上述解法直观明了。

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