初中数学重要概念性质定理

导读：　初中数学重要概念性质定理(共5篇)人教版初中数学常用概念、公式和定理初中数学常用的概念、公式和定理1 整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数 如:－3,,0 231,0 737373…,丨a丨=a;a≤0, 无限不环循小数叫做无理数 如:π,－-,0 1010010001…(两个1之间...

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初中数学重要概念性质定理(一)
人教版初中数学常用概念、公式和定理

初中数学常用的概念、公式和定理

1. 整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 如:－3,,0.231,0.737373…,丨a丨=a;a≤

0,.无限不环循小数叫做无理数..如:π,－-,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数. 2. 绝对值:a≥

如:丨－丨=丨a丨=－a. ;丨3.14－π丨=π－3.14.

3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.

4.把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5.

5.被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1位;被开方数的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位.

如:已知=0.4858,则=48.58;已知=1.558,则=0.1588.

6.整式的乘除法:

①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.

②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

③多项式乘以多项式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. ④多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

7.幂的运算性质:

①am×an=am+n. ②am÷an=am－n. ③(am)n=amn. ④(ab)n=anbn.

⑤()n=n. ⑥a－n=n,特别:()－n=()n. ⑦a0=1(a≠0).

如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(－3)－1=－,5－2=3.14)0=1,(－)0=1. =,()－2=()2=,(－

8.乘法公式(反过来就是因式分解的公式):

①(a+b)(a－b)=a2－b2. ②(a±b)2=a2±2ab+b2. ③(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3.

④(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3; a2+b2=(a+b)2－2ab, (a－b)2=(a+b)2－4ab.

9.选择因式分解方法的原则是:先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:二项式用平方差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三项以上用分组分解法.注意:因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

10.分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加减法应先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:结果要化为最简分式.

11.二次根式:

①()2=a(a≥0),②

)2=45.②=丨a丨,③=6.③a<0时,=×=－a,④.④=(a>0,b≥0). 的平方根=4的平方根=±2. 如:①(3

12.一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0:①求根公式是x=,其中=b2－4ac叫做根-的判别式.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有个相等的实数根;当-Δ<0时,方程没有实数根.注意:当Δ≥0时,方程有实数根.③若方程有两个实数根x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=,并且二次三项式ax2+bx+c可分解为a(x－x1)(x－x2).④以a和b为根的

一元二次方程是x2－(a+b)x+ab=0.

13.解分式方程(去分母或换元)和无理方程(两边平方或换元)必须检验.形如

:-

的方程组,用代入法解;形如:

解这两个方程组

. 的方程组,先把一个方程分解为两个一次方程,再把这两个方程分别与另一个方程组合成两个方程组,再用代入法分别

14.不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号要改变方向.

15.平面直角坐标系:

①各限象内点的坐标如图所示.

②横轴(x轴)上的点,纵坐标是0;纵轴(y轴)上的点,横坐标是0.

③关于横轴对称的两个点,横坐标相同(纵坐标互为相反数);

关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同(横坐标互为相反数);

关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都互为相反数.

16.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当k>0

时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点.

17.反比例函数y=(k≠0)的图象叫做双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限(从左向右降);当k<0时,双曲线在二、四象限(从左向右上升).因此,它的增减性与一次函数相反.

18.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标).①a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.②顶点坐标是(－,),对称轴是直线x=－. 特别:抛物线y=a(x－h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.

注意:求解析式的设法

①已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式y=a(x－h)2+k;③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0)和(x2,0),则设为交点式y=a(x

－x1)(x－x2).

19.抛物线与x轴的位置关系:

对于抛物线y=ax2+bx+c①Δ<0时,它与x没有交点.②Δ=0时,它与x轴只有一个交点(与x轴相切).③Δ>0时,它与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个

根.

20.统计初步:

(1)概念:①所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.②在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.③将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.

(2)公式:设有n个数x1,x2,…,xn,那么:

①平均数=(x1+x2+…+xn).②方差S2=[(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2.(是整数时用)

③S2=[(x12+x22+…+xn2)－n()2].注:各数据的数位较少或平均数是分数时,用此公式.

④若将n个数x1,x2,…,xn各减去一个适当的数a,得到一组新数x1,,x2,,…,xn,,那么原来那

组数的方差S2=这组新数的方差,平均数=a+

差

(3)频率:①把一组数分成若干个小组,组距=(最大值－最小值)÷组数(求组数时,用收尾法取整数),这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总

个数的比值叫做这一小组的频率.因此,各组的频率的和等于1.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.各小长方形的面积的和等于1.

21.锐角三角函数:①设∠A是RtΔ的任一锐角,则∠A的正弦:sinA=

弦:cosA=,∠A的正切:tanA=,∠A的余切:cotA=. ,∠A的余,.方差越大,这组数据的波动就越大.通常用样本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准

并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0<sinA<1,0<cosA<1,tgA>0,ctgA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小.

②余角公式:sin(900－A)=cosA,cos(900－A)=sinA,tg(900－A)=ctgA,ctg(900－A)=tgA. ③特殊角的三角函数值:sin300=cos600=,sin450=cos450=

cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600=

,tg600=ctg300=【初中数学重要概念性质定理】

④斜坡的坡度i=22.三角形:

(1)在一个三角形中:等边对等角,等角对等边.

(2).证明两个三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.

(3)在RtΔ中,斜边上的中线等于斜边的一半.

(4)证明一个三角形是直角三角形的方法有:

①先证明有一个角等于900. ,tg00=ctg900=0. =.设坡角为α,则i=tgα=. ,sin600=cos300=,tg450=ctg450=1-,sin00

=

②先证明最长边的平方等于另两边的平方和.

③先证明一条边的中线等于这条边的一半.

(5)三角形的中位线平行于笫三边,并且等于笫三边的一半.

(6)等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合.

23.四边形:

(1)n边形的内角和等于(n－2)1800,外角和等于3600.

(2)平行四边形的性质:对边平行且相等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分.

(3)证明一个四边形是平行四边形的方法有:①先证两组对边平行.②先证两组对边相等. ③先证一组对边平行且相等.④先证两条对角线互相平分.⑤先证两组对角分别相等.

(4)矩形的对角线相等且互相平分;菱形的对角线互相垂直平分,并且四条边相等.

(5)证明一个四边形是矩形的方法有:①先证明它有三个角是直角.②先证它是平行四边形,再证它有一个角是直角或对角线相等.

(6)证明一个四边形是菱形的方法有:①先证明它的四条边相等.②先证它是平行四边形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直.

(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质.

(8)梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半.

(9)轴对称图形有:线段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.中心对称图形有:线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,圆.

24.证明两个三角形相似的方法有:

①先证两组对应角相等.

②先证两边对应成比例并且夹角相等.

③先证三边对应成比例.

④先证斜边和一条直角边对应成比例.相似三角形的性质:对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,周长的比,都等于相似比.面积的比等于相似比的平方.

25.平行切割定理:

①如图1,DE∥

BC=.

=,=. ②如图2,若AB∥CD∥EF则26.射影定理:如图3,ΔABC中,若∠ACB=900,

CD⊥AB,则:①AC2=AD·AB.②BC2=BD·BA.③AD2=DA·

DB.

27.圆的有关性质:

(1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的

任意两个性质:①经过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;

⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:具备①,③时,弦不能是直径.

(2)两条平行弦所夹的弧相等.

(3)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等.

(4)圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(5)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

(6)圆周角等于它所对的弧的度数的一半.

(7)弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.

(8)同弧或等弧所对的圆周角相等.

(9)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

(10).900的圆周角所对的弦是直径.

(11)圆内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.

28.直线和圆的位置关系:

(1)若⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则:

①d<r直线L和⊙O相交.②d=r直线L和⊙O相切.③d>r直线L和⊙O相离.

(2)切线的判定定理:经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.反之:切线垂直过切点的半径.

(3)切线长定理,弦切角定理,相交弦定理及其推论,切割线定理及其推论.

(4)三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点.

(5)RtΔ的内切圆的半径R内=

29.圆和圆的位置关系:

(1)设两圆半径为R和r,圆心距为d,则:①d>R+r

②d=R+r

⑤d<R－r两圆外切.③R－r<d<R+r(R≥r)两圆内含. 两圆外离. 两圆相交.④d=R－r两圆内切. ,任意多边形的内切圆的半径R内=. (6)圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和.

30.圆中常作的辅助线:

(1)两圆相交,常作公共弦,连心线.

(2)两圆相切,常作公切线,连心线.

(3)已知切线,常过切点作半径.

(4)已知直径,常作直径所对的圆周角.

(5)求解有关弦的问题,作弦心距.(6)弧的中点常和圆心连结.

31.各顶点等分圆周

=外角=度. 正n边形各边相等,各角相等,且每个内角=度,中心角

32.面积公式:

初中数学重要概念性质定理(二)
初中数学重要概念、公式、定理、方法

初中数学重要概念、公式、定理、方法 姓名___________

1.乘法公式:

(a+b)(a-b)=a2-b2. (a+b)2=a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2.

2.幂的运算公式:

(am)n=am n. (ab)n=anbn. am·an=am+n.

am÷an=amn(a≠0). ap=p(a≠0). a0=1(a≠0). a

3.根式的运算法则: a(a0时) . a2aa(a0时)(a0,b0). 2a. (a0,b0).

4.一元二次方程 ax2bxc0(a0)

(1)判别式Δ=b2-4ac

Δ>0时,方程有两个不相等的实数根.

Δ=0时,方程有两个相等的实数根.

Δ<0时,方程没实数根.

2bb4ac .(b24ac0) (2)求根公式： x2a

5.函数及其图象、性质

(1)一次函数y=kx+b k>0时,y随x的增大而增大

(2)正比例函数y=kx 性质 k<0时,y随x的增大而减小

(3)反比例函数y=k 性质 xk<0时,图象在二、四象限

(4)二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)

图象是抛物线. a>0时,开口向上. a<0时,开口向下.

b,4acb2. 对称轴x=b. 顶点坐标2a (5)二次函数y=a(x+h)2+k (a≠0)

顶点坐标(－h，k), 对称轴x=-h

6．统计： 平均数 x

2k>0时,图象在一、三象限 x1x2xn. n(x1)2(x2)2(xn)2

方 差 S. n

中位数：把数据按从小到大的顺序排列后，排在最中间的一个数或中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数.

7.余角、补角：

∠A、∠B互为余角∠A=90°-∠B.

∠A、∠B互为补角∠A=180°-∠B.

8.重要公式:

三角形内角和:180°

n边形内角和:(n-2)·180°

n边形外角和:360°

弧 长 公 式:l 180

2 扇形面积公式：SlR 圆锥侧面积公式:Sπrb（r为底面圆半径，b为母线长）

9.两圆位置关系:(大圆半径R、小圆半径r、圆心距d)

外离: d>R+r. 外切: d=R+r. 相交: R-r<d<R+r.

内切: d=R-r. 内含: d<R-r

10.几何重要定理:

直径(或半圆)所对的圆周角是直角.

同弧所对的圆周角等于圆心角一半.同弧(或等弧)所对的圆周角相等、圆心角相等 圆的切线垂直于过切点的半径.

三角形两边上的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.

角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

线段的垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.

垂直于弦的直径平分弦.

11.特殊角的三角函数值:

sin30°=. sin45°= . sin60°=. 222

cos30°=

tan30°= . cos45°= . cos60°=. 222 . tan45°=1. tan60°= . 3

12.直角三角形中的边角关系:

勾股定理：a2b2c2 sinA邻边对边对边. cosA. tanA邻边斜边斜边ca13.求函数自变量取值范围举例:

1 (1)y=中，x≥-2； (2)y=1中，x≠-2； (3)y=中，x>-2. x2

初中数学重要概念性质定理(三)
初中数学常用的概念、公式、定理

初中数学常用的概念、公式、定理

1． 有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限循环小数)如：－3，

，．

，0.1010010001„„． ，0.231，0.737373„，-无理数：无限不环循小数。如：π，－

有理数和无理数统称为实数．实数与数轴上的点一一对应。

倒数、相反数

2．绝对值：a≥【初中数学重要概念性质定理】

0丨a丨＝a； a≤

0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14．

3．有效数字：一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：

0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．

4．科学记数法：把一个数写成±a³10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07

510－5．（有效数学字往往和科学记数法结合进行考查） ³10，0.000043＝4.3×

5．幂的运算性质：①am³an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑥a－n＝1(a≠0)特别：()－n＝()n（ana

＝，()－0325624326339－1－2≠0 b≠0）⑦a＝1(a≠0)．如：a³a＝a，a÷a＝a，(a)＝a，(3a)＝27a，(－3)＝－，5＝2＝()＝，(－3.14)º＝1，(2－)＝1． 0

6．整式：单项式、多项式统称整式（单项式、多项式的次数、系数）

①整式的加减 去括号 同类项②单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除．③单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项．④多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项．⑤多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式．

7．乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．

8．因式分解：方法是：先看能否提公因式．在没有公因式的情况下：二项式用平方差公式，三项式用十字相乘法(特殊的用完

全平方公式)，三项以上用分组分解法．

注意：①因式分解结果是乘积的形式，②结果要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

9．分式：①分式有意义需分母≠0 ②分式的值为零需分子=0且分母≠0 ③运算：乘除法要先把分子、分母都分解因式，并颠

倒除式，约分后相乘；加减法应先把分母分解因式，再通分(不能去分母)．

注意：结果要化为最简分式．

10．二次根式：a( a≥0 )(①(

)＝45．②2)＝a(a≥0)，②＝－a．④2＝丨a丨，③＝³，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3-＝6．③a＜0时，的平方根＝4的平方根＝±2．

平方根、立方根、算术平方根的概念

同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。

最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式。

11．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0：①求根公式：x＝，

2②△＝b－4ac叫做根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有个相等的实数根；当△＜0

时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．

③若方程有两个实数根x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝。

12．分式方程：解法---去分母或换元，结果必须检验，分式方程应用题的检验首先是检验解是不是方程的解，然后再检验是否

符合实际。

13．不等式：特别注意两边都乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．（等式的性质：两边同乘以或除以一个不为零的数，

等式成立）不等式组的解集有四种情况请结合数轴记忆。

不等式往往会和一次函数、二次函的结合起来，一般来讲，题目中有“不超过”“不少于”等明显的提示用语用不等式；不等式与一次函相结合时，要注意先讨论K的正负，先根据K的正负来判断其增减性，然后再确定实际问题中的K的取值

结论。

二次函数与不等式结合时，往往要结合图像去解，这时一定要画出图像去根据图像观察。

14．平面直角坐标系：①各限象内点的坐标如图所示．②横轴(x轴)上的点，

纵坐标是0；纵轴(y轴)上的点，横坐标是0．③关于横轴对称的两个点：

横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于纵轴对称的两个点：纵坐标相同

横坐标互为相反数；关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数．

15．一次函数y＝kx＋b(k≠0)：图象是一条直线．当k＞0时，y随x的增大而增大

(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．

特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点．

16．反比例函数y＝(k≠0)：图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双

曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反（一定要强调在同一象限内，常见的方法是画图象）

反比例函数往往会和面积相结合，这时候要注意K所在象限及正负情况．

17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标)．①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口

向下．②顶点坐标是(－2，)，对称轴是直线x＝－． 特别：抛物线y＝a(x－h)＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是：直线x＝h．

2注意：求解析式的设法①已知三个点的坐标，则设为一般形式y＝ax＋bx＋c；②已知顶点坐标(h，k)，则设为顶点式y＝a(x

2－h)＋k；③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)和(x2，0)，则设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)（交点式一般不能把其作为最后的结果，也就是说最后要化成一般式为好！）

18．抛物线与x轴的位置关系：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c①△＜0时，它与x没有交点．②△＝0时，它与x轴只有一个交点(与x

轴相切)．③△＞0时，它与x轴有两个交点(x1，0)和(x2，0)，其中x1和x2是方程ax＋bx＋c＝0的两个根．

19．统计初步：（1）概念：①调查方式：普查，抽查。②所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从

总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．③在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．④将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

（2）公式：设有n个数x1，x2，„，xn，那么：①平均数＝(x1＋x2＋„＋xn)．②极差是一组数据中最大值与最小值的差，能

反映这组数据的变化范围③方差S＝[(x1－)＋(x2－)＋„＋(xn－)．

④标准差：方差的算术平方根．⑤若将n个数x1，x2，„，xn各减去一个适当的数a，得到一组新数x1，，x2，，„，xn，，那么

2原来那组数的方差S＝这组新数的方差，平均数＝a＋．方差越大，这组数据的波动就越大．通常用样本方差去估计总体22222

方差，用样本平均数去估计总体平均数。“数据”的加减不改变方差，数据的乘除N倍，则方差就扩大或缩小N的平方倍。方差常与当前的热点问题相结合。

（3）频率：①把一组数分成若干个小组，组距＝(最大值－最小值)÷组数(求组数时，用收尾法取整数)，这时，落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数，每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率．因此，各组的频率的和等于1．

20.概率：①确定事件、必然事件、不可能事件、随机事件。②概率一般包括两种，一种是可放回的概率，另一种是不可放回的概率，而放回与不放回的概率最简单的问题是直接告诉我们，而更多的是生活中不放回的概率，比如说吃粽子，或贴卡通画等，这里考得最多的是生活中的概率，所以请同学要先审题确定是属于哪一种概率，而概率的表示，可以是树状图，也可以是列表格，

21．锐角三角函数：①设∠A是Rt△的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝

tanA＝22， 关系： sinA＋cosA＝1 tanA=sinA/ cosA ，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小．

②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA，

③特殊角的三角函数值：

30° 45 ° 60°

sinA

cosA

tanA

④斜坡的坡度i＝12 2 2 3 2322 21 2 31 3 ＝．设坡角为α，则i＝tanα＝．

（锥形零件中的有关量的关系）

22．三角形（1）三角形中：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；内角和为180度

（2）三角形的中位线平行于笫三边，并且等于笫三边的一半．

（3）等腰三角形：等边对等角，等角对等边。顶角的平分线与底边上的中线和高线互相重合．

（4）直角三角形：①两条直角边的平方和等于第三边的平方②斜边上的中线等于斜边的一半．

③30°角所对的直角边是斜边的一半

-（5）证明一个三角形是直角三角形的方法有：①证明有一个角等于90º．②证明最长边的平方等于另两边的平方和．

（6）两个三再形全等：SAS，AAS，ASA，SSS，HL(RT△)

23．四边形：（1）n边形的内角和等于(n－2)180º，外角和等于360º．（2）平行四边形的性质：对边平行且相等；对角相等；

邻角互补；对角线互相平分．（3）证明一个四边形是平行四边形的方法有：

①两组对边平行．②两组对边相等．③一组对边平行且相等．④两条对角线互相平分．4）矩形的对角线相等且互相平分,其四个角都为直角；菱形的对角线互相垂直平分，并且四条边相等．（5）证明一个四边形是矩形的方法有：①有三个角是直角．②先证它是平行四边形，再证它有一个角是直角或对角线相等（6）证明一个四边形是菱形的方法有：①四条边相等．②先证它是平行四边形，再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直（7）正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质．

（8）梯形 等腰梯形 直角梯形。梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半．

24.图形的对称轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，正多边形，圆．中心对称图形有：线

段，平行四边形，矩形，菱形，正方形，边数是偶数的正多边形，圆．

25.比例的概念：比例外项、比例内项、比例中项、第四比例项。

26．黄金分割：黄金分割点 黄金分割数1≈0.618 黄金三角形 2

27.三角形相似的判定：①两组对应角相等．②两边对应成比例并且夹角相等．③三边对应成比例．

相似三角形的性质：对应角相等。对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比，周长的比，都等于相似比．面积的比等于相似比的平方．

28.射影定理（不能直接使用）：如图，△ABC中，若∠ACB＝90º，CD⊥AB，

则：①AC2＝AD²AB．②BC2＝BD²BA．③DC2＝DA²DB．

29.圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下两个条件：

①经过圆心②垂直于弦；那么这条直线就具有另外三个性质．

③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组

的其余三组量都分别相等．

（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（4）圆周角：①等于它同弧所对的圆心角的一半②圆周角等于它所对的弧的度数的一半．

③同弧或等弧所对的圆周角相等．④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

量相等，那么它所对应

⑤90º的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角

30．直线和圆的位置关系：（1）若⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，则：①d＜r

L和⊙O相切．③d＞r直线L和⊙O相离． 直线L和⊙O相交．②d＝r直线

（2）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．

切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径．

（3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两切线的夹角

（4）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心是三内角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角

形的外心．三角形的外心是三边中垂线的交点．

（5）Rt△的内切圆的半径R内＝，

1（6）任意多边形的内切圆的半径与面积和周长公式之间的关系：S=2CR．

31．圆和圆的位置关系：（1）设两圆半径为R和r，圆心距为d，则：①d＞R＋r

－r＜d＜R＋r(R≥r)

⑤d＜R－r两圆相交．④d＝R－r两圆内切． 两圆外离．②d＝R＋r两圆外切．③R两圆内含． 注意直线与圆是相离，而圆与圆是外离和内含

32.圆中常作的辅助线：（1）连半径构建等腰三角形（2）已知切线，常过切点作半径．

（3）已知直径，常作直径所对的圆周角．（4）求解有关弦的问题，作弦心距．

（5）弧的中点常和圆心连结．

圆中常作的解题思路：利用垂径定理、勾股定理、相似三角形，同弧所对的圆周角相等，以及圆周角与圆心角之间的关系，还有等弧是完全重合的弧，它包括弧长和弧度两个方面都相等。

经过不在同一条直线上的三点确定一个圆。

33.各顶点等分圆周正n边形各边相等，各角相等，每个内角＝度，中心角＝外角＝度．

34．面积公式：①S正△＝

弧长L＝

图)

35.重要的结论： ．⑦S扇形＝

22³(边长)．②S平行四边形＝底³高．③S菱形＝底³高＝³(对角线的积)④S圆＝πR．⑤C圆周长＝2πR．⑥＝LR．⑧S圆柱侧＝底面周长³高．⑨S圆锥侧＝³ 底面周长³母线＝πrR，并且2πr＝(如

垂线段最短 两点之间线段最短

36.常用数学思想方法：

数形结合思想 分类讨论思想 整体思想 转化思想 方程思想 函数思想

初中数学重要概念性质定理(四)
初中数学常用的概念、公式和定理

初中数学常用的概念、公式和定理

1. 整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 如:－3, ,0.231,0.737373…, , .无限不环循小数叫做无理数..如:π,－ ,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数.

2. 绝对值:a≥0 丨a丨=a;a≤0 丨a丨=－a.

如:丨－ 丨= ;丨3.14－π丨=π－3.14.

3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.

4.把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5.

5.被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1位;被开方数的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位.

如:已知 =0.4858,则 =48.58;已知 =1.558,则 =0.1588.

6.整式的乘除法:①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以单项式,将多项式的每一项 分别除以这个单项式.

7.幂的运算性质:①am×an=am+n.②am÷an=am－n.③(am)n=amn.④(ab)n=anbn.⑤( )n=n.⑥a－n=n,特别:( )－n=( )n.⑦a0=1(a≠0).

如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(－3)－1=－ ,5－2= = ,( )－2=( )2= ,(－3.14)0=1,( － )0=1.

8.乘法公式(反过来就是因式分解的公式):①(a+b)(a－b)=a2－b2.②(a±b)2=a2±2ab+b2.③(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3.④(a－b)(a2+ab+b2)=a3－b3;a2+b2=(a+b)2－2ab,(a－b)2=(a+b)2－4ab.

9.选择因式分解方法的原则是:先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:二项式用平方-差公式或立方和差公式,三项式用十字相乘法(特殊的用完全平方公式),三项以上用分组分解法.注意:因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

10.分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘;加减法应先把分母分解因式,再通分(不能去分母).注意:结果要化为最简分式.

11.二次根式:①( )2=a(a≥0),② =丨a丨,③ = × ,④ = (a>0,b≥0).

如:①(3 )2=45.② =6.③a<0时, =－a .④ 的平方根=4的平方根=±2.

12.一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0:①求根公式是x= ,其中=b2－4ac叫做根的判别式.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.注意:当Δ≥0时,方程有实数根.③若方程有两个实数根x1和x2,则

x1+x2=－ ,x1x2= ,并且二次三项式ax2+bx+c可分解为a(x－x1)(x－x2).④以a和b为根的一

元二次方程是x2－(a+b)x+ab=0.

13.解分式方程(去分母或换元)和无理方程(两边平方或换元)必须检验.形如: 的方程组,用代入法解;形如: 的方程组,先把一个方程分解为两个一次方程,再把这两个方程分别与另一个方程组合成两个方程组,再用代入法分别解这两个方程组.

14.不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号要改变方向.

15.平面直角坐标系:①各限象内点的坐标如图所示.

②横轴(x轴)上的点,纵坐标是0;纵轴(y轴)上的点,横坐标是0.

③关于横轴对称的两个点,横坐标相同(纵坐标互为相反数);

关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同(横坐标互为相反数);

关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都互为相反数.

16.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当k>0时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点.

17.反比例函数y= (k≠0)的图象叫做双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限(从左向右降);当k<0时,双曲线在二、四象限(从左向右上升).因此,它的增减性与一次函数相反.

18.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标).①a>0时,开口向上;a<0时,开口向下.②顶点坐标是(－ , ),对称轴是直线x=－ .

特别:抛物线y=a(x－h)+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.

注意:求解析式的设法①已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶点坐标(h,k),则设为顶点式y=a(x－h)2+k;③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0)和(x2,0),则设为交点式y=a(x－x1)(x－x2).

19.抛物线与x轴的位置关系:对于抛物线y=ax2+bx+c①Δ<0时,它与x没有交点.②Δ=0时,它与x轴只有一个交点(与x轴相切).③Δ>0时,它与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0),其中x12和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.

20.统计初步:(1)概念:①所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.②在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数.③将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.

(2)公式:设有n个数x1,x2,…,xn,那么:

①平均数 = (x1+x2+…+xn).②方差S2= [(x1－ )2+(x2－ )2+…+(xn－ )2.( 是整数时用)

③S2= [(x12+x22+…+xn2)－n( )2].注:各数据的数位较少或平均数是分数时,用此公式.

④若将n个数x1,x2,…,xn各减去一个适当的数a,得到一组新数x1,,x2,,…,xn,,那么原来那组

数的方差S2=这组新数的方差,平均数 =a+ ,.方差越大,这组数据的波动就越大.通常用样本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准差

(3)频率:①把一组数分成若干个小组,组距=(最大值－最小值)÷组数(求组数时,用收尾 法取整数),这时,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总 个数的比值叫做这一小组的频率.因此,各组的频率的和等于1.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.各小长方形的面积的和等于1.

21.锐角三角函数:①设∠A是RtΔ的任一锐角,则∠A的正弦:sinA= ,∠A的余弦:cosA= ,∠A的正切:tanA= ,∠A的余切:cotA= .

并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0<sinA<1,0<cosA<1,tgA>0,ctgA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦和余切值反而越小.

②余角公式:sin(900－A)=cosA,cos(900－A)=sinA,tg(900－A)=ctgA,ctg(900－A)=tgA. ③特殊角的三角函数值:sin300=cos600= ,sin450=cos450= ,sin600=cos300= ,sin00=

cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600= ,tg450=ctg450=1,tg600=ctg300= ,tg00=ctg900=0.

④斜坡的坡度i= = .设坡角为α,则i=tgα= .

22.三角形:(1)在一个三角形中:等边对等角,等角对等边.

(2).证明两个三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)在RtΔ中,斜边上的中线等于斜边的一半.(4)证明一个三角形是直角三角形的方法有:①先证明有一个角等于900.

②先证明最长边的平方等于另两边的平方和.③先证明一条边的中线等于这条边的一半.(5)三角形的中位线平行于笫三边,并且等于笫三边的一半.(6)等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合.

23.四边形:(1)n边形的内角和等于(n－2)1800,外角和等于3600.

(2)平行四边形的性质:对边平行且相等;对角相等;邻角互补;对角线互相平分.

(3)证明一个四边形是平行四边形的方法有:①先证两组对边平行.②先证两组对边相等. ③先证一组对边平行且相等.④先证两条对角线互相平分.⑤先证两组对角分别相等.

(4)矩形的对角线相等且互相平分;菱形的对角线互相垂直平分,并且四条边相等.

(5)证明一个四边形是矩形的方法有:①先证明它有三个角是直角.②先证它是平行四边形,再证它有一个角是直角或对角线相等.

(6)证明一个四边形是菱形的方法有:①先证明它的四条边相等.②先证它是平行四边形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直.

(7)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质.

(8)梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半.

(9)轴对称图形有:线段,角,等腰三角形,等腰梯形,矩形,菱形,正方形,正多边形,圆.中心对称图形有:线段,平行四边形,矩形,菱形,正方形,边数是偶数的正多边形,圆.

24.证明两个三角形相似的方法有:①先证两组对应角相等.②先证两边对应成比例并且夹角相等.③先证三边对应成比例.④先证斜边和一条直角边对应成比例.相似三角形的性质:对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,周长的比,都等于相似比.面积的比等于相似比的平方.

25.平行切割定理:①如图1,DE∥BC = .

②如图2,若AB∥CD∥EF则 = , = .

26.射影定理:如图3,ΔABC中,若∠ACB=900,

CD⊥AB,则:①AC2=AD·AB.②BC2=BD·BA.③AD2=DA·DB.

27.圆的有关性质:(1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的

任意两个性质:①经过圆心;②垂直弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;

⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:具备①,③时,弦不能是直径.

(2)两条平行弦所夹的弧相等.(3)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等.(4)圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(5)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(6)圆周角等于它所对的弧的度数的一半.(7)弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.(8)同弧或等弧所对的圆周角相等.(9)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.(10).900的圆周角所对的弦是直径.(11)圆内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.

28.直线和圆的位置关系:(1)若⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则:

①d<r 直线L和⊙O相交.②d=r 直线L和⊙O相切.③d>r 直线L和⊙O相离.

(2)切线的判定定理:经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.反之:切线垂直过切点的半径.(3)切线长定理,弦切角定理,相交弦定理及其推论,切割线定理及其推论.(4)三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点.

(5)RtΔ的内切圆的半径R内= ,任意多边形的内切圆的半径R内= .

(6)圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和.

29.圆和圆的位置关系:(1)设两圆半径为R和r,圆心距为d,则:①d>R+r 两圆外离. ②d=R+r 两圆外切.③R－r<d<R+r(R≥r) 两圆相交.④d=R－r 两圆内切.

⑤d<R－r 两圆内含.

30.圆中常作的辅助线:(1)两圆相交,常作公共弦,连心线.(2)两圆相切,常作公切线,连心线.(3)已知切线,常过切点作半径.(4)已知直径,常作直径所对的圆周角.(5)求解有关弦的问题,作弦心距.(6)弧的中点常和圆心连结.

31.各顶点等分圆周 正n边形 各边相等,各角相等,且每个内角= 度,中心角=外角= 度.

32.面积公式:①S正Δ= ×(边长)2.②S平行四边形=底×高.③S菱形=底×高= ×(对角线的积)

④S圆=πR2.⑤C圆周长=2πR.⑥弧长L= .⑦S扇形= = LR.⑧S圆柱侧=底面周长×高.

⑨S圆锥侧= ×底面周长×母线=πrR,并且2πr= (如上图).

初中数学重要概念性质定理(五)
初中数学定义、定理(大全)

第一篇 数与代数

第一节 数与式

一、实数

1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－ 3, ,0.231,0.737373„, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如:

π, ,0.1010010001„(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数.

2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。

3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值

是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=π－3.14.

4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数

是0。

5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫

做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.

6. 科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记

数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.

7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。

8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。

9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫

做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．

10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的

算术平方根，0的算术平方根是0．

12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．

13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．

14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而

求为64的算术平方根； （2） 的平方根是士 ，误认为 平方根为士 2，应知道 =2．

15.二次根式：

(1)定义:___________________________________________________叫做二次根式.

16．二次根式的化简：

17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含

有能开得尽的因数或因式．

18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根

式就叫做同类二次根式．

19．二次根式的乘法、除法公式

20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并

同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．

21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对

值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．

22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

23．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0

相乘，积仍为0．

24．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何

非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．

25．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面

的．

26．有理数的运算律：

加法交换律： 为任意有理数)

加法结合律：(a+ b）+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)

二.代数式：

（1）用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。

（2）同类项：是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项的法则：系数相加作系数，字母和字母的指数不变。

三.整式

1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （m、n为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a≠0，m、n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （n为正整数）；④零指数： （a≠0）；⑤负整数指数：（a≠0，n为正整数）；

2.整式的乘除法:

①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. ③多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.

④多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

⑤平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 ；

⑥完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即

3．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

4．分解因式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而

将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：公式 ；

5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，

然后再考虑是否能用公式法分解．

6．分解因式时常见的思维误区：

⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．

⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．

⑶ 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

四.分式

1．分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式． 注：（1）若B≠0，则有意义；（2）若B=0，则无意义；（2）若A=0且B≠0，则=0

2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不

变．【初中数学重要概念性质定理】

3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通

分．

5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的

分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．

6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积

的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．

7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公

倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．

8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，

第二节 方程与不等式

一、一元一次方程

1．方程：含有未知数的等式叫方程．

2．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程．一般形式：ax＋b=0（a≠0）

3．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：

二、二元一次方程（组）

1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．

2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．

3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．

4．二元一次方程组的解法．

（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，

将其中一个方程中

的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．

（2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程

组的方法叫做加减消元法，简称加减法．

三、分式方程

1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2.解分式方程的步骤:①去分母,化为整式方程;②解整式方程;③验根;④下结论.

3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．

四、一元二次方程

1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）

2．一元二次方程的解法：

⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．

⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0)

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令 每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

3．一元二次方程的注意事项：

⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－

4a＜0，则方程无解．

⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）

⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

五、一元一次不等式(组)

1．不等式：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子．

2．不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．

5．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式．

6．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．

7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0． 8 解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1

9．求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解．

10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．

12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．

13．不等式组的分类及解集(a＜b）．

14．解一元一次不等式组的步骤：

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。

第三节 函数

一.平面直角坐标系

1．平面直角坐标系：

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面．

(2)象限:

二.一次函数

1．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形式，

则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．

2．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0 ）的一条直线，正比例

函数y=kx的图象原点(0，0）的一条直线，如下表所示．

3.一次函数的图象和性质: y=kx+b(k、b为常数k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当k>0时, y 随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx_又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点；一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下(b<0)平移的到一条直线,

三.反比例函数

1.定义:_________________________________________________的函数成为反比例函数

2.图象和性质: 利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=具有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

四.二次函数

1.定义:___________________________________________________的函数称为二次函数

2.图象和性质:函数 的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线；

①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；

②对称轴：过点（ 且平行于y轴的直线；③顶点坐标（ ；

④增减性：当a>0时，如果 ，则y随x的增大而减小，如果 ，则y随x的增大而增大；当a<0时，如果 ，则y随x的增大而增大，如果 ，则y随x的增大而减小；

3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，

y=a(x－h)2＋k的图象．

⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其

顶点是（0,c）

形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其

顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线

y=ax2相同．

⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|

个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

4. 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系:

（1）一元二次方程 就是二次函数 当函数y的值为0时的情况．

（2）当二次函数 的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；当二次函数 的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程 没有实数根．

第二篇 空间与图形

第一节 图形的认识

一、点线面

二、角

1.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。

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