2014年全国高考数学真题及答案

导读：　2014年全国高考数学真题及答案(共5篇)...

2014年全国高考数学真题及答案(一)
2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试

全国课标1理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x|x2x30}，B={x|－2≤x＜2＝，则AB= 2

A.[-2,-1] B.[-1,2） C.[-1,1] D.[1,2） (1i)3

2. = (1i)2

A.1i B.1i C.1i D.1i

3. 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

4. 已知F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 A

. B.3 C

D.3m

5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A. B. C. D.1

838587 8

6. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边

为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，

将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,]

上的图像大致为

7. 执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=

A.2016715 B. C. D. 3528

8. 设(0,1sin)，(0,)，且tan，则 22cos

A.3

2 B.2

D.22 C.3

9. 不等式组22xy1的解集记为D.有下面四个命题：

x2y4

p1：(x,y)D,x2y2，p2：(x,y)D,x2y2,

P3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y1.

其中真命题是

A.p2，PB.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，P3 3

10. 已知抛物线C：y8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，

若FP4FQ，则|QF|= 2

A.75 B. C.3 D.2 22

3211. 已知函数f(x)=ax3x1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，

则a的取值范围为

A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，-1）

12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，

则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A

. B

. C.6 D.4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第

（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13. (xy)(xy)8的展开式中x2y2的系数为用数字填写答案)

14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去

过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .

15. 已知A，B，C是圆O上的三点，若AO1(ABAC)，则AB与AC的夹角为2

16. 已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan1Sn1，其中为

常数.

（Ⅰ）证明：an2an；

（Ⅱ）是否存在，使得{an}为等差数列？并说明理由.

18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测

量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值

作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近似为样本平均数x，近似为样本方差s.

（i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区2222

间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.

12.2.

若Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544.

19. （本小题满分12分）如图三棱锥ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.

（Ⅰ） 证明：ACAB1；

（Ⅱ）若ACAB1，CBB160o，

AB=Bc，求二面角AA1B1C1的

余弦值.

x2y220.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：221(ab

0)F是ab椭圆的焦点，直线AF

的斜率为

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程. ，O为坐标原点. 3

bex1

21.（本小题满分12分）设函数f(x0aelnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)处的切线为xx

ye(x1)2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)1.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD

是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，

且CB=CE

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，

证明：△ADE为等边三角形.

x2tx2y2

1，23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C直线l：49y22t

（t为参数）.

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若a0,b

0，且

（Ⅰ）求ab的最小值；

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由. 33o11. ab

2014年全国高考数学真题及答案(二)
2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

理科

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1. 设z10i，则z的共轭复数为（ ） 3i

A．13i B．13i C．13i D．13i

2. 设集合M{x|x23x40}，N{x|0x5}，则MN（ ）

A．(0,4] B．[0,4) C．[1,0) D．(1,0]

3. 设asin33，bcos55，ctan35，则（ ）

A．abc B．bca C．cba D．cab 000

4. 若向量a,b满足：|a|1，(ab)a

，(2ab)b，则

|b|（ ）

A．2 B C．1 D． 2

5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选

法共有（ ）

A．60种 B．70种 C．75

种 D．150种

x2y26. 已知椭圆C：221(

ab0)的左、右焦点为F、，过F2的直线l交F12abC于A、B两点，若AF1B的周长为C的方程为（ ）

x2y2x2x2y2x2y2

21 B．y1 C．1 D．1 A．332128124

7. 曲线yxex1在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）

A．2e B．e C．2 D．1

8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A．8127 B．16 C．9 D． 44

9. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F点A在C上，若|F则cosAF2FF2，1A|2|F2A|，1、1

（ ）

A．11 B． C． D． 4343

10. 等比数列{an}中，a42,a55，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

0Cl，

ACD1350，11. 已知二面角l为60，AB，ABl，A【2014年全国高考数学真题及答案】

为垂足，CD，

则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）

A．11 B． C． D． 4244

12. 函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象关于直线xy0对称，则yf(x)的反函数是

（ ）

A．yg(x) B．yg(x)

C．y

g(x) D．yg(x)

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 8的展开式中x2y2的系数为. xy014. 设x、y满足约束条件x2y3，则zx4y的最大值为 . x2y1

15．直线l1和l2是圆x2y22的两条切线，若l1与l2的交点为（1,3），则l1与l2的夹角的正切值

等于 .

16. 若函数f(x)cos2xasinx在区间(,)是减函数，则a的取值范围是 . 62

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC2ccosA，tanA

18.（本小题满分12分）

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a110，a2为整数，且SnS4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn1，求B. 31，求数列{bn}的前n项和Tn. anan1

19. （本小题满分12分）

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC

的射影D在AC上，ACB90

，0内

BC1,ACCC12.

（1）证明：AC1A1B；

（2）设直线AA1与平面BCC1B1A1ABC的大小.

20. （本小题满分12分）

0.5、0.5、0.4，各人是否需设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、

使用设备相互独立.

（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.

21. （本小题满分12分）

已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|5|PQ|. 4

'（1）求C的方程； （2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相较于M、N两点，且A、

M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.

22. （本小题满分12分）

函数f(x)ln(x1)ax(a1). xa

（

1）讨论f(x)的单调性；

（2）设a11,an1ln(an1)，证明：23an. n+2n2

参考答案

一、选择题：

1. D

7.C 2.B 8.A 3.C 9.A 4.B 10.C 5.C 11.B 6.A 12.D

二、填空题：

13. 70 14. 5 三、解答题：

17.（本小题满分10分）

解：由题设和正弦定理得3sinAcosC2sinCcosA

故 15.4 316.(,2] 3tanAcosC2sinC

因为 tanA1，所以cosC2sinC 3

即 tanC1……………………………6分 2

所以tanBtan[180(AC)]

tan(AC)

tanAtanC……………8分 tanAtanC1

1

即 B135………………………………10分

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由a110，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数

又SnS4，故a40,a50

即

解得 因此 103d0,104d0 105d 32d3

数列{an}的通项公式为an133n…………………………………6分

（Ⅱ）bn1111()………………………8分 (133n)(103n)3103n133n

于是 Tnb1b2...bn

1111111[()()...()] 371047103n133n

111() 3103n10

n……………….12分 10(103n)

19.（本小题满分12分）

解法一：（Ⅰ）因为A1D平面ABC,A1D平面AAC11C，

故平面AAC11C平面ABC，

又BCAC，所以BC平面

AAC11C，……………3分

连结AC1，因为侧面AAC11C为菱形，故

AC1AC1

由三垂线定理得AC1A1B………5分

（Ⅱ）BC平面AAC故平11C,BC平面BCC1B1，

面AAC11C平面BCC1B1

作A

1E平面BCC1B1 1ECC1,E为垂足，则A

又直线AA

1，因而A1E为直线AA1的距离，1//平面BCC1B1与平面BCC1B

A1E

因为AC1为ACC1的平分线，故A1DA1E

8分

作DFAB,F为垂足，连结A1F，由三垂线定理得A1FAB，

故A1FD

为二面角A1ABC的平面角 由AD

1得D为AC中点，

AD1ACBCDF，

tanA1FD1DF2

AB所以二面角A1ABC的大小为12分

解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间

2014年全国高考数学真题及答案(三)
2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|-1＜x＜3｝，N=｛x|-2＜x＜1｝则M∩N=（ ）

A. (2,1) B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3)

（2）若tan0，则

A. sin0 B. cos0 C. sin20 D. cos20

（3）设z1i，则|z| 1i

A. 12 B. C. D. 2 222

x2y2

1(a0)的离心率为2，则a （4）已知双曲线2a3

A. 2 B. 65 C. D. 1 22

(5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是

A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数

C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数

（6）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则

A. AD B.

(7)在函数1AD C. BC 2① D. ②1BC 2ycos|2x|，y|cosx| ，③ycos(2x),④ytan(2x)中，最小正周期为的所有函数为 64

A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体

的三视图，则这个几何体是（ ）

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

（9）执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M( ) A.

（10）已知抛物线C：y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点，AF

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

（11）设x，y满足约束条件7161520 B. C. D. 25835，则x0=（ ） x04xya,且zxay的最小值为7，则a xy1,

A．-5 B. 3

C．-5或3 D. 5或-3

32（12）已知函数f(x)ax3x1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是

A.2, B.1, C.,2 D.,1

第II 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_ _.

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为____ ____.

ex1,x1,（15）设函数fx1则使得fx2成立的x的

3x,x1,

取值范围是__ _____.

（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C

为

测量观测点.从A点测得 M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，

则山高MN_ ___m.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x5x60的根。 2

（I）求an的通项公式；

（II）求数列an的前n项和. n2

（18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组

区间的中点值作代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量

指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

(19)(本题满分12分)

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的

中点为O，且AO平面BB1C1C.

（1）证明：B1CAB;

（2）若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.



（20）（本小题满分12分）

已知点P(2,2)，圆C:xy8y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程；

（2）当OPOM时，求l的方程及POM的面积

22

2014年全国高考数学真题及答案(四)
2014年高考文数全国1卷试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）

数学（文科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合Mx|1x3,Bx|2x1，则MB（） A.(2,1) B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3) （2）若tan0，则

A. sin0 B. cos0 C. sin20 D. cos20 （3）设z

1

i，则|z| 1i

A.

12 B. C. D. 2 222

x2y2

1(a0)的离心率为2，则a （4）已知双曲线2

a3

A. 2 B.

C. D. 1 22

（5）设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，学科网则下列结论中正确的是

A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数

（6）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则 A. B.

11

AD C. BC D. 22

（7）在函数①ycos|2x|，②y|cosx|，③ycos(2x最小正周期为的所有函数为

A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③



6

),④ytan(2x



4

)中，

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

9.执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，学科网则输出的M( ) A.

2071615 B. C. D. 3258

2

10.已知抛物线C：yx的焦点为F,A

x,y是C上一点，zxxkAF5，则x4x

（）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （11）设x，y满足约束条件

xya,

且zxay的最小值为7，学科网则a

xy1,

（A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3

（12）已知函数f(x)ax3x1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值

3

2

范围是

（A）2,（B）1,（C）,2（D）,1

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、zxxkC三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为________.

ex1,x1,

（15）设函数fx1则使得fx2成立的x的取值范围是________.

3x,x1,

（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点

的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测学科网得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN________m

.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

2

已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x5x60的根。

（I）求an的通项公式； （II）求数列

an

的前n项和. n2

（18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品学科网符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

19(本题满分12分)

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1Czxxk的中点为O，且

AO平面BB1C1C.

（1）证明：B1CAB;

（2）若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.

20.（本小题满分12分）

已知点P(2,2)，圆C:x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. （1）求M的轨迹方程；

（2）当OPOM时，求l的方程及POM的面积

21（12分）

设函数fxalnx斜率为0 （1）求b;

（2）若存在x01,使得fx0

1a2

xbxa1，zxxk曲线yfx在点1，f1处的切线2

a

，求a的取值范围。 a1

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲

如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且

CBCE.

（I）证明：DE；

（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，zxxk且MBMC，学科网证明：

ABC为等边三角形

.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

2014年全国高考数学真题及答案(五)
2014年全国高考理科数学试题及答案-新课标2

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学【2014年全国高考数学真题及答案】

（新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M=｛0,1,2｝，N=x|x23x2≤0，则MN=( ) A. ｛1｝ 【答案】D

B. ｛2｝

C. ｛0，1｝

D. ｛1，2｝

把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+2≤0,经检验x=1,2满足。所以选D.

2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 【答案】A

z12i,z1与z2关于虚轴对称，z2-2i,∴z1z2-1-4-5,故选A.

3.设向量a,b满足|a+b

|a-b

ab = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 【答案】A

D. 5

|a+b|=,|a-b|=6,，∴a+b+2ab=10，a+b-2ab=6,联立方程解得=1,故选A.

4.钝角三角形ABC的面积是

，AB=1，，则AC=( )

2222

A. 5 【答案】B

B.

C. 2 D. 1

1112acsinB=•2•1•sinB=∴sinB=,2222π3ππ

∴B=,或.当B=时，经计算ΔABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。

4443π

∴B=，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,解得b=.故选B.

4SΔABC=

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

【答案】 A

设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p,则据题有0.6=0.75•p,解得p=0.8,故选A.

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A. B. C. 10 D.

279273

【答案】 C

加工前的零件半径为3，高6，∴体积v1=9π•6=54π.

加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2.∴体积v2=4π•4+9π•2=34π.∴削掉部分的体积与原体积之比=

54π-34π10

=.故选C.54π27【2014年全国高考数学真题及答案】

7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 D

8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D

f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a-

1.

x+1

∴f(0)=0,且f′(0)=2.联立解得a=3.故选D.

xy7≤0

9.设x,y满足约束条件x3y1≤0，则z2xy的最大值为

3xy5≥0

（ ）

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】 B

画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值z=8.故选B.

10.设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）

A.

C. D.

B.

324 【答案】 D

设点A、B分别在第一和第四象限，AF=2m,BF=2n，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，3333

2m=2•+m,2n=2•-3n，解得m=(2+),n=(2-3),∴m+n=6.

4422139

∴SΔOAB=••(m+n)=.故选D.

244

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1， 则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A. B.

C.

105

D.

【答案】 C

如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为X,Y,Z轴，建立坐标系。令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).∴BM=(-1,1，-2），AN=(0,-1，-2）。cosθ=

0-1+4=.故选C.106fx0m2，则m的12.设函数f

x.若存在fx的极值点x0满足x02m

2

取值范围是（ ）

,66,

D.,14,

A.

【答案】 C

B.

,44,

C.

,22,

f(x)=sin

πx|m|的极值为±3，即[f(x0)]2=3,|x0|,m2

22

mm2

∴x0+[f(x0)]2+3，∴+3<m2,解得|m|>2.故选C.

44

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题

13.xa的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)

10

1

【答案】 2

1137333

C10xa=15x7∴C10a=15,a=.故a=.

22

14.函数fxsinx22sincosx的最大值为_________. 【答案】 1

f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)

=sin(x+φ)•cosφ+cos(x+φ)•sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)•cosφ-cos(x+φ)•sinφ=sinx≤1.∴最大值为1.

15.已知偶函数fx在0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是__________.

，3）. 【答案】 (-1

偶函数yf(x)在[0,)上单减，且f(2)0∴f(x)0的解集为|x|2.故解集为|x-1|2，解得x∈(-1，3）.

16.设点M（x0,1），若在圆O:x2y21上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是________. 【答案】 [-1,1]

∴f(x-1)0的解集为|x-1|2，解得x(-1，3）.

在坐标系中画出圆O和直线y=1,其中M(x0,1)在直线上.由圆的切线相等及三角形外角知识，可得x0∈[-1,1].故x0∈[-1,1].

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知数列an满足a1=1，an13an1.

（Ⅰ）证明an是等比数列，并求an的通项公式；





（Ⅱ）证明：…+.

a1a2an

2

【答案】 (1) 无

（1）

（2） 无

a1=1,an+1=3an+1.n∈N*.

111

∴an+1+=3an+1+=3(an+).

222113

∴{an+是首项为a1+=,公比为3的等比数列。

222

(2)

13n3n-112

由(1)知，an+=,∴an==n.

222an3-11121

=1,当n>1=n<n-1.a1an3-13

1

n1111111313

∴++++<1+1+2++n-1==1-n）<.

12a1a2a3an333321-3

11113

++++<，n∈N*（证毕）.

a1a2a3an2

1-

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，

E-ACD的体积.

【答案】 (1) 无 （2） 无 （1）

设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC.

（2）设CD=m, 分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则

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