21.1一元二次方程知识点和拓展延伸

导读：　21 1一元二次方程知识点和拓展延伸(共4篇)人教版 21章 一元二次方程知识点总结21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不...

21.1一元二次方程知识点和拓展延伸(一)
人教版 21章 一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点

一、一元二次方程

1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未

知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0

2、一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如ax2bxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次方程。

二、 一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x2

22时，x3x20所以x2是x3x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）

三、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xa，xab，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）x2aa0的解是xa；

（2）xm2nn0的解是xnm；

（3）mxn2cm0,且c0的解是x

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2。

（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1） 把一元二次方程化成一般形式

（2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这

个数；

（3） 把原方程变为xm2n的形式。

（4） 若n0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。

（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时，用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把一元二次方程化成一般形式

(2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为xm2n的形式；

（4）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式： cn。 m

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为ax2bxc0a0的形式，确定的值a,b.c（注意符号）；

（2）求出b24ac的值；并判断方程根的情况；

（3）若b24ac0，则把a,b.及b24ac的值代人求根公式

bb24ac，求出x1,x2。 x2abb24ac2x(b4ac0) 2a

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。【21.1一元二次方程知识点和拓展延伸】

因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0（即化为一般式）；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0（即化为一般式）；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

三、一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III 当△<0时，一元二次方程没有实数根

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：

①把所有一元二次方程化为一般形式；

②确定a,b.c的值；

③计算b24ac的值；

④根据b24ac的符号判定方程根的情况。

根的判别式的逆用 在方程ax2bxc0a0中，

（1）方程有两个不相等的实数根b24ac﹥0

（2）方程有两个相等的实数根b24ac=0

（3）方程没有实数根b24ac﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2， 那么x1x2，x1x2。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 baca

五、一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数

量关系．这一步是解决问题的基础；

(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问

什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等

量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；

(4)“解”就是求出所列方程的解；

(5)检验 应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

（6）作答

知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关的问题 增长率问题的有关公式：

增长数（增长了多少）=基数×增长率

实际数（增长后的值）=基数＋增长数

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：

1.

2. 若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a1x，若基数为a，降低率x为，则一次降低后的值为a1x，两次增长后的值为a1x2；

两次降低后的值为a1x2。

两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值

知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：

21.1一元二次方程知识点和拓展延伸(二)
第21章 一元二次方程知识点.doc

一元二次方程

②③，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程

就是一元二次方程。 ．．．．．．．．．2．．．．．

2bxc0

(a0)

“未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

例1、当k 时，关于x的方程kx2xx3是一元二次方程。

例2、方程m2xm223mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

例1、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为。

例2、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足a

cb，则必有一根为。

x

2mm0,xm

※※对于xam，axmbxn等形式均适用直接开方法 222

例1、解方程：12x280; 22516x2=0; 31x90; 2

例2、若9

x116x2，则x的值为

22

xx1xx20xx1,或xx2

0”，

ax

mbxn，xaxbxaxc ，x2axa0 2222

x 2x60例2、解方程：

x2x60

bb24acbxc0a0

x 22a4a22

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1、 试用配方法说明x2x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。

a0,且b24ac0

2

bb2

4acx,a0,且b24ac0 2a

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31x6. ⑵x3x68. ⑶x4x10 22

⑷3x4x10

⑸3x13

x1x12x5 2

①定根的个数；

②求待定系数的值；

③应用于其它。

例1、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1

例2、已知关于x

的方程x2k2x2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

2axbxc0而言，当满足①a0、②0时，才能用韦达定理。

1x2

bc,x1x2 aa

22例1、 已知关于x的方程kx2k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

22例2、已知ab，a2a10，b2b10，求ab变式：若a2a10，b2b10，则22ab的值为。 ba

21.1一元二次方程知识点和拓展延伸(三)
21.1一元二次方程(1)

22.1 一元二次方程（1）

一、复述回顾：（二人小组完成）

1.二人小组复述一元一次方程的概念，明确一元一次方程的三个特点是： ①________;②________;③_________. ______________________________,其中______、______、______分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为___________和_________.【21.1一元二次方程知识点和拓展延伸】

2.一元一次方程的一般形式是： ________________.其中____、___分别称为一次项和常数项.

二、设问导读：

阅读课本P25-27完成下列问题： 1.问题解决：

问题1：其等量关系是______________. 方程中（100-2x）表示_________的长， （50-2x）表示_________的长. 整理、化简得到的方程②有______个未知数，次数是__________. 问题2：“每个队要与其他（x-1）个队各赛一场”、“全部比赛共

1

2

x(x-1)场”你是怎样理解的？试举例说明. 整理、化简得到的方程②有______个未知数，次数是__________. 2.方程①②③的共同特点是什么？ 3.一元二次方程的定义：

方程的左、右两边都是______，只含有一个_____,并且未知数的最高次数是___次．这样的方程叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式是：

4．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2

+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．当a＝0，b≠0时，方程就是_____________方程，当一

个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：________.

5.阅读课本例题，掌握将一元二次方程化为一般形式的方法.

三、自学检测：

1.下列方程________是一元二次方程？ ①6x2

=x；② 7x2

+6=2x(3x+1)； ③ 2x2

=5y；④x(5x-2)=x(x+1)+4x2

； ⑤ -x2=0；⑥

4

x

2-x-1=0. 2.方程3x2

-2x+1=0的二次项系数为___，一次项系数为____，常数项为_____． 3.一元二次方程(2 x +1) (3 x– 2 ) = 3 (x2

– 2 ) 化成一元二次方程的一般形式为： ___ ，二次项为： ，一次项为：__ ，常数项为： .

4.关于x的方程（a-1）x2

+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________.

5.关于x的方程（k-

32

）x+(m-3)x-1=0，一般形式：

2

是一元二次方程,则k_____,m为____.

四、巩固训练：

1.选择题：

（1）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）

①3x2

+7=0 ②ax2

+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2

-1 ④3x2

-5

x

=0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）方程2x2

=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 （3）若方程（m2

-1）x2

+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )

A.m≠0 B.m≠1 C.m≠1或 m≠-1 D.m≠1且 m≠-1 2．（1）关于x的方程（k2

-1）x2

+2（k-1）x+2k+2=0， 当k 时是一元二次方程； 当k 时是一元一次方程. （2）已知2x2

+3x+1的值是10，则代数式4x2

+6x+1的值是_______ . （3

）若方程(m21)x210是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____________.

3．根据题意，列出一元二次方程并化为

（1）一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，求苗圃的周长？

（2）已知直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长.

（3）已知两个数的和为10，积为9，求这两个数.

五、拓展延伸：

求证：关于x的方程：（m2

-8m+17）x2

+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

21.1一元二次方程知识点和拓展延伸(四)
21.1一元二次方程(2)

22.1 一元二次方程（2）

一、复述回顾：（二人小组完成）

1.把只含有______未知数并且都可以化为________________(a，b，c为常数，(1)x-36=0,则x=______,即x=_______;也可以写成x1=________,x2=_______. (2) 4x-9=0，你是怎样做的？ 2

22

a≠0)的整式方程叫做一元二次方程． 将一元二次方程(x+6)2

+7x=10化为一般形式为_____________. 2.二人小组复述方程的解概念. 下列各数是方程1(x2)2解的是（ ）（你是怎样判断的？）

A.６ Ｂ.２ Ｃ.４ Ｄ.０

二、设问导读：

阅读课本P27-28完成下列问题： 1. 方程x2

-x=56的解是什么？课本上是怎么得出的？

2.什么叫一元二次方程的根？ _________________________也叫做一元二次方程的根.

如何验证x= 8 和x= -7都是方程x2

-x=56的根？规范的格式是什么？ 3. 对于有关排球赛问题，我们得出的方程是x2

-x=56,符合实际意义的答案是什么？为什么x= -7不符合题意？说明了什么问题？

由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑__________________. 4. 完成P28的“思考”，你用到了我们以前学过的什么知识？体会与尝试求解的异同？

三、自学检测：

1.根据方程x2

-8x-20=0可列表:

方程x2

-8x-20=0的解是_____或_____. 2. 判断x= 6 和x= -5是否是方程2x2

-x=55的根？写出验证过程.

3.（1）下面哪些数是方程2x2

+10x+12=0的根？________________.

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． （2）方程x2

-9=0有______个根，它们是__________________.

(3)方程x(x-3)=0的根是（ ） A.1，3 B.0，-3 C.0，3 D.-1，3

3. 若x=3是方程x2

+kx=0的一个根，试求常数k的值？【21.1一元二次方程知识点和拓展延伸】

四、巩固训练：

1.选择题：

（1）方程x（x-1）=2的两根为（ ） A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2

4.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x-64=0 ；

（2）3x-6=0 ；

22

（2）方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（

A．x=b，xx1

12=a B．1=b，x2=a

C．x1=a，x2=

1a

D．x22

1=a，x2=b （3）若方程（m2

+1）x2

+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )

A.m≠0 B.m≠-1 C.m≠1且m≠-1 D.全体实数 2.填空题

（1）如果x2

-81=0，那么x2

-81=0的两个根分别是x1=______，x2=________． （2）已知方程5x2

+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

（3）已知x=-1是方程ax2

+bx+c=0的根（b≠0），则

3.完成下表

由表中数据可知:当x=_____时，2x2

-13x+11＝____；所以由此可知： x＝___是方程2x2

-13x+11=0的一个解.

（3）x（x-1）=0. 5. 若x=1是关于x的一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2013(a+b+c)的值.

6.关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2

-1=0的一个根为0,则求a的值

五、拓展延伸：

如果关于x的一元二次方程

ax2

+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数.求证：-1必是该方程的一个根．

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