一次函数两条直线相交知识点

导读：　一次函数两条直线相交知识点(共5篇)一次函数知识点总结一次函数知识点总结一 变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量． 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量． 函数：被变量是自变量的函数．函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量．二...

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一次函数两条直线相交知识点(一)
一次函数知识点总结

一次函数知识点总结

一 变量：

自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量． 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量． 函数：被变量是自变量的函数．

函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．

因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量．

二 一次函数和正比例函数的概念

1．概念： 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

★判断一个等式是否是一次函数先要化简

（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数) （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

2. 函数的表示方法： １）解析法，２）列表法，３）图象法． 列表法直观但不完全 解析法准确完全但不直观

图象法直观形象但不够准确也不太完全

图象的画法：一列表、二描点、三连线（顺次用平滑的曲线） 解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值 二）符合题意

三 函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-只要描出点（0，0），（1，k）即可.

四 一次函数性质

1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正、负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

b

，0）.画正比例函数y=kx的图象时，k

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的． 2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．

点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b； （2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

五 一次函数与方程

1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－

b

，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线a

y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 2. 坐标轴的函数表达式

函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示． 3. 一次函数与二元一次方程组的关系

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．

4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

yk1xb1

（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2

ykxb22

k1≠k2．

（2）二元一次方程组b1≠b2．

yk1xb1

无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，

yk2xb2

yk1xb1

（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合

ykxb22

k1=k2，b1=b2．

5. 待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．

用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入 （1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k与b的值；

（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意可知，

4

12kb,k,kb, 解33

∴此函数的关系式为y=453x3． 

b53.

六 知识规律小结

1．常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． ②当k，b异号时，即-b

k

＞0时，直线与x轴正半轴相交； 当b=0时，即-

b

k

=0时，直线经过原点； 当k，b同号时，即-b

k

﹤0时，直线与x轴负半轴相交．

③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；

当k＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．

2．直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)

当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b． 3． 直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2y1与y2相交； ②

k1k2

by1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；

1b2

③k1k2,byk1k2,

1与y2平行； ④1b2b1

by1与y2重合.

2

一次函数两条直线相交知识点(二)
一次函数知识点大全

一次函数知识点大全

一 变量：

自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量． 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量．

函数：被变量是自变量的函数．

函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．

被变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是被变量．

二 一次函数和正比例函数的概念

1．概念： 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.

（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

★判断一个等式是否是一次函数先要化简

（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

2. 函数的表示方法： １）解析法，２）列表法，３）图象法．

列表法直观但不完全

解析法准确完全但不直观

图象法直观形象但不够准确也不太完全

图象的画法：一列表二描点三连线（顺次用平滑的曲线）

解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值 二）符合题意

三 函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-

出点（0，0），（1，k）即可. b，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描k

四 一次函数性质

1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质

（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

（3）当k＜0x

点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

确定正比例函数及一次函数表达式的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．

五 一次函数与方程

1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在xa

轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．

2. 坐标轴的函数表达式

函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．

3. 一次函数与二元一次方程组的关系

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．

4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

yk1xb1 （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 ykxb22

k1≠k2．

（2）二元一次方程组yk1xb1无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．

yk2xb2

（3）二元一次方程组yk1xb1有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合

yk2xb2

k1=k2，b1=b2．

5. 待定系数法

先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．

用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入

（1）设函数表达式为y=kx+b；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

（3）求出k与b的值；

（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），

由题意可知，

4k,12kb,453x 解 ∴此函数的关系式为y=． 3353kb,b.3

六 知识规律小结

1．常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．

①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；

当b=0时，直线经过原点；

当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．

②当k，b异号时，即-b＞0时，直线与x轴正半轴相交； k

当b=0时，即-b=0时，直线经过原点； k

b﹤0时，直线与x轴负半轴相交． k当k，b同号时，即-

一次函数两条直线相交知识点(三)
初二上册数学一次函数知识点总结(附加两套习题与答案)

初中数学一次函数知识点总结

基本概念： 1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

图像性质

1．作法与图形： （1）列表.

（2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

一次函数的图象特征和性质：

4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

了解 如何设一次函数解析式：

点斜式 y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

两点式 (y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点） 截距式 （y=-b/ax+b a、b分别为直线在x、y轴上的截距 ,已知（0，b）,(a，0) ）

实用型 （由实际问题来做）

扩展

1. 求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求任意线段的长：√(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

3.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式,就是解方程组 4.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 ] 5.若两条直线y1=k1x+b1平行y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2 6 . 向右平移n个单位 y=k（x-n）+b 向左平移n个单位 y=k（x+n）+b 向上平移n个单位 y =kx+b+n 向下平移n个单位 y =kx+b-n

总结与前几章的关系

1、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，

相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

2、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

3、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.

（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数和的图象交点.

abx

cb

习题

一次函数测试题

一、相信你一定能填对！（每小题3分，共30分）

1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ） A．

．

12

C．

D．

2．下面哪个点在函数y=x+1的图象上（ ）

A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，0） D．（-2，0） 3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A．y=2x-1 B．y=

x3

C．y=2x2 D．y=-2x+1

4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．二、三、四

C．一、二、四 D．一、三、四

6．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<3

7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）

A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-1

8．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）

9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车

耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在

课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）

10．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为（ ） A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共30分）

11．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．

12．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．

13．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，3）和B（-1，-1），则此函数的解析式为_________． 14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+•2•上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．

15．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．

16．若一次函数y=kx+b交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，•则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）

17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=________，b=______． 19．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____． 20．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．

三、认真解答，一定要细心哟！（共60分） 21．（14分）根据下列条件，确定函数关系式： （1）y与x成正比，且当x=9时，y=16；

（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．

xy302xy20

12

x-3

的解是________．

23．（12分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用【一次函数两条直线相交知识点】

零

钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？ （2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？

24．（10分）如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元） 与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象（1）写出y与t•之间的函数关系式． （2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？

25．（12分）已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，•现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.•1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.•9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．

①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？

一次函数两条直线相交知识点(四)
一次函数知识点总结与常见题型

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式svt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其

对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

11例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x－1 (3)y= (4)y=－3x (5)y=x2－1中，是一次函数的有（ ） x2

（A）4个

（B）3个 （C

）2个 （D）1个

3、定义域：

一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3

）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）【一次函数两条直线相交知识点】

A．y B．y函数y C．y D．yx的取值范围是___________.

1已知函数yx2，当1x1时，y的取值范围是 （ ） 2

53353535A.y B.y C.y D.y 22222222

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点

组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

例题：(1).正比例函数y(3m5)x，当m 时，y随x的增大而增大.

(2)若yx23b是正比例函数，则b的值是 （ ）

A.0 B.223 C. D. 332

.(3)函数y=(k－1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A.k0 B.k1 C.k1 D.k1

(4)东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是．

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10、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（－b，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线k

b，0） ky=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0 （2）必过点：（0，b）和（－

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

k0k0直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 b0b0

k0k0直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 b0b0

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k| 越大，图象越接近于y轴；|k| 越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0

时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

（上加下减，左加右减） 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

例题：若关于x的函数y(n1)xm1是一次函数，则mn.

.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝－x－5向上平移5个单位，得到直线 .

若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________.

已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）

Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1

11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象

时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（b，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.

k

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图像过一、二、三象限 图像过一、三、四象限 图像过一、二、四象限 图像过二、三、四象限

（大大不过四） （大小不过二） （小大不过三） （小小不过一）

思考：若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2 （2）两直线相交：k1k2

（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直：k1·k2= –1

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一

次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 16、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以

看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

17、一次函数与二元一次方程组

acx的图象相同. bb

a1xb1yc1acac（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=1x1和y=2x2的图象交点. b1b1b2b2a2xb2yc2（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=

18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积

一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（【一次函数两条直线相交知识点】

直线b，0）. k1bb2

（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=b2k2k

常见题型

一、考察一次函数定义

1、若函数ym1xm23是y关于x的一次函数，则m的值为 ；解析式为 .

n－12、要使y=(m－2)x+n是关于x的一次函数,n,m应满足, 二、考查图像性质

1、已知一次函数y=（m－2）x+m－3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．

2、若一次函数y=（2－m）x+m的图像经过第一、•二、•四象限，•则m•的取值范围是______

3、已知m是整数，且一次函数y(m4)xm2的图象不过第二象限，则m为4、直线ykxb经过一、二、四象限，则直线ybxk的图象只能是图4中的（ ）

第3页（共46页）

5、直线pxqyr0(pq0)如图5，则下列条件正确的是（ ） A.pq,r1 B.pq,r0

C.pq,r1 D.pq,r0

aac6、如果ab0，0，则直线yx不通过（ ） cbb

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7、如图6，两直线y1kxb和y2bxk在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

8、如果ab0，aac0，则直线yx不通过（ ） cbb

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9、b为 时，直线y2xb与直线y3x4的交点在x轴上.

10、要得到y=－33x－4的图像，可把直线y=－x（ ）． 22

（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位 （D）向下平移4个单位

11、已知一次函数y=－kx+5，如果点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在函数的图像上，且当x1<x2时，有y1<y2成立，那么

系数k的取值范围是________．

112、已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=－ x+2上，则y1 、y2大小关系是( ) 2

（A）y1 >y2 （B）y1 =y2 （C）y1 <y2 （D）不能比较

三、交点问题

1、若直线y=3x－1与y=x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）．

111 （B）<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k< 333

2、若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8)，则ab3、一次函数ykxb的图象过点(m,1)和(1,m)两点，且m1，则kb的取值范围是4、直线ykxb经过点A(1,m)，B(m,1)(m1)，则必有（ ）

0A. k0,b0 B.k0,b

C.k0,b D.k0,b0 （A）k<

5、如图所示，已知正比例函数y1x和一次函数yxb，它们的图像都经过点P（a，1），且一次函数图像与y轴交于Q点。 （1）求a、b的值；（2）求△PQO的面积。

第4页（共46页） 2

1、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（ ）．

A．6 B．12 C．3 D．24

2、若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=_______．

3、已知一次函数y2xa与yxb的图像都经过A(2,0)，且与y轴分别交于点B，c，则ABC的面积为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

4、已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数y=

五、一次函数解析式的求法

21x的图像相交于点（2，a）， 2求（1）a的值；（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。 （1） 定义型 例1. 已知函数y(m3)xm83是一次函数，求其解析式。

（2）点斜型 例2. 已知一次函数ykx3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

（3）两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4）， 则这个函数的解析式为_____________。 （4）图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 （5）斜截型 例5. 已知直线ykxb与直线y2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的

解析式为 。

（6）平移型 例6.①把直线y2x1向上平移2个单位得到的图像解析式为 。

②把直线y2x1向下平移2个单位得到的图像解析式为

③把直线y2x1向左平移2个单位得到的图像解析式为

④把直线y2x1向右平移2个单位得到的图像解析式为 。

规律：

（7） 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为 。

（8）面积型 例8. 已知直线ykx4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 。 （9）对称型 例9. 若直线l与直线y2x1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

知识归纳： 若直线l与直线ykxb关于

（1）x轴对称，则直线l的解析式为ykxb （2）y轴对称，则直线l的解析式为ykxb

1bx kk

1b（4）直线yx对称，则直线l的解析式为yx kk

（5）原点对称，则直线l的解析式为ykxb （3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为y

（10）开放型 例10.一次函数的图像经过(－1,2)且函数y的值随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .

（11）比例型 例11..已知y与x+2成正比例，且x＝1时y＝－6．求y与x之间的函数关系式

练习题：

1. 已知直线y=3x－2, 当x=1时，y=

2. 已知直线经过点A（2,3），B（－1，－3），则直线解析式为________________

3. 点（－

1，2）在直线y=2x＋4上吗？ （填在或不在）

第5页（共46页）

一次函数两条直线相交知识点(五)
一次函数知识点和直线位置关系

一次函数

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义

一般地，形如ykxb（k，b是常数，且k0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b0时，一次函数ykx，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当b0，k0时，ykx仍是一次函数． ⑶当b0，k0时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小． (1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数 k

线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

b

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

bk

，0）

k0k0

直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、三象限 b0b0k0k0

直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 b0b0

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取

它与两坐标轴的交点：（0，b），

.即横坐标或纵坐标为0的点.

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

6、直线yk1xb1（k10）与yk2xb2（k20）的位置关系 （1）两直线平行k1k2且b1b2 （2）两直线相交k1k2

（3）两直线重合k1k2且b1b2 （4）两直线垂直k1k21

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 8、两条直线的位置关系：

直线y1k1xb1与直线y2k2xb2的位置： （1）k1=k2且b1b2时两直线平行 （2）k1k2时两直线相交 （3）k1=k2且b1=b2时两直线重合 （4）k1k2=—1时两直线垂直

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