高中古典概率公式

导读：　高中古典概率公式(共4篇)高一数学必修3《概率》公式总结以及例题§3 概率 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n次实验中发生了...

高中古典概率公式(一)
高一数学必修3《概率》公式总结以及例题

3. 概率

 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )

 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n次实验中发生了m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为PAm n

说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有0PA1 ② 用和分别表示必然事件和不可能事件,则有P1,P0③如果事件 A和B互斥,则有:PABPAPB

 古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是1，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为 n

mPA n

 几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，

记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为

PAd的侧度 （ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地，D的侧度

线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事

件 ，事件A的对立事件 记为：A

独立事件的概率：若A , B 为相互独立的事件事件,则 PABPAPB，

若A1 , A2, ... , An 为两两独立的事件,则 PA1A2...AnPA1PA2...PAn 颜老师说明：① 若A , B 为互斥事件,则 A , B 中最多有一个发生,可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件A,B是互斥事件，则有PABPAPB ⑦ 一般地，如果 A1,A2,...,An 两两互斥，则有PA1A2...AnPA1PA2...PAn ⑧ PA1PA ⑨ 在本教材中A1A2...An 指的是A1,A2,...,An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题

例题选讲：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A

意义为“选取2个球都是其它颜色球”

11114  PA 1 - PA1 -  (65)15151514 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 15

6515种情况，设事件 A 为“选解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有2

4314 取2个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有422  PA

所以PA14 15

14 . 15答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为

解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件A有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：42244342244314,,， 则有 PA   65656565656515

14答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 15

评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!

变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A，

意义为“选取3个球都是白球”

433C4144321  PA3 PA 1 - PA1 -  654555C6(654)21

答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 4 . 5

365420种情况，设事件 A 321

为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本事件数有

164432 2C414216， 所以 PA2052

4答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 5

解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A的情解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有C6况如下：

红 白 白 2431 6545

4321 1红2白 白 白 红  6545

4231白 红 白  6545

2141 红 红 白  65415

24112红1白 红 白 红  65415

4211 白 红 红  65415

所以 PA31143 5155

4 . 5答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为

变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：

（1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次

解：设事件A为“第1次抽到的是次品”， 事件B为“抽到的2次中，正品、次品各一次”

214224424424 ，PB（或者PB） 6366966669

14答：第1次抽到的是次品的概率为 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为 39则 PA

变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？

【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来

解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为“至少1人抽到选择题”，则B 为“两人都抽到填空题”

P31P31333333或者PA （1）PA 265106510P6

P32132114或者PBPB1PB1 （2）PB 则 2655555P6

答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 34，少1人抽到选择题的概率为 . 510

变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放

回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？

【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球

3223363略解:PA或者 PA2 54545C55

变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？

略解: PA422442244 666666669

例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？

【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量

解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域 D，事件

“发放急救物品无效”为A ，距离水池10米范围为区域 d ，即为图中的阴影部分， 则有PAd测度

D测度

805028010250104

10001000102

答：略

颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域

之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一

般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入

另外一个网格，分析是同样的

变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚【高中古典概率公式】

硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？

略解：PAd测度

D测度224 244141232

变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a , 现有一直径等于a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？ 【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点

只要圆心到网格线的距离小于等于半径

解：如图，正三角形ABC内有一正三角形 A1B1C1 ，其中

ABa , A1DB1EA1FA1D1a , ADBE 6tan30

3a a1a ， A1B1AB2ADa336

当圆心落在三角形 A1B1C1 之外时，硬币与网格有公共点  有公共点的概率 PSABC-SA1B1C1 SA1B1C1

2

ADa

EB322aa14430.82 32a4

高中古典概率公式(二)
古典概率教案

概 率 初 李桂梅

烟台机械工程学校

步

课题：10.2 概率初步

新授课【高中古典概率公式】

2

3

4

5

高中古典概率公式(三)
古典概率的特征和公式

3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 新授课 设计人： 审核人：高一数学组 使用时间： 编号： 班级： 姓名： 学习目标 1理解古典概型的两个特征及古典概型的定义；

2.掌握古典概型的概率计算公式。

学习重点难点 重点：理解古典概型及其概率计算公式

难点：古典概型的判断

学法指导 自主学习

知识链接

1.古典概型的特征

2.基本事件：试验的

3.古典概型的概率公式：对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个_________组成， 如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为:P(A)=________________=_____________。

互动探究：

1． 任意一个试验都是古典概型吗？

2.判断下列两个试验是否是古典概型？

（1）在线段[0,2]上任取一点，求此点的坐标小于1的概率；

（2）从1，2，3，4，5，6六个数中任取一个数，求此数是2的倍数的概率。

3.怎样计算古典概型中基本事件的总数？

4.古典概型的概率计算公式与随机事件频率的计算公式有什么区别？

精讲互动

例1．下列试验是否属于古典概型？

（1）一个盒子中有三个除颜色外完全相同的球，其中红球、黄球、黑球各一个，从中任取一球，“取出的是红球”、 “取出的是黄球”、 “取出的是黑球”；

（2）向一个圆内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的。

例2．用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：（1）3个矩形颜色都相同的概率；

（2）3个矩形颜色都不同的概率。

达标训练

1.将一枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（ ）

A 113 B C D 0 244

2.下列对古典概型的说法，正确的是（ ）

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件总数为n,随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)=k n【高中古典概率公式】

3.一副扑克牌有54张，去掉大小王，在剩下的52张牌中随意抽出一张牌，试分析以下现象：①一张红心J；②一张Q;③一张梅花。哪一种现象更容易发生（ ）

A ① B ② C ③ D都有可能

4.据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是（ ）

A 1111 B C D 2345

5.从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ）

A 1237 B C D 551010

6.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷两次，则“向上的数字之和是5”的概率是（ ）

A 1111 B C D 96123

27.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b,c，则方程x+bx+c=0有相等实根的概

率为（ ）

A 1111 B C D 1291836

8.已知集合A=9,7,5,3,1,0,2,4,6,8,在平面直角坐标系中，点（x,y）的坐标xA,yB,xy，计算（1）点（x,y）不在x轴上的概率;(2)点(x,y)正好落在第二象限的概率。

9.在箱子中装有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，试求x+y是10的倍数的概率。

学习小结

反思

高中古典概率公式(四)
古典概率--经典最全面总结

3.2 古典概率

1概念：1）实验中所有可能出现的基本事件只有有限个.

2）每个基本事件出现的可能性相等. 2古典概型的特征

1） 有限性 2）等可能性 3古典概型的概率公式

如果基本事件的总数为n，随机事件A包括的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得：

P(A)

A包含的基本事件的个数111m

. ...，所以在古典概型中，P(A)

基本事件的总数nnnn

示例1：掷一枚质地均匀，且六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子，求向上一面点数大于2的概率.

示例2：一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率.

考点1：有关基本事件的问题

例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？

（2）2只都是白球包含几个几本事件？

考点2：利用古典概型的概率公式求概率

例2 有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率.

1.任意抛掷两颗质地均匀，且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子. （1）求点数相同的概率. （2）求点数相差1的概率. （3）求点数之和为9的概率. （4）求点数之和为奇数的概率； （5）求点数之和为偶数的概率.

2.同时掷四枚质地均匀的硬币.

（1）求“恰有2枚正面向上的”概率； （2）求“至少有2枚正面向上的”概率.

3.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为（ ）.

4.用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. （1）求3个矩形颜色都相同的概率； （2）求3个矩形颜色都不相同的概率

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5.已知二次函数f(x)ax4bx1，设集合P{1,1,2,3,4,5}，Q{2,1,1,2,3,4}.分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间[1,)上是增函数的概率.

6.（2009浙江）设集合P{b,1}，Q{c,1,2}，PQ，若b,c{2,3,4,5,6,7,8,9}. （1）求bc的概率.

（2）求方程x2bxc0有实根的概率.

7.有2颗质地均匀，且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子，现做投掷2颗骰子的实验，用(x,y)表示点P坐标，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数. （1）求点P在直线y2x上的概率； （2）求点P不在直线yx1上的概率；

（3）求点P在圆xy9外，且在圆xy25内的概率.

8.将一枚质地均匀，且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数. （1）求两数之积是6的倍数的概率；

（2）设第一次、第二次向上的点数分别为x，y，求logx2y1的概率；

（3）求以第一次向上的点数x为横坐标，第二次向上的点数y为纵坐标的点(x,y)在直线xy3下方区域的概率.

9.任取一个正整数，求它能被5整除的概率.

10.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球大小、形状完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试求第二个人摸到白球的概率.

11.从含有2件正品a1,a2和一件次品b的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取2次，记“取出的2件产品中恰好有1件次品”为事件A，如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，连续取2次，记“取出的2件产品中恰好有1件次品”为事件B，则有（ ）. A. P(A)P(B) B. P(A)P(B) C. P(A)P(B) D.无法确定

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12.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂. （1）求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数.

（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.

13.(2009山东)一汽车厂生产A,B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆. （1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

14.把一个体积为64cm的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积均为1cm的小正方体，从中任取1个，恰有两面涂红漆的概率是多少？

15.某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选1个，假设各部门选择每个景点都是随机的.

（1）求三个景区都有部门选择的概率； （2）求恰有2个景区有部门选择的概率.

16.已知a,b,c,d,e五位同学按任意顺序排成一排，试求下列事件的概率. （1）a在边上. （2）a正好在中间. （3）a和b都在边上.

（4）a或b在边上. （5）a和b都不在边上.

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（高考真题）

1.（2010安徽）甲从正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）.

2.（2009福建）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率；先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）.

3.（2009安徽）从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是（ ）.

4.（2009浙江）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则P(A)=（ ）.

5.（2011浙江）掷两枚骰子，它们的各面分别刻有1,2,2,3,3,3，则掷得的点数之和为4的概率为（ ）.

6.（2010天津）有编号为A1,A2,...,A10的10个零件，测得其直径（单位：cm），得到下面数据：

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品.

（1）从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率. （2）从一等品零件中，随机抽取2个. 1）用零件的编号列出所有可能的抽取结果. 2）求这2个零件直径相等的概率.

7.（09福建）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球. （1）一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.

8.（2010山东）一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的的编号为n，求nm2的概率.

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