二次函数模型及其应用

导读：　二次函数模型及其应用(共2篇)二次函数的建模运用二次函数的应用 1 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A．2 76米 B．6 ...

二次函数模型及其应用(一)
二次函数的建模运用

二次函数的应用 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证

过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过

多少米时，就会影响过往船只的顺利

航行（ ）

A．2.76米 B．6.76米 C．6米 D．7米

故此抛物线的解析式为：

y-1

25x2

因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9

米

此时水深6+4-3.24=6.76米

即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．

考点：二次函数的应用．

专题：数形结合．

分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x的值，

加上2.5即为所求的数值．

江夏区教研室艾新明整理 1

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竿所在抛物线的解析式为

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动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平线成45°角，水流的最高点C与喷头B高出2米，在如图的坐

标系中，水流的落地点D到点A的距离是 米．

4 江夏区教研室艾新明整理

的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；

①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？

②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．

考点：二次函数的应用．

分析：（1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；

（2）①根据利润=销售总价-成本总价=单件利润×销售量；

②据①中表达式，运用性质求P的取值范围．

解答：

解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b

30a+b＝500.........①

40a+b＝400.........②

解得： a＝−10 b＝800

∴函数解析式为：y=-10x+800；

（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，

解得：x1=40，x2=60，

∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；

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二次函数模型及其应用(二)
函数模型及其应用 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

★备考知考情

1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．

2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．

3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.

一、知识梳理《名师一号》P35

知识点一 几类函数模型

1

知识点二 三种增长型函数之间增长速度的比较

1.指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)：

在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn.【二次函数模型及其应用】

2．对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)： 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有logax＜xn

由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞logax.

2

注意：《名师一号》P36 问题探究 问题1、2 问题1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，

初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转

化为符号语言，利用数学知识，

建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

问题2 在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？

(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．

(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【二次函数模型及其应用】

3【二次函数模型及其应用】

二、例题分析：

（一）三种函数模型增长速度的比较

例1.《名师一号》P36 对点自测5、6

5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )

(2)幂函数增长比直线增长更快．( )

(3)不存在x0，使ax0<xn0<logax0.( )

(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，

当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

思考：如何证明：任意 x∈(4，＋∞)， x2<2x恒成立。

6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些

A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝x2－1) D．y＝2.61cosx 2

4

解析 由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝

18，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)接近，C中y＝2－1)2

＝4，不合要求，D中y＝2.61cos3<0，不合要求，故选B.

（二）函数模型应用题

例1.《名师一号》P36 对点自测1

1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(

)

ABCD

解析 由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B.

例2.《名师一号》P36 高频考点 例1

(2014·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x) 5

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