集合与函数高考第一轮复习知识点

导读：　集合与函数高考第一轮复习知识点(共5篇)...

本文是中国招生考试网（www.chinazhaokao.com）成考报名频道为大家整理的《集合与函数高考第一轮复习知识点》，供大家学习参考。

集合与函数高考第一轮复习知识点(一)
高考总复习_集合与函数概念知识点及习题

第一章 集合与函数概念

知识网络

第一讲 集合

★知识梳理

一：集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系：

用心 爱心 专心

三：集合的基本运算

①两个集合的交集:AB= xxA且xB; ②两个集合的并集: AB=xxA或xB; ③设全集是U,集合AU,则CUAxxU且xA







方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破

重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合

的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法

（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如xyf(x)、yyf(x)、(x,y)yf(x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：



用心 爱心 专心

x2y2xy

1,Ny1,则MN=（ ） 问题：已知集合Mx

4329

A. ；B. (3,0),(0,2)；C. 3,3；D. 3,2

x2y2xy

[错解]误以为集合M表示椭圆1，集合N表示直线1，由于这直

9432

线过椭圆的两个顶点，于是错选B

[正解] C； 显然Mx3x3，NR，故MN[3,3]



(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用

Venn图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A （2）任何集合都是它本身的子集，即AA

（3）子集、真子集都有传递性，即若AB，BC，则AC 4．集合的运算性质

（1）交集：①ABBA；②AAA；③A；④ABA，ABB⑤ABAAB；

（2）并集：①ABBA；②AAA；③AA；④ABA，ABB⑤ABABA； （3）交、并、补集的关系 ①ACUA；ACUAU

②CU(AB)(CUA)(CUB)；CU(AB)(CUA)(CUB)

★热点考点题型探析

考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征

[例1]（2008年江西理）定义集合运算：ABz|zxy,xA,yB．设

A1,2,B0,2，则集合AB的所有元素之和为（ ）

A．0；B．2；C．3；D．6

[解题思路]根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB

用心 爱心 专心

的元素

[解析]：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知

AB=0,2,4，故应选择D

【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型2：集合间的基本关系

[例2]．数集X(2n1),nZ与Y(4k1),kZ之的关系是（ ）

A．XY；B．YX； C．XY；D．XY

[解题思路]可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。

[解析] 从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能； 同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 [新题导练]

1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）

A．AB B.BC C.ABC D. BCA [解析] D；因为全集为A，而BC=全集=A

2．(2006•山东改编）定义集合运算:ABzxyxy,xA,yB,设集合



22



,B2,3,则集合AB的所有元素之和为 A1,0

[解析]18，根据AB的定义，得到AB0,6,12，故AB的所有元素之和为18

3．(2007·湖北改编）设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP,且xQ，如果

Pxlog3x1，Qxx1,那么PQ等于[解析] xx3；因为Pxlog3x1(0,3)，Qxx1(1,1)，所以



PQ(1,3)

4．研究集合Axyx4，Byyx4，C(x,y)yx4之间的关系 [解析] A与C，B与C都无包含关系，而B



2



2



2



A；因为Axyx24表示



yx24的定义域，故AR；Byyx24表示函数yx24的值域，B[4,)；C(x,y)yx24表示曲线yx24上的点集，可见，B

与C，B与C都无包含关系 考点二：集合的基本运算

[例3] 设集合Axx3x20，Bxx2(a1)x(a5)0

用心 爱心 专心





A，而A



2





22



（1） 若AB2，求实数a的值；

（2）若ABA，求实数a的取值范围若AB2，

[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

1,2， [解析]因为Axx3x20

2



（1）由AB2知，2B，从而得24(a1)(a5)0，即

2

2

a24a30，解得a1或a3

当a1时，Bxx402,2，满足条件； 当a3时，Bxx4x402，满足条件

2



2





所以a1或a3

（2）对于集合B，由4(a1)4(a5)8(a3) 因为ABA，所以BA

①当0，即a3时，B，满足条件； ②当0，即a3时，B2，满足条件；

2

2

1,2才能满足条件， ③当0，即a3时，BA

5

a122(a1)

由根与系数的关系得2，矛盾 2

12a5a27



故实数a的取值范围是a3

【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练]

6．若集合Syy3,xR，Tyyx1,xR，则ST是（ ）

A. S；B. T；C.；D. 有限集

x

[解析] A；由题意知，集合Syy3,xR表示函数y3,xR的值域，故 2

集合S(0,)；Tyyx1,xR表示函数yx1,xR的值域，



x



2





x





2



T[1,)，故STS

7．已知集合M(x,y)xy2，N(x,y)xy4，那么集合MN为（ ）

用心 爱心 专心



集合与函数高考第一轮复习知识点(二)
高三一轮复习集合函数知识点

第一章：集合与函数概念 1.1.1、集合

1、 把研究的对象统称为异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：N*或NZQR. 4、集合的表示方法：列举法、描述法. 1.1.2、集合间的基本关系

1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称

集合A是集合B的子集。记作AB. 2、 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集.记作：

AB.

3、 把不含任何元素的集合叫做.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子集，21个真子集.

1.1.3、集合间的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：

AB. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：

AB. 3、全集、补集？CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函数的概念

1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个

数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作：yfx,xA.

2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且

对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设x1、x2[a,b],x1x2那么

n

n

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.

步骤：取值—作差—变形—定号—判断

格式：解：设x1,x2a,b且x1x2，则：fx1fx2=…

(2)导数法：设函数yf(x)f(x)0f(x) 若f(x)0，则f(x)为减函数. 1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么就称函

1

数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、 一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么就称

函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 1、函数yf(x)在点x0函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率

f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

'

①C0；②(xn)'nxn1； ③(sinx)'cosx； ④(cosx)'sinx；

⑤(ax)'axlna； ⑥(ex)'ex； ⑦(logax)（1）(uv)uv. （2）(uv)uvuv.

'

'

'

'

'

11'

；⑧(lnx) xlnax

u'u'vuv'

(v0). （3）()2

vv

复合函数yf(g(x))的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为

yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原.

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值； 极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值. (2)判别方法：

2

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值. (1)求yf(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）

(2)将yf(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果xa，那么x叫做a 的n次方根。其中n1,nN. 2、 当n为奇数时，ana；

当n为偶数时，aa. 3、 我们规定： ⑴a

nm

n

n

an

*

a0,m,nN

⑵a

n

,m1；





1

n0； na【集合与函数高考第一轮复习知识点】

rs

⑴aaa

⑵ar

r

s

a0,r,sQ；



s

arsa0,r,sQ；

⑶abarbra0,b0,rQ.

r

2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：yaa0,a1

x

3

2、性质：

2.2.1、对数与对数运算

1、指数与对数互化式：axNxlogaN； 2、对数恒等式：a

logaN

N.

3、基本性质：loga10，logaa1.

a0,a1,M0,N0时： ⑴logaMNlogaMlogaN； ⑵loga

MN

logaMlogaN； 

⑶logaMnnlogaM. 5、换底公式：logab

logcb

logca

m

logab n

a0,a1,c0,c1,b0.

6、重要公式：loganb7、倒数关系：logab

m

1

a0,a1,b0,b1.

logba

2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：ylogaxa0,a1

2、性质：

4

2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

5

集合与函数高考第一轮复习知识点(三)
高三一轮复习集合与函数测试题(含答案)

圆梦辅导中心 高三一轮复习集合与函数测试题 姓名： 分数： 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，

在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知命题“xR,x22ax10”是真命题，则实数a的取值范围是 （ ) A．(,1) 1，1）

2x

8BxRlogxx1，则A(CRB)的元2、若AxZ22

x21(x1)

9．若函数f(x),则f(f(10)=（ ）

lgx(x1)

A．lg101

B．2

C．1

D．0

10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f(x)f(x4)，

0)时， f(x)2x，则f(2012)f(2011)的值为（ ） 当 x(2，

A.

B．(1,)

(,1)(1,) D．C．（—



11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b－3(x∈R)图象恒过点(2,0)，则a2＋b2的最小值为

( )

11

A．5 B. C．4 D.

5412. 设函数f(x)=

1

2

B.

1

C. 2 2

D.2

axb

的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是

2

xc

素个数为（ ） A.0

B.1

C.2

D.3

3、 设a1，函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为则a（ ）

A

．4 C

．．2

1

，2

A.a＞b＞c

B.a＞c＞b

C.b＞a＞c

D.c＞a＞b

4、 在R上定义的函数fx是偶函数，且fxf2x，若fx在区间

1,2是减函数，

则函数 fx（ ）

A.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是增函数 B.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是减函数 C.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是增函数 D.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是减函数 5 .设1,1,

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，

把正确答案填在题中横线上)

13、函数f(x)2log6x的定义域为。

xx2

xlog3,则(22) 。 414、若

15. 已知函数f(x)是定义在(,)上的偶函数. 当x(,0)时，

f(x)xx4，则当 x(0,)时，f(x)

16. .函数yf(x)是R上的偶函数，且在(,0]上是增函数，若

f(a)f(2),则实数a 的取值范围是

1

则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的,3，

2

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文

字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分) 计算：（1）2

1

2

值为（ ）

A. -1,3 B.-1,1 C. 1,3 D.-1,1,3



(4)0

2



121

(15)0

(3a1)x4a,x1

6．已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值

logx,x1a

范围是

（2）log225log3

11

log5 169

1111

A.(0,1) B.(0,) C.[,1) D.[,)

3773

7．若函数f(x)ax3blog2(xx21)2在(,0)上有最小值－5，

（a，b为常

数），则函数f(x)在(0,)上（ ）

A．有最大值9 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最大值5

9x2

8．函数y的图象关于 （ ）

|x4||x3|

A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线xy0

对称

1

18．（本小题满分12分）已知函数fx在定义域0,上为增函数，且满足fxyfxfy,f31

(1)求f9,f27的值 (2)解不等式fxfx82【集合与函数高考第一轮复习知识点】

19. （12分）已知函数f(x)ax2(b8)xaab,的零点是－3和2. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域.

20. （本小题满分12分）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需．求．总．量．f(x)（万件）与月份x的近似关系为

b2x

21.．(本小题满分12分) 已知定义域为R的函数f(x)x是奇函

2a

数.(1)求a,b的值; (2)用定义证明f(x)在,上为减函数. (3)若对于任意tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立,求k的范围.

22．（本小题满分14分）设二次函数f(x)axbxc(a,b,cR)满足下

列条件：

①当x∈R时，f(x)的最小值为0，且f (x－1)=f(－x－1)成立；

②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2x1+1恒成立。 （1）求f(1)的值； （2）求f(x)的解析式；

（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈1,m时，就有

2

f(xt)x成立。

2

1

x(x1)(352x)(xN且x12)． 150

（1）写出明年第x个月的需求量g(x)（万件）与月份x的函数关系式，并求f(x)

出哪个月份的需求量超过1.4万件；

（2）如果将该商品每月都投放市场p万件，要保持每月都满足市场需求，则p至少为多少万件．

试题答案【集合与函数高考第一轮复习知识点】

22

即k3t22t恒成立,而3t2t3(t)

13111. k.

333

f(1)=1

22. 解： (1)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故

C C B D C D A B B A B B

4

13.

0. 14.3 15.xx4. 16. a2或a2 17．解：

（Ⅰ

）原

式

=2

1

2



11=2112

2



2

211=2212

2



21

2=

2222

（

Ⅱ

）

原式

=log52

log4

2

2lg5(4)lg2(2)lg3

232log53=lg2lg3lg5

16

9. 18.解：（1）f9f3f32,f27f9f33

（2）

fxfx8fxx8f9

而函数f(x)是定义在0,上为增函数

x 

0x80

8x9 

x(x8)9 即原不等式的解集为(8,9) 19. 解：（Ⅰ）f(x)3x23x18„„（6分）

（Ⅱ）当x0时,fmax(x)18,当x1时,fmin(x)12

故所求函数f(x)的值域为[12，18]„„„„„„„„（12分） 20. 解：（1）由题设条件知g(x)f(x)f(x1)1

25

x(12x)，. 整理得x212x350,

5x7,又xN,x6.

即6月份的需求量超过1.4万件；

（2）为满足市场需求，则Pg(x)，即P

1

25

[(x6)236]. g(x)的最大值为

3625，P3625 ，即P至少为3625

万件.

21、解：（1）f(x)为R上的奇函数

,f(0)0,b1. 又f(1)f(1),得a1. 经检验a1,b1符合题意. (2)任取x1,x2R,且x1x2 则

f(x(x12x112x2(12x1)(2x21)(12x2)(2x11)

1)f2)2x112x21

(2x11)(2x21)=

2(2x22x1)(2x1)(2x1)

12

x1x2,2x12x20,又(2x11)(2x21)0f(x1)f(x2)0,f(x)为R上的减函数.

(3) tR,不等式

f(t22t)f(2t2k)0恒成立,

f(t22t)f(2t2k)

f(x)为奇函数, f(t2

2t)f(k2t2

)f(x)为减函数,

t22tk2t2.

3

„„„„„„„„„„3分

(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上

故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=1

4

∴f(x)= 1

4

(x+1)2

„„„„„„„„„„7分

(3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

f(x+t)≤x1

4(x+t+1)2≤xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.

令g(x)=x2

+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈

[1,m].



g(1)0g(m)04t01tm1t ∴m≤1－t+2t≤1－(－4)+2(4)=9

t=-4时,对任意的x∈[1,9] 恒有g(x)≤0, ∴m的最 „„„„„„„„„„ 12分

大

值

为

集合与函数高考第一轮复习知识点(四)
备战2016年高考数学一轮复习集合与函数知识点

集合(简称集)是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，以下是集合与函数知识点，请考生阅读学习。1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道否命题与命题的否定形式的区别。6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和或单调区间不能用集合或不等式表示。12.求函数的值域必须先求函数的定义域。13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。17.实系数一元二次方程有实数解转化时，你是否注意到：当时，方程有解不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?集合与函数知识点的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生复习有帮助。

集合与函数高考第一轮复习知识点(五)
2014年高考数学一轮复习专题01_集合与函数概

2014年高考数学一轮复习资料

第一章集合与函数概念

第1讲 集合的概念及其运算

【知识精讲】1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素.

2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.

3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.

【基础梳理】

1.集合与元素

（1）集合元素的三个特征：____确定性_____、___互异性_____、 ____无序性_____.

（2）元素与集合的关系是___属于___或____不属于____关系， 用符号____或_____表示.

(3)集合的表示法：__列举法_____、___描述法____、___图示法____、 __区间法_____.

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R.

(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为____有限集____、__无限集___、__空集_.

2.集合间的基本关系

(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则AB（或BA）.

若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA， 则__

 ___A；A___A；AB，BCA____C. __（或____）.

若A含有n个元素,则A的子集有__2n__个,A的非空子集有__2n-1_个,A的非空真子集有__2n-2__个.

(2)集合相等

若AB且BA,则___A=B____.

3.集合的运算及其性质

(1)集合的并、交、补运算

并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B=___{x|x∈A且x∈B}____；

补集：=__{x|xU且xA}___. U为全集，表示A相对于全集U的补集.

(2)集合的运算性质

并集的性质:

A∪=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪B=ABA.

交集的性质：

A∩=；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=AAB.

补集的性质：

【要点解读】

要点一集合的基本概念

【例1】已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}

【命题立意】集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．

【标准解析】M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．

yx【误区警示】①本题求M∩N，经常发生解方程组x1, x0,或得yx1.y1, y2.21,

从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的

【变式训练】集合Axax2x10中有一正一负两个元素，求a的值.

【标准解析】因为集合有两个不同元素,所以a0且44a0,设两个元素分别是x1,x2,因为两个元素符号相反,所以x1x210. a2

【技巧点拨】 本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理;另一种是利用二次函数图象数形结合.

【答案】由题意知,方程ax22x10为一元二次方程,且有一正一负根, 设两个根分别是x1,x2,则a0由44a0可得a0.

1x1x20a

要点二集合的关系

【例2】若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－

7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________． 1(a2－3a－8), a3＋a2＋3a＋2

【命题立意】本题考查了集合的表示，集合语言的理解、集合的运算，解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.

【标准解析】∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．

当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．

当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．

【误区警示】集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，强化对集合元素互异性的认识．

【变式训练】已知集合Axx23x20,Bxx2axa10，且A

为______．

【标准解析】集合A,B都表示方程的解集，集合A1,2,是确定，有四个子集，由

ABBBA而推出B有四种可能，进而求出a的值． BB则a的值

【技巧点拨】集合B是集合A的子集，集合A的子集有四个，故B有四种情况，分别讨论即可，简易入手，思路清晰.集合B不要写成B=1,a1，因为a1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．

要点三集合的运算

【例3】集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

【命题立意】集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解

【标准解析】∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，

B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，

∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．

【误区警示】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．

【变式训练】设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，则集合

A、B是________．

【标准解析】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

【技巧点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出． 要点四集合的应用

【例4】已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R=，则实数m的取值范围是_．

【命题立意】集合作为一种数学语言的工具，常用于其他章节中，并能与其综合应用.本题主要考查能否准确理解集合表示的意义.

【标准解析】由A∩R=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，

2m240,或△=(m＋2)2－4<0．解得m20,m≥0或－4<m<0，即m>－4．

B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要【误区警示】解决有关A∩B=、A∪B=，A

在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

【变式训练】设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求a、b的值

【命题立意】可在数轴上画出图形，利用图形分析解答

【标准解析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，

显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<x<3}，才能使A∪B={x|x>－2}，且A∩B={x|1<x≤3}． 根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋ax＋b=0的两根，

∴ a=－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．

【技巧点拨】类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，

会得到直观、明了的解题效果．

第2讲 函数的基本概念及表示

【知识精讲】

1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同,则两个函数为同一函数.

2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式 比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为 函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解 析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视.

3.求用解析式y=fx表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

①若fx是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若fx是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若fx是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若fx是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若fx是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

4.分段函数尽管在教材上没有明确的定义，但是是一个重要的函数形式，分段函数是一个函数，而不是几个函数.其图象为若干段曲线，不一定连续.

【基础梳理】

1.函数的基本概念

（1）函数定义

设A，B是非空的数集 ，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意 一个数x,在集合B中都有 唯一确定 的数fx和它对应，那么就称f:A→B为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=fx,x∈A.

(2)函数的定义域、值域

在函数y=fx,x∈A中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域 .显然，值域是集合B的子集.

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 .

(4)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

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