九年级上册数学反比例函数

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九年级上册数学反比例函数(一)
九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题

第十三讲 反比例函数

第一部分 知识梳理

一、反比例函数的解析式

1．反比例函数的概念

一般地，函数y写成ykx

1

kx

（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以

的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切

非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数y

kx

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的

一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质

1．反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质

3．反比例函数中反比例系数的几何意义

所得矩形(如图)面积为k。 连接该点和原点，所得三

三角形（如图）的面积

D．

12

m的值

〖试题来源〗2010年凉山州中考数学试题 〖选题意图〗对于反比例函数y

yx

1

kx

(k0)。由于

1x

x

1

，所以反比例函数也可以写成

（k是常数，k≠0）的形式，有时也以xy=k（k是常数，k≠0）的形式出现。（1）k

＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．

2

〖参考答案〗解：∵函数ym1xm

2

5

是反比例函数，且图象在第二、四象限内，

m251∴，解得m=±2且m＜﹣1，∴m=﹣2．故选B．

m1＜0

【课堂训练题】【九年级上册数学反比例函数】

1．（2000•甘肃）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x的函数关系式． 〖难度分级〗A类

〖参考答案〗解：设y1=k1x（k1≠0），y2=错误！未找到引用源。 ∴y=k1x+错误！未找到引用源。 ∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5， k1k21k11∴，∴。

3kk5k2212

∴yx

2x2

。

k1x

k2x

2．定义：已知反比例函数y与y，如果存在函数y

k1k2x

（k1k2＞0）则称函数

y

k1k2x

为这两个函数的中和函数。

2x

（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为yy随x的增大而增大。 （2）函数y求当y

kx

3x

，并且其中一个函数满足：当x＜0时，

和y

12x

的中和函数y

kx

的图象和函数y=2x的图象相交于两点，试

的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围。

〖难度分级〗B类

〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为错误！未找到引用源。， 并且其中一个函数满足：当x＜0时，y随x的增大而增大．

∴答案不唯一，如错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。等； y=

3x

（2）∵错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的中和函数错误！未找到引用源。，

6y

联立方程组x，

y2x

解之得两个函数图象的交点坐标为（3，23）（3，23），结合图象得到当y

kx

的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围是x＜3或0＜x＜3． 【例题2】如图所示是反比例函数y

2n4x

的图象的一支，根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若函数图象经过点（3，1），求n的值；

（3）在这个函数图象的某一支上任取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），如果a1＜a2，试比较b1和b2的大小．

〖难度分级〗B类

〖试题来源〗2010年肇庆市中考数学试题

〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．

〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；

（2）把点的坐标代入反比例函数求出n值，即可求出函数解析式；

（3）根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，在每个象限内，函数值y随x增大而减小。 〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n﹣4＞0，解得：n＞2 （2）将点（3，1）代入y（3）∵2n﹣4＞0，

∴在这个函数图象的任一支上，y随x增大而减小， ∴当a1＜a2时，b1＞b2．

2n4x

得：1

2n43

，解得：n=错误！未找到引用源。；

九年级上册数学反比例函数(二)
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳

新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题

（一）知识结构

（二）学习目标

1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式

（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．

2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．

3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关

系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．

4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．

5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （三）重点难点

1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．

2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 二、基础知识

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为这一限制条件；

，

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式

中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数（二）反比例函数的图象

的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

在用描点法画反比例函数称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质

的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对

1．函数解析式：（

）

2．自变量的取值范围： 3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当 当

时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

，

）

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（在双曲线的另一支上． 图象关于直线

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（

，）

在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于

B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个

分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线 当

与双曲线的关系：

时，两图象必有两个交点，且这两

时，两图象没有交点；当

个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析

1☆．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．y=3x B．

C．3xy=1 D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．

A． B． C． D．

答案：（1）C；（2）A．

2．图象和性质

是反比例函数，

（1）已知函数

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数第________象限．

的图象位于

（3）若反比例函数过第_____象限．

经过点（，2），则一次函数的图象一定不经

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数 则直线

不经过的象限是（ ）．

的图象上，

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

A． B． C． D． 答案：（1）①

②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．

3．函数的增减性

（1）在反比例函数

，则

的值为（ ）．

的图象上有两点，，且

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数

（2）在函数则函数值 A．＜

、＜

、＜

（a为常数）的图象上有三个点的大小关系是（ ）． B．

＜

＜

C．

＜

，，，

＜ D．＜

（3）下列四个函数中：①；②；③；④．

y随x的增大而减小的函数有（ ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0

时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．

九年级上册数学反比例函数(三)
新北师大版九年级上册数学反比例函数练习题

A． B．

k

C． D．【九年级上册数学反比例函数】

3．已知反比例函数y=

x

图象在一、三象限内，则一次函数

y=kx-4

的图象经过的象限是（ ）A．第一、二、三象限 B．第一、A．

33

B． C．3 D．23 23

5．如图，△ABC的边BC=y，BC边上的高AD=x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

6．如图，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=

k

(k

＞

0)的图象经过另外两个顶点C、D，且点D（4，n）x

A． B． C．

6

D．

8．如图，点P是反比例函数y=

x

的图象上的任意一点，过点P

分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是矩形OAPB

内任意一点，连接DA、DB、DP、DO，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．

k1k34 B．2 C. D．

43k2k1

M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，则AF•BE=（ ）A．2 B．4 C．6 D．42 11．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=-

k

的图象上，若点A的坐标为（-2，2x

-2），则k的值为（ ）A．4 B．-4 C．8 D．-8 12．如图，是反比例函数y=

k1k

，y=2（k1＜k2）在第一象限的图象，

xx

直线AB∥y轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=4，则k2-k1

的值是（ ）A．1 B．2 C．4 D

．

8

二．填空题（共

8

小题）

九年级上册数学反比例函数(四)
九年级数学上-反比例函数测试题含答案

九年级数学-反比例函数测试题

一、选择题：（12x3=36）

1、小华以每分钟x字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为( )

(A) x=

300300x300

(B) y= (C) x+y=300 (D) y=

xxy

2、如果反比例函数y

k

的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ） x

A、 第一、三象限 B、 第一、二象限 C、 第二、四象限 D、 第三、四象限 3、若反比例函数y(2m1)xmA、－1或1 B、小于

2

2

的图像在第二、四象限，则m的值是（ ）

1

的任意实数 C、－1 Ｄ、不能确定 2

113

C、yx0) D、y2x xx

4、下列函数中y随x的增大而减小的是（ ） A、yx0) B、y

9

x

5、正比例函数ykx和反比例函数y

k

在同一坐标系内的图象为（ ） x

A B C D 6、在函数y=

k

(k<0)的图像上有A(1,y1)、B(－1,y2)、C(－2,y3)三个点，则下列各式中x

正确的是（ ）

(A) y1<y2<y3 (B) y1<y3<y2 (C) y3<y2<y1 (D) y2<y3<y1 7、、如右图，A为反比例函数y值为（ ）

A、6

8、在同一直角坐标平面内，如果直线yk1x与双曲线y

B、3

C、

k

图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝3，则k的x

3 2

D、不能确定

k2

没有交点，那么k1和k

2的x

关系一定是（ ）A k1<0，k2>0

C k1、k2同号

D k1、k2异号

B k1>0，k2<0

9、若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y

1

的图象上的点，并且x1＜0x

＜x2＜x3，则下列各式中正确的是 （ ） A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y3＜y1 C、y3＜y2＜y1 D、y1＜y3 ＜y2 10、点A（a,b）、B（a－1，c）均在函数y（ ）

A、ａ＞ｃ B、ｂ＜ｃ C、ｂ＝ｃ 11．在反比例函数y是（ ） A．1

12．一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（ ）

B．0

C．1

D．2

1

的图象上，若a＜0，则ｂ与ｃ的大小关系是x

1k

的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以x【九年级上册数学反比例函数】

A B C D

二、填空题：（6x4=24）

1、右图是反比例函数y的图象，则k与0的大小关系是k；

x

2、已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=4，则当x=2时y=_________；

k

3、反比例函数yk0在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点，

x

MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是 ；

4、已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为 ；

5、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是 ； 6、对于函数y

2

，当x2时，y的取值范围是______y______；当x2时且x0x

时，y的取值范围是y ______1，或y ______。（提示：利用图像解答）

三、解答题（6x10=60）

1、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线yAB⊥x轴于B且S△ABO=

k

与直线yx(k1)在第二象限的交点， x

3 2

（1）求这两个函数的解析式

（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求△AOC

2、如图，一次函数ykxb的图像与反比例函数y

m

的图像相交于A、B两点， x

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x

3、如图，已知点A（4，ｍ），B（－1，ｎ）在反比例函数y交于点C， （1）求n值

（2）如果点D在x轴上，且DA＝DC，求点D的坐标.

8

的图象上，直线

AB与ｘ轴x

4、如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数y象上，点P(m,n)是函数y

k

（k﹤0,x﹤0）的图x

k

（k﹤0,x﹤0）的图象上异于B的任意一点，过点P分别作xx

轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F。

（1）设长方形OEPF的面积为S1，判断S1与点P的位置是否有关（不必说理由） （2）从长方形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余的面积为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围。

九年级上册数学反比例函数(五)
最新人教版初三数学上册反比例函数试题

2014—2015学年九年级数学（上）周末辅导资料（15）

德尔教育培训中心 姓名： 得分：

一、知识点梳理： 1、反比例函数：形如y轴、y轴无交点，y

kk

（k0）这样的式子，叫做反比例函数。式中的是一个分式，自变量x≠0，函数与x

xx

k－1

也可写成y＝kx（或x y=k）(k≠0)，注意自变量x的指数为一1，在解决有关自变量指数x

问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件． 2、反比例函数y反比例函数y形面积为k．

3、反比例函数的图象和性质：

（1）当k>0时，函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降．也就是在每个象限内y随x的增加而减小；

（2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大

例1、（1）如果ymx（2）反比例函数y

n1

k

(k≠0)的图象是双曲线。 x

kk

(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩xx

是反比例函数，则m________,n__________。

k

k0在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P

x

如果△MOP的面积为2，那么k的值是 ；

（3）已知y与x成反比例，并且当x＝－1时，y＝2，那么当x＝4时，y等于（ ） A．－2 B．2 C．（4）函数y

2

1

D．－4 8

1

(x>0)的图象大致是（ ） x

课堂练习2： 1、反比例函数y



23m

的图象在一、三象限，则m的取值范围是 x

3＋2m

上，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ） x

2、已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝

3 3

A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ D．m＜－22

3、已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

与反比例函数y=

在

4、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+同一坐标系内的大致图象是（ ） A．

B．

C．

D．

例2、如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y

m

的图象相交于A（-2，1）、B（1，n）两点。 x

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积；

（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

二、强化训练：

1、已知A（－2，a）满足函数y

2

，则a的值为（ ） x

A．－1 B．1 C．－2 D．2 2、已知反比例函数y

k

（k≠0）的图象在第二、四象限，那么一次函数y＝kx－k的图象经过（ ） x

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3、如果反比例函数y

k

的图象经过点(一2，3)，那么此反比例函数的图象也经过点 ( ) x

A．(一2，一3) B．(3，2) C．(3，一2) D．(一3，一2)

4、对于函数y

6

，下列说法错误的是（ ） ．．x

A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小 5、已知k<0，则函数y1=kx与y2

6、若反比例函数y A．y2y10

k

的图象大致是 ( ) x

1

的图像上有两点P1(1, y1)和P2(2, y2)，那么（ ） x

B．y1y20

C．y2y10

D．y1y20

7、如图，函数y＝k（x＋k）与y

k

在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ） x

8、知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）

D． y＞10

A． 0＜y＜5 B． 1＜y＜2 C． 5＜y＜10

9、如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（ ）

10、已知图7中的曲线函数y(1)求常数m的取值范围；

(m为常数)图象的一支. x

(2)若该函数的图象与正比例函数y2x图象在第一象限的交点为A（2，n）, 求点A的坐标及反比例函数的解析式.

11、如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数

y=（k＞0）的图象过CD的中点E． （1）求证：△AOB≌△DCA； （2）求k的值；

（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．

12、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

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