分类讨论的思想方法的应用体会感悟

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分类讨论的思想方法的应用体会感悟篇一
《分类讨论思想在函数中的应用》

分类讨论思想在函数中的应用美发中学 林奕杰一．教学内容分析　　分类讨论思想是数学解题中的一个重要思想方法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类思想中最重要的原则是"不重不漏"。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。 分类讨论思想在初中数学中占有重要地位是中考的热、难点，初中数学中有许多体现"分类讨论" 思想的知识和技能，无论在代数还是几何中都能找到，它们分布在概念的定义、定理的证明、运算的法则(性质)、图形（像）的性质和具体问题的解决中，一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：;其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题　 函数在数学课程中一直占据着非常重要的地位,尤其在初中阶段,它不仅有着基础性的重要功能与广泛的实际应用,而且对于学生的后继学习也有着举足轻重的作用,是整个数学课程中最为主要的内容之一。在函数教材中蕴含丰富的数学思想如转化思想、模型思想、数形结合思想、分类思想等，感悟这些对今后数学学习及学生生活都将发挥重要作用。具体到分类思想，从求函数的自变量的取值、解析式的求解、性质的内容以及利用函数求解问题中都要分类讨论。本节课借助函数的具体知识来贯穿分类讨论思想的应用。二．学情分析本节课是学生初步接触了函数，学习了平面直角坐标系、函数概念、一次函数(正比例函数）、不等式与不等式组与一次函数的联系、反比例函数的基础上进一步渗透分类讨论的思想，从而提高学生能力、培养数学思维。八年级的学生已经具备一定的抽象思维及分类讨论的能力，但由于刚学完函数的一些基本知识，还存在对这部分知识掌握不牢固、理解不深刻、综合应用能力不强等问题三．教法与学法分析　　基于以上分析，本节课问题在于教学中如何去渗透，特别是如何把握渗透的"度"。 分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生

的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。　　教学中应首先注意控制好难度，循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，螺旋上升，分门别类形成对分类思想的主动应用四．（一）教学目标：1.知识与技能目标：结合函数具体问题，初步掌握分类的方法及原则；2.情感与态度：领会分类讨论解决函数问题的优点，感受数学思想方法的魅力；3.过程与方法：通过观察、比较、分析、讨论、归纳，让学生逐步体会分类讨论的必要性，学会分类、提高能力。　（二）重难点：分类的必要及方法；五．教学过程【引题】1. 平面直角坐标系中，P为x轴正半轴上一点、O为坐标原点，且OP=2，则P点坐标为 ；变形1）平面直角坐标系中，P为x轴上一点、O为坐标原点，且OP=2，则P点坐标为 ；2）平面直角坐标系中，P为坐标轴上一点、O为坐标原点，且OP=a(a>0)，则P点坐标为 ；师问：1）变式1和母题的区别是什么？二者答案一样吗？2）变式2和1有何区别？通过这3题的比较，在解法上我们应注意什么？（引入课题"分类讨论思想在函数中的应用"）设计意图：通过变式教学，引导学生主动发现分类的需要，体会分类的讨论必要性【例1】如图，直角坐标系中，O为坐标原点，A（-3，3）。（1）线段OA= ；（2）P为坐标轴上的点，若△POA是以OA为一腰的等腰三角形，则满足条件的P共有 点，它们的坐标分别是 ；变形：现将（2）改为：P为坐标轴上的点，若△POA是等腰三角形，则满足条件的P共有 点，它们的坐标分别是 .归纳：师问：1）导致问题2和变形题出现多个答案的原因是什么？2）你的答案是否完整？在讨论过程中，我们应注意什么？设计意图：引导学生认真审题主动发现题目背景的多样性及条件的不明确导致分类讨论的必要，注意讨论的"不漏"性。【例2】如图，正方形ABCD的边长为4，点P从D点出发，沿D-C-B-A以1个单位/秒的速度运动，请求出△APD的面积y关于时间x（秒）的函数关系式，并画出这个函数图像。师：1）这题的解析式是否可以用一个式子就可以表示出来？应分几种情形讨论？2）解运动的问题应注意什么？3）本题分类的原因是什么？解：当P点在线段DC上运动时，即0<x≤4，当

P点在线段BC上运动时，即4<x≤8，当P点在线段BA上运动时，即8<x<12，设计意图：本题改编自复习题A组第9题，目的引导学生主动发现运动问题中，动点位置的多种可能、表达式的非唯一产生分类讨论必要【例3】直线分别交x、y轴于A、B两点，O是原点.　（1）求△AOB的面积；　（2）过O点能不能画出直线把△AOB分成面积为1：2的两部分？若能，可以画出几条？写出这样的直线所对应的函数关系式.师：1）本题应先把大致的图像画出来；2)问题1考察了哪些知识点？3）问题2先把两直线的交点用含k的式子表示，涉及了参数运算，请大家务必掌握；4）本题分类的原因是什么？解：（1）令x=0,则y=-2；令y=0，则x=3，∴A(3，0),B(0，-2)∴AO=3，BO=2(2)有2条。设所求直线为y=kx（k≠0）,交直线AB于C因为C为两直线的交点，所以有解得所以当当综上，有两条直线满足，分别为设计意图：本题改编自复习题C组第18题，结合常见考题，目的引导学生主动发现结论的多样性导致分类的需要。【例4】直线与双曲线在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）　　师：这题应分k的符号来讨论。设计意图：引导学生主动发现由于性质本身的需要对参数讨论产生分类的需要。【小结】每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们今天所遇到的数学问题中，有些问题的背景多样、条件不明确（例1）；有些问题的结论不是唯一的（例3），有些问题的结论在解题中不能以统一的形式研究（例2）；还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决（例4），┉由上述几类问题可知，把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决（化整为零），这种按不同情况分类，逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。 　　分类的原则：不重不漏即（1）分类中的每一部分是相互独立的，；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 【作业】1. 一次函数中，当时，相应的y的取值为，求k,b的值。2. P（-2，1）为平面直角坐标系中的一点，过P作PAy轴与A，O为坐标原点，T为坐标系中的一点，若以A、O、P、T为顶点的四边形是平行四边形，求T的坐标。3. 已知一次函数的图像过点M（0，3），且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为3，求这个一次函数的解析式。4.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得△COD。（1） 写出C、D的坐标；（

2） 设直线CD交AB于点M，求CD的解析式及AM的长；（3） 在y轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的P的坐标，若不存在，请说明理由。【教学反思】本节课，我从函数与分类讨论思想的结合处入手，注意到学生刚学完函数的实际情况，有意识的控制难度设置了不同类型产生分类讨论的问题，引导学生循序渐近、逐步深化，并采用灵活多变和有效的教学手段让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，螺旋上升，分门别类形成对分类思想的主动应用。但由于量比较多，所以时间比较紧张，可能会导致时间来不及。????????"问题解决，提质增效"优质课教学设计

分类讨论的思想方法的应用体会感悟篇二
《运用分类讨论的思想方法解题》

分类讨论的思想方法的应用体会感悟篇三
《分类讨论思想在解数学题中的应用》

数学解题中的思考

------分类讨论思想的应用

【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】分类讨论的思想 分类的原则 分类讨论的应用

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一． 分类讨论的思想

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。

案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的

解：设店老板需购买领带x条

方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200 （元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600 （元）

假设 y＝(40x＋3200) －(36x＋3600) ＝ 4x－400 （元）

（1） 当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

（2） 当y＝0时,即x＝100, 方案一和方案二同样省钱

（3） 当y＞0时,即x＞100, 方案二比方案一省钱

答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二． 分类的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1. 同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误

2. 互斥性原则

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则

3. 完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

三． 分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1） 先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2） 正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3） 逐类讨论解决

（4） 归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

1. 分类讨论在应用题中的应用

案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？

分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论

解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

经检验，符合题意

长为10米，宽为7米，面积为70平方米

（2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

2x＋ (x－3)=24

解方程得x＝9

经检验，符合题意

长为9米，宽为6米，面积为54平方米

答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解

2. 分类讨论在绝对值方程中的应用

关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论

解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解 ②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解

③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解 综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用

所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。

案例4：若关于x的分式方程xa31无解，求a的值 x1x

解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解

②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1

③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解

综上所述，a的值为1或﹣2

4．分类讨论在解几何题中的应用

分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。

案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？

分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用

在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。

案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少

分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用

分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y=

行分类讨论

案例7：求二次函数y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标

解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点， 交点坐标是（－2k2﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，二次函数y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要对a的取值范围进x1，0） 3

2②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零 ﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）

当a＝9时,与x轴的交点坐标是（

【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献：

（1）2011年版义务教育数学课程标准

（2） 任百花：初中数学思想方法教学研究

（3）江国安：初中数学综合题的教学探索

（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用

（5）王奎文：增强中学生的数学应用意识

1，0） 3

分类讨论的思想方法的应用体会感悟篇四
《分类讨论的思想方法(1)---应用篇》

分类讨论的思想方法(1)

-----应用篇

一、知识要点概述

1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.

2. 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

二、解题方法指导

1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.

2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；

(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等.

3.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”

4.解题时把好“四关”

(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；

(2)要找准划分标准，把好“分类关”；

(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.

三、分类讨论的几点注意

1.分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量,当然也不排除为常量的可能.

【例1】 设0<x<1，a>0且a≠1，比较与的大小.

分析：比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论.

解： ∵ 0<x<1，∴ ０<1-x<1，1+x>1.

（１）当0<a<1时，loga（１－x）>0，loga（１＋x）<0，所以

２ ＝loga（１－x）－［－loga（１+x）］＝loga（１－x）>0；

（2）当a>1时，loga（1-x）<0，loga（1+x）>0，所以

＝－loga（１－x２）>0.

由（１）、（２）可知，

【点评】 本题要求对对数函数y=logax的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数.去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性.

２. 掌握分类讨论的标准

凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具体情况选择分类的标准.

【例２】 在xoy平面上给定曲线y2=2x，设点Ａ（a，0），a∈R，曲线上的点到点Ａ的距离的最小值为f（a），求 f（a）的函数表达式.

分析：求两点间距离的最小值问题先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题而引起对参数a的取值讨论.

解： 设Ｍ（x，y）为曲线y2=2x上任意一点，则

y2=2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：

（１）当a-1≥0时，x=a-1取最小值，即

（２）当a-1<0时，x=0取最小值，即

综上所述，有 由于；

【点评】 本题解题的基本思路是先建立目标函数.求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d=f（a）.

3. 找准分类讨论的界点

将讨论的对象分成若干部分，就要准确地选取“界值”，最常见的界值是“０”与“１”，如指数、对数的底a，常分0<a<1、a>1两种情况讨论；在用根的判别式法求函数的值域时，按首项系数是否为０进行讨论；但要看具体问题的背景，如在求直线方程时，应分直线的斜率存在与否进行讨论，……

【例３】 甲、乙两人各射击一次，击中的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

（Ⅰ）求甲射击４次，至少有一次未击中目标的概率；

（Ⅱ）求两人各射击４次，甲恰好击中目标２次且乙恰好击中目标３次的概率；

（Ⅲ）假设某人连续两次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击５次后，被中止射击的概率是多少？

解：

（Ⅲ）“射击５次后，被中止射击”的事件共有三种可能，一一叙述比较麻烦，若利用上面的表格，将各次射击依次编码为“①、②、③、④、⑤”在各次射击中，击中目标记为“１”，未击中目标记为“０”

，则所求概率为

【点评】 概率问题中只有“情况”而没有“界值”，必须对事件进行分析，实际上也是进行分类讨论，运用表格来实施这种讨论显得简单明了，操作起来更加方便.

４. 分清分类讨论的“级别”

分类讨论对思维提出了更高的要求，二级讨论的结构模式是：

该模式被称为“树形图”，此外常用的还有例３中的“表格法”，两种模式都能达到条分缕析的要求，精心进行这方面的训练是不断提高思维能力的良策.分级分类讨论中各级的号码要有明确的区别，同级的号码要有统一的格式，以避免混乱而失去条理性.在一级分类中，也可省略编号.

【例４】 在１１名学生中，有５名只擅长长跑，有４名只擅长短跑，有２名既擅长长跑又擅长短跑.要选派４名参加长跑比赛，４名参加短跑比赛，有几种选派方法？

解： 记长、短跑两样都擅长者为“全能者”，需对各种情况进行一个二级分类讨论，见下表.

则共有１８５种选派方法.

【点评】此题虽不是高考试题，却是一道有利于思维训练的传统好题，题解中将条分缕析演绎到淋漓尽致的境界；如果将“赛跑”换成“做工、划船、打球、翻译、……”，那么题目就有了各种变化，但其实质没有变，这就叫“以不变应万变”.

四、应用

(一) 集合问题的分类讨论

【例5】 已知集合Ａ和集合Ｂ各含有１２个元素，Ａ∩Ｂ含有４个元素，试求同时满足下面

两个条件的集合Ｃ的个数：

（Ⅰ）ＣＡ∪Ｂ，且Ｃ中含有３个元素；

（Ⅱ）Ｃ∩Ａ≠φ（φ表示空集）.

分析： 集合Ｃ的３个元素在Ａ∪Ｂ中取得，Ａ∪Ｂ中的元素包括两类：①属于Ａ的元素；②属于Ｂ而不属于Ａ的元素.因此，组成Ｃ的３个元素的取法有四种：（１）①取０个，②取３个；（２）①取１个，②取２个；（３）①取２个，②取１个；（４）①取３个，②取０个，但由条件（Ⅱ）知，Ｃ∩Ａ≠φ，因此，第一种取法必须排除，故集合Ｃ的个数是（２）、（３）、（４）三种取法之和.

解法１ ∵ A，Ｂ各有１２个元素，

Ａ∩Ｂ含有４个元素，

∴ Ａ∪Ｂ中元素的个数是12+12-4=20（个）.其中，属于Ａ的元素１２个，属于Ｂ而不属于Ａ的元素８个.

要使Ｃ∩Ａ≠φ，则组成Ｃ中的元素至少有１个含在Ａ中，故集合Ｃ的个数是

（１）只含Ａ中１个元素的有

（２）含Ａ中２个元素的有

（３）含Ａ中３个元素的有

故所求的集合Ｃ的个数共有个； 个； 个. （个）.

个. 解法２ 由解法１知，Ａ∪Ｂ有２０个元素，满足条件（Ⅰ）

的集合Ｃ的个数是

但如果Ｃ中的元素都在属于Ｂ而不属于Ａ的集合中取，则Ｃ∩Ａ≠φ，不满足条件（Ⅱ），属于这种情况的有个，应该排除，故所求的集合Ｃ的个数共有＝1084（个）.

【点评】 本题是：“包含与排除”的基本问题.正确解题的前提是正确的分类，达到分类完整且子域互斥；如果把Ａ∪Ｂ的元素分为属于Ａ的元素与属于Ｂ的元素两类，则子域不能互斥；如果把Ａ∪Ｂ的元素分为既属于Ａ又属于Ｂ，属于Ａ但不属于Ｂ，属于Ｂ但不属于Ａ之类，虽然分类思想方法是对的，但却难以确定集合Ｃ的元素如何取法才能满足题中条件. 在确定集合Ｃ的个数时，要全面考虑，把各种可能的情况都取完，才不会遗漏；把所有不可能的情况都排除，才不致重复.

(二) 立体几何中的分类讨论

【例6】 如图１，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a（a>0）.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 .

解： 拼成三棱柱时，将第二个放置在第一个上面，并使两底重合，

这时三棱柱的全面积为Ｓ１＝１２a2+48；拼成四棱柱时，将底边长为5a、高为的面重合，这时四棱柱的全面积最小为Ｓ２＝２４a2+２８，

则Ｓ２－Ｓ１＝４（３a2-5）<0，

解得0<a<.

【点评】 这是一道富有新意的题目，但只要真正理解题意，熟悉直棱柱的全面积的求法，运用分类讨论，便不难得解.

【例7】 线段ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ，且ＡＢ⊥ＢＣ，ＢＣ⊥ＣＤ，若异面直线ＡＢ与ＣＤ所成的角为６０°，则异面直线ＡＤ与ＢＣ所成的角是 .

解： 在图２中，ＡＢ与ＣＤ１、ＡＢ与ＣＤ２所成的角都为６０°，分别作ＢＥ１、ＢＥ平行且等于ＣＤ１、ＣＤ２，连Ｄ１Ｅ１、Ｄ２Ｅ２、ＡＤ１、ＡＤ２、ＡＥ１、ＡＥ２，则可知∠

ＡＤ１Ｅ１＝４５°，∠ＡＤ２Ｅ２＝６０°.故异面直线ＡＤ与ＢＣ所成的角是４５°或６０°. ２

【点评】 问题表面上的“简单”极易使人“得意忘形”，

稍有疏忽，就不知道应分两种情况讨论，造成严重的失误.

【例8】 过正三棱柱ＡＢC－Ａ１Ｂ１Ｃ１的底面一边Ａ

Ｂ作三棱柱的截面，若三棱柱的底面边长为a，高为h，截

面与底面所成二面角的大小为θ

∈（０，）.求截面的面

积.

解： 分两种情况讨论（如图３）如下：

１°当截面是等腰三角形时，即当θ∈（０，arctan］时，可求得截面面积为；

２°当截面是等腰梯形时，

即当θ∈（

arctan

Ｃ１Ｎ＝a-hcotθ，

hcotθ，

，）时

， 由三角形相似得ＥＦ＝a- 故可求得截面面积为

【点评】 用运动的方法来研究所求的截面面积，则可得两种不同的情况.

【例9】 矩形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上有一动点Ｅ，ＡＢ＝a，ＡＤ＝b，如图４（１）.沿ＡＥ将△ＡＤＥ折起得直二面角Ｄ１－ＡＥ－Ｂ.设ＢＤ１＝d，如图４（２），求d的最小

值.

分类讨论的思想方法的应用体会感悟篇五
《在解题中分类讨论思想的应用》

在解题中分类讨论思想的应用

数学与信息学院数学与应用学专业2010级 指导老师：

摘要：分类讨论是解决中学数学问题的一种重要思想方法，利用分类讨论思想方法能够训练学生思维的逻辑性和严密性。由此本文介绍了分类讨论思想，分类讨论方法，以及分类讨论思想在中学数学中的具体应用。帮助我们解决在什么时候进行分类讨论，如何进行分类讨论的问题。

关键词：分类讨论思想；分类讨论方法； 数学解题；应用

Idea of Classifield Discussion in Mathmatical Problem Solving

Mathematics and applied mathematics2008, College of Mathematics and information (College of Mathematics and information, Chian West uiniversity, Nanchong, 637009)

Abstract:Classified discussion is a kind of important thoughts which can be used to solve some problems of middle school mathematics. In this way, students can be trained to be logical and precise. Therefore, this paper will introduce the idea and method of classified discussion as well as its specific application in teaching in detail. Then we will be able to know when and how to have a classified discussion.

Keywords: idea of classifield dicsddion; mathods of classifield dicsddion; mathmatical problem solving; application

一前言

分类讨论是在中学数学中常见的一种解题思想方法，具有分类讨论思想的数学题一般具有明显的逻辑性，综合性，探索性。它在解题过程中体现了化零为整，积零为整的思想和归类整理的方法，使问题简单化，使隐含条件变得明显。当然分类讨论顾名思义就是需要对一个问题进行分类，不能把问题一概而论，而且分类必须依照一定的标准进行，然后对每一类分别进行研究，分别的出结果，最终综合分类得到完整答案。当然，为了学生能够充分掌握分类讨论的思想方法， 教师首先应该设计合理的数学教学，渗透分类的思想。然后利用“为什么”引发学生思维冲突，从而激发学生学习兴趣，促进主动学习。让学生在问题解决过程

中逐步领会分类讨论的思想方法，接着就可以利用分类讨论思想方法解决数学综合问题，进而培养学生思维的广阔性，严密性。

对分类讨论的研究，国内许多作者做了很多的工作。如叶运霖的分类讨论的数学思想在解题中的应用，就以数学试题为例说明分类讨论的数学思想在解题中的应用。如张法宽的分类讨论思想在解题中的应用就一些典型例题对分类讨论思想提出了笔者自己的一些想法。而叶婷婷也在她的分类讨论思想在数学中的解题思想中讨论了分类讨论的思想，原则和应用。另外何晓勤在她的分类讨论思想文章中也详细的提出了分类讨论的原因，并且分别用例题加以了说明。王小青则是从不同的角度出发，在她的应用分类讨论探究问题的突破点中提出了分类讨论的突破点和转化。最后康宇在他的学会分类讨论中提出了分类讨论的树立与把握。除此之外对于分类讨论的研究还有很多很多。而本文则从分类讨论的思想，方法，原则和作用角度分析，并例以具体案例对分类讨论思想作了具体的讨论。

二分类讨论思想与方法

2. 1分类讨论的思想

俗话说“物以内聚，人以群分”，分类讨论的重点就在于类。因为类不同，所以才需要分。数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程。解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，经过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。

如果一个问题需要我们对它进行分类讨论，它可能是因为以下原因导致需要分类：

（1） 公式的限制引起的讨论。例如：等比数列的前n项和可能因为公比不同而

需要分类。

（2） 形状不定引起的讨论。例如：二次函数的开口不同，函数图像和x轴的交

点个数，直角三角形的直角顶点所在位置，点在线的同异侧等。

（3） 条件限制引起的讨论。例如：不等式两边同乘或除以某数时需要对这个数

的正负进行讨论。

（4） 由运算要求引起的分类。例如：开偶次方根的运算，不等式的变形，取对

数运算，去绝对值运算等。

（5） 由概念引起的分类讨论。例如：指数函数，对数函数的底，不等式的定义。

（6） 由参数变化引起的讨论。含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致结

果的不同。

（7） 由实际问题引起的讨论。例如：排列组合问题。

2.2分类讨论的方法

运用分类讨论的一般方法是：

（1） 明确讨论的对象和讨论的范围，确定同一分类标准。

（2） 遵循完整性，互斥性原则不重复不遗漏的对全体对象进行分类。

（3） 遵循多层性原则，按层次逐级进行讨论。

（4） 综合结果，归纳得出结论。

（5）检查分类是否依照分类讨论的原则进行所得结果是否完备。

2.3分类讨论的一般原则

分类讨论只是众多数学思想方法中的一种，因此想要有效的对一个数学问题进行分类讨论，就要找到分类讨论的一般方法，如此才能事半功倍。为了找到分

类讨论行之有效的方法，下面我们一起来看看分类讨论必须要遵循的一般原则：

1同一性原则

分类讨论标准应该是统一的，即当问题出现多个不定因素的时候，我们应该找到同一个标准。否则会出现重复的现在。例如三角形按边分类就因该有等边三角形，等腰三角形。而按角分类就应该有直角三角形，锐角三角线，钝角三角线。但是有很多同学会将他们混为一谈，从而导致思维混乱。所以当我们应用分类讨论思想方法的时候，就应该找到一个确定的统一的分类标准。

2互斥性原则

所谓互斥性原则就是指所分的所有子类应该属于互不相交的几个集合，不能有公共的元素。例如集合sx|3x7 分为A|x3xB4|x4则存在元素4既属于集合A又属于集合B。x 7

所以这种分类是不成立的。

3完整性原则

我们知道若是将整数只分为正整数和负整数，那么，这种分类是不完整的。因为零也属于整数，但是我们并不能将零归为正整数或者负整数。也就是说只把整数分为正整数和负整数并没有把整数这个全集划分完。由此，我们知道分类讨论将问题所划分的所有子类，他们的并集应该等于问题本身这个全集。

4多层性原则

当我们对一个问题进行分类之后，我们得到的子类也许还能进一步进行分类，这时我们就需要对问题进行进一步的分类，直到不能再分类为止。例如，对于问题：在直角坐标系中存在定点A，B，要求找出点C。使 ABC 为一个角为300 的直角三角形。我们需要分两级讨论，第一层是A900,B900,C900 三种情况，第二层是分别 A900,B900,C900 这三种情况下讨论哪个角为300。

2.4分类讨论的作用

在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予同意表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。

三相关教学案

下面我们将看看分类讨论在中学数学中的具体应用：

3.1分类讨论在代数中的应用。

在代数中运用分类讨论时常常会根据大于零，小于零，和等于零来分类，经常出现在有关函数与方程的问题，和含有绝对值的问题中。

3.1.1分类讨论在函数中的应用。

例1：已知关于X的函数图像与X轴总有交点，试ym6x22m1xm1

求m的取值范围，并说明你的理由。

分析：由于未知数的系数是含有字母的系数，并且题目中没有明确的提出是一次函数还是二次函数。所以对于这道题首先应该分为一次函数和二次函数两种情况考虑。同时为了满足题目要求保证函数要与x轴有交点，这就要求m的值不能使一次函数的表达式变为y0，和m的取值范围不能使二次函数所对应的判别式0。

解：（1）当m60即m6时，原函数变为y=-14x-5，依据函数图像的性质，图像与x轴交于一点。

（2）当m60,即m6时，原函数变为二次函数，要使它与x轴有交点就必须保证0。

4m14m6m136m20

36m200 2

5

9

小结：本例题是由于参数的不确定性，而导致是一次函数还是二次函数不确定引起的讨论。所以首先按照一二次函数的标准进行分类，再逐类讨论，最后的到结果进行归纳总结。严格遵循分类讨论的步骤和原则进行，做到不重复不遗漏，使解题方法和途径达到完美与合理。

3.1.2分类讨论在集合中的应用 解得：m-

例2：已知集合Ax|7x7,Bx|m1x2m1,且A，求mBA的取值范围。

分析：已知集合A已确定，但是B集合的两端都含有未知数，则考虑B集合的左端点m+1可能大于右端点2m-1，则此时B集合为空集，，再由ABA可推导BA，则同样B集合为空集时，也满足条件，所以我们将此问题的B集合分为两类来考虑，即一类B集合为空集时，一类，B集合不为空集时，再进行具体的讨论。

解ABABA

① 若B，则m12m1

m2

BA

②若B，则m12m1且m+1-7且2m-17

2m4

综上所述，m的取值范围是x|x4。

小结：本例题也是由于参数引起的讨论，另一方面来看是因为ABA得定义

可知BA包含了A的情况，再由于B集合不确定，所以B集合可能为空集。可以将此问题分解为B,且BA和B，且BA两种情况。所以可以得到本题的解应该分为m2和2m4这两种情况，由于最后要综合归纳解的结论。所以可以得到本题的最终解为x|x4。

3.2分类讨论在几何中的应用

几何分类讨论问题，通常是按几何图形的特征或几何图形的位置进行分类。它以分析、观察、比较为基础，通过找出共同点和不同点，从而提出分类依据和标准。

3.2.1分类讨论在三角形中的应用。

例3:腰长为10，一条高为8的等腰三角形的底边长为多少？

分析：由于此问题只告诉腰长和一条高的长度，我们仅能确定这个三角形为等腰三角形，但等腰三角形可以使锐角三角形，也可以是钝角三角形，因为告诉有一高为4，则不可能为直角三角形。确定了三角形的大致形状之后，我们又有疑问了，一条高为4，那这条高到底在哪里呢？是腰上还是底边上？我们不得而知，于此，我们又得将锐角三角形分为高在底边上和高在腰上两种情况。 解： 如图

①如图1，当AB=AC=10,AD=4时

BD=CD=6，所以底边长为12.

②如图2，当AB=AC=10，CD=4时，

AB=6，BD=4

BC

③如图3，当AB=AC=10，CD=4时，

AD=6,BD=16

BC=

，所以底边长为。

小结：本例题完全体现了分类讨论的原则，首先将问题分为锐角三角形和钝角三角形。再在锐角三角形下分为高在底边上和高在腰上两种情况。分类清晰明了。体现了互斥性和完整性的原则，将几何问题的不确定性利用分类讨论思想变为确定，把问题化复杂为简单，帮助学生理清思路。

3.2.2分类讨论在圆锥曲线中的应用

例4

A2,0的椭圆的标准方程为＿ 。

分类讨论的思想方法的应用体会感悟篇六
《分类讨论思想在解数学题中的应用》

数学解题中的思考

------分类讨论思想的应用

【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】分类讨论的思想 分类的原则 分类讨论的应用

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一． 分类讨论的思想

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。

案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的

解：设店老板需购买领带x条

方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200 （元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600 （元）

假设 y＝(40x＋3200) －(36x＋3600) ＝ 4x－400 （元）

（1） 当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

（2） 当y＝0时,即x＝100, 方案一和方案二同样省钱

（3） 当y＞0时,即x＞100, 方案二比方案一省钱

答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二． 分类的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1. 同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误

2. 互斥性原则

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则

3. 完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

三． 分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1） 先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2） 正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3） 逐类讨论解决

（4） 归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

1. 分类讨论在应用题中的应用

案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？

分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论

解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

经检验，符合题意

长为10米，宽为7米，面积为70平方米

（2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

2x＋ (x－3)=24

解方程得x＝9

经检验，符合题意

长为9米，宽为6米，面积为54平方米

答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解

2. 分类讨论在绝对值方程中的应用

关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论

解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解

②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解 ③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解

综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用

所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。

案例4：若关于x的分式方程xa31无解，求a的值 x1x

解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解

②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1

③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解

综上所述，a的值为1或﹣2

4．分类讨论在解几何题中的应用

分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。

案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？

分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用

在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。

案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少

分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用

分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y=k2﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，二次函数y＝ax﹢bx﹢c﹙a≠0﹚x

要对a的取值范围进行分类讨论

案例7：求二次函数y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标

解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点， 交点坐标是（－21，0） 3

2②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零 ﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）

当a＝9时,与x轴的交点坐标是（

【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献：

（1）2011年版义务教育数学课程标准

（2） 任百花：初中数学思想方法教学研究

（3）江国安：初中数学综合题的教学探索

（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用

（5）王奎文：增强中学生的数学应用意识

1，0） 3

分类讨论的思想方法的应用体会感悟篇七
《分类讨论思想在解数学题中的应用》

数学解题中的思考

------分类讨论思想的应用

【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】分类讨论的思想 分类的原则 分类讨论的应用

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。

一． 分类讨论的思想

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。

我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。

案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的

解：设店老板需购买领带x条

方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200 （元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600 （元）

假设 y＝(40x＋3200) －(36x＋3600) ＝ 4x－400 （元）

（1） 当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

（2） 当y＝0时,即x＝100, 方案一和方案二同样省钱

（3） 当y＞0时,即x＞100, 方案二比方案一省钱

答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二． 分类的原则

分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则

1. 同一性原则

分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误

2. 互斥性原则

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则

3. 完整性原则

分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。

4.多层性原则

分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

三． 分类讨论的应用

我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：

（1） 先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围

（2） 正确选择分类的标准，进行合理的分类

（3） 逐类讨论解决

（4） 归纳并作出结论

下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：

1. 分类讨论在应用题中的应用

案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？

分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论

解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

x＋2(x－3)=24

解方程得x＝10

经检验，符合题意

长为10米，宽为7米，面积为70平方米

（2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程

2x＋ (x－3)=24

解方程得x＝9

经检验，符合题意

长为9米，宽为6米，面积为54平方米

答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。

学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解

2. 分类讨论在绝对值方程中的应用

关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解

分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论

解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解

②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解 ③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解

综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用

所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。 案例4：若关于x的分式方程xa31无解，求a的值 x1x

解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x＝3

①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解

②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1

③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解

综上所述，a的值为1或﹣2

4．分类讨论在解几何题中的应用

分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。

案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？

分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论

解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时

依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度

（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时

依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度

综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用

在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。

案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少

分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用

分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y=k2﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，二次函数y＝ax﹢bx﹢cx

﹙a≠0﹚要对a的取值范围进行分类讨论

案例7：求二次函数y＝ax﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标 解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点， 交点坐标是（－21，0） 3

2②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零 ﹙3﹣a）﹣4a ＝ 0

解得a＝1或a＝9

当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）

当a＝9时,与x轴的交点坐标是（

【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思1，0） 3

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