0pp0r和Vi0是不是一个老板的

导读：　0pp0r和Vi0是不是一个老板的(共7篇)怎样当老板?一个小老板的企业日常管理经验(精典)原标题　黄中强：怎样当老板？一个小老板的日常管理 1 小公司如何留住骨干： 这些年物价上涨，费用上涨，公司利润却未涨多少。每个员工都希望工资大幅增加，但估计90%以上小公司无法做到这点。有时我这当老板的恨不得将公司门一关，自己拿着资金炒股或炒房，图个清...

篇一 0pp0r和Vi0是不是一个老板的
怎样当老板?一个小老板的企业日常管理经验(精典)

　　原标题　黄中强：怎样当老板？一个小老板的日常管理

　　1.小公司如何留住骨干：

　　这些年物价上涨，费用上涨，公司利润却未涨多少。每个员工都希望工资大幅增加，但估计90%以上小公司无法做到这点。有时我这当老板的恨不得将公司门一关，自己拿着资金炒股或炒房，图个清净。虽说近几年由于给每个员工上5险1金，人均费用每月增加几百元，但员工并不领情，员工只算每月到手多少钱，至于公司的支出与己无关。

　　既然无法让所有人都满意，我就只满足公司20%的骨干。

　　首先发展骨干员工入股：我将公司股份买一送一，半价销售给骨干员工，五年内退股只退还本金，五年以上退股我三倍赎回。每年拿出利润的60%分红。反正有钱大家赚，但股东一旦做了对不起公司的事，加倍惩罚，由股金中扣除。这招还真好使，在近5年里没有一个股东离职，而且公司重点岗位都有股东，省了我不少精力。

　　为什么不白送骨干员工股份?其实我并不是在乎钱，主要是白给的东西别人不珍惜，而且入股的钱又可作为押金，以防股东做出格的事，再说员工入股的钱不出5年即可通过分红收回，不投入哪来的产出啊

　　2.关于授权

　　记得公司刚有十几个人的时候，全公司我最忙，经常同时接两三个销售电话，还得安排送货，结账，进货，每天来得最早，走得最晚。一次我弟弟到公司，看了半天，发表感慨说：“哥我怎么觉得你在养活公司所有人哪?”我当时还挺自豪。结果公司四五年也发展不大，一直十几个人，而且公司员工感觉备受压抑，无发展空间。后来终于明白该放权就得放权，哪怕员工只能做到你的70%。有时候真着急啊，明明能谈下的客户销售人员就是差那么一点谈不下来，恨不得立刻自己冲上去，该忍还得忍，要不手下员工如何进步。

　　小公司发展过程中15人是个坎，50人是个坎，200人又是个坎，管理方法不改进，一般无法进一步发展。老板事事亲力亲为的公司，很难过15人。一个人能力强，可直接管理七八个人，能力一般，则只能直接领导四五个人。各个国家效率最高的部门就是军队，看看军队的组织结构：一个班十一二个人，除班长外还有一个副班长，三个班一个排，三个排一个连，以此类推。团长管一千多人，可能只认识其中百十来人。团长看见某个士兵有问题，绝对不会骂士兵，他只会骂士兵所在营的营长，营长则再骂连长，一级管理一级，最后班长把该士兵剥皮了事。所以军队尽管有千军万马，依然能做到令行禁止。

　　现在客户找我买东西，我经常说：“哎呀真对不起，价格我不知道，我给您介绍个销售人员，我让他跟您联系吧。”

　　3.有的钱不能省

　　刚创业当老板时也就一两个人，自己销售，进货，维修，跑银行。当时没有注册资金，借朋友的营业执照。自己到外面学习了几个月会计就开始瞎做报表。月底到税务局报税，报表一交，专管员看了两眼，开始问问题。问的问题我根本不明白，更别说回答了。专管员一脸不高兴，问：“你懂不懂?”。我陪着笑脸：“不懂，不懂。”“不懂你来干嘛。换个懂的来。”“好，好，下次一定换个懂的来。”下个月我又瞎做了张报表去税务局报税。专管员显然对我又印象：“怎么又你来了?”我只好顺嘴胡编:“会计怀孕来不了，只好我来。”。“!”。第二天我就找了个会计公司，一月300元钱，以后再不自己跑税务局了。一直到公司十几个人，我仍然让会计公司做账，公司只有一个出纳，没有专职会计和库管。随后几年业务开展的不错，没少挣钱，可年底公司帐上资金却没增多少。后来我发现公司只要一过十个人，老板一人根本看不过来，整个公司就像个筛子一样，到处都是洞，能剩下钱才怪。指望公司员工都是焦裕禄和雷锋，门都没有，哪怕提成给员工70%，他还会惦记剩下的30%，傻瓜才不贪污。只有制度健全，让心数不正的人无懈可击，才能管好公司。感谢我现在的会计，工作极为负责。下辈子再办公司，公司只要有4个人，一定是一个老板，一个会计，一个出纳，一个库管，打死再不省那点钱了。

　　这句话放在90%的公司身上是对的，当然，如果您觉得自己是那剩下的10%，也不妨一试。

　　一般公司只要能坚持个三五年，挣了点钱，老板就开始琢磨再干点什么。大部分人总觉得自己的行业不如别人的行业挣钱，很不幸，我就是其中一个(我觉得自己的经历整个可编个小企业错误大全)。上世纪末，脑袋一热，开了个饭馆，从此厄运开始了。当初本人觉得自己销售方面颇有天赋，开饭馆肯定没问题。谁知这该死的饭馆光有销售根本不行，做的不好吃别人最多只来一次。本人不好吃喝，也没耐心和大厨琢磨新菜。而且开饭馆不光进货结账，卫生防疫，工商公共安全专家样样要跟上，起早贪黑累的要死，跟开公司不一个路数，本人实在没耐心，找了个公司部门经理去负责，管得一塌糊涂，半年赔了几十万，关门了事。现在谁再跟我提开饭馆我跟谁急，去饭馆吃饭行，别的一概免谈。

　　如各位有兴趣要开饭馆，一定先想明白以下几点：

　　A:你是否能起早贪黑吃得了苦

　　B:如是接别人转让的饭馆搞明白上家为何转让(不可只听一面之辞，一定在该饭馆蹲两天)

　　C:饭馆租金，人员开销等费用核到每天每张桌子是多少钱，饭馆定位，面向什么层次客户，一天能翻几次台，平均每桌消费多少，毛利率多少，是否能赚回来(一定要掰着手指头算好，不行连脚趾头一块上，否则赔死你)。

　　D:附近的工商，卫生，公共安全专家，地痞流氓你是否搞得定。

　　E:停车问题。

　　F:找大厨。找着后如何管理，是后厨承包还是流水提成?

　　G:你老婆是否愿意做采购或找个向你老婆一样对你忠心的人做采购。

　　H:饭馆服务员可得管吃管住，而且工资近期增长很快，预算要留出富裕。计算不好你就只能剥削你自己外加你爸你妈你老婆。

　　I：……还有N多问题自己想吧。

　　据我的经验，饭馆和美容美发都不好干，只要看看报纸上转让信息就知道，基本就这两个行业。

　　另：本人的副业还曾有过服装，节电设备等，都没挣到钱。

　　本人比较惭愧，从未在大公司待过，也未系统地接受过管理培训。刚毕业时虽进入大部委工作两年，可惜职务太低，没学到真谛。一说起管理，总感觉别人讲得头头是道，就好像武侠小说里的名门正派，而自己则是街头打群架的小混混出身，没有理论，只有教训。有时感觉成功是不可以复制的而错误则是可以重复的。比如大家就算知晓了微软运行的每一个步骤也不可能成为另一个比尔盖茨，但若有人像我原来一样不重视财务管理十有八九公司在钱财上会有损失。

　　在随后一段时间内，我会把自己的经验教训逐步列出，想到哪写哪吧。不过各位新创业的朋友读过我的文章后估计还会犯同样的错误，只是希望大家犯的错误小点，过程短点，毕竟在岸上看过一百遍游泳教学片下水后还得喝点水。

　　5.关于招聘

　　这些年没少招聘，几年前最多时我一下午面试五六十人。刚开始没有经验，每回招人都找最好的，工资一千多的售后服务岗位经常招名牌大学本科生，英语过四级。后来发现，招来人根本留不住。本来简单工作的岗位中专生完全能够胜任，找个本科生双方都不合适，只是在写公司简介时方便吹牛。另外面试时应聘人员说的话不可全信，有时对方刚失去工作后比较失落，为得到新工作，他们什么都敢承诺。某次公司招聘商务，岗位工资定为两千左右，一个女孩投简历面试，本科学历，3年工作经验，上份工作工资在两千五，我问她这次工资比上份工作工资低，能否接受。她毫不犹豫表示没问题。由于她比较适合商务职位，我就录用了她。半个月后，前任商务和她交接完离职后第二天她也离职，理由居然是工资低，搞得公司非常被动。再次招聘我招了个原工资一千五百元的女孩，现在还在该岗位，不但干得好，而且对工资也很满意。大部分人对待新工作职位及待遇都是只能上不能下，能上能下的人太少了。

　　当老板招人的经验是：宁可漏过一千，不可错招一个(源于历史上某个著名人物语录)。据我的经验，公司招聘如低一档用人，高一档发工资效果比较好(也就是招三流的人才，干二流的工作，发一流的工资。当然，以上一流三流都是相对的)。招聘时应不嫌麻烦，仔细核对应聘人员身份。去年我公司连续发生两起新员工携款潜逃事件，打电话找人时对方有恃无恐：反正我应聘时的身份证学历证家庭住址都是假的，几千块钱pol.ice都不管。别说pol.ice还真不管。现在招聘，本地人公司都一一核实，外地人一律要有本地人担保，弄虚作假者一概不要。从此再无类似情况发生。

　　对于下岗职工我个人有一定偏见。大部分下岗职工，特别是岁数稍大的国营单位下岗职工基本上牢骚满腹，觉得社会对他不公，而且把不满情绪及原单位的种种不良习气都带到新公司，觉得公司给他什么福利都是应该的，别人都欠他的，很难融入新公司，踏实肯干的占少一部分。大概私营企业不适合下岗职工吧。此外亲戚朋友能少用就少用吧，这个话题以后我还将涉及。

　　6.老板尽量唱红脸

　　每天公司里总有很多事发生，有的应该表扬，有的应该批评。批评和表扬到底该由谁来执行呢?

　　刚干公司时，找不着当老板的感觉，平素又最烦管人，所以员工有什么问题我很少说。结果公司员工自由散漫，谁也不服谁，工作无法开展。后来觉得再这样下去实在不行，于是开始板起脸管人，这下新的问题又出来了，公司里几乎所有的矛盾都集中到我和公司员工之间，经常有员工当面与我理论是非曲直，这老板当的真郁闷，而我又实在不想当一个声色俱厉的管理者。后来与日本企业接触多了，发现不少奥秘。日本公司总经理很少骂公司普通员工，对公司底层员工可和蔼了，但他经常当着员工的面训斥公司中层干部，而普通员工犯错误则由该员工的直接领导负责处理，当然月底发工资时总经理心里可不含糊，这样公司不仅管理得井井有条，而且员工心里也比较平衡。

　　他山之石可以工玉，说干就干，咱公司不大，好歹也有几个主管。于是开会明确职责，谁的手下出问题谁自己处理，别什么问题都往我这推。平常我一般只表扬好人好事，鼓励为主，而主管自身犯错时我也很少当众批评，通常是私下交流。时间不长，公司管理顺畅了，我在公司里的形象也大为改观，员工更尊敬我了。

　　有时觉得，老板对于公司有点像古代皇帝对于国家。如果皇帝很贤明而大臣很昏庸，老百姓通常觉得国家还是有希望的，大不了清君侧，换个大臣了事。而如果皇帝很昏庸，则老百姓通常觉得这个国家没希望了，开始琢磨造反改朝换代。咱当老板总不能让公司员工揭竿而起或用脚表态一走了之吧，既然主管和部门经理享受着公司岗位津贴当然应该为老板分忧，该唱黑脸作恶人时就应当仁不让，而老板一般应保持一个超然的态度，置身于事件之外，旁观者清吗。不过部门经理需要支持时，只要不是原则性错误，我通常态度鲜明予以支持。

篇二 0pp0r和Vi0是不是一个老板的
老板是员工的第一个客户

　　阿里巴巴的老板马云有一句经典名言：员工第一，客户第二。因为在他看来，员工是他的第一个客户。只有员工接受了他的产品(也就是他的经营理念、他的指示和领导)，才可以和他一起为他的客户服务。

　　时至今日，依然觉得马云这句话是对上下级关系最精彩、最深刻的诠释。后来，又渐渐明白，不但员工是老板的第一个客户，老板也是员工的第一个客户。

　　一般情况下，员工对老板会有两种态度：一是对老板不满，满腹抱怨；二是对老板唯唯诺诺，惟命是从。

　　这两种人都是职场不如意者。他们仅仅把老板当成了老板，把老板的决策当成了命令。唯唯诺诺者就无条件执行，对老板不满者就满腹抱怨地执行。到最后，他们不是主动辞职，就是被炒鱿鱼，或者被老板培养成了一个工兵。

　　而如果换一种思维，不把老板当老板，而把老板当客户，就会是另一番景象。首先，在求职时，面对老板和面对客户是一样的，都是在推销产品。不同的是，对客户是推销有型的产品，对老板是推销自己的能力。在工作中，面对老板也和面对客户是一样的，也是在推销产品。不同的是，推销的是自己的思路。

　　只有这样，时时刻刻把老板当成客户，去推销自己。你的理念才会被老板接受，你的建议才会被老板采纳。因此，你就可与在满腹抱怨和惟命是从之外，找到第三种与老板相处的方式——如鱼得水。

　　三国时的诸葛亮与老板刘备的亲密无间，被人看成是上下级关系的典范。其聪明就聪明在，把老板当成了一个客户。在向刘备推销自己的过程中，把自己的才能表现得淋漓尽致；在工作过程中，又能说服老板接受自己的建议。

　　正因为如此，诸葛亮才成为了成功的职业经理人。他那句“与其找一个主公。不如为自己打造一个主公”——当时被人认为十分狂妄的话，最终才得以实现。

　　所以，与其去抱怨老板越来越难伺候，不如换个角度，先把老板当客户吧。

篇三 0pp0r和Vi0是不是一个老板的
第六讲 工具变量回归

篇四 0pp0r和Vi0是不是一个老板的
模拟电路之二极管考试题库

二级管电路习题选

1 在题1.1图所示电路中，U0电压为（ ）。

（a）12V （b）-9V （c）-3V

2 在题1.2图所示电路中，所有二极管均为理想元件，则D1、D2、D3的工作状态为（ ）。

（a）D1导通，D2、D3截止 （b）D1、D2截止，D3导通 （c）D1、D3截止，D2导通

题1.1图 题1.2图

3 在题1.3图所示电路中，所有二极管均为理想元件，则D1、D2的工作状态为（ ）。

（a）D1导通，D2、截止 （b）D1、D2均导通 （c）D1、截止，D2导通

题1.3图 题1.4图

4 在题1.4图所示电路中，D1、D2为理想元件，则电压U0为（ ）。 （a）3V （b）5V （c）2V

5 电路如题1.5图（a）所示，二极管D为理想元件，输入信号ui为图（b）所示的三角波，则输出电压u0 的最大值为（ ）。

（a）5V （b）17V （c）

7V

（a） (b)

题1.5图

6 在题1.6图所示电路中，二极管为理想元件，uA=3v,uB=2sinωtV,R=4KΩ,则uF等于( ).

（a）3V （b）2sinωtV （c）3+2sinω

tV

题1.6图 题1.7图

7 在题1.7图所示电路中，二极管为理想元件，则输出电压U0为（ ）。 （a）3V （b）0V （c）－12V

8 在题1.8图（1）所示电路中，二极管D为理想元件，设u1=2sinωtV,稳压二极管DZ的稳定电压为6V，正向压降不计，则输出电压u0的波形为图（2）中的波形（ ）。

(1) (2)

9 在题1.9图所示电路中，稳压二极管DZ2的稳定电压为6V，DZ2的稳定电压为12V，则输出电压U0等于（ ）。

（a）12V （b）6V （c）

18V

10 在题1.10图所示电路中，稳压二极管DZ1和 DZ2的稳定电压分别为6V和9V，正向电压降都是0.7V。则电压U0等于（ ）。

（a）3V （b）15V （c）－

3V

11 在题1.11图所示电路中，稳压二极管DZ1的稳定电压UZ1=12V,DZ2的稳定电压UZ2=6V，则电压U0等于（ ）。

（a）12V （b）20V （c）

6V

12 已知某晶体管处于放大状态，测得其三个级的电位分别为6V、9V和6.3V，则6V所对应的电极为（a ）。

（a）发射极 （b）集电极 （c）基极

13晶体管的工作特点是（ a ）。

一、（a）输入电流控制输出电流 （b）输入电流控制输出电压 选

择题

1．在N型半导体中，多数载流子为电子，N型半导体（ ）

A、带正电 B、带负电 C、不带电 D、不能确定

2．如果在NPN型三极管放大电路中测得发射结为正向偏置，集电结也为正向偏置，则此管的工作状态为 （ ）

A、放大状态 B、饱和状态 C、截止状态 D、不能确定

3．在一个放大电路中，测得某三极管各极对地的电位为U1=3V，U2=﹣3V，U3=﹣2.7V，则可知该管为（ ）。

A. PNP锗管 B. NPN硅管 C. NPN锗管 D. PNP硅管

4、已知某三极管的三个电极电位为6V, 2.7V, 2V, 则可判断该三极管的类型及工作状态为（ ）。

A、NPN型，放大状态 B、PNP型，截止状态

C、NPN型，饱和状态 D、PNP型，放大状态

5.已 知 某 晶 体 管 处 于 放 大 状 态， 测 得 其 三 个 极 的 电 位 分 别 为 6V、9V 和 6.3V， 则 6V所 对 应 的 电 极 为（ ）。

A. 发 射 极 B.集 电 极 C.基 极

6．二极管的反向电阻（ ）。

A．小 B．大 C．中等 D．为零

7．测得晶体管三个电极的静态电流分别为 0.06mA，3.66mA 和 3.6mA 。则该管的β为（ ）。

A．70 B．40 C．50 D．60

8．在单相桥式整流电路中，变压器次级电压为10V（有效值），则每只整流二极管承受的最大反向电压为（ ） A.10V B.102 V C. 10/ V D.20V

9．桥式整流加电容滤波电路，设整流输入电压为20V，此时，输出的电压约为( )

A.24V B.18V C.9V D.28.2V

10．两个硅稳压管，Uz1 = 6V，Uz2=9V, 下面那个不是两者串联时可能得到的稳压值（ ）。

A. 15 V B. 6.7 V C. 9.7 V D. 3 V

二、填空题

11.由于掺入的杂质不同，杂质半导体分为两类，一类是在Si或Ge硼，称为 或 ，在其中 是多数载流子， 是少数载流子；另一类是在Si或Ge中掺入正五价的磷，称为 或 ，在其中 是多数载流子， 是少数载流子。

12．PN结最重要的特性是____________________，它是一切半导体器件的基础。

13．晶体三极管在放大状态下，其集电极电流IC与基极电流IB的关系式为 __________ 。

14.稳压二极管主要工作在________区。在稳压时一定要在电路中加入 限流。

15.发光二极管（LED）的正向导通电压比普通二极管高，通常这 V，其反向击穿电压较低为 V，正常工作电流为 mA.

16.光电二极管在电路中要 连接才能正常工作。

17.半导体三极管按极性可分为________型和________型二类。

18. 当三极管被接成共射极放大电路时，从输出特性可划分为三个工作区域，即_______________区，_______________区和 _______________区 。则在模拟电路中，三极管一般工作在____________ 状态，而在数字电路中，三极管一般工作_______________ 和 ______________状态。

19、根据器件的工作原理，双极型三极管属于 控制型器件，而场效应三极管属

于 控制型器件。

三、综合题

1.电路如下图所示，二极管是导通还是截止，R=10K，试求出AO两点间的电压UAO？ （设二极管的正向压降是0.7V）

D【0pp0r和Vi0是不是一个老板的】

A

O

2.如下图所示，稳压管D1、D2的稳定电压分别为8V、6V，设稳压管的正向压降是0.7V， 试求UO。

3.整流电路如图所示 ， 二极管为理想元件， 变压器原边电压有效值U1 为220V， 负载电 阻RL=750Ω。 变压器变比 k=N1=10.试 求:

N2

(1) 变压器副边电压有效值U2;

(2) 负载电阻RL 上电流平均值 I0;

(3) 在下表列出的常用二极管中选出哪种型号的二极管合适 。

u1

N1OuO 最 大 整 流 电 流 平 均 值 最 高 反 向 峰 值 电 压

4．整 流 滤 波 电 路 如 图 所 示， 变 压 器 副

边 电 压 有 效 值U2=10V， 负 载 电 阻RL=500Ω,，∙电 容C=1000μF，当 输 出 电 压 平 均 值 U

O为: u1(1)14V; (2)12V ; (3)10V; (4)9V ; (5)4.5V 五 种

数 据 时，分 析 哪 个 是 合 理 的？ 哪 个 表 明 出 了故 障？ 并 指 出 原 因。（15分）

+uO-2

（c）输入电压控制输出电压 第1章 半导体二极管习题选解

篇五 0pp0r和Vi0是不是一个老板的
习题课质点力学和刚体力学

篇六 0pp0r和Vi0是不是一个老板的
矩阵的奇异值分解

2 矩阵的奇异值分解

定义 设A是秩为r的m⨯n复矩阵，ATA的特征值为

λ1≥λ2≥ ≥λr>λr+1= =λn=0.

则称σi=(i=1,2, ,n)为A的奇异值.

易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A的奇异值的个数等于A的列数，A的非零奇异值的个数等于其秩.

矩阵的奇异值具有如下性质：

（1）A为正规矩阵时，A的奇异值是A的特征值的模；

（2）A为半正定的Hermite矩阵时，A的奇异值是A的特征值；

（3）若存在酉矩阵U∈Cm⨯m,V∈Cn⨯n，矩阵B∈Cm⨯n，使UAV=B，则称A和B酉等价.酉等价的矩阵A和B有相同的奇异值.

奇异值分解定理 设A是秩为r(r>0)的m⨯n复矩阵，则存

在m阶酉矩阵U与n阶酉矩阵V，使得

U

H

⎡∑AV=⎢

⎣OO⎤⎥=∆O⎦

. ①

为矩阵A的全部非零奇

其中∑异值.

=diag(σ1,σ2, ,σr)，σi(i=1,2, ,r)

证明 设Hermite矩阵AHA的n个特征值按大小排列为

λ1≥λ2≥ ≥λr>λr+1= =λn=0.

则存在n阶酉矩阵V，使得

⎡λ1⎢HH

V(AA)V=

⎢⎢⎣

⎤2

⎥⎡∑=⎥⎢O

⎣λn⎥⎦

O⎤

⎥. ② O⎦

将V分块为 V=(V1V2)， 其中V1，V2分别是V的前r列与后n-r列. 并改写②式为

⎡∑2

AAV=V⎢

⎣O

H

O⎤⎥. O⎦

则有

AAV1=V1∑， AAV2=O

H

2

H

. ③

由③的第一式可得

V1AAV1=∑， 或者(AV1∑)(AV1∑)=Er

H

H

2

H

.

由③的第二式可得

(AV2)(AV2)=O 或者AV2=O

H

.

令U1=AV1∑

-1

，则U1HU1=Er，即U1的r个列是两两正交的单位向

量.记作U1=(u1,u2, ,ur)，因此可将u1,u2, ,ur扩充成Cm的标准正交基，记增添的向量为ur+1, ,um，并构造矩阵U2=(ur+1, ,um)，则

U=(U1,U2)=(u1,u2, ,ur,ur+1, ,um)

是m阶酉矩阵,且有 U1HU1=Er ，U2HU1=O. 于是可得

⎡U1H⎤⎡∑

UAV=U(AV1，AV2)=⎢H⎥(U1∑，O)=⎢

⎣O⎣U2⎦

H

H

O⎤

⎥. O⎦

由①式可得【0pp0r和Vi0是不是一个老板的】

⎡∑

A=U⎢

⎣O

O⎤⎥VO⎦

H

=σ1u1v1+σ2u2v2+ +σrurvr

HHH

. ④

称④式为矩阵A的奇异值分解.

值得注意的是：在奇异值分解中u1,u2, ,ur,ur+1, ,um是AAH的特征向量，而V的列向量是AHA的特征向量，并且AAH与AHA的非零特征值完全相同.但矩阵A的奇异值分解不惟一.

证明2 设Hermite矩阵AHA的n个特征值按大小排列为

λ1≥λ2≥ ≥λr>λr+1= =λn=0.

则存在n阶酉矩阵V，使得

⎡λ1⎢HH

V(AA)V=

⎢⎢⎣

⎤2

⎥⎡∑=⎥⎢O

⎣λn⎥⎦

O⎤

⎥. ② O⎦

将V分块为V=(v1,v2, ,vn)，它的n个列v1,v2, ,vn是对应于特征值

λ1,λ2, ,λn的标准正交的特征向量.

为了得到酉矩阵U，首先考察Cm中的向量组Av1,Av2, ,Avr，由于当

i不等于j时有

(Avi,Avj)=(Avj)(Avi)=vjAAvi=vjλivi=λivjvi=0

H

H

H

H

H

所以向量组Av1,Av2, ,Avr是Cm中的正交向量组.

HHH

|viAAvi=λvivi=σ又 ||Avi2|=，i i

|σi. 所以 ||Avi|i=

令ui=Avi，i=1,2, ,r，则得到Cm中的标准正交向量组u1,u2, ,ur，

i把它扩充成为Cm中的标准正交基u1, ,ur,ur+1, um，令

U=(u1, ,ur,ur+1, um)

1

则U是m阶酉矩阵.由已知及前面的推导可得

Avi=σiui，i=1,2, ,r；Avi=0，i=r+1, ,n；

从而 AV=A(v1,v2 ,v,n=)Av(1 ,Avr,0 ,0, ,)

⎛σ 0⎫ 1

=(σu,0)=(u

O⎪⎪1, ,σur,0, 1,u2, ,um)

⎪ 0 σr

⎝O

O⎪⎪⎭

=U⎛ΣO⎫

⎝O

O⎪ ⎭

故有AV=UΔ，即UHAV=Δ.

例1 求矩阵A=⎡1

20⎤⎢

⎣2

2⎥的奇异值分解.

⎦

⎡524⎤

解 ATA=⎢⎢24⎥

0⎥的特征值为λ1=9,λ2=4,λ3=0， ⎢⎣4

⎥4⎦

对

应

的

单

位特

征

向

量依v1=

12,4)T

,v12,-1)T

,v1T

2=3=

3

(-2,1,2).

⎡5

0-所以

⎢

V=2

6⎥. ⎢⎣

4-3

⎥⎥

⎦

于是可得

r(A)=2，∑=⎡3

0⎤⎢

⎣0

2⎥.

⎦

计算U=AV-1

=⎡12⎤1∑

⎢

⎣2-1⎥，则A的奇异值分解为

⎦

次

为

⎡3

A=U⎢

⎣0

02

0⎤⎥V0⎦

T

.

在A的奇异值分解中，酉矩阵V的列向量称为A的右奇异向量，V的前r列是AHA的r个非零特征值所对应的特征向量，将他们取为矩阵V1，则V=(V1,V2).酉矩阵U的列向量被称为A的左奇异向量，将U从前r列处分块为U=(U1,U2)，由分块运算，有

⎡U1H⎤⎛U1HAV1

UAV=⎢H⎥(AV1，AV2)= H

⎣U2⎦⎝U2AV1

H

U1AV2⎫⎡∑

⎪=⎢H

U2AV2⎭⎣O

H

O⎤⎥ O⎦

=从而 AV2=0，AV1UΣ. 1

因此，有下列结果

（1）V2的列向量组是矩阵A的零空间N(A)={xAx=0}的一组标准正交基；

（2）U1的列向量组是矩阵A的列空间R(A)={Ax}的一组标准正交基；

（1）V1的列向量组是矩阵A的零空间N(A)={xAx=0}正交补

R(A)的一组标准正交基；

H

（1）U2的列向量组是矩阵A的列空间R(A)={Ax}正交补N(AH)的一组标准正交基.

在A的奇异值分解中，酉矩阵U和V不是惟一的.A的奇异值分解给出了矩阵A的许多重要信息.

更进一步，由于U=(u1,u2, um)，V=(v1,v2, ,vn)，可借助于奇异值分解，将A表示为

篇七 0pp0r和Vi0是不是一个老板的
离散数学试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选

项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )

A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路

C.汉密尔顿通路 D.初级回路

2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )

A.10 B.12 C.16 D.14

3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )

A.b∧(a∨c)

B.(a∧b)∨(a’∧b)

C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)

D.(b∨c)∧(a∨c)

4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )

A.<{1},·> B.〈{-1},·〉

C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉

5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )

A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉

C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉

6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )

A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算

B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算

C.〈Z， Z是整数集， 定义为x xy=xy,∀x,y∈Z

D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算

7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：

R具有的性质是

A.自反性

B.对称性

C.传递性

D.反自反性

8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )

A.R∪IA B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩IA

9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )

A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉}

C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉}

10.下列式子正确的是( )

A. ∅∈∅ B.∅⊆

∅ C.{∅}⊆∅ D.{∅}∈

∅

11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是

( )

A.( ∀ x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))

B.( ∀x)A(f(a,x),a)

C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))

D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))

12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )

A.(∃x)A(x)→B B.(∀x)A(x)→B

C.A(x)→B D.(∀x)A(x)→(∀x)B

13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )

A.是自由变元但不是约束变元

B.既不是自由变元又不是约束变元

C.既是自由变元又是约束变元

D.是约束变元但不是自由变元

14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )

A.P∨Q B.P∧┐Q C.P→┐Q D.P∨┐Q

15.以下命题公式中，为永假式的是( )

A.p→(p∨q∨r) B.(p→┐p)→┐p

C.┐(q→q)∧p D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)

二、填空题(每空1分，共20分)

16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。

17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的关系矩阵MR中m24=______,m34=______。

18.设〈s,*〉是群，则那么s中除______外，不可能有别的幂等元；若〈s,*〉有零元，则|s|=______。

19.设A为集合，P(A)为A的幂集，则〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),则x,y最大下界是______，⊆〉

最小上界是______。

20.设函数f:X→Y,如果对X中的任意两个不同的x1和x2，它们的象y1和y2也不同，我们说f是______函数，如果ranf=Y，则称f是______函数。

21.设R为非空集合A上的等价关系，其等价类记为〔x〕R。∀x,y∈A，若〈x,y〉∈R，则 〔x〕R与〔y〕R的关系是______，而若〈x,y〉∉R，则〔x〕R∩〔y〕R=______。

22.使公式(∃x)( ∃y)(A(x)∧B(y))⇔(∃x)A(x)∧(∃y)B(y)成立的条件是______不含有y，______不含有x。

23.设M(x):x是人，D(s):x是要死的，则命题“所有的人都是要死的”可符号化为(∀x)______,其中量词(∀x)的辖域是______。

24.若H1∧H2∧„∧Hn是______，则称H1,H2,„Hn是相容的，若H1∧H2∧„∧Hn是______，则称H1,H2,„Hn是不相容的。

25.判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为 ，然后再看它是否具有唯一的 。【0pp0r和Vi0是不是一个老板的】

三、计算题 (共30分)

26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所示，试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。

27.(5)设A={a,b},P(A)是A的幂集，⊕是对称差

运算，可以验证<P(A)，⊕>是群。设n是正整数，求({a}-1{b}{a})n⊕{a}-n{b}n{a}n

28.(6分)设A={1,2,3,4,5},A上偏序关系

R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA;

(1)作出偏序关系R的哈斯图

(2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。

29.(6分)求┐(P→Q)⇔(P→┐Q)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。

30.(5分)设带权无向图G如下，求G的最小生成树T及T的权总和，要求写出解的过程。

31.(4分)求公式┐((∀x)F(x,y)→(∃y)G(x,y))∨(∃x)H(x)的前束范式。

四、证明题 (共20分)

32.(6分)设T是非平凡的无向树，T中度数最大的顶点有2个，它们的度数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2片树叶。

33.(8分)设A是非空集合，F是所有从A到A的双射函数的集合， 是函数复合运算。 证明：〈F, 〉是群。

34.(6分)在个体域D={a1,a2,„，an}中证明等价式：

(∃x)(A(x)→B(x))⇔(∀x)A(x)→(∃x)B(x)

五、应用题(共15分)

35.(9分)如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。

36.(6分)一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?

参考答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)

1.B 2.D 3.A 4.A 5.D

6.D 7.D 8.C 9.D 10.B

11.A 12.A 13.C 14.B 15.C

二、填空题

16.0 1

17.1 0

18.单位元 1

19.x∩y x∪y

20.入射

21.［x］R=［y］R

22.A(x) B(y)

23.(M(x)→D(x)) M(x)→

D(x)

24.可满足式 永假式(或矛盾式)

25.陈述句 真值

三、计算题

⎧1100⎫⎪1010⎪⎪⎪26. M=⎨⎬ 1011⎪⎪⎪⎩0011⎪⎭

⎧2⎪2⎪2 M=⎨⎪2

⎪⎩1110⎫111⎪⎪⎬ 121⎪011⎪⎭

∑∑i=1j=144M2ij=18, ij=6 ∑M2i=14

G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。

27.当n是偶数时，∀x∈P(A),xn=∅

当n是奇数时，∀x∈P(A),xn=x

于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n⊕｛a｝-n｛b｝n｛a｝n

=∅⊕(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=∅⊕∅=

∅

当n是奇数时，

(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n⊕｛a｝-n｛b｝n｛a｝n

=｛a｝-1｛b｝｛a｝⊕(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n

=｛a｝-1｛b｝｛a｝⊕｛a｝-1｛b｝｛a｝=∅

28.(1)偏序关系R的哈斯图为

(2)B的最大元：无，最小元：无；

极大元：2，5，极小元：1，3

下界：4， 下确界4；

上界：无，上确界：无

29.原式⇔(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))

((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))

(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))

(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))

(P∧Q)∨(P∧┐Q)

P∧(Q∨┐Q)

P∨(Q∧┐Q)

(P∨Q)∧(P∨┐Q)

命题为真的赋值是P=1,Q=0和

P=1,Q=1

30.令e1=(v1,v3), e2=(v4,v6)

e3=(v2,v5), e4=(v3,v6)

e5=(v2,v3), e6=(v1,v2)

e7=(v1,v4), e8=(v4,v3)

e9=(v3,v5), e10=(v5,v6)

令ai为ei上的权，则

a1<a2<a3<a4<a5=a6=a7=a8<a9=a10

取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，

T的总权和=1+2+3+4+5=15

31.原式⇔┐(∀x1F(x1,y)→∃y1G(x,y1))∨∃x2H(x2) (换名)

⇔┐∃x1∃y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨∃x2H(x2)

⇔∀x1∀y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨∃x2H(x2)

⇔∀x1∀y1∃x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)

四、证明题

32.设T中有x片树叶，y个分支点。于是T中有x+y个顶点，有x+y-1 条边，由握手定理知T中所有顶点的度数之的

x+y

∑d(vi)=2(x+y-1)。

i=1

又树叶的度为1，任一分支点的度大于等于2

且度最大的顶点必是分支点，于是

x+y

∑d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4

i=1

从而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4

x≥2k-2

33.从定义出发证明：由于集合A是非空的，故显然从A到A的双射函数总是存在的，如A上恒等函数，因此F非空

(1)∀f,g∈F,因为f和g都是A到A的双射函数，故f g也是A到A的双射函数，从而集合F关于运算 是封闭的。

(2)∀f,g,h∈F,由函数复合运算的结合律有f (g h)=(f g) h故运算 是可结合的。

(3)A上的恒等函数IA也是A到A的双射函数即IA∈F,且∀f∈F有IA f=f IA=f,故IA是〈F，

〉中的幺元

(4)∀f∈F,因为f是双射函数，故其逆函数是存在的，也是A到A的双射函数，且有f f-1=f-1

f=IA,因此f-1是f的逆元

由此上知〈F， 〉是群

34.证明(∃x)(A(x)→B(x)) ⇔ ∃x(┐A(x)∨

B(x))

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