2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版

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2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版(二)
2015年北京高考数学(文)试题及答案word版

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合Ax5x2,Bx3x3,则A





B（ ）

( A ) x3x2 ( B ) x5x2 ( C ) x3x3 ( D ) x5x3 （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）

（A）x1y11 （B）x1y11 （C）x1y12 （D）x1y12

2

2

2

2

2

2

2

2





（3）下列函数中为偶函数的是（ ）

（A）yx2sinx （B）yx2cosx

（C）ylnx （D）y2x

（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）

（A）90 （B）100 （C）180 （D）300

（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）

（A）3 （B） 4 (C) 5 (D) 6

（6）设a,b是非零向量，“abab”是“a//b”的（ ）

（A） 充分而不必要条件

（B） 必要而不充分条件 （C） 充分必要条件

（D） 既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

(A) 1 （B）

（B）

(D) 2

（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油

（A）6升 （B）8升 （C

）10升 （D）12升

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i1i的实部为

3

12

．

．

．

（10）2,log25三个数中最大数的是 （11）在ABC中，a3,b

2

A

2

,则B3

y2

（12）已知

2,0是双曲线x21b0的一个焦点，则

b

b

（13）如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，Px,y为D中任意一点，则z2x3y的最大值为 ．

（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是

． ．

三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数f

xsinx（Ⅰ）求fx的最小正周期； （Ⅱ）求fx在区间0,

（16）（本小题13分）已知等差数列an满足a1a210,a4a32. （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列bn满足b2a3,b3a7；问：b6与数列an的第几项相等？

2

x. 2

2

上的最小值。 3

（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

（18）（本小题14分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB ⊥平面ABC，VAB为等边三角形，

ACBC,且ACBCO,M分别为AB,VA的中点。

（Ⅰ）求证: VB//平面MOC;

（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB; （Ⅲ）求三棱锥VABC的体积。

x2

（19）（本小题13分）设函数fxklnx,k0。

2

（I）求fx的单调区间和极值；

（II）证明：若fx存在零点，则fx

在区间上仅有一个零点。



(20)(本小题14分)已知椭圆C:x23y23,过点

且不过点

的直线与椭圆交于

两点，

直线与直线.

（1）求椭圆的离心率；

（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。

2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版(三)
2015年北京高考数学文科试题及答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合Ax5x2,Bx3x3,则A





B（ ）

( A ) x3x2 ( B ) x5x2 ( C ) x3x3 ( D ) x5x3 （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）

（A）x1y11 （B）x1y11 （C）x1y12 （D）x1y12

2

2

2

2

2

2

2

2





（3）下列函数中为偶函数的是（ ）

（A）yx2sinx （B）yx2cosx

（C）ylnx （D）y2x

（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）

（A）90 （B）100 （C）180 （D）300

（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）

（A）3 （B） 4 (C) 5 (D) 6

（6）设a,b是非零向量，“abab”是“a//b”的（ ）

（A） 充分而不必要条件

（B） 必要而不充分条件 （C） 充分必要条件

（D） 既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

(A) 1 （B）

（B）

(D) 2

（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油

（A）6升 （B）8升 （C

）10升 （D）12升

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i1i的实部为

3

12【2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版】

．

．

．

（10）2,log25三个数中最大数的是 （11）在ABC中，a3,b

2

A

2

,则B3

y2

（12）已知

2,0是双曲线x21b0的一个焦点，则

b

b

（13）如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，Px,y为D中任意一点，则z2x3y的最大值为 ．

（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是

． ．

三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数f

xsinx（Ⅰ）求fx的最小正周期； （Ⅱ）求fx在区间0,

（16）（本小题13分）已知等差数列an满足a1a210,a4a32. （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列bn满足b2a3,b3a7；问：b6与数列an的第几项相等？

2

x. 2

2

上的最小值。 3

（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

（18）（本小题14分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB ⊥平面ABC，VAB为等边三角形，

ACBC,且ACBCO,M分别为AB,VA的中点。

（Ⅰ）求证: VB//平面MOC;

（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB; （Ⅲ）求三棱锥VABC的体积。

x2

（19）（本小题13分）设函数fxklnx,k0。

2

（I）求fx的单调区间和极值；

（II）证明：若fx存在零点，则fx

在区间上仅有一个零点。



(20)(本小题14分)已知椭圆C:x23y23,过点

且不过点

的直线与椭圆交于

两点，

直线与直线.

（1）求椭圆的离心率；

（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。

2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版(四)
2015年北京高考数学(理)试题及答案word版

绝密★启封并使用完毕前

2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i2i A．12i

B．12i

C．12i

D．12i

开始

xy≤0，

2．若x，y满足xy≤1，则zx2y的最大值为

x≥0，A．0

B．1

C．

3 2

x=1，y=1，k=0

D．2

s=x-y，t=x+yx=s，y=t

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A．2，2

B．4，0

C．4，4

D．0，8

k=k+1

否

k≥是输出(x，y)

4．设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

A

．2 B

．4 C

．2 D．5

6．设an是等差数列. 下列结论中正确的是

A．若a1a20，则a2a30 B．若a1a30，则a1a20 C．若0a1

a2，则a2 D．若a10，则a2a1a2a30

2正(主)视图

1

结束

侧(左)视图

俯视图

7．如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式fx≥log2x1的解集是

A．x|1x≤0 B．x|1≤x≤1 C．x|1x≤1 D．x|1x≤2

y2

C

8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

A-1

B2

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在2x的展开式中，x3的系数为

5

．（用数字作答）

x2

10．已知双曲线2y21a

0y0，则aa

π

11．在极坐标系中，点2‚

到直线cos6的距离为3



．

12．在△ABC中，a4，b5，c6，则

sin2A

sinC

；

13．在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，则xy

2xa‚x1‚

14．设函数fx

4xax2a‚x≥1.

①若a1，则fx的最小值为

；②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是

．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） xxx

15．（本小题13

分）已知函数f(x)cos2．

222

(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期； (Ⅱ) 求f(x)在区间[π，0]上的最小值．

16．（本小题13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

17．（本小题14分）如图，在四棱锥AEFCB中，平面AEF平面EFCB，△AEF为等边三角形，EF∥BC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点．【2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版】

(Ⅰ) 求证：AOBE； (Ⅱ) 求二面角FAEB的余弦值；

A

(Ⅲ) 若BE平面AOC，求a的值．

C F

E

B

1x

18．（本小题13分）已知函数fxln．

1x

（Ⅰ）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；

x3

1时，fx2x； （Ⅱ）求证：当x0，

3

x3

1恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得fxkx对x0，

3

x2y21和点Am，nm≠019．（本小题14分）已知椭圆C：221ab

0，点P0，

ab都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2an，an≤18，

…． 20．（本小题13分）已知数列an满足：a1N*，a1≤36，且an1n1，2，

2a36，a18nn

记集合Man|nN*．

（Ⅰ）若a16，写出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．



2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版(五)
2015北京市高考数学理科试卷及答案解析(word版)

2015年北京高考数学（理科）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i2i

A．12i B．12i

C．12i

D．12i

xy≤0，2．若x，y满足

xy≤1，则zx2y的最大值为

x≥0，A．0

B．1

C．

32

D．2

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为

A．2，2 B．4，0

C．4，4

D．0，

8

4．设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

侧(左)视图

俯视图

A

．2 B

．4 C

．2 D．5 6．设an是等差数列. 下列结论中正确的是

A．若a1a20，则a2a30 B．若a1a30，则a1a20 C．若0a1

a2，则a2 D．若a10，则a2a1a2a30 7．如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式fx≥log2x1的解集是【2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版】

A．x|1x≤0 B．x|1≤x≤1

C．x|1x≤1 D．x|1x≤2

8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速

度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在2x5

的展开式中，x3的系数为（用数字作答）

x2

10．已知双曲线a

2y21a

0y0，则a

11．在极坐标系中，点

π

2‚

3到直线cos

6的距离为

12．在△ABC中，a4，b5，c6，则sin2A

sinC

 13．在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，则xy

14．设函数fx2xa‚x1‚

4xax2a‚x≥1.

①若a1，则fx的最小值为

②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是

．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）

xxx

已知函数f(x)cos2．

222

(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期； (Ⅱ) 求f(x)在区间[π，0]上的最小值． 16．（本小题13分）

A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

17．（本小题14分）

BC4，EF∥BC，如图，在四棱锥AEFCB中，平面AEF平面EFCB，△AEF为等边三角形，

EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点． (Ⅰ) 求证：AOBE； (Ⅱ) 求二面角FAEB的余弦值； (Ⅲ) 若BE平面AOC，求a的值．

A

F

C

E

B

18．（本小题13分）

1x

． 1x

（Ⅰ）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；

已知函数fxln

x3

1时，fx2x； （Ⅱ）求证：当x0，

3

x3

1恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得fxkx对x0，

3

2015年北京高考数学文科试题及答案,,,word版(六)
2014年北京市高考文科数学试卷及答案word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

文科数学

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合A0,1,2,4，B1,2,3，则AB（ ）

A.0,1,2,3,4 B.0,4 C.1,2 D.3

2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

A.yex B.yx C.ylnx D.yx

3.已知向量a2,4，b1,1，则2ab（ ）

A.5,7 B.5,9 C.3,7 D.3,9

4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A.1 B.3 C.7 D.15

225.设a、b是实数，则“ab”是“ab”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件

6.已知函数fx6log2x，在下列区间中，包含fx零点的区间是（ ） x

A.0,1 B.1,2 C.2,4 D.4,

7.已知圆C:x3y41和两点Am,0，Bm,0m0，若圆C上存在点 22

P，使得APB90，则m的最大值为（ ）

A.7 B.6 C.5 D.4

8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系pat2btc（a、b、c是常数），下

图

记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）

A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟

第2部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.若xii12ixR，则x10.设双曲线C

的两个焦点为

，

11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为，一个顶点式1,0，则C的方程为 

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