加法原理和乘法原理 小学四年级

导读：　加法原理和乘法原理 小学四年级篇一：四年级奥数学习之加法原理与乘法原理(彩色版,含解答) ...

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加法原理和乘法原理 小学四年级篇一：四年级奥数学习之加法原理与乘法原理(彩色版,含解答)

目    录课 本目录第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第 10 讲 第 11 讲 第 12 讲 第 13 讲 第 14 讲 第 15 讲 第 16 讲 第 17 讲 第 18 讲 第 19 讲 第 20 讲  整数计算综合 .................................................1   还原问题 .....................................................7   数阵图初步 ..................................................13   竖式问题 ....................................................20   几何图形剪拼 ................................................26   路程、时间、速度 ............................................32   行程中的线段图 ..............................................40   简单抽屉原理 ................................................45   基本直线形面积公式 ..........................................51   底、高的选取与组合 ..........................................59   变倍问题 ....................................................66   和差倍中的分组比较 ..........................................71   年龄问题 ....................................................76   数列数表规律 ................................................80   复杂数表估算 ................................................86   加法原理与乘法原理 ..........................................93   乘法原理进阶 ...............................................101   火车行程 ...................................................107   统筹规划 ...................................................115   游戏对策 ...................................................122加法原理与乘法原理课 本16加法原理与乘法原理“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！ 我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天 我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子： 餐厅供应 4 种炒菜和 2 种炖菜，4 种炒菜分别是： 红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和 三鲜豆腐，2 种炖菜分别是： 土豆炖牛肉和萝卜炖排骨． 点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点： 红烧 鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐之一，或是土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有 4 + 2 = 6 （种）点菜方法，其中 4 代表 4 种炒菜，2 代表 2 种炖菜．这就是加法原理． 加法原理： 如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的 方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数． 如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜 组合，点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．

炒菜选红烧鱼块的点菜方 法有 2 种： （红烧鱼块，土豆炖牛肉）（红烧鱼块，萝卜炖排骨） 类似地，选滑溜里脊的 、 ； 也有 2 种： （滑溜里脊，土豆炖牛肉）（滑溜里脊，萝卜炖排骨） 选清炒虾仁的也有 2 种： 、 ；93四 年 级上册第 16 讲（清炒虾仁， 土豆炖牛肉） 、 （清炒虾仁， 萝卜炖排骨） 选三鲜豆腐的也有 2 种： ； （三鲜豆腐， 土豆炖牛肉）（三鲜豆腐，萝卜炖排骨） 、 ．合在一起就有 4 × 2 = 8 （种）点菜方法，其中 4 代表 4 种炒菜，2 代表 2 种炖菜．这就是乘法原理． 乘法原理： 如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同 的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．例题 1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可 以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有 4 班，汽车有 3 班，飞机 有 2 班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？ 分析 选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1. 书架上有 8 本不同的小说和 10 本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有 多少种不同的取法？例题 2“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜 色的笔，按上述要求能有多少种不同的涂色方法？ 分析 要给三个字母涂色，我们很容易想到要依次涂每个字母，这是分类还是 分步呢？只涂一个字母能完成这件事情吗？练习2. 把“CHINA”这五个字母涂上五种不同的颜色，每个字母只能涂一种颜色．共有 多少种涂色方法？94加法原理与乘法原理  IMO 国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad）的简称课 本1956 年罗马尼亚数学家罗曼教授提出倡议，并于 1959 年 7 月在罗马尼亚举行了第 一届国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad，简称 IMO） ，当时只有保 加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马利亚和前苏联参加．以后每年举行（只在 1980 年中断过一次） ，参加的国家和地区逐渐增多，目前参加这项赛事的代表队有 80 余 支．我国第一次派队参加 IMO 是在 1985 年，当时只去了两位同学，除了 1998 年因故未 能参加外， 截止 2009 年的 25 年中， 我国中学生代表队共参加了 24 届 IMO， 人次参赛， 140 取得 107 块金牌、26 块银牌、5 块铜牌，15 次取得团体总分第一．2009 年第 50 届 IMO， 我国 6 名参赛队员全部获得金牌，并以总分 221 分蝉联团体第一，来自山师附中的韦东 ． 奕取得满分（满分共 2 人） 即时通讯软件（instant messaging office）的简

称 Instant messaging office，是中国领先的企业级即时通讯运营平台，致力于为政府、 企业、组织用户提供文字 / 语音、文件传输、文档协作、电子白板、公告传达、短信群发、 电子传真、网络文件柜、电子考勤、日程安排等网络化实时沟通、网络化协同办公、网 络化运营管理服务，构建组织的“互联网办公室” ． 国际海事组织（International Maritime Organization）的简称 国际海事组织是联合国负责海上航行安全和防止船舶造成海洋污染的一个专门机 构，总部设在伦敦．该组织最早成立于 1959 年 1 月 6 日，原名“政府间海事协商组织” ， 1982 年 5 月改为现名． 分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相 互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理． 分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互 替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．例题 3老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必 须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？ 分析 被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？ 写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？95四 年 级上册第 16 讲练习3. 有 6 个不同的文具盒，5 支不同的铅笔，3 支不同的钢笔，2 把不同的尺子．若从 中各取一个，配成一套学习用具，最多可以配成多少套不同的学习用具？例题 4书架上有三层书，第一层放了 15 本小说，第二层放了 10本漫画，第三层放了 5 本科普书，并且这些书都各不相同．请问： （1）如果从所有的书中任取 1 本，共有多少种不同的取法？ （2）如果从每一层中各任取 1 本，共有多少种不同的取法？ （3）如果从中取出 2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？ 分析 从第一层取 1 本书、从第二层取 1 本书、从第三层取 1 本书，这三件事 对于前两问来说是分类还是分步？练习铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有 4 种颜色，钢笔有 3 种颜色，圆 4. 商店里有三类笔： 珠笔有 2 种颜色． （1）要买任意一支笔，有多少种买法？ （2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？ （3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？96加法原理与乘法原理课 本例题 5从甲地到乙地有 3 条路，从乙 地到丙地有 3 条路，从甲地到丁地有 2 条路，从 丁地到丙地有 4 条路．如果要求所走路线不能重 复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？分析 要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一． “甲→

乙→丙”与“甲→ 丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习5. 有两个不同的骰子，每个骰子的 6 个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6．任意 摆放这两个骰子，如果要求朝上的面所标数字之和为偶数，共有多少种放法？通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别． 加法原理 类与类之间会满足下列要求： 1. 只能选择其中的某一类，而不能几类同时选； 2. 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求． 比如例题 1 中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种 交通工具，就能到达目的地了． 乘法原理 步与步之间满足下列要求： 1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； 2. 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后． 比如例题 2 中， I” M” O”都要涂上颜色， “ 、 “ 、 “ 只是可以有先后的步骤关系．在这里， “I”“M”“O”的书写顺序可以随意安排，先写哪个字母都是可以的．但有的时候却不 、 、 能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在下一讲会遇到．97四 年 级加法原理与乘法原理的混合上册第 16 讲有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系，这时应该分清主次关系，弄清楚 到底是“分类中含有分步” ，还是“分步中含有分类” ．如果是某一大类里面又可以再分 为几小步，那么这一类里应该用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况 加在一起，比如例题 4 的题（3）和例题 5．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以 再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出这一大步中有多少种情况，再用乘法原 理把总数算出来． 在本讲的最后，我们来介绍标数法，标数法是解决路径条数问题的重要方法． 如下图所示，我们要计算蚂蚁从 A 点沿箭头的方向爬到 B 点的不同路线有多少条．CEGBADFH由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种 方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把 A 点处标上 1， 表示蚂蚁从 A 点出发到达 A 点，只有原地不动这一种方式） ．我们用标数法标出蚂蚁到 达点 A、C、D、F、H 的路线数，如下图所示．C1EGBA1D1F1H1容易看出，蚂蚁可以从 C 点或者 D 点到达 E 点，而且只有这两类不同的方式，那么 ，表示蚂蚁到达 E 点 我们可以在 E 点处标上数字 1 + 1 = 2 （把 C 点与 D 点的数字相加） 有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从 E 点或者 F 点到达 G 点，那么蚂蚁到达 G 点就有 ．最后可

以得到蚂蚁到达 B 点有 4 条路 2 + 1 = 3 （条）路线（把 E 点与 F 点的数字相加） 线，如下图所示．C1E2G3B4A1D1F1H198加法原理与乘法原理课 本例题 6如图所示，蚂 CEGIB蚁在线段上爬行，只能按照箭头 的方向行走．请问： A 点走到 从 B 点的不同路线有多少条？ADFHJ分析 本题中蚂蚁可以斜线爬行，虽然蚂蚁的运动方式有了变化，但是问题的 实质没有改变，我们仍用标数法来计算．练习6. 在下图中，从 A 点沿线段走到 B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不 B 同走法？A思考题爸爸妈妈带萱萱去吃西餐．餐厅里一共有米饭和面条 2 种主食，烤牛排、烤 羊排和烤鸡排 3 种主菜，奶油蘑菇汤 1 种汤，以及蛋糕和布丁 2 种甜点．如果萱 萱想要点 1 种主食和 1 种主菜，而汤和甜点可随意点，只要不重复即可．请问： 萱萱一共有多少种点菜方法？本 讲 知 识 点 汇 总如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那 一、加法原理： 么把每类的方法数相加就得到所有的方法数． 乘法原理： 如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么993. 图书馆有 30 本不同的数学书、20 本不同的英语书和 10 本不同的语文书． （1）墨莫要去图书馆借 1 本书，有多少种不同的选择？ （2）墨莫三种书都要各借 1 本，有多少种不同的选择？4. 萱萱要从 4 幅水墨画、 幅油画和 2 幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅， 3 有几种选法？5. 在右图中，从 A 点沿线段走到 B 点，每次只能向上 或向右走一步，共有多少种不同走法？BA100第 8 讲  简 单 抽 屉 原 理17 例题 1. 答案： 条． 解答： 最不利情况是没有 5 条相同品种的鱼，这时最多每个品种都有 4 条鱼，一共 4 × 4 = 16 条． 只要比 16 条多，就能保证有 5 条相同品种的鱼了．因此至少捞出 17 条鱼． （1）19 个； （2）15 个． 例题 2. 答案： 解答： （1）如果取出的球没有三种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某两种，红球和黄 球最多，全都取出共有 10 + 8 = 18 （个）球，只要多于 18 个，就能保证有三种颜色的球了，因此至少 取出 19 个． （2）如果取出的球中红球和黄球不同时出现，最不利的情况是首先蓝球和绿球都取出，并且红球 和黄球中的一种也都取出，红球比黄球多，应将红球全部取出，此时共取出 3 + 1 + 10 = 14 （个）球，因 此至少取出 15 个球，才能保证红球黄球同时出现． （1）13 只； （2）14 只． 例题 3. 答案： 解 答： （1） 如 果 没 有 颜 色 相 同 的 两 双 袜 子， 这 时 每 种 颜 色 的 袜 子 至

加法原理和乘法原理 小学四年级篇二：小学四年级加法原理乘法原理20题

加法原理和乘法原理

加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。

1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

2、小明到图书馆借书，图书馆有150本不同的外语书，200本不同的科技书，100本不同的小说，只借1本，有多少种不同的选法？

3、第一个口袋里装了3个小球，第二个口袋里装了8个不同的小球，所有的小球颜色都各不相同。从两个口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法？

4、旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？

5、四把钥匙开四把锁，但是不知道哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次就能把锁和钥匙配起来？

6、从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

7、两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和是偶数的有多少种情况？

8、从1到400的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？

9、用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

10、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

11、北京奥运会开幕的日子为2008年8月8日，拼成一个八位数为20080808.它的数字和为26，请问在2008年还有哪些日子拼成的八位数，其数字之和为26？

12、一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

13、某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？

14、在下面的图中（单位：厘米）

求：一共有几个长方形？

15、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？

16、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？

加法原理和乘法原理 小学四年级篇三：四年级计数问题加法原理与乘法原理

四年级计数问题 加法原理与乘法原理 第 08 讲 计数问题第 02 讲 加法原理与乘法原理 1、如果两个四位数的差等于 8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数 对共有多少个？ 分析：从两个极端来考虑这个问题： 最大为 9999-1078=8921，最小为 9921-1000=8921， 所 以共有 9999-9921+1=79 个，或 1078-1000+1=79 个 2、一本书从第 1 页开始编排页码，共用数字 2355 个，那么这本书共有多少页？ 分析：按数位分类： 一位数：1～9 共用数字 1*9=9 个； 二位数：10～99 共用数字 2*90=180 个； 三位数：100～999 共用数字 3*900=2700 个， 所以所求页数不超过 999 页， 三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722 个， 所以本书有 722+99=821 页。 3、上、下两册书的页码共有 687 个数字，且上册比下册多 5 页，问上册有多少页？ 分析：一位数有 9 个数位，二位数有 180 个数位，所以上、下均过三位数， 利用和差问 题解决： 和为 687， 差为 3*5=15， 大数为： 687+15） （ ÷2=351 个 （351- 189） ÷3=54， 54+99=153 页。 4、从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这 10 个数中，任取 5 个数相加的和与其余 5 个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。 分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最 大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55 最接近的两组为 27+28 所以共有 27-15+1=13 个不同的积。 另从 15 到 27 的任意一数是可以组合的。5、 将所有自然数， 1 开始依次写下去得到： 自 12345678910111213……， 试确定第 206788 个位置上出现的数字。 分析：与前面的题目相似，同一个知识点： 一位数 9 个位置，二位数 180 个位置，三位数 2700 个位置，四位数 36000 个位置， 还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷ 5=33579……4 所以答案为 33579+100=33679 的第 4 个数字 7.6、用 1 分、2 分、5 分的硬币凑成 1 元，共有多少种不同的凑法？ 分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有 3 种方法；1 分和 2 分的组合：其中 2 分的 从 1 枚到 49 枚均可，有 49 种方法；1 分和 5 分的组合：其中 5 分的从 1 枚到 19 枚均可， 有 19 种方法；2 分和 5 分的组合：其中 5 分的有 2、4、6、……、18 共 9 种方法；1、2、5 分 的 组 合 ： 因 为 5=1+2*2 ， 10=2*5 ， 15=1+2*7 ， 20=2*10 ， … … ， 95=1+2*47 ， 共 有 2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=461 种 方 法 ， 共 有 3+49+19+9+461=541 种方法。7、在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校” 。 那么共有多少种不同的读法？分析：按最短路线方法，给每个字标上数字即可，最后求和。 所以共有 1+4+6+4+1=16 种不同的读法。8、在

所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？ 分析：十位是 9 的有 9 个，十位是 8 的有 8 个，……十位是 1 的有 1 个，共有： 1+2+3+……+9=45 个。 或是在给定的两位数中， 总是在 9876543210 中， 所以有 C(10、 2)=45 个。 9、按图中箭头所示的方向行走，从 A 点走到 B 点的不同路线共有多少条？分析：同样用上题的方法，标上数字，有 55 条。10、用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂 法？分析：按题意可知，1、4 对称，2、3 对称，这样 1、2、A、B、C、D、E 均有两种选 择， 2×2×2×2×2×2×2=128 种。11、如图，把 A、B、C、D、E 这五个部分用 4 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能 使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色 方法？分析：C－A－B－D－E，根据乘法原理有： 4×3×2×2×2=96 种。14、有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第 四位数表示月，第五、第六位数表示日，例如 890817 表示 1989 年 8 月 17 日。如果用这种 方法表示 1991 年的日期，那么全年中有 6 个数都不同的日期共有多少天？ 分析：因为有 91，所以 1、9、10、11、12 不能出现，实际上 9102XX 也是不行的， 在 剩下的 6 个月中， 每个月都有 5 天， 5*6=30 天， 例如： 共 三月份： 910324， 910325， 910326， 910327，910328。 15、如果一个四位数与三位数的和是 1999，并且四位数和三位数是由 7 个不同数字组 成的，那么这样的四位数最多有多少个？分析：按题意给出这样一个算式： 由于 1 已定，相应的 8 也就不能用， 对于 D 来说， 有 2、3、4、5、6、7、9 共 7 种选择，每一种选择都有相应的 A, 对于 E 来说，在剩下的数 中有 6 种选择，每一种选择都有相应的 B, 对于 F 来说，在剩下的数中有 4 种选择，每一种选择都有相应的 C, 根据乘法原理，共有 7 ×6×4=168 种。华数思维训练导引 四年级下 第 11 讲 计算问题第 04 讲 1.计算：1991+199.1+19.91+1.991.多位数与小数解析：1991+199.1+19.91+1.991 =1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009) =2000+200+20+2-9.999 =2222-10+0.001 =2212.001 2.计算：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7. 解析：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7 =7142.85÷37÷27×17×7 =7142.85×7÷999×17 =49999.95÷999×17 =50.05×17 =850.85 3.光的速度是每秒 30 万千米，太阳离地球 1 亿 5 千万千米.问：光从太阳到地球要用几 分钟？（答案保留一位小数.） 解析：150000000÷300000÷60=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分） 光从太阳到地球要用约 8.3 分钟。 4.已知 105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么

□所代表的 数是多少？ 解析：105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125) =105.5+（20+□÷4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125) =105.5+(18.47+□÷4.6) ÷0.25 =105.5+18.47÷0.25+□÷4.6÷0.25 =105.5+73.88+□÷1.15 因为 105.5+73.88+□÷1.15＝187.5 所以□=(187.5-105.5-73.88) ×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.338 答：□=9.338 5.22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=10 在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成 立。那么所填的数应是多少？ 解析：22.5-(□×32-24×□) ÷3.2 =22.5-□×(32-24) ÷3.2 =22.5-□×8÷3.2 =22.5-□×2.5 因为 22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10) ÷2.5=5 答：所填的数应是 5。6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99. 解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99 =(0.1+0.9) ×5÷2+(0.11+0.99) ×45÷2 =2.5+24.75 =27.25 7.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112. 解析：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112 =0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5） =0.112×（12.5×3×21.5+35.5×12.5） =0.112×12.5×（3×21.5+35.5） =0.112×12.5×100 =1250×（0.1+0.01+0.002） =125+12.5+2.5 =140 8.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7. 解析：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7 =7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7 =7.63×91.8+91.8×2.37 =(7.63+2.37) ×91.8 =10×91.8 =918 9.计算：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2). 解析：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2) =(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75) ÷(0.2×0.2) =16.4×(182-92-70) ÷(0.2×0.2) =16.4×20÷0.2÷0.2 =82×100 =8200 10.计算：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87). 解析：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) =(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87) -(3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) ×(2+3.15+5.87-3.15-5.87) -2×(3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) ×2-2×(3.15+5.87) =(3.15+5.87) ×2+7.32 ×2-2×(3.15+5.87) =7.32×2 =14.6411.求和式 3+33+333+…+33…3（10 个 3）计算结果的万位数字. 解析：个位 10 个 3 相加，和为 30，向十位进 3； 十位 9 个 3 相加，和为 27，加上个 位的进位 3 得 30，向百位进 3； 百位 8 个 3 相加，和为 24，加上十位的进位 3 得 27，向千 位进 2； 千位 7 个 3 相加，和为 21，加上百位的进位 2 得 23，向万位进 2； 万位 6 个 3 相加，和为 18，加上千位的进位 2 得 20，万位得数是 0。 答：计算结果的万位数字是 0。 12.计算：19+199+1999+…+199…9（1999 个 9）. 解析：19+199+1999+…+199…9（1999 个 9） =(20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+(200…0（1999 个 0）-1) =22…20（1999 个 2）-1999×1 =22…2(1996 个 2)0221 13.算式 99…9（1992 个 9）×99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9）的计算结果的 末位有多少个零？ 解析：99…9（1992 个 9）×99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9） =99…9（1992 个 9）×（100…0-1） （1992 个 0）+199…9（1992 个 9） =9

9…9（1992 个 9） 0（1992 个 0） - 99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9） =99…9（1992 个 9） 0（1992 个 0）+100…0（1992 个 0） =100…0（3984 个 0） 14.计算：33…3（10 个 3）×66…6（10 个 6）. 解析：33…3（10 个 3）×66…6（10 个 6） =33…3（10 个 3）×3×22…2（10 个 2） =99…9（10 个 9）×22…2（10 个 2） =(100…0（10 个 0）-1) ×22…2（10 个 2） =22…2（10 个 2）00…0（10 个 0）-22…2（10 个 2） =22…2（9 个 2）177（9 个 7）8 15.求算式 99…9（1994 个 9）×88…8（1994 个 8）÷66…6（1994 个 6）的计算结果的 各位数字之和. 解析：99…9（1994 个 9）×88…8（1994 个 8）÷66…6（1994 个 6） =9×11…1（1994 个 1）×8×11…1（1994 个 1）÷6÷11…1（1994 个 1） =9×8÷6×11…1（1994 个 1） =12×11…1（1994 个 1） =（10+2）×11…1（1994 个 1） =11…1（1995 个 1）+22…2（1994 个 1） =13333…3（1993 个 1） 2 各位数字之和=1+1993×3+2=5982 答：计算结果的各位数字之和 5982。华数思维训练导引 四年级下 行程问题（一） 1、甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米， 后一半时间平均每分钟行 70 米。问他走后一半路程用了多少分钟？ 分析： 解法１、 全程的平均速度是每分钟 （80+70） /2=75 米， 走完全程的时间是 6000/75=80 分析： 分钟，走前一半路程速度一定是 80 米，时间是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是 80-37.5=42.5 分钟 解法 2：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40 分钟 因为 80*40=3200 米，大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间 是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是 40+（40-37.5）=42.5 分钟 答：他走后一半路程用了 42.5 分钟。 2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡 路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的 1.5 倍，那么上坡的速 度是平路的多少倍？ 分析： 分析：解法 1：设路程为 180，则上坡和下坡均是 90。设走平路的速度是 2，则下坡速 度是 3。走下坡用时间 90/3=30，走平路一共用时间 180/2=90，所以走上坡时间是 90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间 90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡 速度的 45/60=0.75 倍。 解法 2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也 相同，设距离是 1 份，时间是 1 份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速 度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75 解法 3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得： 上坡速度=0.75 答：上坡的速度是平路的 0.75 倍。 3

、一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多 行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千 米？ 分析： 分析：解法１，第二小时比第一小时多走 6 千米，说明逆水走 1 小时还差 6/2=3 千米没 到乙地。 顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米， 说明逆水走 3 千米与顺水走 8-3=5 千米时间相同， 这段时间里的路程差是 5-3=2 千米， 等于 1 小时路程差的 1/4， 所以顺水速度是每小时 5*4=20 千米（或者说逆水速度是 3*4=12 千米） 。甲、乙两地距离是 12*1+3=15 千米 解法２，顺水每小时比逆水多行驶 8 千米，实际第二小时比第一小时多行驶 6 千米，顺 水行驶时间=6/8=3/4 小时，逆水行驶时间=2-3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3， 顺水速度=8*5/（5-3）=20 千米/小时，两地距离=20*3/4=15 千米。 答：甲、乙两地距离之间的距离是 15 千米。 4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站 发出开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发 的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时， 恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 分析： 分析：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正 从甲发出。 骑车中， 甲站发出第 4 到第 12 辆车， 9 辆， 8 个 5 分钟的间隔， 共 有 时间是 5*8=40 （分钟） 。 答：他从乙站到甲站用了 40 分钟。 5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点 98 米。问：甲现在 离起点多少米？ 分析： 分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了 （98-20）/2=39（米） ，甲现在位置：39+20=59（米） 答：甲现在离起点 59 米。 6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56 千米，乙每小时行 48 千 米，两车在离两地中点 32 千米处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？ 分析： 分析：解法 1：甲比乙 1 小时多走 8 千米，一共多走 32*2=64 千米，用了 64/8=8 小时， 所以距离是 8*（56+48）=832（千米） 解法 2： 设东西两地距离的一半是 X 千米， 则有： （X+32） （X-32） 解得 X=416， 48* =56* ， 距离是 2*416=832（千米） 解法 3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地 距离=2*32/（1/13）=832 千米。 答：东西两地间的

加法原理和乘法原理 小学四年级篇四：四年级奥数加法与乘法原理

第二讲 加法与乘法原理

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加法原理：做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有M1种不．．

同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+……+mn种不同的方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第

二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作

共有m1×m2×…×mn种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

精典例题例1：从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？ 思路点拨

我们把坐火车看成第一类走法，有2种不同的选法；乘飞机是第二类走法，有3种不同的选法；坐轮船为第三类走法，只有1种选法。无论哪一种选法，都可以直接完成这件事。 ．．

模仿练习

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

思路点拨

运用加法原理，把组成方法分成三大类：

①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

模仿练习

小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，最多能称几种不同重量的物体？（要求砝码只放在一个托盘中）

例3：用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？

思路点拨运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：

第一步：确定三位数百位上数字，有3种选法（最高位不能为0）。第二步：确定十位上数字，有3种选法。第三步：确定个位上数字，有……种选法

模仿练习

用数字2，1，0，3,9能组成多少个数字不重复的四位数？

例4：用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

思路点拨

（1）当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有

4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。根据乘法

原理，此时不同的染色方法有……

（2）当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有……

模仿练习

用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不

同的颜色，每个区域染一种颜色。问：共有多少种不同的

染色方法？

铜牌练习

1.学校图书馆有100本不同的童话书、50本不同的科技书、120本不同的连环画，小红想从中借一本书回家，她有多少种不同的选法？

2.如下图，请问：①下左图中，共有多少条不同的线段？ ②下右图中，共有多少个不同的角？

3. 如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？

4.某校举行单循环赛，有12个队参加。问：共需要进行多少场比赛？

5.各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

6.由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数？(各位上的数字允许重复)

银牌练习

7.下图中共有16个方格，要把A，B,C,D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？

8.找出图2中从A点出发，经过C点和D点到B点的最短路线，共有多少条？

加法原理和乘法原理 小学四年级篇五：四年级加法与乘法原理练习题

加法与乘法原理

本讲知识要点：

1、加法原理：如果做完一件事情有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数。

2、乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有方法数。

3、分类与分步的区别：分类是指完成事情的不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事。这些时候一般用加法原理；分布是指完成事情的不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事。这种情况一般要用乘法原理。

4、用乘法原理解题，分步应注意的事项：

1）每步必须全部完成才能满足结论；

2）必须先确定以什么来分步；

3）定好第一步后，再确定第二步，第三步，„„。一般是特殊优先原则，即谁的条件要求苛刻，先确定谁。

4）每一步前后相互独立，前面的步骤不能影响后面的步骤，否则就不能用乘法原理解决。

本讲例题练习：

例题1：阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班。他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？

例题2：“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”？

例题3：老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数，冬冬共有多少种不同的写法？

例题4：书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同。请问：

1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？

2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？

3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？

例题5：如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路。如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地有多少条不同的路线？

2

、4、

7、8，从中任取三张，排成一行，就可以组成一个三位数。

一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的奇数？

例题7：奥运场馆实行垃圾分类处理，每个地方放置五个垃圾筒，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造。现在准备把五个垃圾筒染成红、绿、蓝这三种颜色之一，

要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾筒不

例题8：如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。这幅图共有多少种不同的染色方法？

例题9：如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一

3）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染色方法？

4）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？

例题10：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，一共有多少种不同的安排方案？

例题11：如图，4枚相同的棋子放入4×4的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法？

加法原理和乘法原理 小学四年级篇六：乘法原理加法原理

第一讲 乘法原理

第二讲 加法原理

（大家可找相关奥数书做一下练习，这里仅仅是一些知识点）

五六年级的学生可以把排列组合加上来，这样就能把计数这块复习了！

在运用乘法原理时，要主意当每个步骤都完成时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中

一个步骤的方法的乘积就是实现这件事情的方法总数。

注意隔色分类

加法原理是分类的，是完成一件事情有不同种的方法数的和。

一：分类（这是加法原理的应用）；

二：计算每一类（基本上在计算的时候全部采用乘法原理，如果在这里用加法原理，说明第

一步就没有分彻底）。

10

个班级里面选评选出学习、卫生、体育、纪律先进班集体，有多

少种不同的评选结果？

第一步是：评出学习的，有10个选择，

第二步是：评出卫生的，有10个选择，

第三步是：评出体育的，有10个选择，

第四步是：评出纪律的，有10个选择，

根据乘法原理一共有10*10*10*10=10000种评选结果。

针对上面的题做了一个限制条件（要求同一个班级只能得到一个先进班集体），这时就是跟

上面的分析过程是一样的：不过结果是：10*9*8*7=5040种评选结果。

另外还对几个汉字（字母）染色也是同样的道理。

这种类型的题，同样适用到下面的类型：

0、1、2、3、4能够组成多少个四位数？

不能在千位上，所以千位

就4种选择，百位就是5种选择，为什么呢？因为百位没有限制，并且没有说，数字不能重

复，所以百位就5种选择。所以十位、个位也是5种选择，最后一共可以组成4*5*5*5=600

个两位数。

：问题是组成多少个数？可以是一位数，两位

数，一直到五位数。然后运用运用上面的分析先计算一位数是多少个。二位数是多少个，三

位数、四位数、五位数是多少个，最后相加就可以了。

上面的这个题列式是：5+4*5+4*5*5+4*5*5*5+4*5*5*5*5

(就是看那一块区域与相邻的区域接触的块数多)

，然后

再按着一个固定的方向染完。

AA如左边两个图：用五种颜色来染下面的

两个图形中的各个区域,相邻区域颜色不相同。有多少 CC种染色方案? BBE

（1）根据上面染色问题所要注意的情况，先染区域

1DD

C，这是C有5种选择，然后再考虑A，因为相邻的不同

色，所以A有4种颜色可以选择，再去染区域B，B与区域A、C相邻，而A、C已经各用了一种颜色，

所以B有5-2=3种颜色可以选择，最后考虑区域D，区域D周围已经有染完颜色的区域B、C，它们占

两种颜色，所以D也又5-2=3种颜色可以选择，所以一共有5433180（种）染色结果。

去已经染的颜色数就是这块区域有几种颜色选择。（因为在染的过程种是按照顺序染的）

（2）这副图与第一个图有相同之处，但是这个图有两对不相邻的区域（AD与BE），2

A

而第一个图呢只有一对，所以这时要进行分类考虑，

AD同色：右图是一个表示AD同色的染色示意图，染色顺序是：CADBE

为什么在D上标“1”呢？

是因为AD颜色一样，A的颜色确定，D的颜色也就确定；

34513BCDE

AD异色：同样画一个示意图，染色顺序也是：CADBE

2A245

3BCD为什么先染D？并且在D上标“3”？因为D有一个限制条件，它与A的颜色不同，并且相邻的C已经染上颜色，所以它有5-2=3种颜色选择。

B和E的颜色选择需要考虑ACD已经染过的三色，所以B和E只有2种颜色选择。 E

下面的这个题目是还是乘法原理的应用。还是根据从限制条件最多的开始考虑。

（1）右面第一个图共有25个方格，要把五个相同的

棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问有多少种不

同的放法？

（2）如果是第二的图形，那有多少种呢？

解：（1）可以先放一个来表示一下：毫无疑问，放第一个的时候，

可以放在任何一个格子中，因为这个图形没有限制，只要保证每行

每列只能出现一个棋子就可以。如下图所以：

放第一个棋子的时候有25种选择，

因为可以把这个棋子放在25个小格

子中的任一个，如左图所示；

但是这个棋子的所在的行和列的其

他空格子就不能放棋子了，因为要保

证每行每列只有一个棋子。如左图所示，所以放第二个棋子的时候

只有16种选择了，第三个棋子的时候只有9个选择，第四个只有4

个，第五个棋子只有1个选择，所以有251694114400(种)

放法。

（2）这个图不同于第一个图，首先 这个图像不是一个完整的图形，是有限制条件的。在放

棋子的时候要做到每行每列有一个棋子，需要从第一列放（先从有限制条件的开始放，因为

要保证第一列要有棋子，必须要从第一列放），或者从第一行放，道理同从第一列放一样。

如下面的示意图：

2

2

2

2

1

2221如左边的两幅图所示，第一个是从第一列开始放，第二个是从第一行开始放。 拿从第一列的做一个说明：为什么要从第一列开始放呢？上面已经做了解释。所以第一列又两种方法，如上面图形的表示，这是保证了第一列有棋子，而在放第二个棋子的时候是放呢？这时的情况是与第一个棋子的情况是一样的。首先第一个棋子所在行不能放棋子，所以第二个棋子只能放在第二行，所以第二个棋子也只有2个选择，第三个棋子同样也只有两个选择，第四个棋子，两个选择，最后一个棋子，它只有一个选择。所以这个图形要放棋子，一共有2222116种方法。

疑问：为什么放第一个棋子不是有19个选择呢？或者说随意放呢？

因为这个图形是有限制条件的，要想保证每行每列有一个棋子只能从限制条件最多的开始放，第一行（列）它的限制条件最多，所以从第一行（列）开始放，后面的几个棋子放置道理同第一个棋子。

关于加法原理中的基本题型基本上一些关于数的计算。家长可以先根据学生的学习情况，先把讲义上的加法原理的例题给做一遍，在做的时候，请遵循下面的几个做题原则：

（1） 题意如果说几个数能组成多少个数，一定要先分类计算，一定要在草稿纸上把个、十、百、

千等这几个汉字写上，然后把这个几个相关的数写在旁边，同样要根据限制条件最多的做起。特别注意“0”，“偶数”，“奇数”等相关限制条件。

（2） 使用加法原理时一定要先分类，把分类的结果写出来，然后再去计算。千万不要没有分好类，

就忙去计算。

（3） 加法原理基本上是一些简单运算，计算需准确。

5的数有多少个？(五六年级使用插板法来解决)

先看到这个题说的是三位数，所以有百位+十位+个位=5（这个一定要在草稿纸上写出）。 而5005113122230140，

（1）0、0、5组成三位数只有一个（是500）

（2）1、1、3和2、2、1组成三位数的模式是一样:是把3放在两个1的之间，可以有3个三位

数，2、2、1一样，也可以组成3个三位数。共6个。

（3）2、3、0和1、4、0组成的三位数的模式也是一样的。这时需要注意0不能在百位上，所以是2214（个），所以这种模式下可以组成共8个三位数。

所以，各位数字之和为5的三位数共有16815个。

上面的做题过程严格按照在第一页讲的运用加乘法原理时的步骤来做。

对于上面解题过程中（2）和（3）所用到的方法再细说一下：

（2）：这是用的是“插板法”，但这里插的是“数”不是“板”，因为1、1、3要组成三位数，首先把1、1摆在这里，然后2有三个位置可以放！正如211、121、112。

（3）百位有限制条件，所以百位有两个选择，十位也有两个选择（是因为百位已经占了一位，所以只有两个数字可以放在十位上），个位也就剩下一个选择了。所以是2214（个）。

，要

10支钢笔分给三个同学，

（1）每人至少2支，一共有几种分法？

（2）一位同学至少要分4

只，而其他两位同学至少要分2支，有几种分法？

解：（1）每人至少2只，而我们要用“插板法”来解这个题必须是每人至少1只，需要转化，先给每人11037只，这时我们再使用插板法来做。

如下图所示：7只钢笔要分给三个人，那么只需要分

(1)(2)要两个隔板就可以了！

如图所示：先把第一个板插进去，有6个选择，把第二个板插进去有5个选择，但是我们只需插进去两个板就可以了，与谁先插谁后插没关系，所以就只需一起插就可以了，而第一次插的和第二次插的板所分的情况是一样的，所以共有：65215种分法。

（2）同样道理，先给至少分四只的同学3只，给至少分2只的每人一只，这样还剩下5只钢笔，保证每人至少一只，所以共有4326种分法。

12个停车位，8辆不同的车来停车，空车位必须在一起，有多少种停法？ 解：12个停车位，8辆不同车来停车，有4个停车位，所以，这个是把空车位看成一个整体，共9个物体，做一个全排列！

结果是9!98765432

1（种）停法。

A----B最短路线有几条？

标号法！注意在下图中做出表示的两个数字，这两个地方是

最容易出错的。红“3”和黑“6”

虽说位置有A15B点相似，可

是，道理不一样！ 3691大的黑“6”和大的黑“3”的道理是一样

2的！

1333333（家长在辅导的时候，请指明一下。其他

A1的标号应该没有问题） 1

B

这是因为黑三所标的位置，红三都能一步到达，和标“1”的情况是一样的。需注意。 其他的照着往下计算就可以了。

（家长可以根据学生做的情况对上面的题目进行一些变化，再出一两个类似的图形按照上面

的方法练习一下）让我们一起努力。

加法原理和乘法原理 小学四年级篇七：第二十七讲 加法原理和乘法原理的综合应用

第二十七讲 加法原理和乘法原理的综合应用

温馨提示

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一

类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。

例题精讲

【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

思路点拨：运用加法原理，把组成方法分成三大类：

①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 ②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

【例2】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

思路点拨：一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：

① 9、9、7三个数字可组成3个三位数：997、979、799；

②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789； ③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。

所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。

【例3】下图中共有16个方格，要把A，B,C,D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？

思路点拨：从运用乘法原理，把放棋子的过程分为

三个步骤：

第一步：放棋子A。棋子A可以任意放，有16种放

法。（如下图一）

第二步：放棋子B。棋子B不能放在棋子A所在的

行或列，对应棋子A的每一种放法，棋子B都可以放在剩下的9个方格的任意一格里，有9种放法。（如下图二）

第三步：放棋子C。棋子C不能放在棋子A、B所在的行或列，对应前面的每一种放法，棋子C可以放在剩下的4个方格的任意一格里，有4种放法。（如下图三）

第四步：放棋子D。棋子D不能放在棋子A、B、C所在的行或列，对应前面的每一种放法，棋子D都只有1种放法。（如下图四）

所以，四颗棋子共有不同的放法：16×9×4×1=576（种）

【例4】2003年12月6日0时起，南京市电话号码从7位升至8位。由于特殊需要，电信部门一直有这样的规定：普通市内电话号码的首位数字不使用0，1，

9。升位前南京市普通电话号码的容量为多少门？升位后，南京市内电话号码的容量增加了多少门？

思路点拨：从电话号码由0～9共10个数字组成，数字可以重复使用。

升位前的7位电话号码，首位数字不使用0，1，9，共有7种不同的选择，第二、

三、四、五、六、七位数字都有10种不同选择。总容量为：

7×10×10×10×10×10×10=7000000（门）。

同理可算出，升位后8位电话号码总容量为：

7×10×10×10×10×10×10×10=70000000（门）。

升位后，南京市内电话号码的容量增加了：

70000000－7000000=6300000（门）。

【例5】如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？

思路点拨：涂色的过程可以分为三步。

第一步：给1号长方形涂色，有4种涂法。可以选任意一种颜色。

第二步：给2号长方形涂色，有3种涂法。对于1号长方形每

种不同的涂法，2号长方形都可以在剩下的3种颜色里选任意

一种，即有3种涂法。

所以，前两步1号和2号长方形共有配色方案4个3种：4×3=12（种）。 第三步：给3号、4号长方形涂色。

3号长方形与1号相邻，与2号不相邻，对于1、2号长方形的每一种配色方案，3号长方形都可以选与1号不同的3种颜色，按3号长方形的涂色情况，可把本题的涂法分为两大类：

第一大类，3号长方形选与2号相同的颜色。

3号长方形只有一种涂法，这时4号长方形可以选与2号不同的3种颜色，有3种涂法。

第一类共有不同涂法：12×1×3=36（种）。

第二类，3号长方形选与1、2号都不同的颜色。

3号长方形有2种涂法，这时4号长方形可以选剩下的与2号、3号不同的2种颜色，有2种涂法。

第二类共有不同涂法：12×2×2=48（种）。

所以，这题一共有不同的涂法：36+48=84（种）。

【例6】如下图，要从A点沿线段走到B点，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，问有多少种不同的走法？

思路点拨：如下图，先用字母标出图中的每一个点，

沿右上方向从点A到点B可以分为多步走，而每一步

的走法又可以分为几类，比较复杂，需要重复综合使

用加法原理和乘法原理。

上图中，从右上往左下逐步分析：

因为每一步都是向右、向上或向斜上方，因此每个点

只能经过它左、下或左下方的点到达。

最后一步到达点B的走法有两类：由I到B或由J到

B。A到B的不同走法种数，就等于A到I的走法种数

与A到L的走法种数之和。

此前一步，①到点I的走法有两类：由F到I或由G

到I,走法种数即A到F的走法种数与A到G的走法种数之和；②到点J的走法有三类：分别由I、G或H到J,走法种数即A到I的走法种数、A到G的走法种数与A到H的走法种数之和。

依次类推……

从左下到右上标出点A到每个点的走法种数，逐层解题：

第一层：从A到C、D、E三个点只能向右，都只有1种走法。

第二层：到F点有两类走法，分别由A、C到达，每类都只有一种走法，共2种走法；到G点有三类走法，分别由F、C、D到达，三类走法种数之和为4种；到H点有三类走法，分别由G、D、E到达，三类走法种数之和为6种。

第三层：到I点有两类走法，分别由F、G到达，两类走法种数之和为6种；到J点有三类走法，分别由I、G、H到达，三类走法种数之和为16种。

最后一步到B点有两类走法，分别由I、J到达，两类走法种数之和为22种。 所以，从A到B共有不同的走法22种。

按：类似的复杂路线问题，都可以用这种方法求解。

智慧挑战

1．某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？

2．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？

3. “IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同的涂色方法

4. 老师要求小刚在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数．请问小刚共有多少种不同的写法

5. 书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同．请问：

（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？

（2）如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？

加法原理和乘法原理 小学四年级篇八：加法和乘法原理

一．加法原理和乘法原理

（1）加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。加法原理注重的是做一件事情有几种方法

（2）乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法等于各步方法数的乘积。乘法原理注重的是做一件事情分几步，并且步步相乘.还有找特殊，特殊的往往放第一步。比如0,1 ，2,3组成多少个无重复数字的三位数。我们就把第一步考虑高位，因为高位能是0。。。

（3）在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练地运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。对于一些题目我们需要先分类思考，对于某一类情况中再分步来看，比如我们常举的例子，从北京去广州，先想可以分为直达和中转两大类，应是两类之和，对于中转的情况，又可以看成几步，每步各有几个分支，要求分支之积。还有的时候我们要先想一想步骤，再针对某一步分类讨论。

1. 阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个。他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？

分析：目的：找一个餐厅吃饭。可以找中餐厅，有9种选择；可以找日式餐厅，有3种选择；也可以找西餐厅，有2种选择。找任何一类都可以达成目的，9＋3＋2=14

2. 阿奇进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种。他打算主食与热菜各买一种，

一共有多少种不同的买法？

分析：目的：买主食和热菜。既要买主食，还要买热菜，用乘法。

先买主食，有3种选法，再买热菜，有20种选法，3×20=60（种）

3. 传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，而且按照特定顺序排成一行就会

有神龙出现。邪恶的的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序，请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?

分析：与排队照相相似。确定有7个位置，先确定第一个位置，有7种选法；再确定第二个位置，有6种选法；如此类推，第7个位置只有1种选法。

7×6×5×4×3×2×1=5040

4. “IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上3种不同的颜色，且每

个字母只能涂一种颜色，现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色的搭配？

分析：与上题类似，先确定有3个位置，有5个元素。5×4×3=60

5. 冬冬的书包里有5本不同的语文书，6本不同的数学书，3本不同的英语书，请问：

（1） 如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法？

分析：加法原理（5＋6＋3=14）

（2） 如果从中取出语文书，数学书，英语书各1本，共有多少种不同的取法？

分析：乘法原理（5×6×3=90）

6. 书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同，请问：

（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？

分析：加法（15＋10＋5=30）

（2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？

分析：乘法原理（15×10×5=750）

（3） 如果从从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？

分析：目的：选两本不同类别的书。分为三类：

第一类可以选小说＋漫画组合，需要用乘法原理，先选小说有15种选法，再选漫画有10种选法，一共有15×10=150种；

第二类还可以选小说＋科普书组合，同上，有15×5=75种；

第三类还可以选科普书＋漫画组合，同上，有10×5=50种。

选择任何一类都可以完成任务，用加法原理：（15×10＋10×5＋15×5=275）

7. 一只甲虫沿着图中的方格线从A爬到B，每次只能向右爬一格或向上爬一格。图中画着

黑点的地方不能通过。请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线？

提示：按照标数法步骤来标数，有黑点的地方数字是

8. 有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多

少条？

加法原理和乘法原理 小学四年级篇九：小学四年级奥数教程-加法原理

加法原理和乘法原理 小学四年级篇十：四年级奥数加法和乘法原理家庭作业

新起点培训学校四年级奥数

加法原理与乘法原理 姓名： 家长签字：

1. 墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个。他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？

2. 墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种。他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法？

3. 传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现。邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？

4. 电影院里有10个空座位，萱萱和卡莉娅去看电影，每个人坐一个座位，共有多少种不同的坐法？

5. 用红、黄、蓝三种颜色给图11-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？

6. 用红、黄两种颜色给图11-2中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每种器官必须染相同的颜色，一共有多少种不同的染色方法？

7. 运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛

者只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目。请问： ⑴ 如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？

⑵ 如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？

8. 萱萱的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书。请问：

⑴ 如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法？

⑵ 如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法？

9. 如图11-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3

条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？

10. 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。经过网上查询，出

发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班。他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？

11. “IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且

每个字母只能涂一种颜色。现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”？

12. 老师要求小高在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位

数。小高共有多少种不同的写法？

13. 书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普

书，并且这些书各不相同。请问：

⑴ 如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？

⑵ 如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？

⑶ 如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？

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