初中数学二次函数典型例题

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初中数学二次函数典型例题篇一：初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

解答题：（二次函数与三角形）

1、已知：二次函数y=错误！未找到引用源。x+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣错误！未找到引用源。）． （1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y9轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）．

2（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角

形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E

作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

4

3、如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝2＋bx＋

3c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；

（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使

得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

（二次函数与四边形）4、已知抛物线y

127

xmx2m． 22

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．

（1）填空：OB＝_ ▲ ，OC＝_ ▲ ；

（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，

且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN

的面积取得最大值，并求出这个最大

值．

6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1 ，，B（1 ，，D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若 0） 2）抛物线

yax2bxc经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

7、已知抛物线

yax22ax3a (a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的

顶点．（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（二次函数与圆）

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．

2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

2

9、如图，y关于x的二次函数y=﹣

（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，

图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心

为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0） （1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。

10、已知抛物线yaxbxc的对称轴为直线且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其x2，

中AI(1，0)，C(0，3)．

（1）（3分）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）． ①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。 答案：

1、解：（1）由已知条件得错误！未找到引用源。，（2分） 解得b=﹣错误！未找到引用源。，c=﹣错误！未找到引用源。，∴此二次函数

2

的解析式为y=错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。；（1分）

2

（2）∵错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。x﹣错误！未找到引用源。=0，∴x1=﹣1，x2=3， ∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分） ∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）

∴△EBC的面积=错误！未找到引用源。×4×3=6．（1分）

99

2、（1）∵抛物线的顶点为（1，） ∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x－1) 2＋

22

91

∵抛物线与y轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋＝4 解得a＝－

22

3

2

∴所求抛物线的函数关系式为y＝－( x－1) 2＋

22

17

（2）解：P1 (1，17)，P2 (117)， P3 (1，8)，P4 (1，)，

8

19

（3）解：令－( x－1) 2＋0，解得x1＝－2，x1＝4

22

19

∴抛物线y＝－ x－1) 2＋与x轴的交点为A (－2，0) C (4，0)

22

过点F作FM⊥OB于点M，

MFEBEB2

∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴又 ∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝OC＝

OCABAB3

2111

设E点坐标为 (x，0)，则EB＝4－x，MF＝(4－x) ∴S＝S△BCE－S△BEF＝EB·OC－ EB·MF＝ EB(OC

3222

121281

－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－2＋＋ x－1) 2＋3

2333331

∵a0，∴S有最大值 当x＝1时，S最大值＝3 此时点E的坐标为 (1，0)

3

3、（1）∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，

4

∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y2＋bx＋c得

3

4b＋c＝0b＝－848

3 ∴y2－－4 ∴3 解得33

c＝－4c＝－4

4841616

（2）∵y2－－4 x－1) 2－ ∴顶点为D（1，－）

3333316

设直线DC交x轴于点E 由D（1，－）C (0，－4) 34

易求直线CD的解析式为y＝－－4

3116

易求E（－3，0），B（3，0） S△EDB6×＝16

23

1S△ECA＝×2×4＝4 S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12 2

（3）抛物线的对称轴为x＝－1 做BC的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3 易求AB

的解析式为y3x3

∵D3E是BC的垂直平分线 ∴D3E∥AB 设D3E的解析式为y3x＋b

∵D3E交x轴于（－1，0）代入解析式得b＝－3, ∴y＝－3x－3

把x＝－1代入得y＝0 ∴D3 (－1，0), 过B做BH∥x轴，则BH＝111

在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝ ∴D1（－1，）同理可求其它点的坐标。 可求交点坐标D1（－111＋3）, D2（－1，2）, D3 (－1，0), D4 (－1, 11－3)D5（－1，－22） 4、(1)=m42m

2

127222

m23，∵不管m为何实数，总有===m4m7m4m43

2

m2

2

≥0，∴=m23＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

2

(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3，∴m3， 抛物线的解析式为y

12512

， x3x=x32，顶点C坐标为（3，－2）

222

yx1,

x11x27

解方程组，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵125

yx3xy10y2622

4

，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，x3时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2）

0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，

① 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互

相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形．

② (Ⅰ)设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶

点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3n，2n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，n2）， 又N在抛物线y

125152

x3x上，∴n23n33n， 2222

解得n10（不合题意，舍去），n22，

（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，n6）， 又N在抛物线y

125152

x3x上，∴n63n33

n，

2222

解得n11，n21，

(Ⅱ) 设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线

CD的解析式为x=3n，直线CD与直线y=x－1交于点M（3n，2n），又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），∴D通过向下平移4个单位得到C．

∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，2n）， 又N在抛物线y

125152

x3x上，∴2n3n33n， 2222

解得n10（不合题意，舍去），n22（不合题意，舍去），

（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，∴N坐标为（3n，6n）， 又N在抛物线y

125152

x3x上，∴6n3n33

n，

2222

解得n11n2

1，

综上所述，直线CD向右平移2或（11）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

5、解：（1）OB＝3，OC＝8

（2）连接OD，交OC于点E

1

∵四边形OACD是菱形 ∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4 2∴BE＝4－3＝1 又∵∠BAC＝90°， AECE

∴△ACE∽△BAE ∴＝

BEAE

∴AE2＝BE·CE＝1×4

∴AE＝2

5

初中数学二次函数典型例题篇二：初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

启东教育学科教师辅导讲义

讲义编号：

二次函数试题

论：①抛物线y

121

x1是由抛物线yx2怎样移动得到的？ 221122

②抛物线y(x1)是由抛物线yx怎样移动得到的？

221122

③抛物线y(x1)1是由抛物线yx1怎样移动得到的？

221122

④抛物线y(x1)1是由抛物线y(x1)怎样移动得到的？

221122

⑤抛物线y(x1)1是由抛物线yx怎样移动得到的？

22

选择题：1、y=(m-2)xm2- m 是关于x的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m不存在

2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系

B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系

1

C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系

4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2

1

5、抛物线y= x2-6x+24的顶点坐标是（ ）

2

A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6）

6、已知函数y=ax

2+bx+c,

①abc〈０ ②a

＋c〈b ③ a+b+c 〉０ ④

A １ B ２ C ３ D ４

7、函数y=ax2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，0），则

abc

= = 的值是（ ） bcacab

11

A -1 B 1 C D -

22

8、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）

二填空题：

13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2＋2mx＋m上的点的坐标是————————————。

16、若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝２，最小值为－２，则关于方程ax2+bx+c＝－２的根为—

———————————。

17、抛物线y=（k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k＝————————— 解答题：（二次函数与三角形）

1、已知：二次函数y=x+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．

2

（1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y9轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）．

2（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角

2

形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记

△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

4

3、如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝2＋bx＋

3

c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；

（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使

得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（二次函数与四边形）4、已知抛物线y

127xmx2m． 22

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

3

5、如图，抛物线y＝mx－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且

∠BAC＝90°．

（1）填空：OB＝_ ▲ ，OC＝_ ▲ ；

（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，

且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC

0） 2）的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1 ，，B（1 ，，D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若

抛物线

yax2bxc经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

7、已知抛物线

，与y轴交于点C，点D为抛物线的yax2

2ax3a (a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）

4

顶点．（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（二次函数与圆）

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．

2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

9、如图，y关于x的二次函数y=﹣

（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，

图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0） （1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。

5

初中数学二次函数典型例题篇三：初中数学《二次函数》 典型题 (附答案)

27．1 二次函数 假期同步练习

班级______ 姓名_______ 检测时间 45分钟 总分 100分 分数_____

新课标基础训练（每小题5分，共15分）

1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）

A．x+y2-1=0 B．y=（x+1）（x-1）-x2

C．

．2（x-1）2+3y-2=0

2．若函数y=（m2+m）xm22m1 是二次函数，那么m的值是（ ）

A．2 B．-1或3 C．3 D．-1

3．满足函数y=x2-4x-4的一个点是（ ）

A．（4，4） B．（3，-1） C．（-2，-8） D．（-1

新课标能力训练（满分40分）

4．（学科内综合）（10分）写出下列各函数关系式，并判断是否是二次函数？

（1）两直角边的和为40cm，其中一条直角边长为xcm，直角三角形的面积是Scm2，写出S和x之间的函数关系式；

（2）写出圆面积S与半径r之间的函数关系式；

（3）写出正方形面积y与边长x之间的函数关系式；

（4）圆的周长c与半径r之间的函数关系式．

5．（学科间综合）（10分）一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，•通过仪器观察到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：

写出用t表示s的函数关系式．

117，） 24

6．（应用题）（10分）矩形窗户的周长为6m，写出窗户面积y（m2）与窗户的宽x（m）•之间的函数关系式，并判断它是否是二次函数，且求出自变量x的取值范围．

7．（创新情景题）（10分）将一个边长为a（a为常数）的正方形，•四周剪去四个边长为x的小正方形，如图所示，则正方形剩余部分的面积为y．

请你写出y与x之间的函数关系式，并说明y与x之间是怎样的函数关系式．

a

x

新课标拓展训练（满分27分）

8．（创新实践题）（10分）菱形ABCD的较小内角为60°，若这个菱形的边长为xcm，•这个菱形的面积为ycm2，那么请你写出y与x之间的函数关系式；•若这个菱形中较小的内角为45°，那么请你写出此时y与x之间的函数关系式．

9．（自主探索题）（10分）某商场将进货单价为40元的裤子按50元每件出售时，•每月能卖出500件，已知该商场裤子每涨价1元，其月销售量就将减少10件，•若这种裤子的售价为x元/件，该裤子每月获得的利润为y元，请你写出y与x之间的函数关系式．

10．（开放题）（7分）请你根据现实生活中的实例自编一道有关二次函数关系式的应用题．

新课标理念中考题（满分18分）

11．（2004²黄冈）（10分）心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，•中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，•学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：

t224t100,(0t10) y=240,(10t20)

7t380.(20t40)

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，•何时学生的注意力更集中？

（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

27．1 二次函数（答案）

1．D 2．C 3．D

4．解：（1）S=-

函数．

5．解：s=2t2．

6．解：y=-x2+3x，是二次函数，x的取值范围是0<x<3．

7．解：y=a2-4x2，y是x的二次函数．

8．解：

12x+20x；（2）S=r2；（3）y=x2；（4）c=2r；（1）（2）（3）是二次函数，（4）不是二次222x；

x． 9．解：y=（x-40）[500-10（x-50）]，即y=-10x2+1 400x-40 000．

10．略．

11．解：（1）当t=5时，y=195；当t=25时，y=205．

∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．

（2）当0<t≤10时，令y=-t2+24t+100=180，∴t=4．

当20<t≤40时，令y=-7t+380=180，∴t=28.57．

∴学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57（分钟）．

∴老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

点拨：解与分段函数有关的问题时，要特别注意自变量的取值范围，•不同的自变量取值范围对应的函数不同．

初中数学二次函数典型例题篇四：初中数学二次函数经典综合大题练习卷

1、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于另一点C，顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；

（3）如图9（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

经过A（-1，0）、B（0，3）两点，

2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元）

图① 图②

（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投

资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

3、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点

从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿个单位每秒速度运动，运动时间为．求： （1）的坐标为 ；

方向以

（2）当为何值时，与相似？

（3）求的最大值．

的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及

4、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为

，顶点C,D在第一象限．点P从点

A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点

的坐标．

（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点使∠OPQ=90°的点

有 个．

沿着这两边运动时，

5、如图，在梯形动点度沿

中，

方向向点

厘米，运动，动点

厘米，从点

的坡度

从出发以2厘米/秒的速度沿

方向向点

出发以3厘米/秒的速

运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点

也随之停止．设动点运动的时间为秒． （1）求边

的长；

（2）当为何值时，与相互平分；

（3）连结值是多少？

设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大

6、已知抛物线轴相交于

（

两点，并且与直线

）与轴相交于点

相交于点

.

，顶点为.直线分别与

轴，

(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

(2)如图，将连结

沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，

，求的值和四边形的面积；

(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，求出

点的坐标；若不存在，试说明理由.

7、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D． (1)确定A.C.D三点的坐标；

(2)求过B.C.D三点的抛物线的解析式；

(3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M.N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．

(4)当＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．

8、如图，直线AB过点A(m,0)，B(0,n)(m>0,n>0)反比例函数的图象与AB交于C，D两点，P为双曲线题。

(1)若m+n=10，当n为何值时

的面积最大?最大是多少?

一点，过P作

轴于Q，

轴于R，请分别按(1)(2)(3)各自的要求解答闷

(2)若，求n的值：

(3)在(2)的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少

?

9、已知A1、A2、A3

是抛物线直线A2B2交线段A1A3于点C。

上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，

（1） 如图1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。

（2）如图2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，

其他条件不变，求线段CA2的长。

初中数学二次函数典型例题篇五：【人教版】初中数学九年级知识点总结：26二次函数和经典题型(附答案)

【人教版】初中数学九年级知识点总结:26二次函数 摘要：二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．在讲解内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。

一、知识框架

四、知识点、概念总结 1.二次函数：一般的，形如y=ax+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。右边是整式，且自变量的最高次数是2。

2.二次函数的解析式三种形式。

一般式 y=ax+bx+c(a≠0)

顶点式 ya(xh)2k 2 2

b24acb2

ya(x )2a4a

交点式 ya(xx1)(xx2)

3.二次函数图像与性质 对称轴：xb 2a

b4acb2

顶点坐标：(,)2a4a，

与y轴交点坐标（0，c）

4.增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小

5.二次函数图像画法：

勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x轴交点 ○5与y轴交点

6.图像平移步骤

（1）配方 ya(xh)2k，确定顶点（h,k）

（2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减

7.二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴xx1x2 2

8.根据图像判断a,b,c的符号

a ——开口方向 9. 求根公式

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b±(√(b-4ac)]/2a

(即一元二次方程求根公式）

求根的方法还有因式分解法和配方法

二次函数与X轴交点的情况

当△=b-4ac>0时， 函数图像与x轴有两个交点。

当△=b-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。 222

当△=b2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

10. 决定对称轴位置的因素

A, 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

B, 当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

C, 当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

D, 可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a 与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。

11. 二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax+bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根。 抛物线y=ax+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax+bx+c=0 b24ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点； b24ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点； b24ac<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点 2 2 2 2

12. 如何学习二次函数

(1)要理解函数的意义。

（2）要记住函数的几个表达形式，注意区分。

（3）一般式,顶点式，交点式等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。

（4）联系实际对函数图像的理解。

（5）计算时，看图像时切记取值范围。

（6）随图像理解数字的变换。

１.（正问题）抛物线y＝x＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）

A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.（简单的反问题）已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（

C ）

Ａ．ab＞0

，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0

2

第２,３题图 第4题图

３. （简单的反问题）二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） 2

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

4.抛物线yx2x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ．

5.已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为2yx2b10xc.

求：若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式； 解：（1）yx10或yx4x6 22

b10b216b100 将,)，由题意得（0，b)代入，得cb.顶点坐标为(24

b10b216b100，解得b110,b26. 2b24

8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为5,3,4．求此二次函数的解析式；

解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,

a(2)2b(2)c5c3a1则a02b0c3,即2ab4 ,解得b2

ab1c3abc4

故所求的解析式为:yx22x3.

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?

⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

第9题

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的，它的体温从最低上升到最高需

要12小时。⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃。⑶y

12x2x2410x22 16

初中数学二次函数典型例题篇六：初中数学基础知识及典型例题

综合知识讲解

第一章 应知应会知识点

2.1 代数篇

一 数与式

（一）有理数

1 有理数的分类

2 数轴的定义与应用

3 相反数

4 倒数

5 绝对值

6 有理数的大小比较

7 有理数的运算

（二）实数

8 实数的分类

9 实数的运算

10 科学记数法

11 近似数与有效数字

12 平方根与算术根和立方根

13 非负数

14 零指数次幂 负指数次幂

（三)代数式

15 代数式 代数式的值

16 列代数式

（四）整式

17 整式的分类

18 整式的加减 乘除的运算

19 幂的有关运算性质

20 乘法公式

21 因式分解

（五）分式

22 分式的定义

23 分式的基本性质

24 分式的运算

（六）二次根式

25 二次根式的意义

26 根式的基本性质

27 根式的运算

二 方程和不等式

（一）一元一次方程

28 方程 方程的解的有关定义

29 一元一次的定义

30 一元一次方程的解法

31 列方程解应用题的一般步骤

（二）二元一次方程

32 二元一次方程的定义

33 二元一次方程组的定义

34 二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法）

35 二元一次方程组的应用

（三）一元二次方程

36 一元二次方程的定义

37 一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法） 38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式

39 一元二次方程的应用

（四）分式方程

40 分式方程的定义

41 分式方程的解法（转化为整式方程 检验）

42 分式方程的增根的定义

43 分式方程的应用

（五）不等式和不等式组

44 不等式（组）的有关定义

45 不等式的基本性质

46 一元一次不等式的解法

47 一元一次不等式组的解法

48 一元一次不等式（组）的应用

三 函数

（一）位置的确定与平面直角坐标系

49 位置的确定

50 坐标变换

51 平面直角坐标系内点的特征

52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置

53 对称问题：P(x,y)→Q(x,- y）关于x轴对称

P(x,y)→Q(- x,y)关于y轴对称

P(x,y)→Q(- x,- y)关于原点对称

54 变量 自变量 因变量 函数的定义

55 函数自变量 因变量的取值范围（使式子有意义的条件

56 函数的图象：变量的变化趋势描述

（二）一次函数与正比例函数

57 一次函数的定义与正比例函数的定义

58 一次函数的图象：直线，画法

59 一次函数的性质（增减性）

60 一次函数y=kx+b(k≠0)中k b符号与图象位置

61 待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）

62 一次函数的平移问题

图象法）

63 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系（图象法）

64 一次函数的实际应用

65 一次函数的综合应用

（1）一次函数与方程综合

（2）一次函数与其它函数综合

（3）一次函数与不等式的综合

（4）一次函数与几何综合

（三）反比例函数

66 反比例函数的定义

67 反比例函数解析式的确定

68 反比例函数的图象：双曲线

69 反比例函数的性质（增减性质）

70 反比例函数的实际应用

71 反比例函数的综合应用（四个方面 面积问题）

（四）二次函数

72 二次函数的定义

73 二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）

74 二次函数解析式的确定（待定系数法）

75 二次函数的图象：抛物线 画法（五点法）

76 二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）

77 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a b c △与特殊式子的符号与图象位置关系

78 求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值

79 二次函数的交点问题

80 二次函数的对称问题

81 二次函数的最值问题（实际应用）

82 二次函数的平移问题

83 二次函数的实际应用

84 二次函数的综合应用

（1）二次函数与方程综合

（2）二次函数与其它函数综合

（3）二次函数与不等式的综合

（4）二次函数与几何综合

2.2 几何篇

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行

10 内错角相等 两直线平行

11 同旁内角互补 两直线行

12 两直线平行 同位角相等

13 两直线平行 内错角相等

14 两直线平行 同旁内角互补

15 三角形两边的和大于第三边

16 三角形两边的差小于第三边

17 三角形三个内角的和等180°

18 直角三角形的两个锐角互余

19 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边 对应角相等

22 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)

初中数学二次函数典型例题篇七：二次函数典型例题解析与习题训练

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初中数学二次函数典型例题篇八：初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a， c可以为零．二次函数的 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，

定义域是全体实数．

2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. yax2c的性质： 上加下减。

3. yaxh的性质：

左加右减。

2

4. yaxhk的性质：

2

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k； ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数yaxh与 xbx的比较ckya2

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得b4acb2b4acb2

到前者，即yax，其中h，． k

2a4a2a4a

2

2

2

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b

1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为．

2a4a2a

当x当x

b

时，y随x的增大而减小； 2a

b

时，y随x的增大而增大； 2a

b4acb2

当x时，y有最小值．

2a4a

b4acb2bb

2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，

．当x

2a4a2a2a

4acb2bb

． y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式（交点式）：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为0对称轴为y轴） 3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，其中的x1，x2是一元二

次方程ax2bxc0a0的两根．. ② 当0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2' 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数yx4x7的顶点坐标是( )

2

A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y2x向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

2

A. y2(x1)2 B. y2(x1)2 C. y2x21 D. 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次

函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限 7.方程的正根的个数为（ ）

A.0个 B.1个 C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. B. C. 或 D. 或

二、填空题

9．二次函数的对称轴是，则_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12．抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,). (1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

2

第15题图

初中数学二次函数典型例题篇九：初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答

初中数学二次函数存在性问题总复习试题

1． (10北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 

m125m

xxm23m

44

与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。

(1) 求点B的坐标；

(2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时，C点、D点也随之运动)

 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求 OP的长；

 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1一

点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止

运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF

到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q

点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分

别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。 答案：解：(1) ∵拋物线y= m2=2，

由题意知m1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y= 物线

y= 

m125m

xxm23m2经过原点，∴m23m2=0，解得m1=1，

44

125

xx，∵点B(2，n)在拋42

125

xx上，∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。 42

(2)  设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为

y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的 坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为 (a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求 得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得

1591122(3a)23a，即a2a=0，解得a1=，a2=0 42429

22

(舍去)，∴OP=。

9

2a= 

点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= 

 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2xb，由点A(10，0)，

1

x5，当P点运动到t秒时，两个等2

腰

直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三

角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，

12

∴t4t2t=10，∴t=

10。 7

第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三

角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=102t，∵F点在

直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t2t2t=10，∴t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、

AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t2t=10，∴t=

题意的

10

。综上，符合3

1010

t值分别为

，2， 。

2．（10湖北黄冈）已知抛物线

yax2bxc(a0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物

线上一点P（x，y）向直线y(1）求字母a，b，c的值；

(2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

(3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求

出t值，若不存在请说明理由.

5

作垂线，垂足为

M，连FM（如图）. 4

34

答案：（1）a＝－1，b＝2，c＝0

(2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.

13

1此时，MP＝，横坐标为1

4

(3）不存在.因为当t＜

55

，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，44

PM与PN不可能相等.

3．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

(1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； (2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

(3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

(4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此．．

时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

答案：（1）

∴A（0，4），B（6，(

∵A，B，C三点与M

(2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为yax2bxc， ∵抛物线过点A（0，4），

∴c4．则抛物线关系式为yaxbx4． 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

2

36a6b44，



64a8b40．

14

1a，4解得 b3．2

所求抛物线关系式为：y

123

xx4． 42

(3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．

∴S四边形EFGBS梯形ABCOS△AGFS△EOFS△BEC  

1111

OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

2222

1111

4（68）m(4m)m(8m)4m 2222

2

m8m28 ( 0＜m＜4）

∵S(m4)212． ∴当m4时，S的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． (4

）当m2GB=GF，当m2时，BE=BG．

4．已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． (1）求这个函数关系式；

2

(2）如图所示，设二次函数y=ax+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上．．的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；

(3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物

线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

答案：解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共

1

当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共41

∴函数的解析式为：y=x+1 或`y= x2+x+1……

4

(2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．

2

∵y=ax+x+1 是二次函数，由（11

y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y4

坐标为A（0，1）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO

∴Rt△PCB∽Rt△BOA

∴PCBC，故PC=2BC，设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，

OB

AO

15

∴∠PBO是钝角，∴x<-2

∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)

11

∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1解之得：x1=-2，x2=-10

44

2

∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)(3）点M不在抛物线y=ax+x+1 上由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ

1

∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE

2

∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB

1

∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =

2

816

CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE= ，QE=

55

1816

∴Q点的坐标为(- ，)

55

1432

可求得M点的坐标为( ， )

55

1141414432∵2+()+1 =≠ 4552552

∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax+x+1 上

5．（10重庆潼南）如图, 已知抛物线y

12

xbxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、2

B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；

(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积

最大时，求点D的坐标；

(3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，

若不存在，说明理由.

1

答案：解：（1）∵二次函数yx2bxc2

22bc0

∴

c1

解得： b=－

1

c=－1 2

121

xx1 22

∴二次函数的解析式为y

(2）设点D的坐标为（m，0） (0＜m＜2）∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得，

ADDE

 AOOC

2mDE

 212m∴DE=

2

∴

16

26题图

初中数学二次函数典型例题篇十：初中数学二次函数技巧试题答案超级全

I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^

2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式

①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k

③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化：

①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a

②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

2012中考数学精选例题解析：一次函数（1）

知识考点：

掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题：

【例1】二次函数yaxbxc的图像如图所示，那么

2

abc、b24ac、2ab、

4a2bc这四个代数式中，值为正的有（ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

b

＜1 2a

∴2ab＞0

解析：∵x答案：A

评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判

2

例1图

定b的符号，由抛物线与y

轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b4ac的符号，若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定2ab、abc、abc的符号。

【例2】已知abc0，a≠0，把抛物线yaxbxc向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由abc0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为ya(x2)，则原抛物线的解析式为ya(x25)1，又易知原抛物线过点（1，0）

∴0a(125)1，解得a∴原抛物线的解析式为：y

2

2

2

2

1 4

1

(x3)21 4

评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新：

【问题】已知，抛物线ya(xt1)t（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线

2

2

yx22x1的顶点是B。

（1）判断点A是否在抛物线yx2x1上，为什么？

（2）如果抛物线ya(xt1)t经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

解析：（1）抛物线ya(xt1)t的顶点A（t1，

2

2

2

22

t2），而xt1当时，

问题图

yx22x1(x1)2(x11)2＝t2，所以点A在抛物线yx22x1上。

（2）①顶点B（1，0），a(1t1)t0，∵t0，∴a1；②设抛物线ya(xt1)t与x轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（2t1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，t1(t1)，解得t1或t0（舍）；当点C在点B的右边时，。故t1。 t2(t1)1，解得t1或t0（舍）

评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练： 一、选择题：

1、二次函数yaxbxc的图像如图所示，OA＝ ①abc＜0； ②4acb； ③acb1； ④2ab0；

2

2

2

2

2

2

2

OC，则下列结论：

c

⑤OAOB；

a

⑥4a2bc0。其中正确的有（ ）

2

第1

题图

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

2、二次函数yxbxc的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为yx2x1，则b与c分别等于（ ）

A、6、4 B、－8、14

C、4、6 D、－8、－14

3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高h4，D为交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，△DEF数图像大致是（ ）

E

2

BDC

BC上一点，EF∥BC交AB于E，

的面积为y，那么y关于x的函

第3题图

A B C D

3题图 2

4、若抛物线yax与四条直线x1，x2，y1，y2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是（ ）

A、

1111

≤a≤1 B、≤a≤2 C、≤a≤1 D、≤a≤2 4224

2

5、如图，一次函数ykxb与二次函数yaxbxc的大致图像是（ ）

A B C D 二、填空题：

1、若抛物线y(m1)x2mx3m2的最低点在x轴上，则m的值为。

2、二次函数y4xmx5，当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大。则当x1时，y的值是 。

3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。

4、已知抛物线y(m2)x4mxn的对称轴是x2，且它的最高点在直线y为 ，n＝ 。 三、解答题：

1、已知函数yx(m2)xm的图像过点（－1，15），设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且

22

2

2

2

1

x1上，则它的顶点2

SABC1，求点C的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3

2

O12

3、抛物线yx，yx和直线xa（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB＝900。

2

（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式； （2）为使直线y

O

2xb与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合？

2

4、如图，抛物线yax4axt与x轴的一个交点为A（－1，0）。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：BCDDC 二、填空题：

1、2；2、－7；3、y三、解答题：

1、C（32，1）或（32，1）、（3，－1） 2、（1）S

1

（2，2），n2； (x2)21；4、

2

12

（2）10月；（3）5.5万元 t2t；

2

x；（2）－3≤b≤0 4

2

2

3、（1）y

4、（1）B（－3，0）；（2）yx4x3或yx4x3； （3）在抛物线的对称轴上存在点P（－2，

1

），使△APE的周长最小。 2

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