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初中数学二次函数例题篇一:2014初中数学二次函数练习题(含答案)
1.抛物线y=x+3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.抛物线y=-3x+2x-1的图象与x轴、y轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
3.已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图1所示,则有( ) A.a>0,b>0 B.a>0,c>0 C.b>0,c>0 D.a、b、c都小于0
22
2
yyC
x
A
x
4.若抛物线y=ax-6x
经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
5.如图2所示,二次函数y=x-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.3 D.1
2
6.(2010年北京崇文区) 函数y=x-2x-2的图象如右图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )
A.1x3 B.1x3 C.x1或x3 D.x1或x3
2
7.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,反比例函数y=
2
2
a
与正比例函数y=(b+c)x在同一坐标系中的大致图象x
可能是( )
A. B. C. D.
8.(2010江苏泰州,5,3分)下列函数中,y随x增大而增大的是( )
A.y
3112
B. yx5 C. yx D. yx(x0) x22
2
9.二次函数y=ax+bx+c的图象如图3所示,那么abc,b-4ac,2a+b,a+b+c 这四个代数式中,值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2
10.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b与y=ax+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )
2
yA
2
yy
B
y
11.二次函数y=2x- 4x+ 3 通过配方化为顶点式为y= _________, 其对称轴是______,顶点坐标为_______,抛物线开口________,当x_______时,y随x 的增大而增大;当x____时,y随x的增大而减小;当x=______时,y最值=________.
12.已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为___________.
13.若二次函数y=ax+bx+c的图象经过点(0,-1),(5,-1), 则它的对称轴方程是________. 14.在同一坐标系内,抛物线y=ax与直线y=2x+b相交于A、B两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B的坐标是_________.
15.将抛物线y=ax向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.
16.若抛物线y=ax+bx+c经过(0,1)和(2,-3)两点,且开口向下,对称轴在y 轴左侧,则a的取值范围是_________.
2
17.已知抛物线y =ax +bx +c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_______________.
222
18.函数y=2x – 4x – 1写成y = a(x –h) +k的形式是________,抛物线y=2x – 4x – 1的顶点坐标是_______,对称轴是__________.
19.已知函数①y=x+1,②y=-2x+x.函数____(填序号)有最小值,当x=____时,该函数的最小值是_______
20.当m=_________时,函数y = (m -4)xm
2
2
2
2
2
2
2
22
m4
(m3)x + 3是二次函数,其解析式
是__________________,图象的对称轴是_______________,顶点是________,当x =______时, y有最____值_______.
21.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交.请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:___________
22.抛物线yaxbxc如右图所示,则它关于y
析式是__________.
1、(2010年宁波市)如图,已知二次函数y
2
12
xbx2
的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点。 (1)求这个二次函数的解析式
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,
第20题
1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A. 10.B
2
11.2(x-1)+1;直线x=1;(1,1);向上;x>1;x<1;1;1
2
12.y=-3x-12x-9 13.x=
52
14.(0,0) 15.y=-4x+16x-13 16.-1<a<0 2
17.y =
125x2x 22
2
18.y = 2(x –1) –3 , (1,-3), x = 1
19.①,0,1
2
20. 3 , y=5x+3 ,y轴(或x=0) ,(0,3) x=0时y有最小值3
2
21.y =-x –2x + 3 (满足条件即可)
2
22. y=x+4x+3
1.连结BA、BC,求△ABC的面积。 【关键词】二次函数 【答案】解:(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入y
12
xbxc 2
22bc0
c6
b4解得
c6
得:
12
x4x6 2
4
(2)∵该抛物线对称轴为直线x4
12()
2
∴这个二次函数的解析式为y∴点C的坐标为(4,0)
∴ACOCOA422 ∴SABC
11
ACOB266 22
初中数学二次函数例题篇二:初中数学二次函数综合题及答案
第五讲 第六讲 二次函数试题
论:①抛物线y
②抛物线y③抛物线y④抛物线y⑤抛物线y
1212121212
x1是由抛物线y
2
2
12
x怎样移动得到的? 12
x怎样移动得到的? 121212
x1怎样移动得到的? (x1)怎样移动得到的? x怎样移动得到的?
2
2
2
2
2
(x1)是由抛物线y
2
(x1)1是由抛物线y(x1)1是由抛物线y(x1)1是由抛物线y
22
选择题:1、y=(m-2)xm2- m 是关于x的二次函数,则m=( ) A -1 B 2 C -1或2 D m不存在
2、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是( ) A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系
4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2)+2 B y=—( x+2)+2 C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2 5、抛物线y=
12
22
2
x-6x+24的顶点坐标是( )
A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6)
6、已知函数y=ax
2+bx+c,
①abc〈0 ②a
+c〈b ③ a+b+c 〉0 ④ A 1 B 2 C 3 D 4 7、函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0),则
abc
bac
cab
12
= = 的值是( )
D -12
A -1 B 1 C
8、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( )
x
二填空题:
13、无论m为任何实数,总在抛物线y=x2+2mx+m上的点的坐标是————————————。
16、若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,最小值为-2,则关于方程ax2+bx+c=-2的根
为————————————。 17、抛物线y=(k+1)x2+k2-9开口向下,且经过原点,则k=—————————
解答题:(二次函数与三角形)
1、已知:二次函数y=x2+bx+c,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,﹣).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧),请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E,使△EBC的面积最大,并求出最大面积.
2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y9轴交于点C (0,4),顶点为(1,).
2(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角
形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标.
(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E
作EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
4
3、如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=x2+bx+
3
c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B. (1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;
(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N.问在x轴上是否存在点P,使
得△PMN是等腰直角三角形?如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(二次函数与四边形)4、已知抛物线y
12
xmx2m
2
72
.
(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
5、如图,抛物线y=mx2-11mx+24m (m<0) 与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),抛物线另有一点A在第一象限内,
且∠BAC=90°.
(1)填空:OB=_ ▲ ,OC=_ ▲ ;
(2)连接OA,将△OAC沿x轴翻折后得△ODC,当四边形OACD是菱形时,求此时抛物线的解析式;
(3)如图2,设垂直于x轴的直线l:x=n与(2)中所求的抛物线交于点M,与CD交于点N,若直线l 沿
x轴方向左右平移,
且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时,试探究:当n为何值时,四边形AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大值.
6、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是
0) 2)BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(1 ,,B(1 ,,D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平
移到ON.若抛物线yaxbxc经过点D、M、N. (1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?并求出最大值.
2
7、已知抛物线yax2ax3a (a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标;
(2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式;
(3)在第(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2
(二次函数与圆)
8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.
2)若过点A(﹣1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式. 3)点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.
9、如图,y关于x的二次函数y=﹣
(x+m)(x﹣3m)图象的顶点为M,
图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆,圆心为C.定点E的坐标为(﹣3,0),连接ED.(m>0) (1)写出A、B、D三点的坐标;
(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系; (3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。
2
10、已知抛物线yaxbxc的对称轴为直线x2,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中
AI(1,0),C(0,3). (1)(3分)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A). ①(4分)如图l.当△PBC面积与△ABC面积相等时.求点P的坐标;
②(5分)如图2.当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式。
初中数学二次函数例题篇三:初中数学二次函数技巧试题答案超级全
I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式:y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2;+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0). (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^
2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量,y是x的函数 二次函数的三种表达式
①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化:
①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
2012中考数学精选例题解析:一次函数(1)
知识考点:
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律;会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题:
【例1】二次函数yaxbxc的图像如图所示,那么
2
abc、b24ac、2ab、
4a2bc这四个代数式中,值为正的有( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
b
<1 2a
∴2ab>0
解析:∵x答案:A
评注:由抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴的位置判
2
例1图
定b的符号,由抛物线与y
轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b4ac的符号,若x轴标出了1和-1,则结合函数值可判定2ab、abc、abc的符号。
【例2】已知abc0,a≠0,把抛物线yaxbxc向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。
分析:①由abc0可知:原抛物线的图像经过点(1,0);②新抛物线向右平移5个单位,再向上平移1个单位即得原抛物线。
解:可设新抛物线的解析式为ya(x2),则原抛物线的解析式为ya(x25)1,又易知原抛物线过点(1,0)
∴0a(125)1,解得a∴原抛物线的解析式为:y
2
2
2
2
1 4
1
(x3)21 4
评注:解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系,以及所对应的解析式间的联系,并注意逆向思维的应用。
另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有:①开口反向(或旋转1800),此时顶点坐标不变,只是a反号;②两抛物线关于x轴对称,此时顶点关于x轴对称,a反号;③两抛物线关于y轴对称,此时顶点关于y轴对称; 探索与创新:
【问题】已知,抛物线ya(xt1)t(a、t是常数且不等于零)的顶点是A,如图所示,抛物线
2
2
yx22x1的顶点是B。
(1)判断点A是否在抛物线yx2x1上,为什么?
(2)如果抛物线ya(xt1)t经过点B,①求a的值;②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形?若能,求出它的值;若不能,请说明理由。
解析:(1)抛物线ya(xt1)t的顶点A(t1,
2
2
2
22
t2),而xt1当时,
问题图
yx22x1(x1)2(x11)2=t2,所以点A在抛物线yx22x1上。
(2)①顶点B(1,0),a(1t1)t0,∵t0,∴a1;②设抛物线ya(xt1)t与x轴的另一交点为C,∴B(1,0),C(2t1,0),由抛物线的对称性可知,△ABC为等腰直角三角形,过A作AD⊥x轴于D,则AD=BD。当点C在点B的左边时,t1(t1),解得t1或t0(舍);当点C在点B的右边时,。故t1。 t2(t1)1,解得t1或t0(舍)
评注:若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时,它必是等腰直角三角形,常用其“斜边上的中线(高)等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练: 一、选择题:
1、二次函数yaxbxc的图像如图所示,OA= ①abc<0; ②4acb; ③acb1; ④2ab0;
2
2
2
2
2
2
2
OC,则下列结论:
c
⑤OAOB;
a
⑥4a2bc0。其中正确的有( )
2
第1
题图
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2、二次函数yxbxc的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到函数图像的解析式为yx2x1,则b与c分别等于( )
A、6、4 B、-8、14
C、4、6 D、-8、-14
3、如图,已知△ABC中,BC=8,BC边上的高h4,D为交AC于F(EF不过A、B),设E到BC的距离为x,△DEF数图像大致是( )
E
2
BDC
BC上一点,EF∥BC交AB于E,
的面积为y,那么y关于x的函
第3题图
A B C D
3题图 2
4、若抛物线yax与四条直线x1,x2,y1,y2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是( )
A、
1111
≤a≤1 B、≤a≤2 C、≤a≤1 D、≤a≤2 4224
2
5、如图,一次函数ykxb与二次函数yaxbxc的大致图像是( )
A B C D 二、填空题:
1、若抛物线y(m1)x2mx3m2的最低点在x轴上,则m的值为。
2、二次函数y4xmx5,当x2时,y随x的增大而减小;当x2时,y随x的增大而增大。则当x1时,y的值是 。
3、已知二次函数的图像过点(0,3),图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴,向下平移1个单位后与x轴只有一个交点,则此二次函数的解析式为 。
4、已知抛物线y(m2)x4mxn的对称轴是x2,且它的最高点在直线y为 ,n= 。 三、解答题:
1、已知函数yx(m2)xm的图像过点(-1,15),设其图像与x轴交于点A、B,点C在图像上,且
22
2
2
2
1
x1上,则它的顶点2
SABC1,求点C的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)。根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3
2
O12
3、抛物线yx,yx和直线xa(a>0)分别交于A、B两点,已知∠AOB=900。
2
(1)求过原点O,把△AOB面积两等分的直线解析式; (2)为使直线y
O
2xb与线段AB相交,那么b值应是怎样的范围才适合?
2
4、如图,抛物线yax4axt与x轴的一个交点为A(-1,0)。
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
参考答案
一、选择题:BCDDC 二、填空题:
1、2;2、-7;3、y三、解答题:
1、C(32,1)或(32,1)、(3,-1) 2、(1)S
1
(2,2),n2; (x2)21;4、
2
12
(2)10月;(3)5.5万元 t2t;
2
x;(2)-3≤b≤0 4
2
2
3、(1)y
4、(1)B(-3,0);(2)yx4x3或yx4x3; (3)在抛物线的对称轴上存在点P(-2,
1
),使△APE的周长最小。 2
初中数学二次函数例题篇四:初中数学 二次函数 习题及解析
默认标题 - 2011年8月2日
一、选择题(共8小题)
1、下列函数中,不是二次函数的是( )
2A、y=1﹣ x B、y=2(x﹣1)+4 D、y=(x﹣2)﹣x 222C、y=(x﹣1)(x+4) 12、下列函数
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