零点习题类型及答案

导读：　零点习题类型及答案篇一：零点问题的类型及解决方法 ...

本文是中国招生考试网（www.chinazhaokao.com）成考报名频道为大家整理的《零点习题类型及答案》，供大家学习参考。

零点习题类型及答案篇一：零点问题的类型及解决方法

２０１４年３月备考指南

试究

零点问题的类型及解决方法

⑩江苏省江都中学梁建

纵观近几年全国各省市的高考题，很多涉及了函数零点问题，且这部分知识往往渗透于综合题中，对思维能力有很高的要求，如何准确、快速地解决这类问题呢？本文对这类题做简单的分析，望读者批评指正．

题型三：函数交点个数的证明——通过换

元转化为一个函数图像零点的个数

当函数ｙ欹算）与ｙ－ｇ（石）的交点个数不易直接求解

题型一：函数零点所在区间的判断——利

用零点存在性定理判断零点所在区间

利用零点存在性定理时，函数ｙ＝“算）在区间［ｎ，６］上的图像必须是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号

时，可以转化为八戈）－ｇ（ｘ）的零点个数．

例３（２０１３年陕西高考题）已知函数八戈）＝ｅ。，ｘ∈Ｒ，

１

证明：曲线ｙ舐戈）与曲线ｙ＝÷茗２＋ｘ＋１有唯一的公共点．

Ｚ

相反，即八口抓６）＜ｏ，则在区间（ｏ，６）内，函数厂（戈）至少有

一个零点．即相应的方程厂（ｘ）＝０在区间（口，６）上至少有一个实数解．

例１

证明；曲蝴ｚ）＝ｅ１，戈∈Ｒ与ｙ＝÷石２慨＋ｌ公共点的个

Ｚ

１

１

数等价于函数妒（戈）＝ｅ１一÷戈２叫一ｌ零点的个数

Ｚ

（２０１３年重庆高考题）若ｏ＜６＜ｃ，则函数厂（ｚ）＝

（ｘ—ｎ）（ｚ一６）＋（工一６）（ｚ—ｃ）＋（戈一口）（ｚ—ｃ）的两个零点分另０位于区间

解：因为厂（ｎ）＝（Ⅱ一６）（Ⅱ一ｃ）＞０，厂（６）＝（６一ｃ）（６一ｏ）＜０，八ｃ）＝（ｃ—ｏ）（ｃ一６）＞０，且八戈）是二次函数，所以函数厂Ｉ戈）＝（戈一ｎ）（ｚ一６）＋（石一６）（戈一ｃ）＋（戈一口）（戈一ｃ）的两个零点分另０位于区间（ｏ，６）、（６，ｃ）．

点评：运用零点存在性定理判断零点所在区间．必须结合端点函数值的符号和单调性．

因为妒（０）＝１一ｌ＝０，所以妒（戈）存在零点石＝Ｏ．

妒’（ｚ）＝ｅ。叫一ｌ，令＾（ｘ）＝妒７（ｚ）＝ｅＬ省一ｌ，贝０＾７（ｚ）＝ｅ。一１．当戈＜０时，＾’（ｘ）＜０，所以＾（ｚ）＝ｐ’（ｚ）＝ｅ。叫一１在（一∞，０）上单调递减；

当工＞０时，＾’（戈）＞０，所以＾（ｘ）＝妒’（戈）＝ｅｘ叫一１在（０，＋∞）上单调递增．

因此＾（戈）＝妒’（ｚ）＝∥叫一ｌ在ｚ＝ｏ时有唯一的极小值

＾（０）邓’（０）＝ｌ—ｌ＝０，即＾（菇）邓’（戈）＝ｅ。叫一１在Ｒ上的最小

值为０．

从而９’（戈）＝ｅ。叫一１≥０（当且仅当戈＝０时等号成立）．

１

题型二：函数零点个数的判断——通过转

化、利用数形结合求零点的个数

例２方程２１＋ｘ２＝３的实数解的个数为

１

于是妒（ｘ）＝ｅＬ÷戈～一１在Ｒ上单调递增，因此妒（戈）＝

Ｚ

ｅ１一÷ｘ２叫一ｌ在Ｒ上有唯一的零点．故曲线），欹戈）与曲线

二

１

解：可将问题转化成（告）ｋ一茏ｚ＋３的解的个数

邻戈）：（÷）一，ｇ（ｚ）：。＋３，从

而将原题转化成函数ｙ瓠石），ｙ髫（戈）

的交点个数，如图ｌ所示．

由图可知原方程有两个解．

点问题来解决．

图ｌ

ｙ＝÷戈１嘣＋Ｉ有唯一的公共点．

Ｚ

点评：本题要证明指数函数与二次函数的交点个数

问题，可把函数交点问题转化为函数零点问题．利用函

数的单调性及零点存在性定理来解决．探讨函数ｙ钒ｚ）

与ｙ＿ｇ（ｚ）图像的交点问题时，常可以通过构造函数妒（ｚ）可（戈）－ｇ（ｘ），研究函数妒（ｘ）的性质（单调性、极值点）来

确定零点个数．

点评：将函数的零点问题转化为两个函数图像的交

万方数据

高中版中’７毒《：・？一壬凄囊敏曹暑露

考试研究

备考指南

２０１４年３月

题型四、复合函数的零点个数问题——通

过换元转化为两个函数图像交点的个数

围是

解：函数八戈）＝ｅ。一ｈ＋口有零点ｊ方程ｅ。一数＋ｎ＝０有实

根ｊ方程萨一冉氖有实根．

若复合函数，，舐ｇ（戈））不易具体化或简化，分析它的

零点个数时，常常通过整体换元转化为方程厂（ｔ）＝０与ｆ＝

令＾（戈）＝一ｅ。＋２戈＝亭＾’（戈）＝（一ｅ。＋２暂）’＝一ｅ。＋２．令＾’（戈）＞０ｊ—ｅｚ＋２＞０ｊ∥＜ｅ№ｊ并＜ｌｎ２．所以＾（戈）＝一ｅｘ＋氖在（一∞，ｌｎ２）上单调递增．同理，＾（ｚ）＝一Ｆ＋ｈ在（１ｎ２，＋∞）上单调递减．ｚ—｝一∞时，＾（ｘ）＝一ｅ１＋２ｒ—＋一∞．所以＾（戈）≤＾（１ｎ２）＝一２＋２ｌｎ２．所以口≤一２＋２ｌｎ２．

点评：本题为处理含参数的复杂函数厂（戈）＝分一致＋ｎ有零点问题，我们将函数厂（ｘ）＝ｒ一氖＋ｎ的零点问题转化为方程ｅｘ—ｈ＋０＝０根的问题．通过分离变量的方法将参数与未知数分开变为ｎ＝一ｒ＋数．从而将方程ｅ。一及＋ｎ＝０根的

问题转化为存在戈∈Ｒ．使得ｏ＝一∥＋氖成立的一个存在性问题进行处理．

ｇ（ｚ）的根的个数，再进一步转化为函数ｙ甙￡）的零点个

数以及直线产ｆ与，，书（茗）图像交点的个数．

例４（２０１２年江苏高考题）若函数ｙ瓠算）在ｘ剐赴取

得极大值或极小值，则称戈。为函数ｙ瓠茗）的极值点．已知

Ⅱ、６是实数，１和一ｌ是函数只戈）≈３＋僦２＋缸的两个极值点．

（１）求Ⅱ和６的值；

（２）设函数ｇ（ｚ）的导函数ｇ’（ｘ）钒戈）＋２，求ｇ（戈）的极

值点；

（３）设矗（ｚ）酬“石））一ｃ，其中ｃ“一２，２］，求函数ｙ＝

＾（戈）的零点个数．

解：（１）庐０，６＝一３．

（２）ｇ（戈）的极值点是戈＝一２．

（３）当＾（ｚ）＝厂（厂（戈））一ｃ＝０时，所得戈的值为函数ｙ＝＾（戈）的零点．

令￡可（戈），将方掰（厂（戈））＝ｃ等价转化彬（￡）＝ｃ，

题型六：高次函数的零点个数——利用求

导解决

例６（２０１３年安徽高考题）若函数八ｚ）≈３＋似２＋缸＋ｃ有极值点戈。、孙且／（ｚ。）础。，则关于戈的方程３（厂（戈））２＋２砜戈）＋６＝ｏ的不同实数根的个数是

解：由已知函数“戈）剐３＋似２＋６石＋ｃ有极值点冤¨２，所以方程厂’（石）＝３戈２＋２似＋６＝０的两根分别是ｚ。、％故要使关于ｚ的方程３（及石））２＋２砜ｚ）＋６＝０成立，只要厂（ｚ）≈，或八戈）＝戈，又八戈。）础，，因此当戈。是极大值点时，戈。屯：：八ｚ）≈。有两个

ｆ酬ｘ）．

由导数知识很容易画出“ｘ）≈３—３戈的图像（如图２），

且：，（一２）三八１）＝一２以一１）三八２）＝２．

Ｊ

．八夭石）＿√》占

／

７

！ｙ

／

”：Ｖ’２

图２

①当ｃ＝一２时，由厂（ｚ）的图像知厂（￡）＝ｃ有两个解ｆ。＝１、

根戈。、‰：八ｚ）≈２仅有一个枫，（如图３）；当ｚ。是极小值点时，

ｘ。Ⅺ：。厂（石）≈。有两个根戈。、‰。八戈）≈２ｆ又有一个根石，（如图４）．

＿＿Ｌ

￡：＝一２（即直线ｙ＝ｃ与ｙ酬￡）的图像有两个交点）．再看￡＝八ｚ），当￡取￡ｌ－１时，直线ｙ＝ｌ与ｙ引ｚ）的图像有３个交点；当

ｔ取ｆ２＿一２时，直线ｙ＝一２与，，轵戈）的图像有２个交点，故此时

方程八“戈））＝ｃ共有５个不同的解．

②当ｃ＝２时，由八互）的图像知八ｆ）＝ｃ有两个解￡，＝２、￡。＝

一５

●ｌ

一１（即直线，，＝ｃ与ｙ瓠￡）的图像有两个交点）．再看ｆ钒戈），当￡取￡，＝２时，直线ｙ＝２与＿ｙ轵ｚ）的图像有２个交点；当￡取ｔ。＝一１时，直线ｙ＝一ｌ与，，轵ｘ）的图像有３个交点，故此时方

程““ｚ））＝ｃ共有５个不同的解．

５。

图３图４

③当一２＜ｃ＜２时，由只ｘ）的图像知八￡）＝ｃ有三个不同的

综上所述：关于ｚ的方程３（八戈））２＋２矾ｚ）＋６＝０的不同

实数根的个数是３．

点评：本题是以三次函数的极值点为载体，与复合

函数的零点问题结合．解决此类问题，首先分清复合函数的内外层次．可以由外向里一层一层研究下去，分步求解层叠的零点，必要时作出图像，帮助理解．

解蠢ｋ、￡，，满足训＜２，扛５、６、７．再看ｆ瓠石），当￡分别取ｔ５、ｆ。、￡７时，ｙ＝ｆ，，ｙ＝￡。，＿ｙ＝ｆ，这三条平行于旃由的直线与ｙ舒戈）的图

像各有３个交点，故此时方程八八戈））＝ｃ共有９个不同的解．

综上：当ｌｃｌ＝２时，函数ｙ＝＾（戈）有５个零点；当ＩｃＩ＜２时，函数ｙ＝＾（菇）有９个零点．

题型五：据零点求参数——利用分离变量

处理

例５已知函数厂（戈）＝ｅ。一氩＋Ⅱ有零点，则口的取值范

总之，函数零点问题越来越受高考命题者的青睐．要想解决这类问题，我们不仅需要具备扎实的基础知识和熟练的变形技巧，而且更需要具备灵活的思维，不断

地变换角度，化难为易，化繁为简．困圈

豳曩黧十。７擞－７高中版

万方数据

零点习题类型及答案篇二：高中 零点函数经典习题 及答案解析(必修1)

零点函数

1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，

∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.

2

x )

A.(－1,0) C．(1,2) D．(2,3)

解析：选C.设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)2x＋2x－3，x≤03．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝的零点个数为( －2＋lnx，x＞0

A．0 B．1

C．2 D．3

2解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1＝

舍去x2＝－3；当x＞0时，

由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)，故选C.

4．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．

222，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，

ax的零点是( )

( )

0 x－1 x＞0x－1 x＜0

25．函数y＝loga(x＋1)＋x－2(0＜a＜1)的零点的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．无法确定

1－6．设函数y＝x3与y＝)x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( ) 2

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

7．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．

8．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．

k b 1 . c o m

9．下列说法正确的有________：

①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．

②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．

③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.

④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．

10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．

111．判断方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？ 2

12x22(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，

(1)

1；

1，一根小于1.

零点习题类型及答案篇三：方程的根与函数的零点练习题及答案解析

方程的根与函数的零点练习题及答案解析

王学忠 山东省临沂市沂水县第一中学

教材版本：《普通高中课程标准实验教科书·数学1·必修·A版》，人民教育出版社，2007年1月第二版

课 题： 3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

【知识与技能】了解函数零点的概念，理解方程的根与函数的零点的关系；理解图象连续的函数存在零点的判定方法，并能进行简单的应用。

【过程与方法】在探究方程的根与函数的零点的关系，图象连续的函数存在零点的判定方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

【情感态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，培养学生的辨证思维。

教学重点：方程的根与函数的零点的关系；图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。 教学难点：图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。

教具准备：直尺 Powerpoint 2003课件 几何画板4.07课件

学具准备：计算器

教学方法：问题探究法

教学过程设计：

一、创设情境：

问题引入：求方程3x25x10的实数根。 变式：求方程3x55x10的实数根。 数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果，1824年挪威年仅22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。五次以上的高次方程不能用代数运算来求解，我们就必须寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过对数学史的讲解，培养学生学习数学的兴趣，开门见山地提出利用函数思想解决方程根的问题。

二、新知探究：

1．零点的概念：

问题1：求方程x22x30的实数根，并画出函数yx22x3的图象。

1，3具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这个函数的函数值为0，它又是函数图象与x轴两个交点的横坐标。这样1，3就把函数与方程联系到一起了，在方程里，1，3叫做方程的实数根，在函数里，它能够使得函数值为0，我们就称它为函数的零点。

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）。

设计意图：以学生熟悉一元二次方程和二次函数图象为平台，观察方程和函数形式上的联系，得出函数零点的概念。

问题2：求函数yx22x1和函数yx22x3的零点。

结论：函数yf(x)的零点是个实数，是方程f(x)0实数根，是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标（学生可能认为零点是个点，在这里要强调）。

问题3：探究一元二次方程ax2bxc0(a0)的实数根和对应的二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点及图象与x轴交点的关系。（填下面表格）

结论：方程f(x)0有实数根x0函数yf

(x)的图象与x轴有交点(x0,0)函数yf(x)有零点x0。

设计意图：通过对一般形式一元二次方程和对应的二次函数的研究，进一步理解方程的根与函数的零点的关系。

练习：

1．求下列函数的零点：

（1）y2x

3 （2）y2x1 （3）yx38

2．已知函数yf(x)的图象如下图所示，则函数yf(x)的零点为＿＿＿＿＿＿。

答案：1．（1）3

2 （2）0 （3）2 2．2,1,3。

设计意图：通过练习，使学生进一步理解函数零点的概念，强调求函数的零点可转化为求方程的根或求函数图象与x轴的交点。

2．函数零点的判定：

问题4：观察下列两组画面，请你推断一下在他的徒步行程中是否一定趟过这条小溪？

（1）

（2）

第（1）组说明他的徒步行程中一定趟过这条小溪，第（2）组中不一定趟过这条小溪。

问题5：满足什么条件，才能使函数yf(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))间的图象与x轴一定有交点？

将小溪抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。如何用数学符号（式子）来表示？ f(a)f(b)0。

并且函数图象必须是一条连续不断的曲线。

设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，整体与局部的关系。将现实生活中的问题抽象成数学模型，由图形语言转化为数学语言，培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。

问题6：观察二次函数f(x)x22x3的图象，在区间[2,1]上，函数值f(2)和f(1)的积与0的大小关系如何？函数f(x)x22x3在(2,1)是否存在零点？

在区间[2,1]上，f(2)f(1)0，函数在区间(2,1)上存在零点1。

问题7：观察二次函数f(x)x22x3的图象，在区间[1,4]上，函数值f(1)和f(4)的积与0的大小关系如何？函数f(x)x22x3在(1,4)是否存在零点？

在区间[1,4]上，f(1)f(4)0，函数在区间(1,4)上存在零点3。

设计意图：通过对二次函数图象的分析，进一步探究函数在某个区间上存在零点的条件。 通过以上探究，让学生自己概括出对于一般的函数yf(x)在区间[a,b]上满足什么条件就存在零点？

零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。

（1）函数图象连续不断，端点函数值异号，函数一定存在（至少有一个）零点。 问题9：若函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，一定有f(a)f(b)0吗？

不一定，如f(x)x22x3，可以发现在区间[2,4]上有零点，但f(2)f(4)0。

（2）函数存在零点，端点函数值不一定异号。

设计意图：使学生准确理解零点存在性定理，强调结论不能随便改动。

三、新知应用与深化：

例1 观察下表，分析函数f(x)3x55x1在定义域内是否存在零点？

分析：函数f(x)3x55x1图象是连续不断的，又因为f(0)f(1)0，所以在区间(0,1)上必存在零点。我们还可以通过几何画板作图帮助了解零点大致的情况。

设计意图：初步应用定理来判断函数零点存在问题。引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x,f(x)的对应值表，来寻找函数值异号的区间；还可以借助几何画板作出函数的图象分析零点问题，并对函数有一个零点形成直观认识，为例2判断函数零点的个数作好准备。

例2 求函数f(x)lnx2x6的零点个数。

分析：用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表和图象。

由表可知，f(2)0,f(3)0，则f(2)f(3)0，说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点。 结合函数f(x)的单调性，进而说明f(x)的零点仅有一个。

结论：图象连续的单调函数若存在零点，则零点唯一。

设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性判断零点的个数问题。

四、达标检测：

1．已知函数f(x)图像是连续不断的，且有如下对应值表：

则函数至少有零点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．设x0是方程lnxx40的根，则x0在下列哪个区间内 ( )

A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)

3．已知函数f(x)3ax1在(0,1)上有零点，则a的取值范围是___________。

4．若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则loga25b2___________。

5．方程ex1x40的根有_______个。

答案：1．C 2．B 3．a1

3 4．38 5．1

五、课堂小结：

通引导让学生回顾零点概念，方程的根与函数零点的关系，以及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，然后老师从数学思想方面进行总结。

六、课后作业：

课本P88练习1、2 P92习题3.1 A组1、2

七、下节预告：

我们已经可以利用求根公式来求一些方程的根，对于没有公式解的方程，我们借助函数的零点能估计方程的根所处的大体区间，能不能求出方程的根呢？这就是我们下节课学习的内容――用二分法求方程的近似解。

教学反思：

本节课在新课标理念的指导下，本着“教师的主导地位与学生的主体地位相统一”的教学原则下组织本节教学。采用问题探究式的教学方法并配以多媒体辅助教学，通过教师的点拨，启发学生主动思考、动手操作来达到对知识的发现和接受，并形成初步的应用技能。在教学过程中充分遵循学生的认知规律，在生活事例的引领下，进入新知识的学习，直观情境又在学生积极思考的过程中激发学生的学习热情和探究欲望。通过学生自主、合作、探究，在探索与交流中解决问题，形成自己对本节课重难点的理解和掌握。课堂练习和例题，由浅入深，承上启下，各有侧重，不但突出了本节课的重点内容，而且让学生体会运用函数性质及其图像来解题的重要数学思想。教学环节层层深入，环环相扣，充分体现了师生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考、层层递进，亲历了知识的形成和发展过程。

教学过程中的出现的几个问题：

1．在探求函数零点存在性定理时，学生提出满足条件也不一定存在零点，如图所示：

注意：这不是函数图象。

2．例2还可以看作是两个函数的交点问题。如：函数ylnx与y2x6。因为联立方程组ylnx

y2x6 ,消去y，得到lnx2x6即lnx2x60,故函数

ylnx2x6的零点也是两函数图象交点的横坐标。这样将未知函数图象转化为已知函数图象问题，进一步加强数形结合思想的应用意识。

3．在目前高考不允许使用计算器的情况下，可提醒学生学会利用估算来确定函数值的大小。如例2中计算：f(2)ln22lne210，f(3)ln3lne10。

4．为了说明“图象连续的单调函数若存在零点，则零点唯一”，给出的两个例题中函数都只有一个零点，但防止给学生一种“函数至多有一个零点”的错误认识。如：课本练习P88 2

（4）就有三个零点。

零点习题类型及答案篇四：方程的根与函数的零点习题精选及答案解析(必修1)

1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，

∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.

2

x( )

A.(－1,0) C．(1,2) D．(2,3)

x

解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.

2x＋2x－3，x≤0

3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝的零点个数为( )

－2＋lnx，x＞0

A．0 B．1 C．2 D．3

2

解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.

4．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．

解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.

答案：0和2

1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )

1

A．0,2 B．0，－2

11

C．0， D．222

解析：选B.由题意知2a＋b＝0，

∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，

1

使g(x)＝0，则x＝0或－.

2

2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.

2

3．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )

x

A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e,3)

2

解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln30，

3

∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点． 4．下列函数不存在零点的是( )

1

A．y＝x－ B．y2x－x－1

xx＋1 x≤0x＋1 x≥0C．y＝ D．y＝ x－1 x＞0x－1 x＜0

1

解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；

2

只有D中函数无零点．

5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定

2

解析：选C.令loga(x＋1)＋x－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．

1－

6．设函数y＝x3与y＝()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )

2

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

1－

解析：选B.设f(x)＝x3－()x2，

2

1－1－1

则f(0)＝0－(2<0；f(1)＝1－1<0；f(2)＝23－0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．

222

2

7．函数f(x)＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，

2a

由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，

a

故x＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－3 8．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，

5a－1≥05a－1≤0，1所以或解得a≥或a≤－1.

5a＋1≥0a＋1≤0，

1

答案：a≥或a≤－1. X k b 1 . c o m

5

9．下列说法正确的有________：

①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．

②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．

③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.

④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点． 解析：①错，如图．

②错，应有三个零点．

③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.

④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.

答案：③④

10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围． 解：设f(x)＝x2－2ax＋a. 由题意知：f(0)·f(1)＜0，

即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况． a＞0，a＜0，或 1－a＜0，1－a＞0，∴a＜0或a＞1.

1

11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[1]内有没有实数根？为什么？

2

解：设f(x)＝log2x＋x2，

11113

∵f(＝log2＋()2＝－1＋＜0，

22244

11

f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴ff(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]上是连续

22

11

的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间[1]内有实根．

22

2

12．已知关于x的方程ax－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时， (1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；

(3)方程的一根大于1，一根小于1. 解：(1)因为方程有一正一负两根，

a－1＜0

所以由根与系数的关系得a，

Δ＝12a＋4＞0

解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．

(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，

a＞0

Δ＞0

所以必须满足a＋1

＞1af1＞0

Δ＞0

，或a＋1

1af1＜0

a＜0

，不等式组无解．

所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.

法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0， x1－1x2－1＞0即 x－1＋x－1＞012

x1x2－x1＋x2＋1＞0⇒. x1＋x2＞2

所以2a＋1

a＞2

a－12a＋1

1＞0aa

a＜0

⇒，不等式组无解． a＞0

即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.

(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，

a＞0a＜0

所以必须满足或，解得a＞0.

f1＜0f1＞0

∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.

零点习题类型及答案篇五：函数与零点练习题

函数与零点

基础回顾：

零点、根、交点的区别

零点存在性定理：f（x）是连续函数；f（a）f（b）<0 二分法思想：零点存在性定理 一、基础知识—零点问题

1．若函数yf(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A．若f(a)f(b)0，不存在实数c(a,b)使得f(c)0；

B．若f(a)f(b)0，存在且只存在一个实数c(a,b)使得f(c)0； C．若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a,b)使得f(c)0； D．若f(a)f(b)0，有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)0；

2．已知f(x)唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下面命题错误的是

（ ）

A．函数f(x)在（1，2）或[2，3]内有零点 B．函数f(x)在（3，5）内无零点 C．函数f(x)在（2，5）内有零点 D．函数f(x)在（2，4）内不一定有零点 3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是

（ ）

A．“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在[a,b]内的所有零点得到 B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到yf(x)在[a,b]内的零点 C．应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在[a,b]内有可能无零点 D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)0在[a,b]内的精确解 4． 通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（ ）

1○2○3 B．○2○3○4 C．○1○2○4 D．○1○3○4 A．○

3

f(x)2x3x1零点的个数为 5． 求

（ ） （ ）

6．已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x)0

A．有且仅有一个根 C．至少有一个根

A．1 B．2 C．3 D．4 B．至多有一个根 D．以上结论都不对

（ ）

B．越大，零点的精确度越低 D．重复计算次数与无关

7．对于“二分法”求得的近似解，精确度说法正确的是

A．越大，零点的精确度越高 C．重复计算次数就是

8．设函数yf(x)的图象在[a,b]上连续，若满足 ，方程f(x)0在[a,b]上有

3x2.5，那

9．用“二分法”求方程x2x50在区间[2，3]内的实根，取区间中点为0

实根.

么下一个有根的区间是 .

10．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解11．已知函数f(x)图象是连续的，有如下表格，判断函数在那几个区间上有零点.

二、利用图象法解零点问题

x2+2x-3,x0

1. 函数（的零点个数为 ( C ) fx)=

-2+lnx,x>0

A．0

B．1

C．2

D．3

x

2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)e2，则f(x)的零点个数是个.

变式1：设偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x∈[0,1]时，f(x)x，则关于x的方程f(x)()在区间[0,3]上解的个数有2:方程lgx10的根的个数是3:已知0a1,函数f(x)ax|logax|的零点个数为4．已知x1是方程lgx+x=3的解，

x

18

x

x2

是10x3 的解，求x1

xx2

1

D．3

D．0

（ ）

3

A．2 2

B．3

C．3

C．1

5．方程lgxx0根的个数

A．无穷多 6．函数

2



f(x)|x4|

a

（ ）

B．3

(x4)，若函数y(x4)

f(x)2有3个零点，则实数a的值为（ C ）

C．2

D．不存在

A．－2 B．－4

三、解方程法——数型结合 1.函数cosx在[0，+∞）内 （ B ）

A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点

变式:函数

A.0 B.1 C.2 D.3

在区间内的零点个数是( B )

2.函数f（x）=ex2 的零点所在的一个区间是( C )

A.（-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）

x

3.函数f(x)=23x的零点所在的一个区间是( B )

x

A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2） 变式:若x0是方程式lgxx2的解，则x0属于区间（ D ）

A.（0，1）. B.（1，1.25）. C.（1.25，1.75） D.（1.75，2） 4.函数f(x)|x2|lnx在定义域内的零点的个数为（ C ）

A．0

B．1

C．2

D．3

变式:1.已知函数f(x)logaxxb(a0,a1),当2a3b4时,函数f(x)的零点

x0(n,n1),nN,则n的值为( B )

A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知x是函数f(x)=2+

x

1

的一个零点.若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+），则( B ) 1x

A.f(x1)＜0，f(x2)＜0 B.f(x1)＜0，f(x2)＞0C.f(x1)＞0，f(x2)＜0 D.f(x1)＞0，f(x2)＞0

3.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x[0,1]时, f(x)x,则函数

yf(x)log3|x|的零点个数是(B )

A.5 B.4 C.3 D.2

log2x1,x0

fx2gx2x,x0，4．已知函数若函数

xfxm有三个零点，则实数m

的取值范围是(0,1) .

5.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x[0,1]时, f(x)x,则函数

yf(x)log3|x|的零点个数是(B )

A.5 B.4 C.3 D.2

零点习题类型及答案篇六：函数零点习题

函数零点习题

一． 选择题

1．函数 f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是：

A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是

A -2，2 B 2 C -2 D 不存在

3.函数f(x)=x2+27/x的零点是

A -3 B -1/3 C 3 D 1/3

4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1<a<1 D 0≤a<1

5.若函数f(x)=ax2+2x-4没有零点，则实数a的取值范围是

A a<-1/4 B a>-1/4 C a≥-1/4 D a≤-1/4

6.二次函数y=ax2+bx+c,若ac>0则函数的零点的个数是

A 0 B 1 C 2 D 无法确定

7．已知二次函数y=ax2+bx+c，x∈R的部分对应值如下表：

不求a、b、c的值，可以判断方程的两根所在的区间分别是

A（-3，-2）（2，4）B（-2，0）（1，3）C（-3，-1）（-1，1）D（-∞，-3），（4，∞）

8． 函数y=lnx+2x-6的零点一定在下列哪个区间

A (1,2) B (2,3) C (3,4) D (5,6)

9.函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是

A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5

二．填空题

10．已知函数f9x)=x2-1则函数f(x+2)的零点是------------

11．方程x2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x0=2.5，下一个有根区间是-------------

12．若函数f(x)=ax+b的零点是-3则函数g(x)=bx2-ax的零点是--------

三．解答题

13．已知二次函数f(x)的二次项系数是a且不等式f(x).>-2x的解集是（1，3）。若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求方程f(x)+2a=0的根

14.设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间

[0，7]上只有f(1)=f(3)=0

（1）试判断函数f(x)的奇偶性

(2)试求f(x)在区间[-2009，2009]上的根的个数，并证明你的结论

零点习题类型及答案篇七：函数的零点练习题

函数的零点练习

1、函数fx

4x4,

2

x1

x4x3,x1

的图象和函数gxlog2x的图象的交点个数是

A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间（ ）

11

A., 84

11

B., 42

1

C.,1 2



D.(1,2)

3、数fx的零点与gx4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则fx可以是（ ）

A. fx4x1 B. fx(x1)2 C. fxex1 D.f(x)ln(x)

2

1

1

x

1

4．若x0是方程()x3的解，则x0属于区间（ ）

2

23



1223

1132



13

A．,1 . B．, . C．, D．0, 5．若x0是方程式lgxx2的解，则x0属于区间（ ）

A．（0，1）. B．（1，1.25）. C．（1.25，1.75） D．（1.75，2） 6．函数fx2x3x的零点所在的一个区间是（ ）

A．2,1 B．1,0 C．0,1 D．1,2 7．函数fxexx2的零点所在的一个区间是（ ）

A．2,1 B．1,0 C．0,1 D．1,2 8．设函数f(x)4sin(2x1)x,则

f(x)不存在零点的是

A．4,2 B．2,0 C．0,2 D．2,4 9．已知x0是函数fx2x

11x

的一个零点，若x11,x0，x2x0,，则

A．fx10，fx20 B．fx10，fx20

C．fx10，fx20 D．fx10，fx20

4x4， x≤1，x4x3，x1

2

10．函数f(x)是（ ）

的图象和函数g(x)log2x的图象的交点个数

A．4 B．3 C．2 D．1

x22x3,x0

11．函数fx的零点个数为（ ）

2lnx,x0

A．0 B．1 C．2 D．3

12、函数

cosx在[0，+∞）内 （ ）

（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 （C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点

13.设m，k为整数，方程mx2kx20在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为

（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13 14、若函数

f(x)a

x

xa (a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围

是

15、方程 9x63x70的解是. 16、已知函数yf(x)和yg(x)在[2,2]的图象如下所示：

给出下列四个命题：

①方程f[g(x)]0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]0有且仅有3个根 ③方程f[f(x)]0有且仅有5个根 ④方程g[g(x)]0有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.

17、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1x2x3x4_________.

18．已知函数

2

x2,

若关于f(x)x

(x1)3,x2

x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，

则数k的取值范围是_______

19．方程2xx23的实数解的个数为

20．若函数fxaxxaa0.a1有两个零点，则实数a的取值范围是 。

21．直线y＝1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是 22．已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点．

（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若直线yb与函数yf(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．

23．设函数f(x)x3

92

x6xa

2

（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值； （2）若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围

24．设函数f(x)

13

xx(m

3

2

2

1)x,(xR,)其中m0

（Ⅰ）当m1时，曲线yf(x)在点（1，f（1））处的切线斜率； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

零点习题类型及答案篇八：零点专项练习题1

方程的根与函数的零点

1．函数f(x)x24x1的零点为（ ）

A

、1 B

、1 C

、1 D、不存在 2．函数f(x)x33x22x的零点个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

3. 函数f(x)lnx2x6的零点一定位于区间（ ）.

A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)

4. 求证方程3x

2x在(0,1)内必有一个实数根. x1

5. （1）若方程2ax210在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是.

（2）已知函数f(x)3mx4，若在[2,0]上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是 .

6. 已知关于x的方程x＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，2

求实数m的取值范围．

7. 已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.

(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.

8. 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2,如图所

示，求证:b<0.

1.C 2.D

3.易知函数f(x)在定义域(0,)内是增函数.

∵f(1)ln12640，f(2)ln246ln220，

f(3)ln366ln30.

∴ f(2)f(3)0，即函数f(x)的零点在区间(2,3). 所以选B.

2x4. 证明：设函数f(x)3x. 由函数的单调性定义，可以证出函数f(x)在(1,)是x1

减函数.

150，即f(0)f(1)0，说明函数f(x)在区间22

2x(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程3x在(0,1)内必有一个实数根. x1而f(0)30210，f(1)31

点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程3x2x

x1的实根个数.

5. 解：（1）设函数f(x)2ax21，由题意可知，函数f(x)在(0,1)内恰有一个零点.

1. 2

（2）∵在[2,0]上存在x0，使f(x0)0， 则f(2)f(0)0，

2∴ (6m4)(4)0，解得m. 3

2 所以， 实数m的取值范围是(,]. 3 ∴ f(0)f(1)1(2a1)0， 解得a

点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式

2f(x)x2mx2m3有图像特征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）6. 解：令

内需满足的条件是

35m14解得。 

7. 因为函数f(x)=|x-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程2

|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.

解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.

(1)若函数有两个零点，则a=0或a

>4.

(2)若函数有三个零点，则a=4.

(3)函数有四个零点,则0<a<4.

8.证：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0. 所以a=b2bb,c=b.所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2). 3333当x<0时，f(x)<0，所以b<0.

证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).

当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0.

零点习题类型及答案篇九：函数零点经典习题

函数零点例题

1.函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间（ ）

11A., 84

1

x

11

B., 42

1

C. ,1 2



D.(1,2)

2.若x0是方程()x3的解，则x0属于区间（ ）

2

23



1223

1132



13

1

A． ,1 . B．, . C．, D．0, 3.函数f(x)lnxA．(1,2)

2x

的零点所在的大致区间是（ ）

C．(1,和(3,4)

e1

B．(2,3) D．(e,)

4.函数f(x)x33x5的零点所在的区间为————————————。

5.利用函数的图象，指出函数fx2xln(x2)3零点所在的大致区间。 6.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）x27x120；（2）lgx2x2=0 （3）13xx30；（4）3x1lnx0。 7.函数fx

4x4,

2

x1

x4x3,x1

的图象和函数gxlog2x的图象的交点个数是x22x3,x0

8.函数fx的零点个数为2lnx,x0

9.无论m取哪个实数值，函数yx23x2m(x)的零点个数都是2

3

10.若函数

f(x)a

x

xa (a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围

是 11.已知函数

2

x2,

若关于f(x)x

(x1)3,x2

x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，

则数k的取值范围是_______

12.关于x的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题；

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根。 其中假命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 13.函数

lg|x2|(x2)

f (x）＝

1(x2)

若关于x的方程［f (x)］2＋b·f (x)＋C

＝0，恰有3个不同的实数解x1、x2、x3，则f (x1＋x2＋x3）等于（ ） A、0 B、1 C、lg4 D、lg2

14.设、分别是方程log2xx40和2xx40的根，则＋＝15.已知函数

2x1

f(x)

f(x1)

(x0)(x0)

，若方程f(x)xa有且只有两个不相等

的实数根，则实数a的取值范围是( ) A .(,0]B．(,1) C．[0,1] D．0,

lgx1

16.设定义域为R的函数f(x)

0

(x1)(x1)

,则关于x的

17.方程f2(x)bf(x)c0有7个不同的实数根的充要条件是( )

Ａ．b0,c0 Ｃ．b0,c0

Ｂ．b0,c0 Ｄ．b0,c0

18.已知函数yf(x)和yg(x)在[2,2]的图象如下所示：

给出下列四个命题：

①方程f[g(x)]0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]0有且仅有3个根 ③方程f[f(x)]0有且仅有5个根 ④方程g[g(x)]0有且仅有4个根

其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.

零点习题类型及答案篇十：零点习题课

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