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北师大版八年级上册数学勾股定理测试题
第一章 勾股定理检测题
本检测题满分:100分,时间:90分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 在△ 中, , , ,则该三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来
的( )
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
3.下列说法中正确的是( )
A.已知 是三角形的三边,则
B.在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方
C.在R t△ 中,∠ °,所以
D.在Rt△ 中,∠ °,所以
4.如图,已知正方形 的面积为144,正方形 的面积为169时,那么正方形 的面积为( )
A.313 B.144 C.169 D.25
5.如图,在Rt△ 中,∠ °, cm, cm,则其斜边上的高为( )
A.6 cm B.8.5 cm C. cm D. cm
6.下列满足条件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三内角之比为 B.三边长的平方之比为
C.三边长之比为 D.三内角之比为
7.如图,在△ 中,∠ °, , ,点 在 上,且 , ,则 的长 为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.如图,一圆柱高8 cm,底面半径为 cm,一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食,要爬行的最短路程是( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
9.如果一个三角形的三边长 满足 ,则这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
10.在△ 中,三边长满足 ,则互余的一对角是( )
A.∠ 与∠ B.∠ 与∠ C.∠ 与∠ D.∠ 、∠ 、∠
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.已知两条线段的长分别为5 cm、12 cm ,当第三条线段长为________时,这三条线段可以构成一个直角三角形.
12.在△ 中, cm, cm, ⊥ 于点 ,则 _______.
13.在△ 中,若三边长分别为9、 12、15,则以两个这样的三角形拼
成的长方形的面积为__________.
14. 如图,在Rt△ 中, , 平分 ,交 于点 ,且 , ,则点 到 的距离是________.
15.有一组勾股数,知道其中的两个数分别是17和8,则第三个数
是 .
16. 若一个直角三 角形的一条直角边长是 ,另一条直角边长比斜边
长短 ,则该直角三角形的斜边长为 ________.
17.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形 的面积之和为___________cm2.
18.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐 角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了__ ______步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草.
三、解答题(共46 分)
19.(6分)若△ 三边长满足下列条件,判断△ 是不是直角三角形,若是,请说明哪个角是直角.
(1) ;
(2) .
20.(6分)在△ 中, , , . 若 ,如 图①,根据勾股定理,则 .若△ 不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想 与 的关系,并证明你的结论.
21.(6分)若三角形的三个内角的比是 ,最短边长为1,最长边长为2.
求:(1)这个三角形各内角的度数;
(2)另外一条边 长的平方.
22.(7分)如图,台风过 后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处,已知旗杆原长16 m,你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗?
23.(7分)观察下表:
列举 猜想
3,4,5
5,12,13
7,24,25
… … … …
请你结合该表格及相关知识,求出 的值.
24.(7分)如图,折叠长方形的一边 ,使点 落在 边上的点 处, cm,
cm,求:(1) 的长;(2) 的长.
25.(7分)如图,长方体 中, , ,一只蚂蚁从 点出发,沿长方体表面爬到 点,求蚂蚁怎样走最短,最短路程是多少?
第一章 勾股定理检测题参考答案
1. B 解析:在△ 中,由 , , ,可推出 .由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形,故选B.
2.B 解析:设原直角三角形的三边长分别是 ,且 ,则扩大后的三角形的斜边长为 ,即斜边长扩大到原来的2倍,故
选B.
3.C 解析:A.不确定三角形是不是直角三角形,故A选项错误;B.不确定第三边是否为斜边,故B选项错误;C.∠C=90°,所以其对边为斜边,故C选项正确;D.∠B=90°,所以 ,故D选项错误.
4.D 解析:设三个正方形的边长依次为 ,由于三个正方形的三边组成一个直角三角形,所以 ,故 ,即 .
5.C 解析:由勾股定理可知 cm,再由三角形的面积公式,有
,得 .
6. D 解析:在A选项中,求出三角形的三个内角分别是30°,60°,90°;在B,C选项中,都符合勾股定理的条件,所以A,B,C选项中都是直角三角形.在D选项中,求出三角形的三个角分别是 所以不是直角三角形,故选D.
7.C 解析:因为Rt△ 中, ,所以由勾股定理得 .因为 , ,所以 .
8.C 解析:如图为圆柱的侧面展开图,∵ 为 的中点,则 就是蚂蚁爬行的最短路径.∵ ,∴ .
∵ ,∴ ,即蚂蚁要爬行的最短路程是10 cm.
9.B 解析:由 ,整理,得 ,即 ,所以 ,符合 ,所以这个三角形一定是直角三角形.
10.B 解析:由 ,得 ,所以△ 是直角三角形,且 是斜边,所以∠B=90°,从而互余的一对角是∠ 与∠ .
11. cm或13 cm 解析:根据勾股定理,当12为直角边长时,第三条线段长为 ;当12为斜边长时,第三条线段长为 .
12.15 cm 解析:如图,∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一,
∴ .∵ ,∴ .
∵ ,
∴ (cm).
13.108 解析:因为 ,所以△ 是直角三角形,且两条直角边长分别为9、12,则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 .
14. 3 解析:如图,过点 作 于 .
因为 , , ,所以 .
因为 平分 , ,所以点 到 的距离 .
15.15 解析:设第三个数是 ,①若 为最长边,则 ,不是整数,不符合题意;② 若17为最长边,则 ,三边是整数,能构成勾股数,符合题意,故答案为:15.
16. 解析:设直角三角形的斜边长是 ,则另一条直角边长是 .根据勾股定理,得 ,解得 ,则斜边长是 .
17.49 解析:正方形A,B,C,D的面积之和是最大的正方形的面积,即49 .
18.4 解析:在Rt△ABC中, ,则 ,少走了 (步).
19.解:(1)因为 ,
根据三边长满足的条件,可以判断△ 是直角三角形,其中∠ 为直角.
(2)因为 ,所以
,
根据三边长满足的条件,可以判断△ 是直角三角形,其中∠ 为直角.
20.解:如图①,若△ 是锐角三角形,则有 .证明如下:
过点 作 ,垂足为 ,设 为 ,则有 .在Rt△ACD中,
根据勾股定理,得AC2 CD2=AD2,即b2 x2= AD2. 在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD2=AB2 BD2,即AD2= c2 (a x)2,即 ,∴ .
∵ ,∴ ,∴ .
如图②,若△ 是钝角三角形, 为钝角,则有 . 证明如下:
过点 作 ,交 的延长线于点 .
设 为 ,在Rt△BCD中,根据勾股定理,得 ,在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD2+ BD2= AB2,即 .
即 .
∵ ,∴ ,∴ .
21.解:(1)因为三个内角的比是 ,
所以设三个内角的度数分别为 .
由 ,得 ,
所以三个内角的度数分别为 .
(2)由(1)知三角形为直角三角形,则一条直角边长为1,斜边长为2.
设另外一条直角边长为 ,则 ,即 .
所以另外一条边长的平方为3.
22.分析:旗杆折断的部分,未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形,运用勾股定理可将折断的位置求出.
解:设旗杆未折断部分的长为 m,则折断部分的长为 m,
根据勾股定理,得 ,
解得: m,即旗杆在离底部6 m处断裂.
23.分析:根据已知条件可找出规律 ;根据此规律可求出 的值.
解:由3,4,5: ;
5,12,13: ;
7,24,25: .
故 , ,
解得 , ,即 .
24.分析:(1)由于△ 翻折得到△ ,所以 ,则在Rt△ 中,可求得 的长,从而 的长可求;
(2)由于 ,可设 的长为 ,在Rt△ 中,利用勾股定理求解直角三角形
即可.
解:(1)由题意,得 (cm),
在Rt△ 中,∵ ,∴ (cm),
∴ (cm). (2)由题意,得 ,设 的长为 ,则 .
在Rt△ 中,由勾股定理,得 ,
解得 ,即 的长为5 cm.
25.分析:要求蚂蚁爬行的最短路程,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
解:如图(1),把长方体剪开,则成长方形 ,宽为 ,长为 ,
连接 ,则 构成直角三角形,由勾股定理,得
. 如图(2),把长方体剪开,则成长方形 ,宽为 ,长为 ,
连接 ,则 构成直角三角形,同理,由勾股定理,得 .
∴ 蚂蚁从 点出发穿过 到达 点路程最短,最短路程是5.
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